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专题1.2 三角形的角平分线、高、中线
【浙教版】
题型一：判断三角形高是否正确 2
题型二：三角形角平分线、高、中线中相关概念判断 6
题型三：利用等面积法求线段长度 9
题型四：利用面积和差倍求线段（和）长度 13
题型五：根据三角形的中线求线段长度 21
题型六：根据三角形的中线求面积 26
题型七：根据三角形的三条线段判断结论是否正确 32
题型八：三角形的稳定性和四边形的不稳定性 35
题型九：三角形三条重要线段中作图题型 38
题型十：三角形重要线段综合应用 44
知识点一 ：三角形三条重要线段的相关概念（角平分线、高、中线）
①角平分线定义： 三角形中，从一个角的顶点出发，将这个角平分成两个相等角的线段，叫做这个三角形的角平分线。（这条线段止于对边）。
如图1-1所示，AD是∠BAC的平分线，与线段BC交于点D，所以AD为三角形ABC的角平分线，∠BAD=∠DAC；
②中线定义：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线
如图1-2所示，E点为AC的中线，连接BE，所以BE为三角形ABC中BC边上的中线，AE=EC；
③高的定义： 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称高。
如图1-3所示，过点B作AC的垂线，垂足为F，BF⊥AC，所以BF为△ABC中AC边上的中线。
题型一：判断三角形高是否正确
例1（24-25八年级下·广东深圳·期中）下列能表示△ABC的边上的高的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了画三角形的高，熟练掌握高的定义是解题的关键．作哪一条边上的高，即从所对的顶点向这条边或这条边的延长线作垂线段即可．
【详解】解：A．不是任何边上的高，故不符合题意；
B．是任何边上的高，故符合题意；
C．是任何边上的高，故不符合题意；
D．不是任何边上的高，故不符合题意；
故选B．
【变式训练1-1】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，钝角△ABC中，边上的高是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形的高，掌握三角形的高的定义是解题的关键．
根据三角形高的定义即可解答．
【详解】解：如图，钝角△ABC中，边上的高是．
故选C．
【变式训练1-2】（2025八年级下·湖南·专题练习）下面四个图形中，线段是的高的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形的高的画法，理解三角形的高的定义，掌握高的画法是关键．
根据高的画法知，过点B作边上的高，垂足为E，其中线段是的高．
【详解】解：由图可得，线段是的高的图是D选项．
故选：D．
【变式训练1-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，垂足分别为C，D，E，则下列说法不正确的是（ ）
A．是△ABC的高 B．是的高
C．是的高 D．是的高
【答案】C
【分析】本题考查三角线的高，根据三角形的高线的定义，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、，是△ABC的高，正确，不符合题意；
B、，是的高，正确，不符合题意；
C、，不是的高，原说法错误，符合题意；
D、，则：，故是的高，正确，不符合题意；
故选C．
【变式训练1-4】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，△ABC中边上的高、中边上的高、中边上的高分别是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查三角形的高线，根据三角形的高线的定义：从三角形的一个顶点引对边的垂线，顶点与垂足形成的线段，叫做三角形的高，据此进行判断即可．
【详解】解：由图可知：，，
∴是△ABC中边上的高，是中边上的高，是中边上的高；
：故选L故选：B．
【变式训练1-5】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，用三角板作△ABC的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形的高，从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据高线的定义即可得出结论．
【详解】解：．作出的是△ABC中边上的高线，故该选项不符合题意；
．作出的是△ABC的边上的高线，故该选项符合题意；
．不能作出△ABC的高，故该选项不符合题意；
．作出的是△ABC中边上的高线，故该选项不符合题意；
故选：B．
【变式训练1-6】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，为的垂线，为的垂线，为的垂线，点、分别在△ABC的边和上，下列说法：①△ABC中，是边上的高；②中，是边上的高；③中，是边上的高；④中，是边上的高．其中正确的结论为 ，（填序号）
【答案】①②④
【分析】本题考查了三角形的高：三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据三角形高的定义分别进行判断．
【详解】解：△ABC中，为的垂线，则为边上的高，所以①正确；
中，为的垂线，则为边上的高，所以②正确；
中，为的垂线，是边上的高，所以③错误；
中，为的垂线，则是边上的高，所以④正确．
故其中正确的有①②④．
故答案为：①②④．
知识点二 ：三角形三条重要线段中的相关性质
①角平分线：三角形有三个内角，每个内角都有一条角平分线，所以一个三角形它有三条角平分线， 一个三角形的三条角平分线必定相交于一点（三角形内部），这个点叫做三角形的内心，如图2-1所示。
②中线：三角形有三条边，每条边都有一条中线，所以一个三角形它有三条中线， 一个三角形的三条中线必定相交于一点（三角形内部），这个点叫做三角形的重心，如图2-2所示。
注意：（1）重心O点是三角形每条中线的三等分点，O点到顶点的距离等于到底边距离的2倍，即BO=2OE；（2）每条中线将三角形分成面积相等的两个三角形。
③高：三角形有三条边，每条边都有一条高，所以一个三角形它有三条高， 一个三角形的三条高必定相交于一点，这个点叫做三角形的垂心，如图2-3所示分别画出锐角三角形、直角三角形以及钝角三角形的高。
注意：三角形三条角平分线的交点交于三角形内部，三角形三条中线的交点交于三角形内部，三角形三条高的交点可能在三角形内部（锐角三角形）、三角形上（直角三角形）或三角形外部（钝角三角形）。
题型二：三角形角平分线、高、中线中相关概念判断
例2（24-25七年级下·重庆·期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．三角形的三条高交于一点
C．过一点有且仅有一条直线与已知直线平行
D．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到该直线的距离
【答案】D
【分析】本题考查了对顶角的定义，三角形的高，平行公理以及点的直线的距离，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
分别根据对顶角的定义，三角形的高，平行公理以及点的直线的距离的定义去判断即可．
【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，原说法错误，不符合题意；
B、三角形的高是线段，而钝角三角形的三条高线不相交，故本选项错误，不符合题意；
C、过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，原说法错误，不符合题意；
D、直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到该直线的距离，正确，符合题意，
故选：D．
【变式训练2-1】（24-25七年级下·陕西西安·期中）下列说法中正确的有（ ）
①同旁内角互补；②从直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到这条直线的距离；③在同一平面内，不相交的两条线段必平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；⑥三角形的三条高所在的直线交于一点．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，点到直线的距离，平行线，三角形的高，解题的关键是掌握相应的概念进行判断即可．
【详解】解：①两直线平行，同旁内角互补，故错误；
②从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到这条直线的距离，故错误；
③在同一平面内，不相交的两条直线必平行，线段不一定平行，故错误；
④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故错误；
⑤过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故正确；
⑥三角形的三条高所在的直线交于一点，故正确；
故有2个正确，
故选：A．
【变式训练2-2】（24-25八年级上·河北邢台·期中）若一个三角形三条高线交点始终在其内部，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定
【答案】A
【分析】本题主要考查三角形的高，根据高的概念，钝角三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的外部；锐角三角形的三条高的交点在三角形的内部；直角三角形的三条高的交点是三角形的直角顶点．
【详解】解：一个三角形的三条高所在直线的交点始终在其内部，
那么这个三角形是锐角三角形．
故选：A．
【变式训练2-3】（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）下列说法中，正确的是（　　）
A．三角形的高、中线是线段，角平分线是射线
B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部
C．钝角三角形的三条角平分线在三角形的外部
D．在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的直线叫作三角形的中线
【答案】B
【分析】本题考查与三角形有关的线段，解题的关键是理解三角形的高、中线、角平分线的定义，据此分析即可．
【详解】解：A．三角形的高、中线、角平分线都是线段，故此选项不符合题意；
B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部，故引选项符合题意；
C．钝角三角形的三条角平分线都在三角形的内部，故此选项不符合题意；
D．在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，故此选项不符合题意．
故选：B．
【变式训练2-4】（24-25八年级上·甘肃平凉·期中）若一个三角形的三条高的交点是三角形的一个顶点，这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．直角三角形或钝角三角形
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形的三条高线的交点问题．直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；作出一个直角三角形的高线进行判断，就可以得到．
【详解】解：锐角三角形的三条高的交点在三角形内部(如图1)，
钝角三角形的三条高所在直线的交点在三角形外部(如图3)，
直角三角形的三条高的交点在三角形的直角顶点上(如图2).
故选：C．
【变式训练2-5】（24-25七年级下·山西太原·开学考试）下列结论正确的是（ ）
A．钝角三角形的三条角平分线的交点在三角形的外部
B．锐角三角形的三条高的交点在三角形的外部
C．三角形的重心是三角形三条中线的交点
D．直角三角形的三条中线的交点在斜边的中点
【答案】C
【分析】本题考查了三角形角平分线、高、中线、重心等概念，根据三角形角平分线、高、中线、重心等概念逐一排除即可，掌握三角形的重要概念是解题的关键．
【详解】解：、钝角三角形的三条角平分线的交点在三角形的内部，原选项结论错误，不符合题意；
、锐角三角形的三条高的交点在三角形的内部，原选项结论错误，不符合题意；
、三角形的重心是三角形三条中线的交点，原选项结论正确，符合题意；
、直角三角形的三条中线的交点在三角形的内部，原选项结论错误，不符合题意；
故选：．
题型三：利用等面积法求线段长度
例3（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，，垂足为，，，．是线段上的任意一点，连接，的长不可能是（ ）
A．11 B．12 C．13 D．16
【答案】A
【分析】本题考查了垂线段的性质，三角形中的等面积法，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据垂线段最短可知，当时，取得最小值，利用等面积法求出的最小值，即可从选项中找出答案．
【详解】解：作于点，如图，
，垂足为，，，，
，即，
，
是线段上的任意一点，连接，
当点与点重叠时取得最小值，最小值为12，
的长不可能是11，
故选：A．
【变式训练3-1】（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）如图，在中，，是三角形的高，若，，，则线段的长为（ ）
A． B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】本题主要考查三角形的高的定义，根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
即，
解得： ，
故选：A．
【变式训练3-2】（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，分别为△ABC的中线和高线，的面积为6，，则的长为（ ）
A．5 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，求三角形的高的长，根据三角形中线平分三角形面积得到，再根据三角形面积计算公式得到，据此可得答案．
【详解】解：∵为△ABC的中线，的面积为6，
∴，
∵为△ABC的高线，
∴，
∵，
∴，
故选：D，
【变式训练3-3】（24-25八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图， 在△ABC中， ， ， 于点 ， 且， 若点 在边上移动，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了等面积法，垂线段最短，根据垂线段最短，得到时，最短，然后用等面积法即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，
根据垂线段最短，得到时，最短，
∴，
∵， ，，
∴，
∴，
∴的最小值是，
故选：．
【变式训练3-4】（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，在中，，，，边上的高，则的长为 ．
【答案】10
【分析】本题考查了与三角形的高有关的计算问题，先算出，因为边上的高，所以，解出，即可作答．
【详解】解： ∵，，，
∴
∵边上的高，
∴，
解得．
故答案为：10．
【变式训练3-5】（23-24七年级下·福建漳州·阶段练习）如图，在中，∠B=90°，，，，点为边上任意一点，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了三角形面积的计算，垂线段最短，过点B作于点N，根据等积法求出，根据垂线段最短得出点M在点N处时，最小，且最小值为，求出结果即可．
【详解】解：过点B作于点N，如图所示：
∵，
∴，
∵垂线段最短，
∴点M在点N处时，最小，且最小值为，
∵点为边上任意一点，
∴．
故答案为：．
题型四：利用面积和差倍求线段（和）长度
例4（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在△ABC中，，，边上的高，点为上一点，且，．则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的高，三角形的面积，连接，利用即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式训练4-1】（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，在△ABC中，，D为中点，过点D作，，E为上一点，过点E作，，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了与三角形的高有关的面积计算，添加适当的辅助线，根据题意得出是解此题的关键．连接，，根据D为中点，得出，从而得出，根据三角形面积得出，从而得出，代入数据计算即可．
【详解】解：如图，连接，，
，D为中点，
∴，
∴，
∵，，
，
∴，
∵，，
∴，
解得：．
故答案为：．
【变式训练4-2】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在△ABC中，，点D，P分别在边，上，且，，，垂足分别为点E．F．若，，则的值 ．

【答案】6
【分析】本题主要考查了三角形的面积．根据三角形面积公式得出，再根据，得出，即可得出．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，则，
故答案为：6．
【变式训练4-3】（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，在△ABC中，点在上，且，连接，为边上的中点，连接并延长交于点，为上一点，且，已知的面积为2，则的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查三角形面积的关系，连接，如图所示，由，结合等高三角形的面积比与底边的比有关可得，设，则，得到，进而由、得到相应三角形的面积之比，最后由；；建立一元一次方程求解即可得到答案，数形结合，根据等高三角形的面积比等于底边的比，找准相关三角形的面积比是解决问题的关键．
【详解】解：连接，如图所示：
，
，
和以为顶点向作高，是相等的，
，
设，则，
，
为边上的中点，
，
和以为顶点向作高，是相等的，
，则，且，
的面积为2，
，
，
，
，
和以为顶点向作高，是相等的，
，则，
和以为顶点向作高，是相等的，
，则，
；；
则，
解得，
，
，
故答案为：．
【变式训练4-4】（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，已知中，，，，为边上一点，，为上一点，过点作于点，于点，求的值 ．
【答案】4
【分析】本题考查了三角形的面积，先求出，然后根据即可求出的值．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
古答案为：4．
【变式训练4-5】（24-25八年级上·河南省直辖县级单位·期中）如图，在锐角三角形中，的面积， 平分交于点，若、分别是、上的动点，则的最小值为
【答案】
【分析】本题考查三角形中的最短路径，垂线段最短，三角形高的定义，过点作于点，解题的关键是理解的长度即为最小值．
【详解】解：过点作于点，交于点，过点作于，
平分，于点，于，
，
当点与重合，点与 重合时，的最小值．
三角形的面积为，，
，
．
即的最小值为．
故答案为：．
【变式训练4-6】（2025·陕西西安·三模）如图，为四边形的两条对角线，点为的中点，交于点，连接，若记的面积为，四边形的面积为，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查三角形面积计算，三角形中线的性质，连接，根据点为的中点可得到平分的面积，平分的面积，因此折线平分四边形的面积．再根据，可得到与的面积相等，得出，即，由此可得的值为1．
【详解】解：连接，如图所示：
∵点为的中点，
∴，
∴平分的面积，平分的面积，
∴折线平分四边形的面积，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
故答案为：1．
【变式训练4-7】（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，点，都在线段上，分别过点、作的垂线、，连接、、、、交于点，已知，．如果的面积为，的面积为，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了三角形面积计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．先根据，，得到，然后求出，，根据，，求出结果即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
，
∵，，
∴
．
故答案为：．
题型五：根据三角形的中线求线段长度
例5（2025·甘肃平凉·二模）如图，△ABC的周长是，是边上的中线，，，则与的周长之差为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】A
【分析】本题考查了三角形中线的有关计算，掌握三角形中线的定义是关键．
根据三角形的中线，周长的计算得到，，根据的周长为，的周长为，得到与的周长之差为，由此即可求解．
【详解】解：的周长为，
∴，
∵是边上的中线，
∴，则，
∴，
∵的周长为，的周长为，
∴，
∴与的周长之差为，
故选：A ．
【变式训练5-1】（2025·陕西西安·一模）如图，在周长为的△ABC中，是边上的中线，已知，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形的周长公式和三角形中线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形中线的定义．利用三角形中线定义和周长公式即可求出答案．
【详解】解：∵是边上的中线，
，
∵△ABC周长为，
∴，
∴，
故选：B．
【变式训练5-2】（24-25八年级上·广东广州·期末）在△ABC中，，，是边上的中线，若的周长为41，那么的周长是（ ）
A．39 B．41 C．43 D．无法确定
【答案】A
【分析】本题主要考查三角形的中线以及三角形的周长，掌握三角形的中线的定义是解题的关键．根据的周长为41，可得，再结合三角形中线的定义，即可求解．
【详解】解：的周长为41，
，
是边上的中线，
，
，
，
，
的周长是．
故选：A．
【变式训练5-3】（24-25八年级上·北京·期中）如图，在△ABC中，是中线，，．
(1)求与的周长差．
(2)点E在边上，连接，若△BDE与四边形的周长相等，求线段的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了三角形的中线性质，三角形周长的计算，掌握相关知识点是解题的关键．
（1）的周长，的周长，由中线的定义可得，即可解答；
（2）由图可知的周长，四边形的周长，，所以，则可解得长．
【详解】（1）解：的周长，的周长，
∵是中线，
∴，
∴与的周长差：；
（2）解：由图可知：的周长，四边形的周长，
又∵的周长与四边形的周长相等，D是的中点，
∴，，
∴，
又∵，，，
∴，
∴，
∴．
【变式训练5-4】（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，，分别是△ABC的高和中线．
(1)若，，求高的长；
(2)若，，求与的周长之差．
【答案】(1)4(2)1
【分析】本题考查了三角形的中线和高线的定义，比较简单．
（1）根据三角形面积公式求解即可；
（2）分别表示出与的周长，再相减即可．
【详解】（1），，
，
解得，
高的长为4．
（2）的中线是，
，
与的周长之差为：
．
【变式训练5-5】（24-25七年级下·全国·单元测试）在△ABC中，，．
(1)若的长是整数，求的长；
(2)已知是△ABC的边上的中线，若的周长为17，求的周长．
【答案】(1)8(2)24
【分析】本题考查的是三角形的三边关系、三角形的中线的定义，掌握三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键.
（1）根据三角形的三边关系解答即可:
（2）根据三角形的中线的定义得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案.
【详解】（1）解：由题意，得，
．
的长是整数，
．
（2）解：如图，
是△ABC的边上的中线，
．
的周长为17，
．
，
，
的周长．
【变式训练5-6】（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD、AE分别是边上的高和中线，，．
(1)求和的周长之差；
(2)求的长度．
【答案】(1)和的周长之差；(2)．
【分析】查考查了三角形的高、中线，等积法求三角形的高，理解三角形的高、中线的意义是解题的关键；
（1）由是边上中线，得，则可得，从而求解；
（2）利用同一三角形面积相等即可求得的长度．
【详解】（1）解：∵是边上中线，
∴，
∴
，
即和的周长之差；
（2）解：∵是边上的高，
，
，
即．
题型六：根据三角形的中线求面积
例6（24-25七年级下·内蒙古包头·期中）在△ABC中，D为边上的一点，E，F分别为，的中点，且，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查三角形的中线的性质，掌握三角形的中线能够把三角形的面积等分是解题的关键．
由F是边的中点，得出，同理得到，，得出．
【详解】∵F是边的中点，
∴
∵E是边的中点，
∴，，
∴．
故选：D．
【变式训练6-1】（24-25七年级下·辽宁阜新·期中）如图，在△ABC中，、、分别为、、的中点，且，则阴影部分的面积为（ ）．
A．1 B． C．2 D．3
【答案】C
【分析】本题考查了三角形中线的性质，掌握三角形中线的性质是解题的关键．
根据三角形中线的性质，先求得的面积，再求得的面积，即可求得的面积．
【详解】解：，为的中点，
，
为的中点，
，
为的中点，
，
故选：C．
【变式训练6-2】（24-25七年级下·内蒙古包头·期中）已知：如图所示，在△ABC中，点分别为的中点，且，则阴影部分的面积为（　　）．
A．2 B． C．1 D．不确定
【答案】C
【分析】此题考查了三角形中线的性质，解答此题的关键是知道同底等高的三角形面积相等．易得、的面积均为△ABC面积的一半，同理可得，进而得到，由为中点，可得阴影部分的面积等于的面积的一半．
【详解】解：为中点，
，
为中点，
，
，
为中点，
，即阴影部分的面积为，
故选：C．
【变式训练6-3】（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图是一块面积为10的三角形纸板，点D、E、F分别是线段的中点，则阴影部分的面积为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了三角形面积，熟练掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 根据每条中线将三角形分为面积相等的两部分，计算即可得到答案．
【详解】解：连接，
∵点D、E、F分别是线段的中点
∴，，，
∴，，，，，，
∴△ABC被分为7个面积相同的三角形，中间阴影部分的三角形的面积是的，所以阴影部分的面积是．
故答案为：．
【变式训练6-4】（2025·江西吉安·一模）如图梯形中，，对角线与交于点，点为的中点．已知、的面积分别为，则的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形中线的性质，根据题意得出的面积为，进而得出则，根据平行线之间的距离相等得出△ABC的面积为，进而求得，即可求解．
【详解】解：∵点为的中点． 、的面积分别为，
∴的面积为
∴
∴
∴
∵，
∴△ABC的面积的面积
∴
∴
∴的面积为
故答案为：．
【变式训练6-5】（24-25六年级下·上海·期中）如图所示，在△ABC中，，求阴影部分面积是三角形面积的 （几分之几）．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的中线及三角形的面积，解题的关键是熟练运用三角形的高、底边与面积的关系．大三角形面积减去3个小三角形面积等于阴影面积，再求解即可．
【详解】解：，，
面积：△ABC面积，
设△ABC的面积为，
面积：，
面积，
面积面积，
面积，
同理，面积：△ABC面积，
面积：，
面积，
面积面积，
面积，
阴影面积，
阴影部分面积是三角形面积的．
故答案为：．
【变式训练6-6】（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图，，点A、E在直线上，点B，C，D在直线上，如果，是△ABC边上的中线，△ABC的面积为30，那么△FDE的面积是 ．
【答案】5
【分析】本题考查三角形的面积、平行线之间的距离，连接，根据平行线之间的距离处处相等得到，根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”分别求出和，再由计算的面积即可．
【详解】解：如图，连接．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是△ABC边上的中线，
∴，
∴．
故答案为：5．
题型七：根据三角形的三条线段判断结论是否正确
例7（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，在△ABC中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断．
本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的概念是解题的关键．
【详解】∵是△ABC的中线，
∴，A说法正确，不符合题意；
∵是角平分线，
∴，B说法正确，不符合题意；
∵是高，
∴，
∴，C说法正确，不符合题意；
∵，
∴，D说法错误，符合题意．
故选：D．
【变式训练7-1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，，，分别是△ABC的中线、高和角平分线，，交于点，交于点，．则下列结论中不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据中线的定义，可判断A；根据角平分线的定义以及同角的余角相等，可判断C；根据等角的余角相等，对顶角相等，可判断D；即可得出结论．
【详解】解：A 、是△ABC的中线，
，
，
，故A选项正确；
B、条件不足，无法得到，故B选项错误；
C 、，分别是△ABC的高和角平分线，
，，
，
，
，
，故C选项正确；
D、，，
，，
，
，
，
，故D选项正确；
故选：B．
【变式训练7-2】（2025·江苏无锡·二模）如图，，，分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的高线、中线、角平分线，熟练掌握三角形的高线、中线、角平分线的定义是解题的关键．根据三角形的高线、中线、角平分线的定义，逐项分析即可即可判断．
【详解】解：∵，，分别是△ABC的高、角平分线、中线，
∴，，．
结合选项可知，A、B、D选项不符合题意，C选项符合题意；
故选：C．
【变式训练7-3】（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，、、分别是△ABC的高、角平分线和中线，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的中线、高线及角平分线的意义，三角形一边上的中线平分此三角形的面积等知识．解答本题的关键是掌握三角形的中线、高线及角平分线的意义，根据上述知识逐项进行判断即可．
【详解】解：A、是△ABC的中线，
，
而与不一定相等，
故说法错误，不符合题意；
B、是△ABC的高线，
，
在中，，
，
故说法错误，不符合题意；
C、是△ABC的角平分线，
，
而与不一定相等，
故说法错误，不符合题意；
D、是△ABC的中线，
，
又，，
，
，
．
故说法正确，符合题意；
故选：D．
题型八：三角形的稳定性和四边形的不稳定性
例8（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，我们可以看到跪姿射击的动作，由左手、左肘、左肩构成的托枪姿势可以使射击者在射击过程中保持枪的稳定，这里蕴含的数学道理是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．三角形的任意两边之和大于第三边
C．两点确定一条直线
D．三角形的稳定性
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性即可得到答案．
【详解】解：由题意得这三个三角形可以使射击者在射击过程中保持稳定，其中，蕴含的数学道理是三角形的稳定性；
故选：D．
【变式训练8-1】（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短
C．三角形的稳定性 D．垂线段最短
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，采用如图的设计是构造三角形，应用了三角形的稳定性，理解题意是解题关键．
【详解】解：这种方法应用的几何原理是：三角形的稳定性，
故选：C．
【变式训练8-2】（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图是太原北中环桥的斜拉索，能确保桥面的稳定性和安全性．那么其中运用的数学原理是 ．
【答案】三角形具有稳定性
【分析】本题考查的是三角形的稳定性，根据三角形的稳定性解答即可．
【详解】解：太原北中环桥的斜拉索，能确保桥面的稳定性和安全性．那么其中运用的数学原理是：三角形具有稳定性．
故答案为：三角形具有稳定性．
【变式训练8-3】（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，建筑工地上的塔吊上部设计成三角形结构，其中的数学原理是三角形的 ．
【答案】稳定性
【分析】此题考查了三角形稳定性的特性．根据三角形的稳定性进行解答即可．
【详解】解：为了安全，建筑工地上的塔吊上部设计成三角形结构，这是利用了三角形的稳定性，
故答案为：稳定性．
【变式训练8-4】（24-25八年级上·广东汕头·期末）如图①是一种生活中常使用的工具——千斤顶，图②是其示意图，该千斤顶的基本形状是一个四边形中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小，从而改变千斤顶的高度，这是利用了四边形的 ．
【答案】不稳定性
【分析】本题主要考查四边形具有不稳定性，根据四边形具有不稳定性解答即可．
【详解】解：根据题意得，这是利用了四边形的不稳定性，
故答案为：不稳定性．
【变式训练8-5】（24-25八年级上·河南安阳·期末）如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，运用的知识是 ．
【答案】三角形的稳定性
【分析】本题考查了三角形的稳定性，充分理解三角形的稳定性是解题关键．根据三角形的稳定性作答即可．
【详解】解：一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，运用了三角形的稳定性．
故答案为：三角形的稳定性．
题型九：三角形三条重要线段中作图题型
例9（24-25七年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中．
(1)把△ABC进行平移， 得到， 使点A与对应， 请在网格中画出
(2)线段与线段的位置关系是 ；（填“平行”或“相交” ）
(3)求出△ABC的面积．
【答案】(1)见解析(2)平行(3)
【分析】本题主要考查了平移作图，平移的性质，网格中求三角形面积，熟知平移的知识是解题的关键．
（1）由点A和点的位置可知平移方式为向右5个单位长度，向上平移4个单位长度，据此确定的位置，描出，并顺次连接即可；
（2）根据平移的性质求解即可；
（3）利用割补法求解即可．
【详解】（1）解；如图所示，即为所求；
（2）解：由平移的性质可得线段与线段的位置关系是平行；
（3）解：由题意得，．
【变式训练9-1】（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，在正方形网格中，点、、都在格点上．

(1)平移线段，使点与点重合，画出线段；
(2)连接、，与的关系是____________；
(3)若每个小正方形边长为1，线段扫过的面积是______________．
【答案】(1)图见解析(2)平行且相等(3)11
【分析】（1）将点向右平移3个单位，向下平移1个单位得到，连接即可；
（2）根据平移的性质，进行作答即可；
（3）分割法求出四边形的面积即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；

（2）由平移的性质可知：与的关系是平行且相等；
（3）线段扫过的面积是．
【变式训练9-2】（24-25七年级下·山西·期中）如图，正方形网格中所有小正方形的边长都为1，规定每个小正方形的顶点格点，点，，都在格点上．
(1)只利用无刻度的直尺按要求画出下列图形：
①；
②△ABC的高，垂足为点；
(2)△ABC的面积为________；
【答案】(1)①见解析；②见解析(2)
【分析】本题主要考查了画平行线，画三角形的高和网格中求三角形面积，熟知相关知识是解题的关键．
（1）①根据网格的特点和平行线的定义作图即可；②根据三角形高的定义作图即可；
（2）利用割补法求解即可．
【详解】（1）解：①如图所示，即为所求；
②如图所示，即为所求；
（2）解：由题意得
【变式训练9-3】（23-24八年级下·江西景德镇·期中）如图，在正方形网络中，已知为格点三角形，请使用无刻度直尺借助于网格按下列要求作图．
(1)在图1中，作，使两个三角形全等，且无重叠，（将所作图的结论写在横线上）；
(2)在图2中，作的边上的高h（将所作图的结论写在横线上）．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】本题考查无刻度直尺作图，平移的性质，三角形的高；
（1）利用平移的性质作即可；
（2）取格点D，然后连接，交的延长线于点H，则AH即为所作．
【详解】（1）解：即为所作；
（2）解：如图，即为所作；
【变式训练9-4】（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，已知△ABC，根据下列要求画出图形并回答问题：
(1)作边上的高；
(2)过点画的垂线，垂足为；
(3)过点画的平行线，交于点；
(4)点到直线的距离是线段___________的长度．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析(4)
【分析】本题主要考查了画平行线，画垂线，画三角形的高，点到直线的距离等等，熟知相关知识是解题的关键．
（1）过点C作交延长线于D，则即为所求；
（2）根据垂线的画法画图即可；
（3）根据平行线的画法画图即可；
（4）可证明，再根据点到直线的距离的定义求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，过点C作交延长线于D，则即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：如图所示，即为所求；
（4）解：∵，
∴，
∴点到直线的距离是线段的长度．
【变式训练9-5】（24-25七年级下·新疆和田·阶段练习）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点恰好均在小正方形的顶点上．
(1)作交的延长线于点；
(2)将△ABC先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到．请在图中作出平移后的；
(3)图中和的关系___________：
(4)求出三角形面积．
【答案】(1)作图见详解(2)作图见详解(3)平行(4)6
【分析】本题主要考查了垂线的画法，图形的平移，网格求几何图形面积，掌握以上知识，数形结合分析是关键．
（1）根据网格特点，垂线的画法作图即可；
（2）根据图形平移的性质作图即可；
（3）根据图示特点，平移的性质分析即可；
（4）运用网格特点求三角形面积即可．
【详解】（1）解：根据网格特点作垂线，如图所示，
∴点即为所求点的位置；
（2）解：根据平移的性质作图，
∴即为所求图形；
（3）解：根据平移的性质可得，，
故答案为：平行且相等；
（4）解：．
题型十：三角形重要线段综合应用
例10（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）如图，直线与直线，直线分别相交于点，，若于点，交直线于点．
(1)若与互余，试判断直线，直线的位置关系，并说明理由；
(2)若，，，则点到直线的距离是________．
【答案】(1)，理由见解析(2)
【分析】本题考查了平行线的判定、垂直的定义、三角形的面积公式，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．
（1）根据垂直的定义得到，得出，根据互余的性质得出，推出，再利用内错角相等，两直线平行即可得出结论．
（2）过点作于点，利用等面积法求出的长，即可得到点到直线的距离．
【详解】（1）解：，理由如下：
，
，
，
与互余，
，
，
．
（2）解：如图，过点作于点，
三角形的面积，
，
点到直线的距离是．
故答案为：．
【变式训练10-1】（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）在△ABC中，，为直线上任意一点，连结，于点，于点．为边上的高；
【画图探究】（1）如图①，当点在边上时，请画出，猜想，，之间的数量关系并证明．
【运用】（2）如图②，当点为中点时，与的数量关系为___________
【拓展】（3）如图③，当点在的延长线上时，、、之间的数量关系为___________；
【答案】（1）作图见解析；，证明见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析
【分析】本题属于三角形综合题，考查中线平分三角形的面积，割补法求三角形的面积，
（1）过点作交于一点，再根据列式化简，即可得证；
（2）同理得，根据点为中点时得，继而推出，可得结论；
（3）同理结合面积之间的关系列式化简，即可得出结论．
解题的关键是熟练运用数形结合思想．
【详解】解：（1）依题意，边上的高如下图所示：
，，之间的数量关系：．
证明：∵，，，，
∴，
∴，
∴；
（2）与的数量关系为：．
理由：如图，过点作交于点，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，点为中点时，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：；
（3），，之间的数量关系：．
理由：如图，过点作交于点，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式训练10-2】（24-25八年级上·山东临沂·期末）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．
(1)如图1，在中，，，，，，垂足为点，则的长是______________；
(2)如图2，在△ABC中，，，则的高与的比是____________；
(3)如图3，在△ABC中，，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，，求的值．
【答案】(1)(2)(3)5
【分析】本题主要考查了求三角形的面积，熟练掌握等面积法求线段的长是解题的关键．
（1）根据题意可得，即可求解；
（2）根据题意可得，即可求解；
（3）根据可得，再由，可得，即可求解．
【详解】（1）解：∵在中，， ，
∴，
∵，，，
∴；
故答案为：；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
（3）解：∵，
且，
∴，
又∵，
∴，
∵ ，，
∴．
【变式训练10-3】（24-25八年级上·山东德州·期中）【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．
例如：如图①．在△ABC和中，分别是和边上的高线，且，则△ABC和是等高三角形．
【性质探究】
如图①，用，分别表示△ABC和的面积．
则，
∵
∴．
【性质应用】
（1）如图②，是△ABC的边上的一点．若，，则______；
（2）如图③，在△ABC中，，分别是和边上的点．若，，，则的面积是多少？
（3）如图③，在中，，分别是和边上的点．若，，，则______．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）由图可知和是等高三角形，然后根据等高三角形的性质即可得到答案；
（2）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据和等高三角形的性质可求得；
（3）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据，和等高三角形的性质可求得．
本题主要考查了等高三角形的定义、性质以及应用性质解题，熟练掌握等高三角形的性质并能灵活运用是解题的关键．
【详解】解：（1）如图，过点A作，
则，
∵，
∴．
（2）∵△BEC和△ABC是等高三角形，
∴，
∴；
∵和是等高三角形，
∴，
∴．
（3）∵△BEC和△ABC是等高三角形，
∴，
∴；
∵和△BEC是等高三角形，
∴，
∴．
【变式训练10-4】（24-25八年级上·贵州遵义·期末）【发现与探究】三角形的重心
三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．图1中，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案．图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作．图3中，若三条中线、、交于点，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，．
(1)图3中，若设，，，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想；
(2)由（1）可知被三条中线分成的六个三角形面积 ，如果△ABC面积为，用含有的式子表示的面积为 ，： ；
(3)图4中，是重心，点、在的边、上，、交于，，，，求四边形的面积．
【答案】(1)，见解析(2)相等，；(3)
【分析】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算．解题的关键是读懂题中所给材料，并能正确运用即可．
（1）根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出；
（2）由（1）中的结论即可得出；
（3）运用以上两题的方法，根据三角形的面积底高，先求出的面积进而求出四边形的面积即可．
【详解】（1）解：
由题意可知，，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）由（1）可知被三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的，所以的面积为．
∵
∴，即
故答案为；相等，； ．
（3）解：是△ABC的重心，
，
，
，
．
【变式训练10-5】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在三角形中，平分交于点D．
(1)在图①中，将三角形沿方向平移，使点D平移至点C处，得到三角形，且交于点E．猜想与之间的数量关系，并说明理由；
(2)在图②中，将三角形沿方向平移，使经过点D，得到三角形．求证：平分．
【答案】(1)，理由见解析(2)见解析
【分析】考查了平移的性质，解题的关键是了解平移前后对应点的连线平行且相等．
（1）根据平移的性质得到，从而得到，然后根据平分得到，从而得到∶
（2）根据平移的性质得到进一步得到，然后根据平分得到，从而得到．
【详解】（1）解： ．理由如下：
∵三角形是由三角形平移得到的，
．
．
平分，
．
．
（2）证明：∵三角形是由三角形平移得到的，
．
平分，
．
．
平分．
1．（23-24八年级上·西藏拉萨·期中）下列说法正确的是（ ）
A．直角三角形只有一条高 B．直角三角形两个锐角互余
C．负数没有立方根 D．三角形的内角和等于它的外角和
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形的相关知识，立方根的相关知识，根据三角形的高，两锐角互余以及三角形内角和，外角和定理，立方根的性质等知识一一判定即可．
【详解】解：．直角三角形两条直角边就是两条高，原说法错误，故该选项不符合题意；
．直角三角形两个锐角互余，原说法正确，故该选项不符合题意；
．负数有立方根，例如：，原说法错误，故该选项不符合题意；
．三角形的内角和等于180度，它的外角和为360度，两者不相等，原说法错误，故该选项不符合题意；
故选：B．
2．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在△ABC中，，，分别是，，的中点．（阴影部分）的面积是4，则△ABC的面积为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的面积的求法，关键是找出三角形面积之间的关系．
根据三角形的面积公式得到，三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分，据此解答即可．
【详解】解：∵是中点，
∴，
∵是中点，
∴，，
∴
，
∴，
故选：C．
3．（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，△ABC中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了垂线段最短和三角形的面积公式，当时，的值最小，利用面积法求解即可，解题的关键是学会利用面积法求高．
【详解】解：在中，，，，，
当时，的值最小，
此时：△ABC的面积，
，
，
故选：B．
4．（24-25八年级上·安徽·期末）如图，在△ABC中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了中线、角平分线和中线的定义，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．分别根据三角形的中线意义可判断A和D；根据三角形高的定义，直角三角形两锐角互余判断B；根据三角形角平分线的性质可判断C．
【详解】解：∵是中线，
∴，故A选项正确，不符合题意；
∵是高，
∴，
∴，故B选项正确，不符合题意；
过点E作于点G，于点H，
∵是角平分线，
∴，
∵，，
∴，故C正确，不符合题意；
∵是中线，
∴与不一定相等，故D错误，符合题意．
故选：D．
5．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，是广州市正在建设的一个精品口袋公园的示意图．现要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路，的距离相等，且使得，则凉亭的位置应选在(　　)
A．的角平分线与边上中线的交点
B．的角平分线与边上中线的交点
C．的角平分线与边上中线的交点
D．的角平分线与边上中线的交点
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形中线的性质，根据题意使该凉亭到公路，的距离相等，则点在的角平分线上，根据，则点在边上中线的交点，据此，即可求解．
【详解】解：如图，作的角平分线，边上中线，与交于，连接，
当点在的角平分线上，
点到公路，的距离相等，
是的边上中线，
，，
，
凉亭的位置应选在的角平分线与边上中线的交点，
故选：A．
6．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在中，，平分，交于点D，于点E，则线段的长度为（　　）
A．3 B． C． D．2
【答案】B
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，角平分线的性质，先证明，求解，再利用等面积法建立方程求解即可．
【详解】解：∵， 平分， ，
∴，
∵，，，
∴，
，
，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
7．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，已知于点，于点，与交于点，△ADE的边上的高为 .
【答案】/
【分析】由三角形高的含义可得答案．本题考查的是三角形高的含义，熟记三角形的高的定义并能识别图形中三角形的高是解题的关键．
【详解】解：∵
∴的边上的高为
故答案为：．
8．（24-25七年级下·福建泉州·期中）如图，在△ABC中，△ABC的面积为，，点是的中点，、交于点，则四边形的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查三角形的面积，掌握“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”是解题的关键．设，，根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”将其它各三角形的面积分别用含、的代数式表示出来，列关于和的二元一次方程组并求解，从而求出的值即可．
【详解】解：如图，连接
设，，
点是的中点，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
四边形的面积为
故答案为：
9．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）在中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，若线段，则的长为 ．
【答案】8或/12或8
【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线，等角对等边．熟练掌握平行四边形的性质，角平分线，等角对等边是解题的关键．
由角平分线的定义，平行线的性质可得，，由题意知，分当点F在D、E之间时，当点F在C、E之间时两种情况求解即可．
【详解】解：∵平分，
∴，
又∵在中，，
∴，
∴，
∴；
同理可得，，
当点F在D、E之间时，如图1，
∵，
∴；
当点F在C、E之间时，如图2，
∵，
∴．
故答案为：8或．
10．（23-24八年级下·贵州毕节·阶段练习）已知等腰三角形底边为，一腰上的中线分此三角形的周长成两部分，其差为，则腰长为 ．
【答案】6或10/10或6
【分析】本题主要考查了等腰三角形的计算，正确理解分两种情况讨论是解题的关键．
由题意可知两部分之差可以是底边与腰之差，也可能是腰与底边之差，解答时应注意．设等腰三角形的腰长是，根据其中一部分比另一部分长2，列方程求解．
【详解】解：如图，设等腰三角形的腰长是．
当与的差是2时，即，
解得：，
10，10，8能够组成三角形，符合题意；
当与的差是2时，即，
解得：，
6，6，8能够组成三角形，符合题意．
综上所述，腰长是6或10．
故答案为：6或10．
11．（23-24八年级上·云南曲靖·期中）如图，△ABC是等腰三角形，，于点D，于点，与相交于点．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，，，求点到边的距离．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，与三角形高有关的计算，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）先得到，再由三角形内角和定理得到，再由角度和差计算得到，则；
（2）设点到边的距离为，由面积法得到，即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵是△ABC的两条高线，
∴．
又∵
∴
∴
∴
∴是等腰三角形；
（2）解：设点到边的距离为，
∵是△ABC的两条高线
∴
∵，，，
∴，
∴
∴
∴点到边的距离为．
12．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，是△ABC的中线，是的中线．
(1)求证：；
(2)若，求△ABC的面积．
【答案】(1)证明见解析；(2)．
【分析】本题考查了三角形外角的性质，三角形中线的性质，掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据三角形外角的性质即可得出结论；
（2）根据三角形中线的性质即可求解．
【详解】（1）解：由图可知，是的一个外角，
∴，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵是的中线，，
∴，
∵是△ABC的中线，
∴．
13．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）在下面的网格图中，每个小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在格点上．
(1)画出边上的高和中线；
(2)画出边上的高，并直接写出的长（提示：的长等于5）．
【答案】(1)见解析(2)见解析，
【分析】此题考查了作三角形的高线和中线，等面积法求三角形高，
（1）取格点D，连接即为边上的高；取格点H，连接交于点E，中线即为所求；
（2）取格点G，连接交的延长线于点F，高即为所求，然后根据面积法求解即可．
【详解】（1）如图所示，高和中线即为所求；
（2）如图所示，边上的高即为所求；
∵的长等于5
∴
∴
∴．
14．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在△ABC中，是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），连接交于点O．
(1)若是中线，，，求与的周长差；
(2)若是高，，求的度数．
【答案】(1)1(2)
【分析】本题主要考查了三角形中线和高，熟记三角形中线的定义，三角形高的定义是解题的关键．
（1）根据三角形周长计算公式可得到与的周长差为：，再由三角形中线的定义得到，据此代值计算即可；
（2）根据角平分线的定义得到，由三角形高的定义得到，根据三角形外角的性质可得答案．
【详解】（1）解：的周长为：，的周长为：，
与的周长差为：，
是△ABC的中线，
．
又，，
，
即与的周长差为1；
（2）解：是的平分线，，
，
是△ABC的高，
，
．
15．（24-25八年级上·全国·期中）如图，已知分别是△ABC的高和中线，，，，，试求：
(1)和的周长的差；
(2)的长；
(3)直接写出的面积.
【答案】(1)和的周长的差是；(2)的长度为；(3).
【分析】本题考查的是三角形的高，中线的含义，三角形面积的计算，掌握“三角形的高，中线的含义”是解本题的关键．
（1）利用三角形的中线的性质列式进行计算即可；
（2）由再代入数值即可得到答案；
（3）根据求出再根据中线平分三角形面积即可得答案．
【详解】（1）解：∵为边上的中线，
∴，
∴的周长的周长，
即和的周长的差是．
（2）解：∵是边上的高，
∴，
∵，，，
∴
∴，即的长度为；
（3）解：的面积为．
如图，∵△ABC是直角三角形，，，，
∴．
∵为边上的中线，
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专题1.2 三角形的角平分线、高、中线
【浙教版】
题型一：判断三角形高是否正确 2
题型二：三角形角平分线、高、中线中相关概念判断 4
题型三：利用等面积法求线段长度 5
题型四：利用面积和差倍求线段（和）长度 7
题型五：根据三角形的中线求线段长度 9
题型六：根据三角形的中线求面积 11
题型七：根据三角形的三条线段判断结论是否正确 13
题型八：三角形的稳定性和四边形的不稳定性 14
题型九：三角形三条重要线段中作图题型 16
题型十：三角形重要线段综合应用 18
知识点一 ：三角形三条重要线段的相关概念（角平分线、高、中线）
①角平分线定义： 三角形中，从一个角的顶点出发，将这个角平分成两个相等角的线段，叫做这个三角形的角平分线。（这条线段止于对边）。
如图1-1所示，AD是∠BAC的平分线，与线段BC交于点D，所以AD为三角形ABC的角平分线，∠BAD=∠DAC；
②中线定义：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线
如图1-2所示，E点为AC的中线，连接BE，所以BE为三角形ABC中BC边上的中线，AE=EC；
③高的定义： 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称高。
如图1-3所示，过点B作AC的垂线，垂足为F，BF⊥AC，所以BF为△ABC中AC边上的中线。
题型一：判断三角形高是否正确
例1（24-25八年级下·广东深圳·期中）下列能表示△ABC的边上的高的是（ ）
A．B．C． D．
【变式训练1-1】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，钝角△ABC中，边上的高是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-2】（2025八年级下·湖南·专题练习）下面四个图形中，线段是的高的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，垂足分别为C，D，E，则下列说法不正确的是（ ）
A．是△ABC的高 B．是的高
C．是的高 D．是的高
【变式训练1-4】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，△ABC中边上的高、中边上的高、中边上的高分别是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-5】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，用三角板作△ABC的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-6】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，为的垂线，为的垂线，为的垂线，点、分别在△ABC的边和上，下列说法：①△ABC中，是边上的高；②中，是边上的高；③中，是边上的高；④中，是边上的高．其中正确的结论为 ，（填序号）
知识点二 ：三角形三条重要线段中的相关性质
①角平分线：三角形有三个内角，每个内角都有一条角平分线，所以一个三角形它有三条角平分线， 一个三角形的三条角平分线必定相交于一点（三角形内部），这个点叫做三角形的内心，如图2-1所示。
②中线：三角形有三条边，每条边都有一条中线，所以一个三角形它有三条中线， 一个三角形的三条中线必定相交于一点（三角形内部），这个点叫做三角形的重心，如图2-2所示。
注意：（1）重心O点是三角形每条中线的三等分点，O点到顶点的距离等于到底边距离的2倍，即BO=2OE；（2）每条中线将三角形分成面积相等的两个三角形。
③高：三角形有三条边，每条边都有一条高，所以一个三角形它有三条高， 一个三角形的三条高必定相交于一点，这个点叫做三角形的垂心，如图2-3所示分别画出锐角三角形、直角三角形以及钝角三角形的高。
注意：三角形三条角平分线的交点交于三角形内部，三角形三条中线的交点交于三角形内部，三角形三条高的交点可能在三角形内部（锐角三角形）、三角形上（直角三角形）或三角形外部（钝角三角形）。
题型二：三角形角平分线、高、中线中相关概念判断
例2（24-25七年级下·重庆·期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．三角形的三条高交于一点
C．过一点有且仅有一条直线与已知直线平行
D．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到该直线的距离
【变式训练2-1】（24-25七年级下·陕西西安·期中）下列说法中正确的有（ ）
①同旁内角互补；②从直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到这条直线的距离；③在同一平面内，不相交的两条线段必平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；⑥三角形的三条高所在的直线交于一点．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式训练2-2】（24-25八年级上·河北邢台·期中）若一个三角形三条高线交点始终在其内部，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定
【变式训练2-3】（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）下列说法中，正确的是（　　）
A．三角形的高、中线是线段，角平分线是射线
B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部
C．钝角三角形的三条角平分线在三角形的外部
D．在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的直线叫作三角形的中线
【变式训练2-4】（24-25八年级上·甘肃平凉·期中）若一个三角形的三条高的交点是三角形的一个顶点，这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．直角三角形或钝角三角形
【变式训练2-5】（24-25七年级下·山西太原·开学考试）下列结论正确的是（ ）
A．钝角三角形的三条角平分线的交点在三角形的外部
B．锐角三角形的三条高的交点在三角形的外部
C．三角形的重心是三角形三条中线的交点
D．直角三角形的三条中线的交点在斜边的中点
题型三：利用等面积法求线段长度
例3（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，，垂足为，，，．是线段上的任意一点，连接，的长不可能是（ ）
A．11 B．12 C．13 D．16
【变式训练3-1】（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）如图，在中，，是三角形的高，若，，，则线段的长为（ ）
A． B．4 C．5 D．6
【变式训练3-2】（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，分别为△ABC的中线和高线，的面积为6，，则的长为（ ）
A．5 B．3 C．4 D．6
【变式训练3-3】（24-25八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图， 在△ABC中， ， ， 于点 ， 且， 若点 在边上移动，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-4】（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，在中，，，，边上的高，则的长为 ．
【变式训练3-5】（23-24七年级下·福建漳州·阶段练习）如图，在中，∠B=90°，，，，点为边上任意一点，则的取值范围是 ．
题型四：利用面积和差倍求线段（和）长度
例4（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在△ABC中，，，边上的高，点为上一点，且，．则的值为 ．
【变式训练4-1】（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，在△ABC中，，D为中点，过点D作，，E为上一点，过点E作，，，则 ．
【变式训练4-2】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在△ABC中，，点D，P分别在边，上，且，，，垂足分别为点E．F．若，，则的值 ．

【变式训练4-3】（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，在△ABC中，点在上，且，连接，为边上的中点，连接并延长交于点，为上一点，且，已知的面积为2，则的面积为 ．
【变式训练4-4】（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，已知中，，，，为边上一点，，为上一点，过点作于点，于点，求的值 ．
【变式训练4-5】（24-25八年级上·河南省直辖县级单位·期中）如图，在锐角三角形中，的面积， 平分交于点，若、分别是、上的动点，则的最小值为
【变式训练4-6】（2025·陕西西安·三模）如图，为四边形的两条对角线，点为的中点，交于点，连接，若记的面积为，四边形的面积为，则的值为 ．
【变式训练4-7】（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，点，都在线段上，分别过点、作的垂线、，连接、、、、交于点，已知，．如果的面积为，的面积为，则 ．
题型五：根据三角形的中线求线段长度
例5（2025·甘肃平凉·二模）如图，△ABC的周长是，是边上的中线，，，则与的周长之差为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【变式训练5-1】（2025·陕西西安·一模）如图，在周长为的△ABC中，是边上的中线，已知，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【变式训练5-2】（24-25八年级上·广东广州·期末）在△ABC中，，，是边上的中线，若的周长为41，那么的周长是（ ）
A．39 B．41 C．43 D．无法确定
【变式训练5-3】（24-25八年级上·北京·期中）如图，在△ABC中，是中线，，．
(1)求与的周长差．
(2)点E在边上，连接，若△BDE与四边形的周长相等，求线段的长．
【变式训练5-4】（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，，分别是△ABC的高和中线．
(1)若，，求高的长；
(2)若，，求与的周长之差．
【变式训练5-5】（24-25七年级下·全国·单元测试）在△ABC中，，．
(1)若的长是整数，求的长；
(2)已知是△ABC的边上的中线，若的周长为17，求的周长．
【变式训练5-6】（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD、AE分别是边上的高和中线，，．
(1)求和的周长之差；
(2)求的长度．
题型六：根据三角形的中线求面积
例6（24-25七年级下·内蒙古包头·期中）在△ABC中，D为边上的一点，E，F分别为，的中点，且，则为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-1】（24-25七年级下·辽宁阜新·期中）如图，在△ABC中，、、分别为、、的中点，且，则阴影部分的面积为（ ）．
A．1 B． C．2 D．3
【变式训练6-2】（24-25七年级下·内蒙古包头·期中）已知：如图所示，在△ABC中，点分别为的中点，且，则阴影部分的面积为（　　）．
A．2 B． C．1 D．不确定
【变式训练6-3】（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图是一块面积为10的三角形纸板，点D、E、F分别是线段的中点，则阴影部分的面积为 ．
【变式训练6-4】（2025·江西吉安·一模）如图梯形中，，对角线与交于点，点为的中点．已知、的面积分别为，则的面积为 ．
【变式训练6-5】（24-25六年级下·上海·期中）如图所示，在△ABC中，，求阴影部分面积是三角形面积的 （几分之几）．
【变式训练6-6】（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图，，点A、E在直线上，点B，C，D在直线上，如果，是△ABC边上的中线，△ABC的面积为30，那么△FDE的面积是 ．
题型七：根据三角形的三条线段判断结论是否正确
例7（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，在△ABC中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练7-1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，，，分别是△ABC的中线、高和角平分线，，交于点，交于点，．则下列结论中不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练7-2】（2025·江苏无锡·二模）如图，，，分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练7-3】（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，、、分别是△ABC的高、角平分线和中线，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型八：三角形的稳定性和四边形的不稳定性
例8（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，我们可以看到跪姿射击的动作，由左手、左肘、左肩构成的托枪姿势可以使射击者在射击过程中保持枪的稳定，这里蕴含的数学道理是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．三角形的任意两边之和大于第三边
C．两点确定一条直线
D．三角形的稳定性
【变式训练8-1】（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短
C．三角形的稳定性 D．垂线段最短
【变式训练8-2】（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图是太原北中环桥的斜拉索，能确保桥面的稳定性和安全性．那么其中运用的数学原理是 ．
【变式训练8-3】（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，建筑工地上的塔吊上部设计成三角形结构，其中的数学原理是三角形的 ．
【变式训练8-4】（24-25八年级上·广东汕头·期末）如图①是一种生活中常使用的工具——千斤顶，图②是其示意图，该千斤顶的基本形状是一个四边形中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小，从而改变千斤顶的高度，这是利用了四边形的 ．
【变式训练8-5】（24-25八年级上·河南安阳·期末）如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，运用的知识是 ．
题型九：三角形三条重要线段中作图题型
例9（24-25七年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中．
(1)把△ABC进行平移， 得到， 使点A与对应， 请在网格中画出
(2)线段与线段的位置关系是 ；（填“平行”或“相交” ）
(3)求出△ABC的面积．
【变式训练9-1】（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，在正方形网格中，点、、都在格点上．

(1)平移线段，使点与点重合，画出线段；
(2)连接、，与的关系是____________；
(3)若每个小正方形边长为1，线段扫过的面积是______________．
【变式训练9-2】（24-25七年级下·山西·期中）如图，正方形网格中所有小正方形的边长都为1，规定每个小正方形的顶点格点，点，，都在格点上．
(1)只利用无刻度的直尺按要求画出下列图形：
①；
②△ABC的高，垂足为点；
(2)△ABC的面积为________；
【变式训练9-3】（23-24八年级下·江西景德镇·期中）如图，在正方形网络中，已知为格点三角形，请使用无刻度直尺借助于网格按下列要求作图．
(1)在图1中，作，使两个三角形全等，且无重叠，（将所作图的结论写在横线上）；
(2)在图2中，作的边上的高h（将所作图的结论写在横线上）．
【变式训练9-4】（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，已知△ABC，根据下列要求画出图形并回答问题：
(1)作边上的高；
(2)过点画的垂线，垂足为；
(3)过点画的平行线，交于点；
(4)点到直线的距离是线段___________的长度．
【变式训练9-5】（24-25七年级下·新疆和田·阶段练习）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点恰好均在小正方形的顶点上．
(1)作交的延长线于点；
(2)将△ABC先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到．请在图中作出平移后的；
(3)图中和的关系___________：
(4)求出三角形面积．
题型十：三角形重要线段综合应用
例10（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）如图，直线与直线，直线分别相交于点，，若于点，交直线于点．
(1)若与互余，试判断直线，直线的位置关系，并说明理由；
(2)若，，，则点到直线的距离是________．
【变式训练10-1】（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）在△ABC中，，为直线上任意一点，连结，于点，于点．为边上的高；
【画图探究】（1）如图①，当点在边上时，请画出，猜想，，之间的数量关系并证明．
【运用】（2）如图②，当点为中点时，与的数量关系为___________
【拓展】（3）如图③，当点在的延长线上时，、、之间的数量关系为___________；
【变式训练10-2】（24-25八年级上·山东临沂·期末）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．
(1)如图1，在中，，，，，，垂足为点，则的长是______________；
(2)如图2，在△ABC中，，，则的高与的比是____________；
(3)如图3，在△ABC中，，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，，求的值．
【变式训练10-3】（24-25八年级上·山东德州·期中）【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．
例如：如图①．在△ABC和中，分别是和边上的高线，且，则△ABC和是等高三角形．
【性质探究】
如图①，用，分别表示△ABC和的面积．
则，
∵
∴．
【性质应用】
（1）如图②，是△ABC的边上的一点．若，，则______；
（2）如图③，在△ABC中，，分别是和边上的点．若，，，则的面积是多少？
（3）如图③，在△ABC中，，分别是和边上的点．若，，，则______．
【变式训练10-4】（24-25八年级上·贵州遵义·期末）【发现与探究】三角形的重心
三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．图1中，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案．图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作．图3中，若三条中线、、交于点，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，．
(1)图3中，若设，，，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想；
(2)由（1）可知被三条中线分成的六个三角形面积 ，如果△ABC面积为，用含有的式子表示的面积为 ，： ；
(3)图4中，是重心，点、在的边、上，、交于，，，，求四边形的面积．
【变式训练10-5】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在三角形中，平分交于点D．
(1)在图①中，将三角形沿方向平移，使点D平移至点C处，得到三角形，且交于点E．猜想与之间的数量关系，并说明理由；
(2)在图②中，将三角形沿方向平移，使经过点D，得到三角形．求证：平分．
1．（23-24八年级上·西藏拉萨·期中）下列说法正确的是（ ）
A．直角三角形只有一条高 B．直角三角形两个锐角互余
C．负数没有立方根 D．三角形的内角和等于它的外角和
2．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在△ABC中，，，分别是，，的中点．（阴影部分）的面积是4，则△ABC的面积为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
3．（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，△ABC中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25八年级上·安徽·期末）如图，在△ABC中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，是广州市正在建设的一个精品口袋公园的示意图．现要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路，的距离相等，且使得，则凉亭的位置应选在(　　)
A．的角平分线与边上中线的交点
B．的角平分线与边上中线的交点
C．的角平分线与边上中线的交点
D．的角平分线与边上中线的交点
6．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在中，，平分，交于点D，于点E，则线段的长度为（　　）
A．3 B． C． D．2
7．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，已知于点，于点，与交于点，△ADE的边上的高为 .
8．（24-25七年级下·福建泉州·期中）如图，在△ABC中，△ABC的面积为，，点是的中点，、交于点，则四边形的面积为 ．
9．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）在中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，若线段，则的长为 ．
10．（23-24八年级下·贵州毕节·阶段练习）已知等腰三角形底边为，一腰上的中线分此三角形的周长成两部分，其差为，则腰长为 ．
11．（23-24八年级上·云南曲靖·期中）如图，△ABC是等腰三角形，，于点D，于点，与相交于点．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，，，求点到边的距离．
12．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，是△ABC的中线，是的中线．
(1)求证：；
(2)若，求△ABC的面积．
13．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）在下面的网格图中，每个小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在格点上．
(1)画出边上的高和中线；
(2)画出边上的高，并直接写出的长（提示：的长等于5）．
14．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在△ABC中，是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），连接交于点O．
(1)若是中线，，，求与的周长差；
(2)若是高，，求的度数．
15．（24-25八年级上·全国·期中）如图，已知分别是△ABC的高和中线，，，，，试求：
(1)和的周长的差；
(2)的长；
(3)直接写出的面积.

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