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第一章 有理数 巩固训练 2025-2026学年人教版七年级数学上册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知、两点在数轴上表示的数分别是和，若在数轴上找两点、，使得点和点之间的距离是，使得点和点之间的距离是，则、之间的距离不可能是( )
A. B. C. D.
2.下列说法正确的是( )
A. 是正数，不是负数
B. 既不是正数，也不是负数
C. 既是正数，也是负数
D. 不是正数的数一定是负数，不是负数的数一定是正数
3.若盈利元记作元，则亏损元记作( )
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
4.如图，数轴上、两点所表示的两数的( )
A. 和为正数 B. 和为负数 C. 积为正数 D. 积为负数
5.观察下列一组数：，，，，，，，，则第个数是( )
A. B. C. D.
6.下列说法正确的是( )
A. 倒数等于本身的数有和 B. 绝对值等于它本身的数一定是正数
C. 一个数的绝对值一定比大 D. 最小的正整数是
7.若，是数轴上两点，则点，表示的数互为相反数的是( )
A. B.
C. D.
8.下列各对数中，互为相反数的有( )
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则，的大小关系是______．
10.在有理数，，，，，，中，属于整数集的是______．
11.数轴上与表示的点距离个单位长度的点所表示的数为：______．
12.若与互为相反数，则的值______．
13.下列说法中：一定是负数；一定是正数；倒数等于它本身的数为；绝对值等于它本身的数是正数；两个有理数的和一定大于其中每一个加数；如果两个数的和为，那么这两个数一定是一正一负正确的有______填序号
14.的倒数的绝对值______．
15.数轴上的点到原点的距离是，则点表示的数是______．
16.如果“盈利记为，那么“亏损”记为______．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
把下列各数表示在数轴上，然后把这些数按从大到小的顺序用“”连接起来．
，，，，．
18.本小题分
同学们知道，表示与的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数与两点间的距离试探索：
表示数轴上数与数______两点间的距离；
表示数轴上数与数______两点间的距离；
表示数轴上数与数______的距离和数与数______的距离的和；
探究，是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
如图，要使输出值大于，求输入的最小正整数是多少．
20.本小题分
如图所示的送餐机器人在一条东西走向的走道上为客人服务，从取餐点出发，先向东移动到达号桌处，然后向西移动到达号桌处，再返回取餐点．
以取餐点为原点，向东方向为正方向，画出数轴，并在数轴上表示出，，三处的位置；
处离处有多远？
机器人一共移动了多少米？
21.本小题分
已知数，表示的点在数轴上的位置如图所示．
在数轴上表示出，的相反数的位置，并将这四个数从小到大排列；
若数与其相反数相距个单位长度，则表示的数是多少？
在的条件下，若数与数的相反数表示的点相距个单位长度，则表示的数是多少？
22.本小题分
某市电话收费标准是月租费元，每次通话时的前分钟不足分钟按分钟计算收费元，以后每超分钟不足分钟按分钟计算加收元如果小明家在某个月缴纳电话费元．
请问小明家这个月通话时间的次数最多可以达到多少次？通话累计时间最长可以达到几分钟？
如果通话次数为次，请你设计一种通话时间累计可以达到最多分钟的通话方案，并求出这种方案通话的最长时间．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：如图，、间的距离可能是、、、，
、之间的距离不可能是，
故选：．
画出数轴，然后根据两种情况确定出点、的位置，再根据数轴上的两点间的距离求出的可能值，据此即可求解．
本题考查了数轴，掌握数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：既不是正数也不是负数，错误，本选项不符合题意；
B.既不是正数也不是负数，正确，本选项符合题意；
C.既不是正数也不是负数，错误，本选项不符合题意；
D.不是正数的数一定是负数和，不是负数的数一定是正数和，错误，本选项不符合题意，
故选：．
根据题意，对各题进行依次分析、进而得出结论．
本题考查了正数和负数，掌握正数和负数的定义是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：若盈利元记作元，则亏损元记作元，
故选：．
正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案．
本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：由图可知，、表示的数分别为，，
，
，
、两点所表示的两数的和为，积为负数．
故选：．
根据数轴确定出、表示的数，再根据有理数的加法和乘法运算法则进行计算即可得解．
本题考查了数轴，有理数的加法和乘法，准确识图确定出、表示的数是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：因为，，，，
则它的每一项用式子表示是：是正整数；
当时，，
故选：．
根据所给出的数据，找出规律，它的每一项可表示成是正整数，把代入即可得出答案．
此题考查了数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．本题的关键规律为是正整数．
6.【答案】
【解析】【分析】
根据倒数、绝对值的性质，对各选项逐一判断即可．
本题主要考查倒数、绝对值、正整数，熟练掌握倒数、绝对值的性质是解决本题的关键．
【解答】
解：根据倒数的定义，没有倒数，和的倒数等于本身，故A错误
B.根据绝对值的定义，绝对值等于本身的数是和正数，故B错误．
C.一个数的绝对值不一定比大，故C错误．
D.最小的正整数是，故D正确．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：由点，表示的数互为相反数，得到两点离原点的距离相等，且符合相反，
画图为：，
故选：．
利用相反数的定义，结合数轴表示即可．
此题考查了数轴，以及相反数，熟练掌握相反数的性质是解本题的关键．
8.【答案】
【解析】解：，，故选项A中的两个数不互为相反数；
，，故选项B中的两个数不互为相反数；
，，故选项C中的两个数不互为相反数；
，，故选项D中的两个数互为相反数．
故选：．
先化简各数，再根据相反数的定义得结论．
本题主要考查了相反数，掌握相反数的定义是解决本题的关键．
9.【答案】
【解析】解：由数轴可知，，，
，，
，
故答案为：．
先根据数轴确定、的符号，再根据实数的大小比较法则解答即可．
本题考查的是实数与数轴，根据数轴确定、的符号是解题的关键．
10.【答案】，，
【解析】解：，，，，
所以属于整数的有：，，，
故答案为：，，．
根据绝对值的性质，相反数的定义以及科学记数法化简后，再根据整数的定义判断即可．
此题考查了有理数、相反数，科学记数法及绝对值的知识，属于基础题，比较简单，正确化简各数是解答本题的关键．
11.【答案】或
【解析】解：设该点表示的数为，
根据题意得：，
解得：或．
故答案为：或．
设该点表示的数为，根据两点间的距离公式即可得出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了数轴、两点之间的距离公式以及解一元一次方程，根据两点间的距离公式列出关于的含绝对值符号的一元一次方程是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：与互为相反数，
，
解得：．
故答案为：．
根据互为相反数的两个数的性质，可列方程求出的值．
此题考查了相反数，解一元一次方程，掌握相应的运算法则是关键．
13.【答案】
【解析】解：当为负数的时候，，错；
，错；
，，倒数等于它本身的数为，对；
绝对值等于它本身的数除了正数外，还有，错；
当两个有理数分别是负数和时，它们的和小于，错；
当两个有理数都是时，它们的和为，既不是正数也不是负数，错；
故选：．
当为负数的时候，来判断；
任何一个有理数的绝对值都是非负数；
，，符合乘积是的两数互为倒数；
绝对值等于它本身的数除了正数外，还有；
举例当两个有理数分别是负数和时，来判断；
举例当两个有理数都是，来判断．
本题主要考查了绝对值、相反数、有理数加法、倒数、正数和负数，掌握这几个知识点的综合应用，其中有理数的加法法则的应用是解题关键．
14.【答案】
【解析】解：的倒数是，．
故的倒数的绝对值是．
根据倒数的定义和绝对值的性质进行求解．
此题主要考查的是倒数的定义及绝对值的性质；
倒数：两个乘积为的数互为倒数，没有倒数；
绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，的绝对值是．
15.【答案】
【解析】解：设这个数是，则，
解得．
故答案为：．
先设出这个数为，再根据数轴上各点到原点的距离进行解答即可．
本题考查的是数轴的特点，熟知数轴上各点到原点的距离的定义是解答此题的关键．
16.【答案】
【解析】解：根据题意得：“亏损”记为．
故答案为：．
由盈利为正，得到亏损为负，即可得到结果．
此题考查了正数与负数，熟练掌握相反意义的量是解本题的关键．
17.【答案】解：如图，
从大到小排列为：．
【解析】利用数轴上右侧的点比左侧的点大，比较大小即可．
本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特点，利用数轴右侧的点比左侧的点大进行比较大小是解题的关键．
18.【答案】；
；
，；
当时，取得最小值．
【解析】解：由题意可知，表示与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，
故答案为：；
由题意可知，，表示与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，
故答案为：；
由题意可知，表示与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，
表示与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，
表示数轴上数与数的距离和数与数的距离的和，
故答案为：，；
当时，取得最小值．
根据绝对值的几何意义即可解答；
根据绝对值的几何意义即可解答；
根据绝对值的几何意义即可解答；
当时，取得最小值．
此题主要考查了绝对值的含义和应用，解答此题的关键是要明确：既可以理解为与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
19.【答案】解：当输入的为奇数时，，
解得：，
此时输入的最小正整数为；
当时偶数时，，
解得：，
此时输入的最小正整数为，
综上，要使输出值大于，输入的最小正整数是．
【解析】根据程序图分输入的为奇数或偶数两种情况列不等式取符合题意的最小值．
本题考查解一元一次不等式，准确识得程序图，分情况列不等式求解是解题关键．
20.【答案】解：如图所示：
处离处有．
由中数轴可知，机器人一共移动的路程为．
【解析】画出数轴，并在数轴上表示出，，三处的位置即可；
从数轴可知，处离处有；
机器人一共移动的路程，．
本题考查实数与数轴上点的对应关系，理解数轴表示的数和两点之间的距离表示方法为解题的关键．
21.【答案】解：，的相反数分别为，，表示在数轴上如图：
这四个数从小到大排列为：；
数与其相反数相距个单位长度，则表示的点到原点的距离为，
所以表示的数是；
因为表示的点到原点的距离为，
而数表示的点与数的相反数表示的点相距个单位长度，
所以表示的点到原点的距离为，
所以表示的数是．
【解析】根据互为相反数的点到原点的距离相等在数轴上表示出，，在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大排列四个数；
先得到表示的点到原点的距离为，然后根据数轴表示数的方法得到表示的数；
先得到表示的点到原点的距离为，再利用数表示的点与数的相反数表示的点相距个单位长度，则表示的点到原点的距离为，然后根据数轴表示数的方法得到表示的数．
本题考查了数轴，相反数，有理数的大小比较等知识点．能在数轴上表示出、的位置是解此题的关键．
22.【答案】解：通话次数最多的情况是每次通话刚好分钟，此时可通话的次数是：
次；
累计时间最多可达 分钟；
要使通话累计时间最多，对次的通话应安排为次的通话为每次分钟，
最后一次超过分钟．在次分钟的通话中花去电话费：
元，
还余下元，这元还可通话 分钟，
因此，共可通话 分钟．
【解析】利用收费标准是月租费元，缴纳电话费元去掉元即为通话费用，进而求出即可；
要使通话累计时间最多，对次的通话应安排为次的通话为每次分钟，最后一次超过分钟．在次分钟的通话中花去电话费进而求出即可．
此题主要考查了有理数的混合运算的应用，利用收费标准得出等式是解题关键．
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