资源简介

6.3.1　直线的方向向量与平面的法向量
(强基课——梯度进阶式教学)
课时目标
1.能用向量语言表述直线和平面.理解直线的方向向量与平面的法向量.
2.会求直线的方向向量与平面的法向量.
1.直线的方向向量
直线l上的向量e(e≠0)以及　　　　　　　　　叫作直线l的方向向量.
2.平面的法向量
(1)如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α,那么称　　　　　　　　　,记作　　　　.此时,我们把向量n叫作平面α的　　　　.
(2)与平面　　　　　的直线叫作平面的法线.因此,平面的法向量就是　　　　　　　的方向向量.
　　微点助解
(1)空间中,一个向量若是直线l的方向向量,必须满足两个条件:①是非零向量;②向量所在的直线与l平行或重合.
(2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量,且直线l的方向向量有无数个.
(3)在求平面的法向量时,方程组有无数多个解,所以平面的法向量不是唯一的,只需给x,y,z中的一个变量赋予一个值,即可确定平面的一个法向量;赋的值不同,所求平面的法向量就不同,但它们是共线向量.
[基点训练]
1.若A,B在直线l上,则直线l的一个方向向量为 (　　)
A. B.
C. D.
2.已知直线l的一个方向向量m=(2,-1,3),且直线l过A(0,y,3)和B(-1,2,z)两点,则y-z= (　　)
A.0 B.1
C. D.3
3.已知向量=,=,则平面ABC的一个法向量为 (　　)
A. B.
C. D.
4.经过点(1,1,1)且与z轴垂直的平面的方程为　　　　　　.
题型(一)　直线的方向向量
[例1]　如图,在三棱台ABC-A1B1C1中,AB=2A1B1,B1D=2DC1,CE=EC1,设=a,=b,=c,以{a,b,c}为空间向量的一个基底,求直线AD,AE的方向向量.
听课记录:
[思维建模]
　　求直线的方向向量关键是找到直线上两点,用所给的基向量表示以两点为起点和终点的向量,其难点是向量的运算.
　　[针对训练]
1.在如图所示的空间直角坐标系中,ABCD-A1B1C1D1为正方体,棱长为1,则直线DD1的一个方向向量为　　　,直线BC1的一个方向向量为　　　　.
2.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,O是AC与BD的交点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过点G和AP作平面交平面BDM于GH.求证:是直线GH的一个方向向量.
题型(二)　直线方向向量表示的应用
[例2]　在空间直角坐标系中,已知点A(-2,1,-1),B(1,-3,4),C(1,0,-3),P为直线AC上的一点,且BP⊥AC,求的值.
听课记录:
[思维建模]
直线的方向向量就是与直线平行的非零向量,对模没有限制,注意起点和终点都在直线上的向量也是符合题意的,然后根据共线建立方程组求解.
　　[针对训练]
3.已知在空间直角坐标系O-xyz中,点A(4,1,3),B(2,-5,1),C为线段AB上一点,且3||=||,则点C的坐标为　　　　.
4.已知空间三点O(0,0,0),A(-1,1,0),B(0,1,1),在直线OA上有一点H满足BH⊥OA,则点H的坐标为　　　　.
题型(三)　平面的法向量
[例3]　如图,已知四边形ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,试建立适当的坐标系.
(1)求平面ABCD的一个法向量;
(2)求平面SAB的一个法向量;
(3)求平面SCD的一个法向量.
听课记录:
[思维建模] 利用待定系数法求平面法向量的步骤
(1)设向量:设平面的法向量为n=(x,y,z).
(2)选向量:在平面内选取两个不共线向量,.
(3)列方程组:
(4)解方程组:
(5)赋非零值:取x,y,z其中一个为非零值(常取±1).
(6)得结论:得到平面的一个法向量.
　　[针对训练]
5.已知点A(1,0,0),B1,D1(0,0,2),C(0,1,0),若在平面AB1D1内存在点E,使得CE⊥平面AB1D1,则点E的坐标是　　　　　.
6.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱A1D1,A1B1的中点,在如图所示的空间直角坐标系中,求:
(1)平面BDD1B1的一个法向量;
(2)平面BDEF的一个法向量.
6.3.1　直线的方向向量与平面的法向量
课前环节
1.与e共线的非零向量　
2.(1)向量n垂直于平面α　n⊥α　法向量　(2)垂直　平面的法线
[基点训练]
1.D　2.A　3.D
4.解析:因为与z轴垂直的平面的一个法向量n=(0,0,1),所以所求平面的方程为z-1=0.
答案:z-1=0
课堂环节
[题型(一)]
[例1]　解:=+=++=++
=++
=++=a+b+c,
所以直线AD的一个方向向量是a+b+c.
=+=+
=+
=+=b+c,
所以直线AE的一个方向向量为b+c.
[针对训练]
1.解析:因为DD1∥AA1,=(0,0,1),故直线DD1的一个方向向量为(0,0,1);因为BC1∥AD1,=(0,1,1),故直线BC1的一个方向向量为(0,1,1).
答案:(0,0,1)　(0,1,1)(答案不唯一)
2.证明:连接MO(图略),
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴O为AC的中点,又M是PC的中点,
∴MO∥PA.
∵MO 平面BDM,PA 平面BDM,
∴PA∥平面BDM.∵PA 平面PAG,平面PAG∩平面BDM=GH,
∴PA∥GH,∴是直线GH的一个方向向量.
[题型(二)]
[例2]　解:设=t,
因为=(3,-1,-2),=(-3,4,-5),
所以=+=+t=(-3,4,-5)+t(3,-1,-2)=(3t-3,4-t,-5-2t).
又BP⊥AC,所以·=0,即(3,-1,-2)·(3t-3,4-t,-5-2t)=0,
解得t=.故=.
[针对训练]
3.解析:由题意得=(-2,-6,-2).
∵C为线段AB上一点,且3||=||,
∴=,∴=+=(4,1,3)+(-2,-6,-2)=.故点C的坐标为.
答案:
4.解析:由题意得=(-1,1,0),且点H在直线OA上,可设H(-λ,λ,0),则=(-λ,λ-1,-1).又BH⊥OA,
∴·=0,即(-λ,λ-1,-1)·(-1,1,0)=0,即λ+λ-1=0,解得λ=,
∴H.
答案:
[题型(三)]
[例3]　解:以点A为原点,AD,AB,AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D,S(0,0,1).
(1)∵SA⊥平面ABCD,∴=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量.
(2)∵AD⊥AB,AD⊥SA,AB∩SA=A,
∴AD⊥平面SAB,
∴=是平面SAB的一个法向量.
(3)在平面SCD中,
=,=(1,1,-1).
设平面SCD的法向量n=(x,y,z),
则n⊥,n⊥,
∴得
令y=-1,则z=1,x=2,
∴n=(2,-1,1).
即n=(2,-1,1)是平面SCD的一个法向量.
[针对训练]
5.解析:不妨设点E的坐标为(x0,y0,z0),平面AB1D1的法向量为n=(x1,y1,z1),
因为A(1,0,0),B1,D1(0,0,2),C(0,1,0),
所以=(0,1,2),=(-1,0,2),=(x0,y0-1,z0),=(x0-1,y0,z0),
因为CE⊥平面AB1D1,所以CE⊥AB1,CE⊥AD1,所以
即　 ①.
又由 不妨令z1=1,则x1=2,y1=-2,故n可以取(2,-2,1),
从而·n=0,即2x0-2y0+z0=2　②,
联立①②可得,x0=,y0=,z0=,故点E的坐标为.
答案:
6.解:(1)由题意,可得D(0,0,0),B(2,2,0),A(2,0,0),C(0,2,0),E(1,0,2),
连接AC,因为底面ABCD为正方形,所以AC⊥BD.
又因为DD1⊥平面ABCD,AC 平面ABCD,所以DD1⊥AC,
且BD∩DD1=D,则AC⊥平面BDD1B1,所以=(-2,2,0)为平面BDD1B1的一个法向量.(答案不唯一).
(2)=(2,2,0),=(1,0,2).设平面BDEF的法向量为n=(x,y,z),
则所以令x=2,得y=-2,z=-1,
所以n=(2,-2,-1)即为平面BDEF的一个法向量.(答案不唯一).
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6.3.1
直线的方向向量与平面的
法向量
(强基课——梯度进阶式教学)
课时目标
1.能用向量语言表述直线和平面.理解直线的方向向量与平面的法向量.
2.会求直线的方向向量与平面的法向量.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
课时跟踪检测
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
1.直线的方向向量
直线l上的向量e(e≠0)以及__________________叫作直线l的方向向量.
2.平面的法向量
(1)如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α,那么称__________________,记作_____.此时,我们把向量n叫作平面α的_______.
(2)与平面______的直线叫作平面的法线.因此,平面的法向量就是___________的方向向量.
与e共线的非零向量
向量n垂直于平面α
n⊥α
法向量
垂直
平面的法线
微点助解
(1)空间中,一个向量若是直线l的方向向量,必须满足两个条件:①是非零向量;②向量所在的直线与l平行或重合.
(2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量,且直线l的方向向量有无数个.
(3)在求平面的法向量时,方程组有无数多个解,所以平面的法向量不是唯一的,只需给x,y,z中的一个变量赋予一个值,即可确定平面的一个法向量;赋的值不同,所求平面的法向量就不同,但它们是共线向量.
1.若A,B在直线l上,则直线l的一个方向向量为(　　)
A. B.
C. D.
基点训练
√
2.已知直线l的一个方向向量m=(2,-1,3),且直线l过A(0,y,3)和B(-1,2,z)两点,则y-z= (　　)
A.0 B.1
C. D.3
√
3.已知向量=,=,则平面ABC的一个法向量为(　　)
A. B.
C. D.
√
4.经过点(1,1,1)且与z轴垂直的平面的方程为　　　　　　.
解析:因为与z轴垂直的平面的一个法向量n=(0,0,1),所以所求平面的方程为z-1=0.
z-1=0
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
题型(一)　直线的方向向量
[例1]　如图,在三棱台ABC-A1B1C1中,AB=2A1B1,B1D=2DC1,CE=EC1,设=a,=b,=c,以{a,b,c}为空间向量的一个基底,求直线AD,AE的方向向量.
解:=+=++=++
=++=++=a+b+c,
所以直线AD的一个方向向量是a+b+c.
=+=+=+=+=b+c,所以直线AE的一个方向向量为b+c.
[思维建模]
　　求直线的方向向量关键是找到直线上两点,用所给的基向量表示以两点为起点和终点的向量,其难点是向量的运算.
针对训练
1.在如图所示的空间直角坐标系中,ABCD-A1B1C1D1为正方体,棱长为1,则直线DD1的一个方向向量为_________,直线BC1的一个方向向量为____________________.
(0,0,1)
(0,1,1)(答案不唯一)
解析:因为DD1∥AA1,=(0,0,1),故直线DD1的一个方向向量为(0,0,1);因为BC1∥AD1,=(0,1,1),故直线BC1的一个方向向量为(0,1,1).
2.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,O是AC与BD的交点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过点G和AP作平面交平面BDM于GH.求证:是直线GH的一个方向向量.
证明:连接MO(图略),∵四边形ABCD是平行四边形,
∴O为AC的中点,又M是PC的中点,∴MO∥PA.
∵MO 平面BDM,PA 平面BDM,
∴PA∥平面BDM.∵PA 平面PAG,平面PAG∩平面BDM=GH,
∴PA∥GH,∴是直线GH的一个方向向量.
题型(二)　直线方向向量表示的应用
[例2]　在空间直角坐标系中,已知点A(-2,1,-1),B(1,-3,4),C(1,0,-3),P为直线AC上的一点,且BP⊥AC,求的值.
解:设=t,因为=(3,-1,-2),=(-3,4,-5),
所以=+=+t=(-3,4,-5)+t(3,-1,-2)=(3t-3,4-t,-5-2t).
又BP⊥AC,所以·=0,即(3,-1,-2)·(3t-3,4-t,-5-2t)=0,
解得t=.故=.
[思维建模]
　　直线的方向向量就是与直线平行的非零向量,对模没有限制,注意起点和终点都在直线上的向量也是符合题意的,然后根据共线建立方程组求解.
针对训练
3.已知在空间直角坐标系O-xyz中,点A(4,1,3),B(2,-5,1),C为线段AB
上一点,且3||=||,则点C的坐标为_____________.
解析:由题意得=(-2,-6,-2).∵C为线段AB上一点,且3||=||,
∴=,∴=+=(4,1,3)+(-2,-6,-2)=.故点C的坐标为.
4.已知空间三点O(0,0,0),A(-1,1,0),B(0,1,1),在直线OA上有一点
H满足BH⊥OA,则点H的坐标为____________.
解析:由题意得=(-1,1,0),且点H在直线OA上,可设H(-λ,λ,0),则=(-λ,λ-1,-1).又BH⊥OA,
∴·=0,即(-λ,λ-1,-1)·(-1,1,0)=0,即λ+λ-1=0,解得λ=,∴H.
题型(三)　平面的法向量
[例3]　如图,已知四边形ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,
SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,试建立适当的坐标系.
(1)求平面ABCD的一个法向量;
解:以点A为原点,AD,AB,AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),
D,S(0,0,1).
∵SA⊥平面ABCD,∴=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量.
(2)求平面SAB的一个法向量;
解: ∵AD⊥AB,AD⊥SA,AB∩SA=A,∴AD⊥平面SAB,
∴=是平面SAB的一个法向量.
(3)求平面SCD的一个法向量.
解: 在平面SCD中,=,=(1,1,-1).
设平面SCD的法向量n=(x,y,z),
则n⊥,n⊥,∴得
令y=-1,则z=1,x=2,∴n=(2,-1,1).
即n=(2,-1,1)是平面SCD的一个法向量.
[思维建模] 利用待定系数法求平面法向量的步骤
(1)设向量:设平面的法向量为n=(x,y,z).
(2)选向量:在平面内选取两个不共线向量,.
(3)列方程组:
(4)解方程组:
(5)赋非零值:取x,y,z其中一个为非零值(常取±1).
(6)得结论:得到平面的一个法向量.
针对训练
5.已知点A(1,0,0),B1,D1(0,0,2),C(0,1,0),若在平面AB1D1
内存在点E,使得CE⊥平面AB1D1,则点E的坐标是　　　　　.
解析:不妨设点E的坐标为(x0,y0,z0),平面AB1D1的法向量为n=(x1,y1,z1),
因为A(1,0,0),B1,D1(0,0,2),C(0,1,0),
所以=(0,1,2),=(-1,0,2),=(x0,y0-1,z0),=(x0-1,y0,z0),
因为CE⊥平面AB1D1,所以CE⊥AB1,CE⊥AD1,所以
即　 ①.又由 不妨令z1=1,则x1=2,y1=-2,故n可以取(2,-2,1),从而·n=0,即2x0-2y0+z0=2　②,联立①②可得,x0=,y0=,z0=,故点E的坐标为.
6.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱A1D1,A1B1的中点,在如图所示的空间直角坐标系中,求:
(1)平面BDD1B1的一个法向量;
解:由题意,可得D(0,0,0),B(2,2,0),A(2,0,0),C(0,2,0),
E(1,0,2),连接AC,因为底面ABCD为正方形,所以AC⊥BD.
又因为DD1⊥平面ABCD,AC 平面ABCD,
所以DD1⊥AC,且BD∩DD1=D,则AC⊥平面BDD1B1,所以=(-2,2,0)为平面BDD1B1的一个法向量.(答案不唯一).
(2)平面BDEF的一个法向量.
解: =(2,2,0),=(1,0,2).设平面BDEF的法向量为n=(x,y,z),
则所以令x=2,得y=-2,z=-1,
所以n=(2,-2,-1)即为平面BDEF的一个法向量.(答案不唯一).
课时跟踪检测
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A级——综合提能
1.若A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线l上,则直线l的一个方向向量为(　　)
A.(1,2,3) B.(1,3,2)
C.(2,1,3) D.(3,2,1)
解析:因为=(2,4,6),又(1,2,3)=(2,4,6),所以(1,2,3)是直线l的一个方向向量.
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2.若n=(2,-3,1)是平面α的一个法向量,则下列向量中能作为平面α的一个法向量的是 (　　)
A.(0,-3,1) B.(2,0,1)
C.(-2,-3,1) D.(-2,3,-1)
解析:由题意可得,要求平面α的一个法向量,即求与n共线的一个向量.易知(2,-3,1)=-(-2,3,-1).
√
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3.平面α的一个法向量n=(1,2,3),P(1,1,1),P∈α,Q∈α,则点Q的坐标可以是 (　　)
A.(-1,-1,-1) B.(4,2,-1)
C.(3,2,1) D.(2,2,0)
解析:选D　设点Q(x,y,z)在平面α上,因为P(1,1,1),所以=(x-1,y-1,z-1),由·n=(x-1)×1+(y-1)×2+(z-1)×3=0,得x+2y+3z=6,依次验证选项,只有D满足.
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4.在空间直角坐标系内,平面α经过三点A(1,0,2),B(0,1,0),C(-2,1,1),向量n=(1,λ,μ)是平面α的一个法向量,则λ+μ= (　　)
A.-7 B.-5
C.5 D.7
解析:因为=(-1,1,-2),=(-2,0,1),所以n·=-1+λ-2μ=0,n·=-2+μ=0,可得μ=2,λ=5,所以λ+μ=7.
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5.已知点A(4,1,3),B(2,-5,1),C为线段AB上一点且=,则点C的坐标为(　　)
A. B.
C. D.
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解析:设C(x,y,z),∵C为线段AB上一点且=,∴=,即(x-4,y-1,z-3)=(-2,-6,-2),∴∴x=,y=-1,z=.因此点C的坐标为.故选C.
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6.在空间直角坐标系O-xyz中,已知A(1,1,t),B(2,2,4),若平面ABC的一个法向量为m=(3,1,-1),则直线AB的一个方向向量为________.
解析:∵A(1,1,t),B(2,2,4),∴=(1,1,4-t).又平面ABC的一个法向量为m=(3,1,-1),∴·m=3+1-4+t=0,解得t=0,∴直线AB的一个方向向量为=(1,1,4).
(1,1,4)
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7.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1在空间直角坐标系中的位置如图所示,则直线DB1的一个方向向量为_____________________.
解析:由题意知D(0,0,0),B1(1,1,1),所以=(1,1,1),即直线DB1的一个方向向量为(1,1,1).
(1,1,1)(答案不唯一)
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8.已知空间直角坐标系O-xyz中的点A(1,1,1),平面α过点A并且与直线OA垂直,动点P(x,y,z)是平面α内的任意一点,则直线OA的一个方向向量为_____________________,点P的坐标满足的条件为___________.
解析:直线OA的一个方向向量为=(1,1,1).由题意知OA⊥α,因为AP α,所以OA⊥AP,=(x-1,y-1,z-1),则·=0,即x-1+y-1+z-1=0,所以x+y+z=3.
(1,1,1)(答案不唯一)
x+y+z=3
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9.在△ABC中,A(1,-1,2),B(3,3,1),C(3,1,3),M(x,y,z)是平面ABC内任意一点.
(1)求平面ABC的一个法向量;
解:设平面ABC的法向量n=(a,b,c).∵=(2,4,-1),=(2,2,1),
∴∴
令b=2,则a=-3,c=2.∴平面ABC的一个法向量为n=(-3,2,2)(答案不唯一).
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(2)求x,y,z满足的关系式.
解:由(1)知n=(-3,2,2)为平面ABC的一个法向量,又点M(x,y,z)是平面ABC内任意一点,∴⊥n,∵=(x-1,y+1,z-2),∴-3(x-1)+2(y+1)+2(z-2)=0,
∴3x-2y-2z-1=0.故x,y,z满足的关系式为3x-2y-2z-1=0.
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10.如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形且PD=AD=2,E,F分别是PC,PB的中点.
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(1)试以F为起点作直线DE的方向向量;
解:如图①,连接EF,
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因为E,F分别是PC,PB的中点,所以EF BC.
又BC∥=AD,所以EF AD.
取AD的中点M,连接MF,所以EF DM,
所以四边形DEFM是平行四边形,所以MF∥DE,即是直线DE的一个方向向量.
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(2)若棱PC上存在一点N,且AN⊥PC,求的值.
解:以D为原点建立空间直角坐标系,如图②所示,
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则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,0,2),C(0,2,0),所以=(0,2,-2),=(0,0,2),=(-2,0,0).
设N(x,y,z),因为点N在CP上,所以存在实数t,使得=t(0≤t≤1),
则=+t=(0,0,2)+t(0,2,-2)=(0,2t,2-2t),所以=+=(-2,0,0)+(0,2t,2-2t)=(-2,2t,2-2t).
又AN⊥PC,所以·=4t-2(2-2t)=0,解得t=,所以=.
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B级——应用创新
11.已知平面α={P|n·=0},其中点P0(1,2,3),法向量n=(1,1,1),则下列各点中不在平面α内的是(　　)
A.(3,2,1) B.(-2,5,4)
C.(-3,5,4) D.(2,-4,8)
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解析:对于A,=(2,0,-2),n·=1×2+1×0+1×(-2)=0;
对于B,=(-3,3,1),n·=1×(-3)+1×3+1×1=1≠0;
对于C,=(-4,3,1),n·=1×(-4)+1×3+1×1=0;
对于D,=(1,-6,5),n·=1×1+1×(-6)+1×5=0,故选B.
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12.《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑A-BCD中,AB⊥平面BCD,∠BDC=90°,BD=AB=CD.若建立如图所示的空间直角坐标系,则平面ACD的一个法向量为 (　　)
A.(0,1,0) B.(0,1,1)
C.(1,1,1) D.(1,1,0)
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解析:根据题意,设BD=AB=CD=1,则D(0,1,0),C(1,1,0),A(0,0,1),则=(1,0,0),=(0,1,-1),设平面ACD的一个法向量为m=(x,y,z),则有令y=1,可得z=1,则m=(0,1,1).
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13.如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为底面中心,A1O⊥平面ABCD,AB=AA1=.则平面OCB1的一个法向量n=(　　)
A.(0,1,1) B.(1,-1,1)
C.(1,0,-1) D.(-1,-1,1)
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解析:由题意建立如图所示的空间直角坐标系,
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∵四边形ABCD是正方形,且AB=,∴AO=OC=1,∴OA1=1,
∴A(0,-1,0),B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,1),
∴=(1,1,0),=(0,1,0),又==(1,1,0),∴B1(1,1,1),=(1,1,1).设平面OCB1的法向量为n=(x,y,z),则得y=0,x=-z,结合选项,可得n=(1,0,-1),故选C.
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14.[多选]已知空间中三点A(0,1,0),B(2,2,0),C(-1,3,1),则下列结论正确的是 (　　)
A.⊥
B.与共线的单位向量是(1,1,0)
C.与夹角的余弦值是-
D.平面ABC的一个法向量是(1,-2,5)
√
√
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解析:因为A(0,1,0),B(2,2,0),C(-1,3,1),所以=(2,1,0),=(-1,2,1),=(-3,1,1),·=-2+2+0=0,故⊥,A正确;
(1,1,0)不是单位向量,且(1,1,0)与=(2,1,0)不共线,B错误;
cos<,>===-,C正确;
设m=(1,-2,5),则m·=2-2+0=0,m·=-1-4+5=0,所以m⊥,m⊥,又AB∩AC=A,AB,AC 平面ABC,所以向量(1,-2,5)是平面ABC的一个法向量,D正确.
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15.已知点A(2,4,0),B(1,3,3),如图,以的方向为正向,在直线AB上建立一条数轴,P,Q为轴上的两点,且分别满足条件:
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(1)AP∶PB=1∶2;
解:由(1)AP∶PB=1∶2,得=2,即-=2(-),
=+.设点P坐标为(x,y,z),则上式换用坐标表示,
得(x,y,z)=(2,4,0)+(1,3,3),即x=+=,y=+=,z=0+1=1.
因此,P点的坐标是.
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(2)AQ∶QB=2∶1.求点P和点Q的坐标.
解:因为(2)AQ∶QB=2∶1,
所以=-2,-=-2(-),=-+2.
设点Q的坐标为(x',y',z'),则上式换用坐标表示,得(x',y',z')=-(2,4,0)+2(1,3,3)=(0,2,6),即x'=0,y'=2,z'=6.因此,Q点的坐标是(0,2,6).课时跟踪检测(八)　直线的方向向量与平面的法向量
A级——综合提能
1.若A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线l上,则直线l的一个方向向量为 (　　)
A.(1,2,3) B.(1,3,2)
C.(2,1,3) D.(3,2,1)
2.若n=(2,-3,1)是平面α的一个法向量,则下列向量中能作为平面α的一个法向量的是 (　　)
A.(0,-3,1) B.(2,0,1)
C.(-2,-3,1) D.(-2,3,-1)
3.平面α的一个法向量n=(1,2,3),P(1,1,1),P∈α,Q∈α,则点Q的坐标可以是 (　　)
A.(-1,-1,-1) B.(4,2,-1)
C.(3,2,1) D.(2,2,0)
4.在空间直角坐标系内,平面α经过三点A(1,0,2),B(0,1,0),C(-2,1,1),向量n=(1,λ,μ)是平面α的一个法向量,则λ+μ= (　　)
A.-7 B.-5
C.5 D.7
5.已知点A(4,1,3),B(2,-5,1),C为线段AB上一点且=,则点C的坐标为 (　　)
A. B.
C. D.
6.在空间直角坐标系O-xyz中,已知A(1,1,t),B(2,2,4),若平面ABC的一个法向量为m=(3,1,-1),则直线AB的一个方向向量为　　　.
7.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1在空间直角坐标系中的位置如图所示,则直线DB1的一个方向向量为　　　　.
8.已知空间直角坐标系O-xyz中的点A(1,1,1),平面α过点A并且与直线OA垂直,动点P(x,y,z)是平面α内的任意一点,则直线OA的一个方向向量为　　　,点P的坐标满足的条件为　　　　.
9.在△ABC中,A(1,-1,2),B(3,3,1),C(3,1,3),M(x,y,z)是平面ABC内任意一点.
(1)求平面ABC的一个法向量;
(2)求x,y,z满足的关系式.
10.如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形且PD=AD=2,E,F分别是PC,PB的中点.
(1)试以F为起点作直线DE的方向向量;
(2)若棱PC上存在一点N,且AN⊥PC,求的值.
B级——应用创新
11.已知平面α={P|n·=0},其中点P0(1,2,3),法向量n=(1,1,1),则下列各点中不在平面α内的是 (　　)
A.(3,2,1) B.(-2,5,4)
C.(-3,5,4) D.(2,-4,8)
12.《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑A-BCD中,AB⊥平面BCD,∠BDC=90°,BD=AB=CD.若建立如图所示的空间直角坐标系,则平面ACD的一个法向量为 (　　)
A.(0,1,0) B.(0,1,1)
C.(1,1,1) D.(1,1,0)
13.如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为底面中心,A1O⊥平面ABCD,AB=AA1=.则平面OCB1的一个法向量n= (　　)
A.(0,1,1) B.(1,-1,1)
C.(1,0,-1) D.(-1,-1,1)
14.[多选]已知空间中三点A(0,1,0),B(2,2,0),C(-1,3,1),则下列结论正确的是 (　　)
A.⊥
B.与共线的单位向量是(1,1,0)
C.与夹角的余弦值是-
D.平面ABC的一个法向量是(1,-2,5)
15.已知点A(2,4,0),B(1,3,3),如图,以的方向为正向,在直线AB上建立一条数轴,P,Q为轴上的两点,且分别满足条件:
(1)AP∶PB=1∶2;(2)AQ∶QB=2∶1.
求点P和点Q的坐标.
课时跟踪检测(八)
1.选A　因为=(2,4,6),又(1,2,3)=(2,4,6),所以(1,2,3)是直线l的一个方向向量.
2.选D　由题意可得,要求平面α的一个法向量,即求与n共线的一个向量.易知(2,-3,1)=-(-2,3,-1).
3.选D　设点Q(x,y,z)在平面α上,因为P(1,1,1),所以=(x-1,y-1,z-1),由·n=(x-1)×1+(y-1)×2+(z-1)×3=0,得x+2y+3z=6,依次验证选项,只有D满足.
4.选D　因为=(-1,1,-2),=(-2,0,1),所以n·=-1+λ-2μ=0,n·=-2+μ=0,可得μ=2,λ=5,所以λ+μ=7.
5.选C　设C(x,y,z),∵C为线段AB上一点且=,∴=,即(x-4,y-1,z-3)=(-2,-6,-2),∴∴x=,y=-1,z=.
因此点C的坐标为.故选C.
6.解析:∵A(1,1,t),B(2,2,4),∴=(1,1,4-t).又平面ABC的一个法向量为m=(3,1,-1),∴·m=3+1-4+t=0,解得t=0,∴直线AB的一个方向向量为=(1,1,4).
答案:(1,1,4)
7.解析:由题意知D(0,0,0),B1(1,1,1),所以=(1,1,1),即直线DB1的一个方向向量为(1,1,1).
答案:(1,1,1)(答案不唯一)
8.解析:直线OA的一个方向向量为=(1,1,1).由题意知OA⊥α,因为AP α,所以OA⊥AP,=(x-1,y-1,z-1),则·=0,即x-1+y-1+z-1=0,所以x+y+z=3.
答案:(1,1,1)(答案不唯一)　x+y+z=3
9.解:(1)设平面ABC的法向量n=(a,b,c).
∵=(2,4,-1),=(2,2,1),
∴∴
令b=2,则a=-3,c=2.
∴平面ABC的一个法向量为n=(-3,2,2)(答案不唯一).
(2)由(1)知n=(-3,2,2)为平面ABC的一个法向量,又点M(x,y,z)是平面ABC内任意一点,∴⊥n,∵=(x-1,y+1,z-2),
∴-3(x-1)+2(y+1)+2(z-2)=0,
∴3x-2y-2z-1=0.
故x,y,z满足的关系式为3x-2y-2z-1=0.
10.解:(1)如图①,连接EF,
因为E,F分别是PC,PB的中点,所以EF BC.又BC∥=AD,
所以EF AD.
取AD的中点M,连接MF,所以EF DM,
所以四边形DEFM是平行四边形,
所以MF∥DE,
即是直线DE的一个方向向量.
(2)以D为原点建立空间直角坐标系,如图②所示,
则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,0,2),C(0,2,0),所以=(0,2,-2),=(0,0,2),=(-2,0,0).
设N(x,y,z),因为点N在CP上,
所以存在实数t,使得=t(0≤t≤1),
则=+t=(0,0,2)+t(0,2,-2)=(0,2t,2-2t),
所以=+=(-2,0,0)+(0,2t,2-2t)=(-2,2t,2-2t).
又AN⊥PC,所以·=4t-2(2-2t)=0,
解得t=,所以=.
11.选B　对于A,=(2,0,-2),n·=1×2+1×0+1×(-2)=0;对于B,=(-3,3,1),n·=1×(-3)+1×3+1×1=1≠0;对于C,=(-4,3,1),n·=1×(-4)+1×3+1×1=0;对于D,=(1,-6,5),n·=1×1+1×(-6)+1×5=0,故选B.
12.选B　根据题意,设BD=AB=CD=1,则D(0,1,0),C(1,1,0),A(0,0,1),则=(1,0,0),=(0,1,-1),设平面ACD的一个法向量为m=(x,y,z),则有令y=1,可得z=1,则m=(0,1,1).
13.选C　由题意建立如图所示的空间直角坐标系,∵四边形ABCD是正方形,
且AB=,∴AO=OC=1,∴OA1=1,∴A(0,-1,0),B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,1),∴=(1,1,0),=(0,1,0),又==(1,1,0),∴B1(1,1,1),=(1,1,1).设平面OCB1的法向量为n=(x,y,z),则得y=0,x=-z,结合选项,可得n=(1,0,-1),故选C.
14.选ACD　因为A(0,1,0),B(2,2,0),C(-1,3,1),所以=(2,1,0),=(-1,2,1),=(-3,1,1),·=-2+2+0=0,
故⊥,A正确;(1,1,0)不是单位向量,且(1,1,0)与=(2,1,0)不共线,B错误;cos<,>===-,C正确;设m=(1,-2,5),则m·=2-2+0=0,m·=-1-4+5=0,所以m⊥,m⊥,又AB∩AC=A,AB,AC 平面ABC,所以向量(1,-2,5)是平面ABC的一个法向量,D正确.
15.解:由(1)AP∶PB=1∶2,
得=2,即-=2(-),=+.
设点P坐标为(x,y,z),则上式换用坐标表示,得(x,y,z)=(2,4,0)+(1,3,3),
即x=+=,y=+=,
z=0+1=1.
因此,P点的坐标是.
因为(2)AQ∶QB=2∶1,
所以=-2,-=-2(-),=-+2.
设点Q的坐标为(x',y',z'),则上式换用坐标表示,得(x',y',z')=-(2,4,0)+2(1,3,3)=(0,2,6),即x'=0,y'=2,z'=6.
因此,Q点的坐标是(0,2,6).
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