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2024-2025 学年江西省宜春市丰城中学高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 1.复数 = 1 的共轭复数是( )
A. 12+
1
2 B.
1
2
1
2 C. 1 D. 1 +
2 .已知一个扇形的圆心角为3，且所对应的弧长为 ，则该扇形面积为( )
A. B. 32 C. 2 D. 3
3.已知向量 = (2 + 1,1), = (1,5 4 )，且 ⊥ ，则 的值为( )
A. 3 B. 3 C. 2 D. 2
4.若 + = 3 4 , = 2
sin( )
，则cos( ) sin sin =( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 2
5.在四边形 中， // ， = ，∠ = 45°，∠ = 90°，将△ 折起，使平面 ⊥平面
，构成三棱锥 ，如图，则在三棱锥 中，下列结论不正确的是( )
A. ⊥
B. ⊥
C.平面 ⊥平面
D.平面 ⊥平面
6 △ (2 3). 的内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，已知 + = ，则 的最大值为( )
A. 6 B.
2 5
3 C. 3 D. 6
7.21 世纪以来，中国钢铁工业进入快速发展阶段，某工厂要加工一种如图所示的圆锥体容器，圆锥的高和
母线长分别为 4 和 5 ，该容器需要在圆锥内部挖出一个正方体槽，则可以挖出的正方体的最大棱长为( )
A. 36 21 2
B. 40 21 2
C. 40 24 2
D. 36 24 2
8 1.已知平面向量 、 、 满足| | = | | = = 2，且| + | | 2 |对任意实数 恒成立，则|
( + )|
的最小值为( )
A. 2 3 B. 2 3 2 C. 2 + 3 D. 2 3 + 2
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 .对于函数 ( ) = 2 和 ( ) = sin(2 4 )，下列正确的有( )
A. ( )与 ( )有相同零点 B. ( )与 ( )有相同最大值
C. ( )与 ( )有相同的最小正周期 D. ( )与 ( )的图像有相同的对称轴
10.已知 ， ， 分别是△ 三个内角 ， ， 的对边，下列四个命题中正确的是( )
A.若 + + > 0，则△ 是锐角三角形
B.若 = ，则△ 是等腰三角形
C.若 + = ，则△ 是等腰三角形
D. △ 是锐角三角形，则 >
11.如图，正方体 1 1 1 1的棱长为 2， ， 分别是 ， 1的中点，
点 是底面 内一动点，则下列结论正确的为( )
A.存在点 ，使得 //平面 1 1
B.过 ， ， 三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形
C.异面直线 1与 所成的角的大小为 60°
D.若 1 //平面 1 1，则点 的轨迹的长度为 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 = (1,2)， = (3, 4)，则 在 方向上的投影向量坐标为______．
13.若 cos( + 4 )cos(
3
4 ) =
1
3，则 2 = ______．
14 .已知四边形 为平行四边形， = 4， = 3，∠ = 3，现将△ 沿直线 翻折，得到三棱
锥 ′ ，若 ′ = 13，则三棱锥 ′ 的内切球与外接球表面积的比值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
△ = +2 记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 2 ．
(1)求 的大小；
(2)若 = 2 2，△ 的面积为 2 3，求△ 的周长．
16.(本小题 15 分)
如图，在三棱柱 1 1 1中，侧面 1 1 为菱形，边长为 2，且∠ 1 = 60°， = ， 是 的
中点．
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(1)求证： 1//平面 1 ；
(2)若平面 1 1 ⊥平面 ， 1 与平面 所成的角为 45°，求四棱锥 1 1 1的体积．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 3cos2 + 32 ( > 0)

， ( )图象的相邻对称轴之间的距离为2．
(1)求 ( )的解析式和函数 ( )的单调递增区间；
(2) ( ) 1 将函数 图象上所有点的横坐标缩短为原来的2，纵坐标伸长为原来的 2 倍，再向左平移12个单位得
( ) 的图象，若关于 的方程 ( ) = 在[ 12 , 6 ]上只有一个解，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
14 3
如图，已知三棱台 1 1 1的体积为 3 ，底面△ 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，平面
11 1 ⊥平面 ，且 1 = 1 1 = 1 = 2 ．
(1)证明： ⊥平面 1 1；
(2)求点 到平面 1 1的距离；
(3)在线段 1上是否存在点 ，使得二面角 的大小为6？若存在，求出 的长；若不存在，请说
明理由．
19.(本小题 17 分)
如图，△ 中， = 2， = 1，点 在线段 上，△ 为等边三角形．
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(1)若 = 2 ，∠ = 120°，求线段 的长度；
(2)若 = 2 ，求线段 的最大值；
(3)若 平分∠ ，求△ 与△ 内切圆半径之比的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.( 2, 4)
13.13
14. 557
15. (1) = +2 解： 由题意得及正弦定理可得 2
因为 ≠ 0，所以 + 2 = 2 = 2 ( + ) = 2 + 2 ，
得 = 2 1，得 = 2，而 ∈ (0, )，

可得 = 3；
(2) 1由 △ = 2 = 2 3，由(1)可得 = 8，
而 = 2 2，
2+ 2 2 1
由余弦定理 = 2 22 = 2，可得 + 8 = ，
可得 + = 4 2，△ 的周长 + + = 4 2 + 2 2 = 6 2，
所以△ 的周长为 6 2．
16.(1)证明：连接 1 ，设 1 ∩ 1 = ，连接 ．
因为三棱柱的侧面 1 1 为平行四边形，所以 为 1 的中点．
在△ 1中，因为 是 的中点，
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所以 // 1．
因为 平面 1 ， 1 平面 1 ，所以 1//平面 1 ．
(2)因为△ 1 为正三角形，所以 1 ⊥ ， 1 = 3，
因为平面 1 1 ⊥平面 ，平面 1 1 ∩平面 = ，所以 1 ⊥平面 ，
所以∠ 1 为 1 与平面 所成的角，所以∠ 1 = 45°，
所以 = 1 = 3，
因为 = ， 为 中点，
所以 ⊥ ．
所以四棱锥 1 1 1的体积为：
1 1 1 1 = 1 1 1 1 = 1 △ 3 1 △
= 3 × 12 × 2 × 3
1
3 × 3 ×
1
2 × 2 × 3 = 2．
17.解：(1) ( ) = 3cos2 + 32
3 1 3
= 2 (1 + 2 ) + 2 2 2
= sin(2 + 3 )，其中 > 0，
因为 ( ) 图象的相邻对称轴之间的距离为2，
所以 ( )的最小正周期为 = ，
2
即 = ，解得 = 1，所以 ( ) = sin(2 +
)
2 3 ，
令 2 + 2 ≤ 2 +
≤ 5 3 2 + 2 ， ∈ ，解得 12 + ≤ ≤ 12 + ，
∈ ，所以 ( ) 5 的单调递增区间为[ 12 + , 12 + ]， ∈ ；
(2)由(1) 1知， ( ) = sin(2 + 3 )，将 ( )图象上所有点的横坐标缩短为原来的2，

纵坐标伸长为原来的 2 倍，得函数 = 2 (4 + 3 )的图象，

再向左平移12个单位得 ( ) = 2 [4( +

12 ) + 3 ] = 2 (4 +
2
3 )的图象．

令 = 4 + 2 ， ∈ [ 12 , 6 ]
4
3 ，则 ∈ [ 3 , 3 ]，所以 2 ∈ [ 3, 2]，
4
因为 2 = 在 ∈ [ 3 , 3 ]上只有一个解，由 = 2 的图象(如图)可得， 3 ≤ < 3或 = 2，所
以 的取值范围是[ 3, 3) ∪ {2}．
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18.(1)证明：在三棱台 1 1 1中，平面 1 1 ⊥平面 ， ⊥ ，
而平面 1 1 ∩平面 = ， 平面 ，
所以 ⊥平面 1 1．
(2)由棱台性质知：延长 1， 1， 1交于一点 ，
由 11 1 = ，得 △ = 4 2 △ 1 1 1，点 到平面 的距离为到平面 1 1 1距离的 2 倍，则 =
8 1 1 1，
于是 8 8 14 3 16 3 = = × = ，由 ⊥平面 1 1，得 为点 到平面 的距离，7 1 1 1 7 3 3
又 1 1/ / ，则 1是 的中点， 1 = 1 = 1 1 = 1，即△ 1 1为正三角形，△ 为正三角形，
设 = 2 ，则 = = = = 2 ，
1 1 3 2 2 3 3 16 3 = 3 △ = × ，解得 = 2，3 4 × (2 ) × 2 = 3 = 3
= = = = 4，由 平面 ，得 ⊥ ， = = 4 2，
= 1△ 2 × 4 × (4 2)
2 22 = 4 7，设点 到平面 1 1的距离为 ，
由 1 4 7 16 3 4 21 = ，得3 △ = = ，解得： = ．3 3 7
即点 到平面 4 211 1的距离为 ．7
(3)由 ⊥平面 1 1， 平面 ，得平面 ⊥平面 ，取 中点 ，连接 ，
在正△ 中， ⊥ ，而平面 ∩平面 = ，则 ⊥平面 ，而 平面 ，
则 ⊥ ，又 平面 ，则平面 ⊥平面 ，作 ⊥ 于 ，
平面 ∩平面 = ，则 ⊥平面 ， // ，而 平面 ，则 ⊥ ，
作 ⊥ 于 ，连接 ， ∩ = ， ， 平面 ，则 ⊥平面 ，
而 平面 ，于是 ⊥ ，∠ 即二面角 的平面角，
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设 = 3 ，由(2)知： = 2 3， = 2 + 2 = 2 5，
5
由 = ，得 = 3 3 = 5 ， = 2 5 5 ，
由 // ，得 = 2 5 5 = 2 5 × 4 = 4 2 ，
若存在 使得二面角 的大小为6，
则 tan∠ = tan = = 3 3
4
，解得 = ，
6 4 2 = 3 5
= 2 + 2 = 2 2 = 8 25 < 1 = 2 2，
所以存在满足题意的点 ， = 8 2．5
19.解：(1)因为 = 2 , ∠ = 120°，
所以 = + = + 2 3 =
+ 23 (
) = 2 + 1 3 3
，
即| |2 = 4 | |2 + 4 9 9
+ 1 |9
|2，
所以| |2 = 49 × 4 +
4
9 × 2 × 1 × (
1 1 13
2 ) + 9 × 1 = 9，
所以| | = 133 ；
(2) 2 1由(1)可知 = 3 + 3
，
所以 = = ( 2 + 1 ) = 2 3 3 3
1
3
，
设∠ = ， ∈ (0, )，且△ 为等边三角形，
| |2 = ( 2 1 )2 = | |2 + 4所以 | |2 + 1 | |2 + 2( 2 3 3 9 9 3
1
3
+ 29
)，
即| |2 = 4 + 49 × 4+
1
9 + 2(
2
3 × 2 × 2 ×
1 1
2 3 × 1 × 2 × cos( +
2
3 ) + 9 × 1 × 2 × )，
| |2 = 29 + 2 + 2 3故 9 9 3 =
29 4 7 7 3 21 29 4 7
9 + 9 ( 14 + 14 ) = 9 + 9 sin( + )，
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7
且 = 14 , =
3 21
14 ，
所以当 sin( + ) = 1 时，(| |2) 29 4 7 = 9 + 9 ，
1+2 7
所以(| |) = 3 ；
(3)因为 平分∠ ，
| | | | 1 2
所以由角平分线定理得| | = | |，即| | = | |，
故| | = 2| |，
设∠ = ∠ = ，| | = 2| | = 2 ( > 0)，△ ，△ 的内切圆半径分别为 ， ，
| | + | | > | | 1 + 3 > 2 1在 中 | | | || < | |，则 |1 3 | < 2，解得3 < < 1，
1 1
因为 △ = 2 | || | , △ = 2 | || | ，
1

所以 △
| || |
=
2 = | |1 =
1
，
△ 2| || | | | 2
2 2 2 2 2
在△ 中，由余弦定理得 cos∠ = | | +| | | | 1+ | |2| || | = 2 ，
2
△ cos∠ = | | +| |
2 | |2 9 2 3
在 中，由余弦定理得 2| || | = 6 ，
1+ 2 | |2 = 9
2 3
即 2 6 ，解得| | = 2 2
2，
又因为 1△ = 2 (| | + | | + | |) =
1
2 (1 + 2 2
2 + ) ，
1△ = 2 (| | + | | + | |) =
1 2
2 (2 + 2 2 + 2 ) ，
= 2+ 2 2
2+2 = 1+ 1+ = 1 1所以 2 2 (1 + )，2(1+ 2 2 2+ ) 2(1+ 2 2 2+ ) 1+ 2(1 )1+
令 = 1 + 1 1，则 = 2 (1 + )，1+ 4 2
1
因为3 < < 1
4
，所以3 < < 2，
1 < 1 < 3 4 4则2 4，故 0 < 2 < 1,1 < 1 + 2 < 2，
3 < 1 + 1即2 < 2
3 1 1
，故4 < = 2 (1 + ) < 1，1+ 4 2 1+
4
2
所以△ 与△ 3的内切圆半径之比的范围为( 4 , 1)．
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