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2024-2025学年云南省玉溪市民族中学高二（下）期末
数学试卷（B卷）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知等比数列，，，，则该等比数列的第项是( )
A. B. C. D.
3.若抛物线的准线为直线，且交圆：于，两点，为坐标原点，则( )
A. B. C. D.
4.若的展开式中二项式系数之和为，则该展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
5.若命题为奇函数，：为偶函数，则是成立的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.为考察药物对预防疾病的效果，在两个不同规模的动物种群中分别进行了试验根据种群一的试验结果得到如下列联表：
药物 疾病 合计
未患病 患病
未服用
服用
合计
计算得到，假设种群二试验结果对应的列联表中，每个单元格的数据都为表格对应单元格数据的倍，则根据小概率值的独立性检验，( )
附：，
A. 当时，种群一中药物对预防疾病有效，该推断犯错误的概率不超过
B. 当时，种群一中药物对预防疾病有效，该推断犯错误的概率不超过
C. 当时，种群二中药物对预防疾病有效，该推断犯错误的概率不超过
D. 当时，种群二中药物对预防疾病有效，该推断犯错误的概率不超过
7.已知数列的前项和为，若，则的前项和为( )
A. B. C. D.
8.已知定义在上的函数，其导函数为，当时，，若，且，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，则( )
A. B.
C. D.
10.已知函数的定义域为，其导函数的图象如图所示，则( )
A. 在区间上单调递增 B. 的极小值点为
C. 恰有个极值点 D. 的图象与轴至多有个公共点
11.已知直线：不同时为，圆：，则( )
A. 当时，直线与圆不可能有交点
B. 当时，直线与圆相切
C. 当，时，直线与坐标轴相交于，两点，则圆上存在点，使得的面积为
D. 当，时，与圆外切且与直线相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量服从两点分布，若，则 ______．
13.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过右焦点的直线交于，两点，且，，则椭圆的标准方程为______．
14.已知函数若方程有个实数根，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数满足，函数．
求函数的解析式；
若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．
16.本小题分
某工厂共有甲、乙两条生产线生产同一型号的产品，其中甲生产线每天产量为件，乙生产线每天产量为件其中甲生产线的一等品率为，二等品率为；乙生产线的一等品率为，二等品率为将甲、乙两条生产线生产的产品均匀混合后随机装箱．
质检人员从混合后的产品中随机抽取一件，求抽取到的产品为一等品的概率；
已知每箱中有件产品，其中二等品的定价为元件，若要使得每箱产品销售额的期望不低于元，一等品应该如何定价．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，平面平面，，，．
求证：平面；
若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知为等差数列，，记，分别为数列，的前项和，，．
求的通项公式；
对任意，将数列中落入区间内项的个数记为，求数列的前项和．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，定义，两点的“距离”为，其中，已知定点，，动点满足，其中记的轨迹为“椭圆”，，为“焦点”．
当时，写出“椭圆”的轨迹方程并直接画出相应曲线；
已知数列，，均为正项数列，，椭圆，记以，为“焦点”的“椭圆”为，的边均与相切，且的顶点均在上
设的面积为，证明：；
若是等比数列，求的离心率．
参考答案
1.
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14.
15.根据题意，函数满足，，
用换，可得，
得，
所以．
根据题意，若存在，使得不等式成立，
设，
若，则，
则存在，使，即，变形可得，
因为，所以，
当时，取得最大值，
所以，即的取值范围是．
16.由题意可知甲生产线每天的一等品件数为：，
乙生产线每天的一等品件数为：，
所以抽取到的产品为一等品的概率为；
由知二等品的概率为，
设表示每箱中一等品的件数，易知的所有取值为：，，，，
则，，，，
所以，
设一等品定价元，
因为二等品的定价为元件，并且每箱产品销售额的期望不低于元，
所以，
解得，
所以一等品价格应该大于等于元．
17.证明：底面是等腰梯形，，，，
所以，
所以，所以，
因为平面平面，且平面平面，
且，且平面，
所以平面；
因为平面平面，且平面平面，
且，且平面，
所以平面，
底面是等腰梯形，，，
所以，
所以，
所以，
又因为三棱锥的体积为，
所以，
所以，
如图建系，
，，，
设平面的法向量为，
设平面的法向量，，，
所以，
令，则，，
所以，
设平面与平面夹角为，
所以．
18.设等差数列的公差为，
由题意可得，，，，
因为，，
所以，
整理得，解得，
所以．
对，若，则，
因此，，
故得，
于是
．
19.由题意，当时，“椭圆”的轨迹方程为，其对应图象为：
由题意及得，
证明：设：，将替换为，或将替换为，的方程不变，
故“椭圆”关于轴、轴对称，
只需考虑第一象限含轴非负半轴的情况，
在第一象限中，由和两条线段组成，
由于与相切，
则由，得，
由，可得，
的一个顶点在上，
，
与相切，
，即，
在第一象限的直角梯形面积为，
的面积为；
由可知，，
由是等比数列可知，即，
即，
，的离心率为定值，
的顶点在上，
，
，，
，解得的离心率为，
的离心率为．
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