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2024-2025学年海南省某校高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，是水平放置的的直观图，则的面积是( )
A. B.
C. D.
2.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是( )
A. B. C. D.
3.若为直线，，为两个平面，则下列结论中正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
4.已知两点，，过点的直线与线段含端点有交点，则直线的斜率的取值范围为( )
A. ， B. C. D.
5.某学生为制作圆台形容器，利用如图所示的半圆环其中小圆和大圆的半径分别是和铁皮材料，通过卷曲使得边与边对接制成圆台形容器的侧面，则该圆台的高为( )
A. B. C. D.
6.如图所示，在平行六面体中，，设，，，，则( )
A. B. C. D.
7.已知点是直线上一点，，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.如图，在棱长为的正四面体中，，分别为棱，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. 由五个面围成的多面体只能是三棱柱
B. 棱台各侧棱的延长线交于一点
C. 圆柱侧面上平行于轴的直线段都是圆柱的母线
D. 各个面都是正方形的四棱柱一定是正方体
10.在中，内角，，所对的边分别为，，，下列根据条件判断三角形解的情况正确的是( )
A. ，，，无解 B. ，有两解
C. ，只有一解 D. ，，，只有一解
11.如图，在棱长为的正方体中，为面对角线上的一个动点包含端点，则下列选项中正确的有( )
A. 三棱锥的体积为定值
B. 线段上存在点，使平面
C. 当点与点重合时，二面角的余弦值为
D. 设直线与平面所成角为，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，若，则______．
13.不与，，，共面，并且四点在一个平面上，，则的最小值为______．
14.已知正三棱锥的外接球为球，底面面积为，，则球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知在四边形中，，，．
求的值；
若，，求的长．
16.本小题分
已知直线：，：．
求经过点且与直线垂直的直线方程；
求经过直线与的交点，且在两坐标上的截距相等的直线方程．
17.本小题分
如图，已知三棱柱中，侧棱与底面垂直，且，，、、、分别是、、、的中点．
求证：平面；
求直线平面所成角的正弦值．
18.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，的面积为，已知，且_____．
在，且，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分
Ⅰ求；
Ⅱ求的取值范围．
19.本小题分
已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量，都垂直，它的模如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为上一点，．
求的长；
若为的中点，求二面角的余弦值；
若为上一点，且满足，求．
参考答案
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15.解：在中，由正弦定理可得：，，可得，为锐角．
．
．
，．
．
设，在中，．
解得．
．
16.由直线，可得斜率为，
故可设所求直线方程为，
则依题意有，解得，
所以所求直线方程为，整理得；
联立，解得，即直线与的交点为，
当直线的截距都不为时，假设直线方程为，
依题意，解得，此时直线方程为，即，
当直线经过原点时，满足题意，假设直线方程为，
代入得，此时；
综上所述：所求直线方程为或．
17.证明：因为，分别是，的中点，则，
在三棱柱中，则，可得，
且平面，平面，平面．
解：由题意知三棱柱中，侧棱与底面垂直，
且，，
故AB，，
以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，，故，
则，，
可得，，
直线与平面夹角的正弦值为．
18.解：Ⅰ若选，依题意得，，
由正弦定理得，，
所以，
所以，即，
所以，
因为，所以，即，
又，所以．
若选，，
因为，
所以，
展开整理得，，
所以，
因为，所以，
由正弦定理得，，
因为，所以，即，
又，所以．
若选，因为，所以，即，
由余弦定理得，，
所以，
所以，即
因为，所以或，即或舍，
所以．
Ⅱ由正弦定理得，，
所以，
因为，
所以，
所以，
因为，所以，所以，
所以．
19.解：在四棱锥中，底面为矩形，
底面，易得，，两两相互垂直，
易得平面，平面平面，
又，为上一点，
且，，，
，
，又，，
；
若为的中点，分别延长，交点，
底面，过作于点，连接，
则根据三垂线定理可得为二面角的补角，
又，底面为矩形，且由知，
由于，，，
，由于中，，
为等腰直角三角形，，
，
，
二面角的余弦值为；
过作于点，由知平面平面，
平面，又根据新定义可知，
又，，
，，，，
，
，，
过作，且，在上取靠近的五等分点，
，
则易知，且，，
，且，
四边形为平行四边形，，又平面，
平面，
又，，
．
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