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2024-2025学年江西省宜春市部分重点中学高一（下）7月联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若实数，满足是虚数单位，则( )
A. B. C. D.
2.若角的终边经过点，则的值为( )
A. B. C. D.
3.在中，为的中点，点满足，则( )
A. B. C. D.
4.若，是两个不同的平面，直线，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.如图，是由斜二测画法得到的水平放置的的直观图，其中，那么原平面图形中，边上的高为( )
A. B. C. D.
6.在直四棱柱中，底面是矩形，，，，分别是棱，，的中点，则直线与所成的角的大小为( )
A. B. C. D.
7.任何一个复数其中，，为虚数单位都可以表示成其中，的形式，通常称之为复数的三角形式，法国数学家棣莫弗发现，我们称这个结论为棣莫弗定理若复数为纯虚数，则正整数的最小值为( )
A. B. C. D.
8.在中，角，，的对边分别为，，，且，若，，均为正整数，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数满足，则下列结论正确的是( )
A.
B. 的虚部为
C. 在复平面内对应的点位于第二象限
D. 若复数满足，则的最小值为
10.已知函数，若函数为偶函数，则的值可以是( )
A. B. C. D.
11.如图，在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，是线段上的一动点，则下列说法正确的是( )
A.
B. 过点、、的平面截该正方体所得的截面面积为
C. 点到平面的距离为定值
D. 当直线与平面所成角的正弦值取得最大值时，
三、填空题：本题共3小题，共15分。
12.已知向量，，且，则实数的值为______．
13.已知平面与平面间的距离为，是平面内的定点，，是平面内的动点，且满足，，则的取值范围是______．
14.在中，是边上的一点，且满足，，，则的面积为______；若是边的中点，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，且．
求的值；
若，求的值．
16.本小题分
已知，为单位向量，向量，．
若，求；
若，求与的夹角．
17.本小题分
已知函数的部分图象如图所示．
求的解析式及单调递减区间；
将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变，得到函数的图象若对任意的，，都有，求实数的取值范围．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，，，点是棱上的一点不同于，两点．
求证：平面平面；
若，求二面角的正切值；
若直线与平面所成角的正弦值为，求的长．
19.本小题分
“费马点”是三角形内到三个顶点距离之和最小的点，具体位置取决于三角形的形状当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点在中，内角，，所对的边分别为，，，且．
求；
若，求的值；
若的面积为，设点为的费马点，求的最小值．
参考答案
1.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.因为，所以，
结合，可得，
所以．
由可得，
因为，所以．
16.由题意，，为单位向量，
由及，
可得，
解得，又，
所以；
由，及，
可得
，
所以，
则，所以，
又，
所以，设与的夹角为，
则，
因为，所以，
即与的夹角为．
17.设的最小正周期为，
则有，
解得，
所以，解得．
由题意知，
所以，
又，
所以，，
即，，又，
所以，
所以；
令，，
即，，
解得，，
即的单调递减区间为，；
将函数的图象向左平移个单位长度，
得到的图象对应的函数解析式为，
再将所得图象上各点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变，
得到的图象对应的函数解析式为．
当时，，
所以，
所以，，
若对任意的，，都有，则，
解得，
即的取值范围是．
18.证明：因为，，，
所以，，
由余弦定理得，
所以，所以，
因为平面，平面，所以，
又，，平面，
所以平面，
而平面，
所以平面平面．
取的中点，过点作，垂足为，连接，，如图所示．
因为，所以，，，
由知平面，而，平面，所以，，
因为，，平面，
所以平面，又平面，所以，
因为，，，平面，
所以平面，又平面，所以，
所以为二面角的平面角．
因为，所以，，
所以，
所以，
所以，
所以二面角的正切值为．
在平面内，过点作，垂足为，连接，如图所示．

因为平面，平面，所以，
又，，平面，所以平面，
所以为直线与平面所成的角．
所以，
解得，
所以，
所以，，
所以
，
又在中，由正弦定理得，
所以．
19.由及正弦定理得，，
又，
整理得，
又，所以，即，
，所以．
由余弦定理得，
即，即，
又，由正弦定理得．
所以，
所以，
因为，为三角形的内角，则，则．
因为，所以的内角均小于，所以点在的内部，
且，由，得，
设，，则，
在中，由正弦定理得，即，
在中，由正弦定理得，即，
所以
，
因为，所以，所以
所以
所以的最小值为．
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