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2024-2025学年宁夏银川市景博中学高一（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为虚数单位，复数，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，则( )
A. B. C. D.
3.总体由编号为，，，，的个个体组成．利用所给的随机数表选取个个体，选取的方法是从随机数表第行的第列和第列数字开始，由左到右一次选取两个数字，则选出来的第个个体的编号为( )
A. B. C. D.
4.某校对全校名学生的数学成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，则这些同学的数学成绩大于等于分的人数为( )
A.
B.
C.
D.
5.在中，，，，则( )
A. B. C. D.
6.如图，在直角梯形中，，，，，，为线段上的一点，，过作的平行线交于，将矩形翻折至与梯形垂直得到六面体，如图，则六面体的体积为( )
A.
B.
C.
D.
7.在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为( )
A. B. C. D.
8. 两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为：，则这两个圆锥的体积之和为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在正三棱柱中，为中点，则( )
A. B. 平面
C. 平面 D.
10.设，，表示三个不同的平面，，表示两条不同的直线，则下列结论正确的有( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
11.在直三棱柱中，，，，为的中点，则( )
A.
B. 平面
C. 平面
D. 直线与所成角为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.______．
13.设向量，夹角的余弦值为，且，，则 ______．
14.如图，在中，点在边上，的垂直平分线过点，且满足，，则的大小为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为增强市民节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者，现从符合条件的名志愿者中随机抽取名志愿者，他们的年龄情况如表所示：
分组单位：岁 频数 频率
总计
Ⅰ频率分布表中的位置应填什么数据？
Ⅱ补全如图所示的频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这名志愿者中年龄在岁的人数；
Ⅲ现用比例分配的分层随机抽样从、、的样本中共抽取名志愿者，已知从中抽取了人，求的值．
16.本小题分
在中，．
求的值；
若，且的面积，求的值．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，．
求证：平面；
求二面角的正弦值．
18.本小题分
如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱底面，且．
证明：平面平面；
求点到平面的距离．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点．
证明：平面；
若，在棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.Ⅰ应填，应填；
Ⅱ因为区间的频率为，
所以该组的高为，
所以补全频率分布直方图如下：
这名志愿者中年龄在岁的人数为；
Ⅲ因为、、的人数比例为：：：：，
所以从中抽取了人，从、中分别抽取了人和人，
所以．
16.因为，
由余弦定理可得，
可得；
因为，
由正弦定理得，
所以，
由可得，
因为的面积为，
可得，
又因为，可得，
可得，
所以．
17.因为，，所以，，
又，，所以，
所以．
所以．
因为，
所以为直角三角形，且．
又因为平面，平面，
所以．
又因为，平面，，
所以平面．
因为平面，，平面，
所以，．
所以即为二面角的平面角．
在中，，，，
所以，
所以．
即二面角的正弦值为．
18.证明：因为底面，
所以，又，且，
所以平面，又平面，
所以平面平面；
根据题意建系如图：
则，，，，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，即，取，
所以点到平面的距离为．
19.证明：如图，取的中点，连接，，
又为棱的中点，所以易得四边形是平行四边形，
所以又平面，平面，
所以平面；
因为，
所以，所以．
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，所以，又，
所以，，两两垂直，
所以建系如图：
则，，，，，．
所以，
设平面的一个法向量为，
则，取，
假设在棱上存在点，使得点到平面的距离是，
设，则．
又，
所以点到平面的距离是，解得，
在中，．
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