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2024-2025学年福建省三明二中高二（下）期末数学试卷（A卷）
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.由样本点( , )( = 1,2,3,4,5)得到 关于 的线性回归方程为 = 2 + 1，若 = 2，则 =( )
A. 5 B. 3 C. 12 D. 2
2 22.已知双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)的渐近线方程为 =± 3 ，则该双曲线的离心率为( )
A. 2 33 B. 2 C. 3 D. 2
3.“数列 ， 1 1 1， 为等比数列”是“数列 ， ， 为等比数列”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.某市派 4 名专家到西部某市 2 家医院坐诊，每家医院至少派 1 名专家，且每名专家只去 1 家医院，则不
同的分配方案种数为( )
A. 20 B. 18 C. 16 D. 14
5.已知圆 1： 2 + 2 4 = 0，圆 2 22： + 4 + 4 8 = 0，则两圆的位置关系是( )
A.外离 B.外切 C.相交 D.内切
6.若 > > > 1 且 < 2，则( )
A. log > log > log B. log > log > log
C. log > log > log D. log > log > log
7.已知函数 ( ) = (其中 是自然对数的底数)，若 ( ) = [ ( )]2 ( + 1) ( ) + 有三个不同的零点，
则实数 的取值范围是( )
A. ( 1 , + ∞) B. (
1
, 1) ∪ (1, + ∞)
C. ( 1 , 1) D. ( 1 , 0)
8.为测试一种新药的有效性，研究人员对某种动物种群进行试验，从该试验种群中随机抽查了 100 只，得
到如表数据(单位：只)：
发病 未发病 合计
使用药物 10 40 50
未使用药物 30 20 50
合计 40 60 100
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从该动物种群中任取 1 只，记事件 ( )表示此动物发病，事件 表示此动物使用药物，定义 的优势 1 = 1 ( )，
( | )在 发生的条件下 的优势 2 = 1 ( | )，则( )
A. 2 ( | ) 3 ( | ) 3 可化简为 ，估计其值为 B.
2
8 可化简为 ，估计其值为1 ( | ) 1 ( | ) 8
C. 2 ( ) 1 可化简为 ，估计其值为 D. 2 ( ) 1 可化简为 ，估计其值为1 ( ) 3 1 ( ) 3
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某高中从本校的三个年级中随机调查了五名同学关于生命科学科普知识的掌握情况，五名同学的成绩如
下：84，72，68，76，80，则( )
A.这五名同学成绩的平均数为 78 B.这五名同学成绩的中位数为 74
C.这五名同学成绩的上四分位数为 80 D.这五名同学成绩的方差为 32
10.在数列{ }中，下列结论正确的是( )
A.若数列{ }的前 项和 = 2 + 1，则 = 2 1
B.若 1 = 1，且 +1 + = 2，则 = 1
C.若 = 1 ，且 +11 =
1
+1
，则 =
D.若 1 = 1， 2 = 2，且 +2 = 3 1 +1 2 ，则 = 2
11.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘 3 再加上 1；若是偶数，就将该数除以 2.反复进行上述两种运
算，经过有限次步骤后，必进入循环圈 1 → 4 → 2 → 1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜
想”).如取正整数 = 6，根据上述运算法则得出 6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1，共需经过 8 个
步骤变成 1(简称为 8 步“雹程”).现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：

2 ,当 为偶数时,已知数列{ }满足： 1 = ( )

为正整数 ， +1 = 记数列{ }的前 项和为 ，则下
3 + 1,当 为奇数时.
列说法正确的是( )
A.当 = 2 时， 2025 = 2
B.当 = 34 时，使得 = 1 要 13 步“雹程”
C.当 = 512 时， 11 = 1027
D.若 7 = 2，则 的取值有 6 个
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12 2 .已知等比数列{ }满足 3 = ，则 sin 2 43 = ______．
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13 2.某研究所在试验一批种子，已知该批种子的发芽率是3，从中随机选择 4 粒种子进行播种，则恰有 3 粒
种子发芽的概率是______．
14.已知函数 ( ) = + ， ( ) = 2，若当 ∈ (0, + ∞)时， ( ) ≤ ( )恒成立，则实数
的最小值为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知(2 )6 = + + 20 1 2 + + 66 ( ∈ )．
(1)求该二项展开式中二项式系数最大的项；
(2)求| 1| + | 2| + + | 6|的值．
16.(本小题 15 分)
已知正项等比数列{ }的前 项和为 ， 8 = 30 + 15 2，且 10是 8 2和 6 6的等差中项．
(1)求数列{ }的通项公式：
(2)令 = 2 + log2 ，求数列{ }的前 项和．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2 3 2 + 12 + 在 = 2 处取得极小值 0， ( ) = 5 2 + ．
(1)求 和 的值；
(2)对任意 1 ∈ [0,3]，总存在 2 ∈ [0, ]，使得 ( 1) = ( 2)，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
2 2 3 3
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)过点 ( 2 , 2 )，其中一个焦点在直线 + 2 + 2 = 0 上， 为椭圆的
上顶点，直线 ： = + 与椭圆 相交于不同的两点 ， ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若 = 1， 为坐标原点，求△ 的面积最大时实数 的值；
2
(3)若直线 ， 的斜率分别为 1， 2，且 1 + 2 = 2，直线 ， 与圆 ： 2 + ( 22 ) = 4分别交于
点 ， .证明：直线 过定点，并求出定点坐标．
19.(本小题 17 分)
某工厂员工每天选择坐班车或开私家车去上班.统计可知，该工厂员工若前一天坐班车，则第二天仍坐班车
1 3 1
的概率为4，第二天改开私家车的概率为4；若前一天开私家车，则第二天仍开私家车的概率为2，第二天改
1 1
坐班车的概率为2 .若该工厂员工上班第一天坐班车和开私家车的概率均为2，该工厂某员工第 天坐班车的概
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率为 ．
(Ⅰ)设该工厂某 3 位员工中第二天坐班车的人数为 ，求 的分布列与数学期望；
(Ⅱ)求 ；
(Ⅲ)为缓解交通压力，工厂决定每天抽调 10 人到班车停车场和私家车停车场参加安保工作，请合理分配每
天去班车停车场和私家车停车场参加安保工作的人数，并说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 32
13.3281
14.1
15.(1)由题意，(2 )6的展开式中的第 + 1 项为 = 26 ( ) = 26 +1 6 6 ( 1) ，
根据 = 6 为偶数，可知 = 3 时，第 4 项为二项式系数最大的项，
结合 4 = 36 23 ( 1)3 3 = 160 3，可得二项式系数最大项为 160 3；
(2)令 = 0 代入已知等式，求得 0 = 26 = 64，
令 = 1，可得(2 + 1)6 = 0 1 + 2 3 + 4 5 + 6 = | 0| + | 1| + | 2| + + | 6|，
所以| 1| + | 2| + + | 6| = 36 64 = 729 64 = 665．
16.(1)正项等比数列{ }的公比设为 ， > 0，前 项和为 ，
10是 8 2和 6 6的等差中项，可得 2 10 = 8 2 + 6 6，
即有 2 9 5 8 41 = 8 1 + 6 1 ，即为 3 4 = 0，
解得 = 2，
8 = 30 + 15 2

，可得 1
(1 16)
1 2 = 30 + 15 2，解得 1 = 2，
可得 = ( 2) ；
(2) = 2 + log2 = 2 +
1
2 ，
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数列{ }的前
1
项和为(2 + 4 + … + 2 ) + 2 (1 + 2 + … + )
= 2(1 2
) 1 1 +1
1 2 + 2 2 ( + 1) = 2 2 +
1
4 (
2 + )．
17.(1)由已知 ( ) = 2 3 2 + 12 + ，
则 ′( ) = 6 2 2 + 12，
又函数 ( )在 = 2 处取得极小值 0，
′(2) = 24 4 + 12 = 0
则 ，
(2) = 16 4 + 24 + = 0
= 9
解得 = 4，
所以 ( ) = 2 3 9 2 + 12 4，
′( ) = 6 2 18 + 12 = 6( 1)( 2)，
当 < 1 时， ′( ) > 0，函数 = ( )单调递增，
当 1 < < 2 时， ′( ) < 0，函数 = ( )单调递减，
当 > 2 时， ′( ) > 0，函数 = ( )单调递增，
即此时满足函数 ( )在 = 2 处取得极小值 0，
所以 = 9， = 4；
(2)由(1)得 ′( )和 ( )随 的变化情况如下表：
0 (0,1) 1 (1,2) 2 (2,3) 3
′( ) + 0 0 +
( ) 4 ↗ 极大值 1 ↘ 极小值 0 ↗ 5
所以当 1 ∈ [0,3]时， ( 1)的值域为[ 4,5]，
当 2 ∈ [0, ]时， 2 2 ∈ [ 1,1]，
( 2) = 5 2 2 + 的值域为[ 5, + 5]，
因为对任意 1 ∈ [0,3]，总存在 2 ∈ [0, ]，使得 ( 1) = ( 2)，
所以[ 4,5] [ 5, + 5]，
5 ≤ 4
所以 + 5 ≥ 5 ，
解得 0 ≤ ≤ 1，
即实数 的取值范围是[0,1]．
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18.(1)因为焦点在直线 + 2 + 2 = 0 上，令 = 0，解得 = = 2，
3 2 3 2
3 3 ( 2 ) ( 2 ) 2又因为过点 ( , )，那么可得 = 3 2 +2 2 2
= 1 ，解得 2 ，
2
= 1
2 = 2 = 2
2
因此椭圆 为
3 +
2 = 1．
(2)如图，
当 = 1 时，直线 ： = + ( ≠ 0)，设 ( 2, 2)， ( 1, 1)，
2 2
联立直线 和椭圆方程可得 3 + = 1，化简得 4 2 + 6 + 3 2 3 = 0，
= +
因为根的判别式 = 12 2 + 48 > 0，那么可得 ∈ ( 2,0) ∪ (0,2)，
3 2
根据韦达定理可得 1 + 2 = 2 ， 1
3 3
2 = ，4
= | |点 到直线 的距离 2，
2
弦长| | = 1 + 1 ( 1 + 22) 4 1 2 = 2 3
3 ，
4
2
那么三角形 的面积 = 12 | | =
1
2
| |
2 2 3
3
4
= 1 2(3 3
2 2 2 2
2 4 ) =
1 3
2 4 (4
2) ≤ 1 3 +4 3，2 2 2 = 2
当且仅当 2 = 4 2，即 =± 2时，等号成立，因此 的值为± 2．
(3)如图，
根据第一问可知 = 1，因此圆 ： 2 + 2 = 0，又因为 1 + 2 = 2，因此 + = 2，
( )若直线 垂直于 轴， (0,1)，设 的方程： = ， ( , )， ( , )，
=
那么可得 2 2 2 + 2 = 0，化简得 + = 0，
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根的判别式 = 1 4 2 > 0( )，且 + = 1，
1 1可得 1 + = + = 2，解得 = 2，不满足( )，不合题意；
( )若直线 不垂直于 轴，
那么设 ： = + ， ( 4, 4)， ( 3, 3)，
= +
那么 2 + 2 = 0，化简得(1 +
2) 2 + (2 ) + 2 = 0，
2
根的判别式 = (2 )2 4(1 + 2)( 2 ) > 0 2 ，那么根据韦达定理可得 3 4 = 2， 1+ 3 + 4 = 1+ 2，
+ = 3 1+ 4 1 = 2 3 4+( 1)( 3+ 4) = 2 (
2 )+( 1)( 2 )
可得 3 4 3 4 2
= 2．
由于 ≠ 1，那么 2 + 2 = 2 ，即 = 2，
2
根的判别式 = ( 2 + )2 4(1 + 2)( ，所以 > 04 2 ) = 2 > 0
1 1
所以直线 方程为： = + 2 = ( + 2 )( > 0)，
1
所以直线 过定点( 2 , 0)．
19.(1) = 1 × 1 + 1 × 1 = 3由题可知，该工厂员工第二天坐班车的概率 2 2 4 2 2 8，
所以 ～ (3, 38 )
的所有可能取值为 0，1，2，3，
( = 0) = 0 × ( 5 )3 × ( 3 )0 = 1253 8 8 512，
( = 1) = 13 × (
5 2 3 1 225
8 ) × ( 8 ) = 512，
( = 2) = 23 × (
5 1
8 ) × (
3 )2 = 1358 512，
( = 3) = 3 × ( 5 )0 × ( 3 )3 273 8 8 = 512，
所以 的分布列为：
0 1 2 3
125 225 135 27
512 512 512 512
( ) = 3 × 3 98 = 8；
(2) +1 =
1
4
1
+ 2，
则 +1
2 1 2
5 = 4 ( 5 )
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又 1 =
1 2 1 2 1
2 , 1 5 = 2 5 = 10，
2
所以{ 5 }
1 1
是首项为10，公比为 4的等比数列，
2 = 1 ( 1 ) 1, = 2 + 1所以 ( 1 ) 1 5 10 4 5 10 4 ；
(3)由(2) 2可知，当 趋向于正无穷大时， 趋向于5，
2
所以工厂每天抽调的 10 人中，去班车停车场参加安保工作的应有 10 × 5 = 4 人，去私家车停车场参加安保
10 × 3工作的应有 5 = 6 人．
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