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2024-2025 学年山东省济南市振声学校高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 1 < < 2}， = { | = }，则 ∪ =( )
A. { | > 1} B. { |0 ≤ < 2} C. { | 1 < < 2} D. { | ≥ 0}
2 1.已知命题 ： ∈ ， + 2，则￢ 为( )
A. ∈ + 1， 2 B. ∈ ， +
1
< 2
C. ∈ ， + 1 2 D. ∈ ， +
1
< 2
3.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是( )
A. = 2 + 1 B. = 1 C. =
3 D. = 2
4.平板电脑屏幕面积与整机面积的比值叫电脑的“屏占比”，它是平板电脑外观设计中一个重要参数，其
值通常在(0,1)间，设计师将某平板电脑的屏幕面积和整机面积同时减少相同的数量，升级为一款“迷你”
新电脑的外观，则该电脑“屏占比”和升级前比有什么变化？( )
A.“屏占比”不变 B.“屏占比”变小 C.“屏占比”变大 D.变化不确定
5.已知 ， ∈ ，满足 < 0， + > 0， > ，则( )
A. 1 <
1 B. + > 0 C.
2 > 2 D. < | |
6.已知函数 ( )是定义在( ∞,0) ∪ (0, + ∞)上的奇函数，且 ( 1) = 0，若对于任意两个实数 1， 2 ∈
(0, + ∞) ( ) ( )且 1 21 ≠ 2，不等式 > 0 恒成立，则不等式 ( ) > 0 的解集为( )1 2
A. ( ∞, 1) ∪ (0,1) B. ( ∞, 1) ∪ (1, + ∞)
C. ( 1,0) ∪ (1, + ∞) D. ( 1,0) ∪ (0,1)
7.已知[ ]表示不超过实数 的最大整数，若函数 ( ) = [ ]，则下列说法正确的是( )
A. ( )是奇函数 B. ( )是偶函数
C. ( )在[0,1]上单调递增 D. ( )的值域为[0,1)
8.已知函数 ( )， ( )的定义域均为 ，且 ( ) + (2 ) = 5， ( ) ( 4) = 7.若 = ( )的图象关
于直线 = 2 对称， (2) = 4，则22 =1 ( ) =( )
A. 21 B. 22 C. 23 D. 24
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9 .已知函数 ( ) = +1， ( )为定义在( 1,2)上的函数， ( )在( 1,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，
则下列说法正确的是( )
A. ( )的对称中心为( 1,1)
B. ( )的值域为( ∞,1) ∪ (1, + ∞)， (2 1)的定义域是( 3,3)
C. ( ( ))在( 12 , 1)上单调递增
D. (1) + (2) + (3) + … + (2025) + ( 1 12 ) + ( 3 ) + … + (
1 4049
2025 )的值为 2
10.若正实数 ， 满足 + = 1，则下列说法正确的是( )
A. + 2 B. 2 + 2 1最大值为 最小值为2
C. 1 1 1 4最小值为4 D. +2 + 2 + 最小值为3
| 1|, ≤ 2
11.已知函数 ( ) = 2 ，则下列说法正确的是( ) + 4 3, > 2
A. ( )的单调减区间为( ∞,1] ∪ [2, + ∞)
B.若 ( ) = 有三个不同实数根 1， 2， 3，则 4 < 1 + 2 + 3 < 5
C.若 ( + ) > ( ) 9恒成立，则实数 的取值范围是( ∞, 4 )
D. + + + 1对任意的 1， ， ， ∈ (2, + ∞)，不等式 ( 1 2 3 42 3 4 4 ) ≥ 4 [ ( 1) + ( 2) + ( 3) + ( 4)]恒成立
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若“ > ”是“ 3 ≤ < 2”的必要不充分条件，则实数 的取值范围是______．
2
13 , < 2.已知函数 ( ) = 2 .①若 [ ( )] = 1，则 的值为______． , ≥ 2
②若不等式 ( ) ≥ (2)对任意 ∈ 都成立，则实数 的取值范围是______．
14.设一元二次方程 2 2 + 1 = 0( ≠ 0)的解集为 .在“① = ；② 恰有 4 个子集；③ ∩ ( 12 , 2) =
”这三个条件中，集合 恰好仅满足其中的两个，则实数 的取值范围为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = 2 + 2 + ．
(1)当 = 5， ∈ [ 2,3]时，求 ( )的值域；
(2)若不等式 ( ) < 0 的解集中的整数解恰好有三个，求实数 的取值范围．
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16.(本小题 15 分)
已知函数 = ( )是定义在(0, + ∞)上的增函数，满足 (2) = 1，且对任意的 1， 2都有 ( 1 2) = ( 1) +
( 2).
(1)求 (4)的值；
(2)求不等式 ( ) + ( + 2) ≤ 2 的解集．
17.(本小题 15 分)
济南高新区一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：仓库每月土地租赁
费为 1万元，仓库到车站的距离为 ( > 0) ，每月库存管理费为 2万元，其中 1与 + 1 成反比， 2与
成正比，若在距离车站 9 处建仓库，则 1 = 20， 2 = 72．
(1)分别求出 1， 2关于 的函数解析式；
(2)该公司把仓库建在距离车站多远处，能使这两项费用之和最少，并求出最少费用(万元)．
18.(本小题 17 分)
定义两种新的运算： = 2 2 2 ， = ( )2，已知函数 ( ) = 2 ( 2)．
(1)求 (1)的值；
(2)求函数 ( )的定义域；
(3)判断函数 ( )的奇偶性，并用函数奇偶性的定义证明．
19.(本小题 17 分)
3 3
若函数 = ( )自变量的取值区间为[ , ]时，函数值的取值区间恰为[ , ]，就称区间[ , ]为 = ( )的一
个“和谐区间”.已知函数 ( )是定义在 上的奇函数，当 ∈ (0, + ∞)时， ( ) = + 4．
(1)当 ∈ ( ∞,0)时，求 ( )的解析式；
(2)求函数 ( )在(0, + ∞)内的“和谐区间”；
(3)若以函数 ( )在定义域内所有“和谐区间”上的图象作为函数 = ( )的图像，是否存在实数 ，使集合
{( , )| = ( )} ∩ {( , )| = 1 22 + }恰含有 2 个元素．若存在，求出满足条件的所有实数 所构成的集
合；若不存在，说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.( ∞, 3)
13.±1 [2,4]
14.( ∞,0) ∪ (1, + ∞)
15.解：(1)当 = 5， ( ) = 2 + 2 + 5 = ( + 1)2 + 4，
又 ∈ [ 2,3]，
所以当 = 1 时， ( )取得最小值 4，当 = 3 时， ( )取得最大值 20，即 ( ) ∈ [4,20]；
(2)由 2 + 2 + < 0 得 > 2 + 2 = ( + 1)2 1，
即 1 > ( + 1)2，
∵ ( + 1)2 ≥ 0，当 = 1 时，取等号，
∴当 = 0 或 = 2 时，( + 1)2 = 1，当 = 1 或 = 3 时，( + 1)2 = 4，
又不等式 ( ) < 0 的解集中的整数解恰好有三个，
∴ 1 < 1 ≤ 4，整理得： 3 ≤ < 0，
∴实数 的取值范围是[ 3,0)．
16.解：(1)由题意，令 = 2， = 2，可得 (4) = 2；
(2)由 ( ) + ( + 2) ≤ 2，
可得 ( ) + ( + 2) ≤ (4)，
∴ ( 2 + 2 ) ≤ (4)，
∵ ( )是定义在(0, + ∞)上的增函数，
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> 0
∴ + 2 > 0 ，
2 + 2 ≤ 4
解得：0 < ≤ 5 1，
∴ ( ) + ( + 2) ≤ 2 的 的取值范围是(0, 5 1]．
17. (1) = 解： 设 1 +1 ( ≠ 0)， 2 = ( ≠ 0)，其中 > 0，
当 = 9 时， 1 = 9+1 = 20， 2 = 9 = 72，解得 = 200， = 8，
故 2001 = +1， 2 = 8 ；
(2)设两项费用之和为 ，
则 = 1 + =
200
2 +1+ 8 =
200 200
+1 + 8( + 1) 8 ≥ 2 +1 8( + 1) 8 = 72，
200
当且仅当 +1 = 8( + 1)，即 = 5 时，等号成立．
故这家公司应该把仓库建在距离车站 5 处，才能使两项费用之和最小，最小费用是 72 万元．
2 2 2
18.解：(1) ∵ ( ) = 2 4 4 4 2 ( 2) = = 2 |2 | = ，2 (2 )2
∴ (1) = 3；
(2)令 4
2 ≥ 0，则 2 ≤ ≤ 2 且 ≠ 0，函数 ( )的定义域为[ 2,0) ∪ (0,2]；
≠ 0
(3) ( )为奇函数．
证明：由(2)知，函数 ( )的定义域为[ 2,0) ∪ (0,2]，关于原点对称；
( ) = 4
2
= 4
2
又 = ( )，
∴函数 ( )为奇函数．
19.解：(1)当 < 0 时， > 0，
所以 ( ) = ( ) + 4 = + 4，
即 ( ) = + 4，
所以 ( ) = 4；
(2)设 0 < < ，
∵ ( )在(0, + ∞)上单调递减，所以 ( )在[ , ]上单调递减，
( ) = + 4 = 3
所以 ，
( ) = + 4 = 3
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= 3
解得 = 1，
∴ ( )在(0, + ∞)内的“和谐区间”为[1,3]；
(3)设[ , ]为 ( )的一个“和谐区间”，
<
则 3
<
3，

∴ ， 同号．
当 < < 0 时，同理可求 ( )在( ∞,0)内的“和谐区间”为[ 3, 1]，
∴ ( ) = + 4,1 ≤ ≤ 3 4, 3 ≤ ≤ 1，
1
依题意，抛物线 = 22 + 与函数 ( )的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限，
1
所以 应当使方程 2
2 + = + 4 在[1,3]内恰有一个实数根，
1
且使方程 2
2 + = 4，在[ 3, 1]内恰有一个实数根，
1 2 + = + 4 1由方程 2 ，即
2
2 + 4 = 0 在[1,3]内恰有一根，
(1) = 7 ≤ 0
令 ( ) = 1 22 + 4 ，则
2 7
11 ，解得2 ≤ ≤
11
(3) = ≥ 0 2
；
2
1
由方程 22 + = 4
1
，即2
2 4 = 0 在[ 3, 1]内恰有一根，
( 3) = 7 ≥ 0
令 ( ) = 12
2 4 = 0 5，则 2 5 ，解得 ≤ ≤
7
．
( 1) = 2 ≤ 0
2 2
7
综上可知，实数 的取值集合为{ 2 }.
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