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(共28张PPT)
高中数学解析几何解题策略
苏科版高考数学专题复习系列
目录
知识储备
题型一：中点弦问题——几何与代数相结合
题型二：轨迹方程问题——直接法
题型三：曲线问题——定义法
题型四：化曲线为直线
题型五：化陌生为熟悉
知识储备
解析几何是高中数学课程的核心组成部分，通过将几何图形与代数方程相结合，从坐标系来研究几何问题．
要求掌握运算技能，运用几何知识来理解问题的本质。
解决这些问题需要扎实的数学基础，还需要灵活的思维和创新的解题方法．
学习解析几何是培养数学思维品质非常重要的载体，通过几何图形的分析可以直观地理解相关概念和规律，从而拓宽和强化解题思路。
1
题型
中点弦问题——几何与代数相结合
在探讨解析几何中涉及中点和弦的问题时会发现，利用平面直角坐标系，能有效地将几何图形的性质与代数方程的运算结合起来。
通过这种方式能直观地观察到几何图形的特征，还能通过代数方法精确地计算出中点的位置和弦的长度和斜率等关键信息。将抽象的数学概念与直观的几何图形相结合
题型分析
1
题型
中点弦问题——几何与代数相结合
例 1 椭圆 内有一点 ，求经过点
并且以点 为中点的弦所在的直线方程．
1
题型
中点弦问题——几何与代数相结合
解题分析
这个问题牵涉到中点弦的概念．
可以借助代数方法来求解直线的方程．
虽然这个过程相对复杂，但可以将几何直观与代数计算相结合，
通过这种方法可以掌握如何求解直线方程，还能理解中点弦与直线方程之间的内在联系。
通过采用代数与图形相结合的思考方式，能培养空间想象和逻辑推理能力。
1
题型
中点弦问题——几何与代数相结合
解析： 设以点 为中点的弦的直线与椭圆相交于 ，
联立 两式相减得
.
因为 ，
所以 ．
1
题型
中点弦问题——几何与代数相结合
所以所求直线方程为
．
即
2
题型
轨迹方程问题——直接法
在解析几何轨迹方程问题中，包括直线与曲线的位置关系和满足特定条件的移动点形成的图形问题，还包括满足基本条件的点集问题，这些都是轨迹方程问题所涉及的范畴．解决这类问题可以通过几何变换来寻找答案。
直接法的优势是简洁性和直观性
题型分析
2
题型
轨迹方程问题——直接法
例2、 古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点 距离之比为常数 且 的点的轨迹是一个圆心在直线 上的圆，该圆被称为阿波罗尼斯圆．
已知 中， ， ．
求 的顶点 的轨迹方程．
2
题型
轨迹方程问题——直接法
通常情况下求解轨迹方程问题可以 采用直接的方法来逐步解析问题,直接法的一般步骤:建立平面直角坐标系———根据题意设点坐 标———列出等式———把设的点代入等式———化简 求值并验证。
在解决问题时要验证所提出的方程是否是一个满足特定条件的动态点轨迹,这涉及将方程与已知条件进行对比,保证方程能准确反映动点的运动规律
解题分析
2
题型
轨迹方程问题——直接法
解法 1： 设顶点 ，则
．
故 ．
化简得点 的轨迹方程为
2
题型
轨迹方程问题——直接法
解法2 ：由阿波罗尼圆的定义，顶点 的轨迹为圆，圆心在直线 上。
设圆与 轴的交点为 ，根据 ，
得 ，解得 或 9 ．
故当 或 时，都满足 ．
所以顶点 的轨迹是以 为直径的圆，
其方程为 。
3
题型
曲线问题———定义法
在解析几何领域,常面临各种曲线问题的挑战,这些曲线问题的基础条件相当复杂,涉及多种 不同类型的曲线. 为理解和解决这些曲线问题,可以用定义法这一有效的教学策略
题型分析
3
题型
曲线问题———定义法
例 3、 已知 的底边长为 12 ，其 ，其他两边 上的中线之和为 30 ，求三角形重心 的轨迹方程。
3
题型
曲线问题———定义法
在研究这个数学问题时,主要目标是推导出点的轨迹方程,这个方程能详尽地描绘出三角形重心在几何空间中移动的路径。
通过定义法可以深入探究三角形重心这一动点在平面中运动的轨迹,从而获得对重心运动规律的深刻理解.
首先要清楚地理解三角形重心这一动点的运动轨迹是否遵循某种特定曲线的定义条件. 可以利用题目中给出的条件,逐步推导出这个特定曲 线的方程.
解题分析
3
题型
曲线问题———定义法
解析： 设边 的中点分别为 ，故 ．
所以 ．
所以点 的轨迹为椭圆，且其两个焦点分别为点 和 ．
所以轨迹方程为 且 ．
4
题型
化曲线为直线
将曲线近似为直线或线段来简化问题,使问题的解决过程直观和易于理解,这样一来,可以很容易就找到解决问题的路径.
探讨如何利用曲线运动的规律能有效地解答解析几何问题.
题型分析
4
题型
化曲线为直线
例 ４、如图 １,圆锥的母线 ＡＢ 长为 ２,底面圆的 半径为 ｒ,若一只蚂蚁从圆锥的点 Ｂ 出发,沿表面爬 到 ＡＣ 的中点 Ｄ 处,则其爬行的最短路线长为 ５ ,则圆锥的底面圆的半径为多少
4
题型
化曲线为直线
通过将曲线转换为直线的方法,实现将复杂的曲线问题简化为直线问题的目标.
这种转换能直观地理解问题,进而认识到变量的局限性.
在绘图时选择恰当的角度尤为关键,直接关系到能否准确地表达和解决数学问题.
解题分析
4
题型
化曲线为直线
解析 如图2，这是半圆锥的侧面展开图，连接 ，则 的长为蚂蚁爬行的最短路线长，设扇形展开图的圆心角为 ，根据题意得
.
在 中， ，
所以 ．
所以扇形弧长为 ．
所以圆锥底面圆的周长为 ．
即 ，得 ．
5
题型
化陌生为熟悉
在解析几何中会遇到一些复杂的问题．这些问题与课本上学习的知识点有联系，但难度超出常规题目的范畴。
面对这样的挑战教师可以运用一种巧妙的转化策略，将那些看似陌生或难以预测的问题，转化为已经掌握并能熟练解决的题型。
这种转化策略与解析几何试题的基本特性是相辅相成的。
题型分析
5
题型
化陌生为熟悉
例5、 已知动圆 经过点 并且与直线 相切，若直线 与圆 有公共点，则圆的面积（ ）．
A．有最大值为
B．有最小值为
C．有最大值为
D．有最小值为
5
题型
化陌生为熟悉
动圆 经过点 并且与直线 相切，说明动圆 的圆心到点 的距离等于圆心到直线 的距离，根据抛物线的定义，圆心的轨迹是抛物线．
解题分析
5
题型
化陌生为熟悉
解析 由已知可得圆心的轨迹为抛物线，其标准方程为 ．
5
题型
化陌生为熟悉
设圆上的点的坐标 ，因为圆 过点 ，所以半径
直线 和动圆 之间有公共点，转化为点
到直线 的距离，
5
题型
化陌生为熟悉
.
解得 或 ．
所以圆 半径是 ．
所以动圆 最小面积是 ，故选 D．
高中数学解析几何是知识体系中的一个核心组成部分，解析几何内容涵盖代数、几何等多个数学知识，其内容有高度的综合性和逻辑性。为了能充分地理解和掌握解析几何的理论知识，需要对对基本概念、定理和公式的阐释和对这些知识进行灵活运用。
方法总结

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