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1.4.1 用空间向量研究直线、
平面的位置关系
第二课时 空间中直线、平面的平行
人教A版2019高二数学（选修一）第一章 空间向量与立体几何
学习目标
能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量.
会求直线的方向向量与平面的法向量.
能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.
能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系.
能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判断．
问题1：生活中有很多线线平行，线面平行，面面平行的建筑，比如左下图上海世博会的中国馆，右下图是加拿大馆，我们肯定不能仅凭眼睛判断建筑的各个面之间是否平行。
情景导入
下图是武汉大学校门，校门上部的下边线与柱子垂直,我们就能知道下边线与地面平行。这是为什么呢
问题1 如何求直线的方向向量与平面的法向量？
（1）建系
（2）算点
（3）取向量
（4）建方程组
（5）取解
（1）去两点
（2）算向量
（1）算点，设法
（2）取向量:面内两个不共线向量
（3）建方程组
（4）取解
复习回顾
问题2 如何用空间向量表示空间中直线与平面？
直线
平面
方向向量
法向量
位置关系
位置关系
空间向量
立体几何
平行
1.空间中直线、平面的平行
新知探究
问题3 由直线与直线平行的关系，可以得到这两条直线的方向向量有什么关系？
l1
l2
(1)

l1
l2
(1)
直线
方向向量
概念归纳
问题4 由直线与平面平行的关系，可以得到直线的方向向量与平面的法向量有什么关系？
α
l
(2)
m

直线
方向向量
平面
法向量
概念归纳
问题5 由平面与平面平行的关系，可以得到这两个平面的法向量有什么关系？
α
(3)
β
P
m
n
直线
方向向量
平面
法向量
转化
概念归纳
（1）证明“平面与平面平行的判定定理”
（2）证明“直线与平面平行的判定定理”
要求：
1.以小组形式进行讨论；
2.转化成数学语言，利用向量方法解释（数形结合）
3.总结方法
请你用向量的方法证明直线、平面平行相关的判定定理
2.直线、平面平行的判定定理
新知探究
（1）证明“平面与平面平行的判定定理”
α
β
P
b
a
换句话：两个平面的法向量共线
（2）证明“直线与平面平行的判定定理”
α
b
a
换句话：法向量与方向向量垂直
A
B
C
D
D1
A1
B1
C1
x
y
z
P
分析：
是否存在P？
找到P
如何判断
P在哪儿？
P在B1C上
如何表示
A1P//面ACD1

向量运算
确定存在
3.利用空间向量方法求解立体几何中直线、平面平行
新知探究
P30-例3.长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，
线段B1C上是否存在点P，使得A1P∥平面ACD1.
x
y
z
坐标法
A
B
C
D
D1
A1
B1
C1
x
y
z
P
Q
方法二：立体几何先证再猜
作A1D的中点交AD1中于Q
建系
设点
取向量
通用
列方程组
取解
法向量
取两点
得向量
方向向量
运算
概念归纳
　已知O为坐标原点，四面体OABC中，A，B，C的坐标分别为A(0,3,5)，B(1,2,0)，C(0,5,0)，若直线AD∥BC且AD交坐标平面Ozx于点D，求点D的坐标．
素养点睛：考查直观想象、数学运算的核心素养．
题型1　空间中的线线平行问题
典例剖析
或0＝－(x－1)，2＝－(y－2)，－5＝－z.
所以x＝1，y＝4，z＝－5或x＝1，y＝0，z＝5.
故D点坐标为(1,4，－5)或(1,0,5)．
向量法处理空间平行问题的两个应用
(1)求字母的值：通过线线、线面、面面平行转化为向量的共线、垂直的关系，再利用向量关系构造关于字母的等量关系，进而求出字母的值．
(2)求点的坐标：可设出对应点的坐标，再利用点与向量的关系，写出对应向量，利用空间中点、线、面的位置关系，转化为向量的位置关系，进而建立与所求点的坐标有关的等式．
概念归纳
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点．求证：四边形AEC1F是平行四边形．
练一练
题型2　向量法证明线面、面面平行问题
　(1)若平面α的一个法向量为u1＝(－3，y,2)，平面β的一个法向量为u2＝(6，－2，z)，且α∥β，则y＋z＝________.
(2)如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为正
方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E，F分别为AB，SC的
中点．求证：EF∥平面SAD．
素养点睛：考查直观想象、数学运算的核心素养．
　
　
典例剖析
【答案】(1)－3
1．用向量证明线面平行的方法
(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直．
(2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行．
(3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示．
2．向量法证明面面平行的方法
设平面α的法向量为n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β n1∥n2 (a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)．
概念归纳
练一练
1．用向量方法证明“直线与平面平行的判定定理”：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．
l
m
课本练习
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
此方程组无解
A
B
C
D
D1
A1
B1
C1
F
E
x
y
z
A
B
C
D
D1
A1
B1
C1
F
E
x
y
z
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-巩固
分层练习-巩固
分层练习-巩固
分层练习-巩固
分析
分层练习-巩固
分层练习-拓展
分层练习-拓展
线线平行
线面平行
面面平行
课堂小结
其中， 分别是直线 的方向向量；
分别是平面 的法向量.
（一）建系；
（二）设点；
（三）表示相关向量；
（四）进行向量运算；
（五）把向量运算的结果”翻译”为几何结论.
数学运算
直观想象
逻辑推理
解决几何问题的步骤.

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