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1.3.2空间向量运算的坐标表示
人教A版2019高二数学（选修一）第一章 空间向量与立体几何
学习目标
1.掌握空间向量加减、数乘、数量积的坐标运算；
2.会根据向量的坐标，判断两个向量平行或垂直；
3.掌握向量长度公式、两向量夹角公式、空间两点间距离公式,并能解决简单的立体几何问题；
4.在研究空间向量运算的坐标表示及其应用的过程中，体会类比、转化与化归的数学思想，提升数学运算、逻辑推理等数学素养。
情景导入
我们所在的教室即是一个三维立体图,如果以教室的一个墙角为始点,沿着三条墙缝作向量可以得到三个空间向量.
这三个空间向量是不共面的,那么如何用这三个向量表示空间中任意的向量呢？
知识回顾
平面直角
坐标系
空间直角
坐标系
空间点和空间向量的坐标表示
平面向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示
【探究一】有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？
对应坐标相加
对应坐标乘积的和
对应坐标相减
每个坐标乘
λ
一、空间向量的坐标运算
新知探究
思考　空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示有何联系？
答案　空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示完全一致；
如：一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标
减去起点坐标.
下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示
由上述结论可知，
空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示是完全一致的.
类似地，我们有：
一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.
平面向量的坐标表示 空间向量的坐标表示
问题1：平面向量的坐标可以用于表示向量平行、垂直等特殊位置关系，以及解决关于长度、夹角等的计算问题，空间向量呢？
平面向量平行的坐标表示
空间向量平行的坐标表示
二、空间向量的平行、垂直及模、夹角
新知探究
问题1：平面向量的坐标可以用于表示向量平行、垂直等特殊位置关系，以及解决关于长度、夹角等的计算问题，空间向量呢？
平面向量垂直的坐标表示
空间向量垂直的坐标表示
问题1：平面向量的坐标可以用于表示向量平行、垂直等特殊位置关系，以及解决关于长度、夹角等的计算问题，空间向量呢？
平面向量长度、夹角的坐标表示
空间向量长度、夹角的坐标表示
×
×
√
√
辩一辩
1.已知空间向量m=(1,-3,5),n=(-2,2,-4),则有m+n=　　　　　 ,
3m-n=　　　　　 ,(2m)·(-3n)=　　　　　.
(-1,-1,1)
(5,-11,19)
168
解析:m+n=(1,-3,5)+(-2,2,-4)=(-1,-1,1),3m-n=3(1,-3,5)-(-2,2,-4)=(5,-11,19),
(2m)·(-3n)=(2,-6,10)·(6,-6,12)=168.
4
2.已知空间向量a=(2,λ,-1),b=(λ,8,λ-6),若a∥b,则λ=　　　　,若a⊥b,则 λ=　　　　.
　　　　　.
练一练
练一练
【探究二】你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗？
这就是空间两点间的距离公式.
三、空间两点间的距离公式
新知探究
【例1】
【分析】
问题2：如何建立空间直角坐标系呢？
证明：
【例1】
【例2】
（1）【分析】利用条件建立适当的空间直角坐标系
写出点A、M的坐标
利用空间两点间的距离公式求出AM的长.
解：
【例2】
【例2】
（2）【分析】
问题3
问题2
不一定，它们的取值范围不同
解：
【例2】
【例2】
（3）【分析】
证明：
【例2】
问题3 你能从以上两题的解答中体会到根据问题的特点，建立适当的空间直角坐标系，用向量表示相关元素，并通过向量及其坐标运算求解问题的基本思路吗？
基本思路：
（1）建立适当的空间直角坐标系，求出有关点的坐标和相关向量的坐标
（2）进行向量及其坐标的运算求解问题
（3）把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论.
　已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)，求a＋b，2a·(－b)，(a＋b)·(a－b)．
素养点睛：考查逻辑推理、数学运算的核心素养．
【答案】解：a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4)＝(2，－2,2)，
2a·(－b)＝2(2，－1，－2)·(0,1，－4)＝14，
又a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1,4)＝(2,0，－6)，
∴(a＋b)·(a－b)＝(2，－2,2)·(2,0，－6)＝－8.
题型1　空间向量的坐标运算
典例剖析
关于空间向量坐标运算的两类问题
(1)直接计算问题
首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算．
(2)由条件求向量或点的坐标
首先把向量用坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程求出其坐标．
归纳总结
练一练
题型2　利用向量的坐标运算解决空间中的平行、垂直问题
典例剖析
归纳总结
2．(1)已知向量a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，求x，y；
(2)已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，求k的值．
练一练
典例剖析
类型2　向量法求距离
　如图，以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Oxyz，点P在线段AB上，点Q在线段DC上．
(1)当PB＝2AP，且点P关于y轴的对称点为点M时，求|PM|的长度；
(2)当点P是面对角线AB的中点，点Q在面对角线DC上运动时，探究|PQ|的最小值．
素养点睛：考查逻辑推理、数学运算的核心素养．
典例剖析
1．向量夹角的计算步骤
(1)建系：结合图形建立适当的空间直角坐标系，建系原则是让尽可能多的点落到坐标轴上．
(2)求方向向量：依据点的坐标求出方向向量的坐标．
(3)代入公式：利用两向量的夹角公式将方向向量的坐标代入求出夹角．
2．求空间两点间的距离的关键及步骤
(1)求空间两点间的距离问题就是把点的坐标代入距离公式进行计算，其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是关键．
归纳总结
(2)若所给题目中未建立坐标系，需结合已知条件建立适当的坐标系，再利用空间两点间的距离公式计算．一般按如下的步骤：
归纳总结
建系
写点
求值
根据条件建立适当的空间直角坐标系
根据坐标系写出相关点的坐标
代入空间两点的距离公式求值
3．已知向量a＝(x,1,2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3,1，z)，且a∥b，b⊥c.
(1)求向量a，b，c；
(2)求向量a＋c与b＋c所成角的余弦值．
练一练
随堂练
随堂练
随堂练
课本练习
O
A
B
C
x
y
z
M
N
O
A
B
C
x
y
z
M
N
A
B
C
(第5题)
D
A1
B1
C1
D1
M
z
y
x
习题1.3
“关于谁，谁不变，其余的相反”
O
A
B
C
x
y
z
(第3题)
H
I
J
E
F
G
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
M
N
x
y
z
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
M
N
x
y
z
易错警示　由向量的夹角求参数的取值范围
错因分析
错解分析：错误的根本原因是忽视了a·b<0包含〈a，b〉＝180°的情况．实际上a与b夹角为钝角 a·b<0且〈a，b〉≠180°.
正解：选B．因为a与b的夹角为钝角，
所以a·b<0且〈a，b〉≠180°.
由a·b<0得(3，－2，－3)·(－1，x－1,1)＝3×(－1)＋(－2)·(x－1)＋(－3)×1<0，解得x>－2.
若a与b的夹角为180°，
则存在λ<0，使b＝λa，即(－1，x－1,1)＝λ(3，－2，－3)，
错因分析
错因分析
防范措施：
1．明确两个充要条件
(1)向量a与b的夹角为锐角 a·b>0且〈a，b〉≠0°.
(2)向量a与b的夹角为钝角 a·b<0且〈a，b〉≠180°.
2．注意向量共线情况的计算
先利用a∥b a＝λb a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3，求出参数，再根据“λ>0，a与b同向，λ<0，a与b反向”确定满足题意的参数的值.
错因分析
A.(2,1,-3)
B.(-1,2,-3)
C.(1,-8,9)
D.(-1,8,-9)
分层练习-基础
D
2.(2020四川绵阳中学高二上期中)空间直角坐标系中的点A(3,3,1)关于平面Oxy的对称点A'与点B(-1,1,5)间的距离为(　　)
分层练习-基础
D
3.已知向量a=(1,0,1),b=(2,0,-2),若(ka+b)·(a+kb)=2,则k的值等于(　　)
D
分层练习-基础
4.已知点A(1-t,1-t,t),B(2,t,t),则A,B两点的距离的最小值为(　　)
C
分层练习-基础
5．已知a＝(2，－3,1)，则下列向量中与a平行的是 (　　)
A．(1,1,1) B．(－2，－3,5)
C．(2，－3,5) D．(－4,6，－2)
【答案】D
【解析】若b＝(－4,6，－2)，则b＝－2(2，－3,1)＝－2a，所以a∥b.
分层练习-基础
6．已知点A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(a,3，b＋2)共线，那么a－b等于 (　　)
A．5 B．1
C．－5 D．－1
【答案】B
分层练习-基础
分层练习-基础
8．已知向量a＝(2,4，x)，b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值为________．
【答案】1或－3
分层练习-基础
分层练习-巩固
分层练习-巩固
分层练习-巩固
3.(2020重庆高二上期中)如图,建立空间直角坐标系Oxyz.正方体ABCD-A'B'C'D'的顶点A位于坐标原点,其中B(1,0,0),D(0,1,0),A'(0,0,1).
(1)若E是棱B'C'的中点,F是棱B'B的中点,G是侧面
分层练习-巩固
分层练习-巩固
分层练习-拓展
3.用坐标法解决立体几何问题的“三部曲”
回到图形问题
化为向量问题
进行向量运算
4.数学思想
转化与化归
类比
2.空间向量坐标运算的应用
计算问题
位置关系
垂直
平行
夹角
长度
1.空间向量运算的坐标表示
加减、数乘、数量积
课堂小结

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