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人教版2019高一数学（选修一）第二章 直线和圆的方程
2.1.1 直线的倾斜角与斜率
学习目标
1.理解空间向量的概念．(难点)
2.掌握空间向量的加法、减法、数乘等线性运算．
(重点)
3.掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的应用．
(重点、难点)
情景导入
交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度,如图,一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点,在水平方向前进的距离为AD,竖直方向上升的高度为DB(如果是下降,则DB的值为负实数),则坡度 .
k>0表示上坡,k<0表示下坡,为了实际应用与安全,在道路铺设时常要规划坡度的大小.
那么坡度是如何来刻画道路的倾斜程度的呢
1.倾斜角与斜率
新知探究
思考与探究：
确定一条直线位置的几何要素是什么 对于平面直角坐标系中的一条直线,
如何利用坐标系确定它的位置
x
y
O
l
两点确定一条直线
为直线的方向向量
结论:一点和一方向
确定一条直线
点能确定直线吗 下面三条直线过了同一点 ,他们之间区别是什么？
o
.
在平面直角坐标系中,我们规定水平直线的方向向右,其他直线向上的方向为这条直线的方向．
因此,这些直线的区别是它们的方向不同.
我们可以用什么几何量来描述直线的倾斜程度呢？
1、定义:
当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角 叫做直线的倾斜角。
规定:1.当直线与x轴平行或重合时，
2.当直线与x轴垂直时，
概念归纳
确定直线的方法有两种：
①直线上两点
②直线上一点和直线的倾斜角
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
（1）
（2）
（3）
（4）
下列图中标出的直线的倾斜角对不对？
练一练
p
o
y
x
y
p
o
x
p
o
y
x
p
o
y
x
按倾斜角分类，直线可分为以下几种情况：
下面我们进一步研究刻画直线倾斜程度的方法.
设 (其中 )是直线 上的两点.由两点确定一条直线可知,直线 由点 唯一确定．
所以,可以推断,直线 的倾斜角一定与 两点的坐标有内在联系.
2.直线的斜率
新知探究
在平面直角坐标系中,设直线 的倾斜角为 ,
已知直线 经过 , 与 的坐标有什么关系
如图,向量 ,且直线 的倾斜角为 .由正切函数的定义，有

思考探究
在平面直角坐标系中,设直线 的倾斜角为 .类似地,如果直线经过 , 与 的坐标又有什么关系
如图， ．平移向量到 ，则点 的坐标为
且直线 的倾斜角也是 ,由正切函数的定义，有
思考探究
一般地,如图,当向量 的方向向上时， ,平移向量 到 ,则点 的坐标为 ，且直线 的倾斜角也是 ,由
正切函数的定义,有
能不能构造一个直角三角形去求？
当α为锐角时，
倾斜角是锐角时
当α为钝角时，
倾斜角是钝角时
经过两点
的直线的斜率公式：
(1) 当x1=x2时,公式不适用,此时α=900
(2) 直线的斜率可以通过直线上任意两点的坐标来表示
注意：
(3) 与两点的顺序无关
当直线 与 轴平行或重合时,上述式子还成立吗 为什么
当直线 与 轴平行或重合时，
符合
思考探究
概念归纳
综上:直线 的倾斜角 与直线 上的两点
的坐标有如下关系:
我们把一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率.
斜率常用小写字母 表示，即
倾斜角是 的直线没有斜率,倾斜角不是 的直线都有斜率.
日常生活中常用“坡度”表示倾斜面的倾斜程度：
前进量
升
高
量
当直线的倾斜角为锐角时，
直线的斜率与坡度是类似的
由图知，
当 时, ,且 随 的增大而增大.
当 时, ,且 随 的增大而增大
当 时，
当 时, 不存在
O
思考探究
由正切函数的单调性,直线的倾斜角不同,其斜率也不同.

o

由
因此,我们也可以用斜率表示倾斜角不等于 的直线相对于 轴的倾斜程度,进而表示直线的方向.
概念归纳
直线 的方向向量 的坐标为 ，
当直线 与 轴不垂直时,即 ，此时向量 ,也是直线 的方向向量，且它的坐标
为 ，即 ，
其中 是直线 的斜率,
直线的方向向量与斜率 有什么关系？
x
y
O
l
结论1 若直线 的斜率为 ，
它的一个方向向量的坐标为 ,则
结论2 若直线 的斜率为 ，
则它的一个方向向量的坐标为
概念归纳
如下图,已知 ,求直线 的斜率,并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.
锐角
钝角
锐角
课本例题
　(1)下列说法中，正确的是 (　　)
A．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α
B．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α
C．若直线的倾斜角为α，则sin α>0
D．任意直线都有倾斜角，但它不一定有斜率
探究一：对直线的倾斜角、斜率的理解
典例剖析
D
(2)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将直线l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为 (　　)
A．α＋45°
B．α－135°
C．135°－α
D．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；
当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°
典例剖析
D
【解析】
(1)对于A，当α＝90°时，直线的斜率不存在，故不正确；对于B，虽然直线的斜率为tan α，但只有当0°≤α<180°时，α才是此直线的倾斜角，故不正确；对于C，当直线平行于x轴时，α＝0°，sin α＝0，故C不正确．
(2)根据题意，画出图形，如图所示．
因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图可知：当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°，当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°.
求直线倾斜角的方法及关注点
(1)定义法：根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找倾斜角．
(2)关注点：结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如三角形内角和定理及其有关推论．
1．已知直线l过原点，倾斜角为40°，将直线l顺时针旋转45°得到直线l1，求直线l1的倾斜角．
解：如图，图中角α即为直线l1的倾斜角，
则α＝180°－(45°－40°)＝
180°－5°＝175°.
练一练
3.已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)．
(1)求直线AB和AC的斜率；
(2)点D在线段BC上(包括端点)移动时，求直线AD的斜率的变化范围．
素养点睛：考查直观想象的核心素养．
探究二 有关直线斜率的运算
典例剖析
3.已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)．
点D在线段AB上(包括端点)移动时，求直线CD的斜率的变化范围．
1．利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项
(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的．
(2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置．
2．由坐标求直线斜率的策略
对于用坐标表示的斜率，其大小与两点的先后顺序无关，当x1＝x2，y1≠y2时，直线的倾斜角α＝90°，没有斜率，这常常是分类讨论的依据，斜率公式是“数”与“形”结合的纽带．
概念归纳
练一练
　若点A(1,1)，B(3,5)，C(a,7)三点共线，求a的值．
探究三　斜率与倾斜角的综合应用
典例剖析
　若点A(1,4)，B(3,5)，C(a,7)三点共线，求a的值．
练一练
解：因为A(1,1)，B(3,5)，C(4,7)，
由斜率公式得kAB＝2，kAC＝2，
所以kAB＝kAC．
因为直线AB与直线AC的倾斜角相等且过同一点A，
所以直线AB与直线AC为同一条直线．
故A，B，C三点在同一条直线上．
　若点A(1,1)，B(3,5)，C(4,7)三点共线，试证明A，B，C三点在同一条直线上．
练一练
用斜率公式解决三点共线问题的方法
从三点中任取两点，求其斜率
若斜率存在，且相等，且两直线有公共点
若斜率不存在，且两直线有公共点
三点共线
概念归纳
3．已知某直线l的倾斜角α＝45°，又P1(2，y1)，P2(x2,5)，P3(3,1)是此直线上的三点，求x2，y1的值．
练一练
1.若直线l经过A(2,1),B(1,-m2)(m∈R)两点,则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　)
C
随堂练
随堂练
A
3.过点P(-2,m),Q(m,4)的直线的斜率为1,那么m的值为(　　)
A.1或4 B.4
C.1或3 D.1
随堂练
D
随堂练
60°
课本练习
课本练习
课本练习
课本练习
课本练习
　如图，已知点A(－2,3)，B(3,2)，直线l过点P(0，－2)，且与线段AB有公共点，求直线l的斜率k的变化范围．
易错警示　利用直线倾斜角与斜率的关系求解问题
错因分析
错解分析：错误的根本原因是对斜率k与倾斜角间的变化关系理解得不准确．
错因分析
防范措施：正确理解直线倾斜角与斜率的变化求斜率范围问题时，一定要注意对直线倾斜角与斜率的关系的正确理解并灵活应用．如本例直线的倾斜角是从一个锐角逐渐增大到一个钝角，所以直线的斜率应是两个小范围的并集.
错因分析
分层练习-基础
1．若直线过点(1,2)，(2,2＋)，则此直线的倾斜角是(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
2．(2021年合肥月考)若直线l经过原点和点A(－2，－2)，则它的斜率为(　　)
A．－1 B．1
C．1或－1 D．0
C
B
分层练习-基础
4．若三点A(－1，－2)，B(4,8)，C(5，x)在同一条直线上，则实数x的值为(　　)
A．10 B．－10
C．5 D．－5
A
A
5．(2021年清远模拟)已知A(3,5)，B(5,7)，直线l的斜率是直线AB斜率的倍，则直线l的倾斜角为________．
6．设P为x轴上的一点，A(－3,8)，B(2,14)，若PA的斜率是PB的斜率的两倍，则点P的坐标为________．
分层练习-基础
60°
(－5,0)　
8．以下叙述中：(1)任何一条直线都有倾斜角，也有斜率；(2)平行于x轴的直线的倾斜角是0°或180°；(3)直线的斜率范围是(－∞，＋∞)；(4)过原点的直线，斜率越大越靠近x轴；(5)两条直线的斜率相等，则它们的倾斜角相等；(6)两条直线的倾斜角相等，则它们的斜率相等．其中正确的序号是________．
分层练习-基础
（3）（5）
9．已知点A(1,2)，在坐标轴上求一点P使直线PA的倾斜角为60°.
分层练习-基础
分层练习-基础
10．已知交于点M(8,6)的四条直线l1，l2，l3，l4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，又知l2过点N(5,3)，求这四条直线的倾斜角．
分层练习-巩固
D
12．(多选)在下列四个命题中，错误的有(　 　)
A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率
B．直线的倾斜角的取值范围是[0，π)
C．若一条直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α
D．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α
分层练习-巩固
ACD
分层练习-巩固
13．已知三点A(1－a，－5)，B(a,2a)，C(0，－a)共线，则a＝________.
14．在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB所在直线的斜率之和为________．
2
0
分层练习-巩固
15．已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点C(2，－1)的直线l与线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．
分层练习-巩固
分层练习-巩固
16．已知直线l过点P(3,4)，且与以A(－1,0)，B(2,1)为端点的线段AB有公共点，求l的斜率k的取值范围．
分层练习-拓展
18．若经过点A(1－t,1＋t)和点B(3,2t)的直线的倾斜角α不是锐角，求实数t的取值范围．
分层练习-拓展
课堂小结
1、直线的倾斜角定义及其范围：
2、直线的斜率定义：
3、斜率公式：

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