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人教版2019高一数学（选修一） 第二章 直线和圆的方程
2.2.3 直线的一般式方程
学习目标
1.掌握直线一般式方程、以及其特点及适用范围(重点、难点)
2.理解直线的方程与二元一次方程的关系(易错点)
3.会求直线的方程，点斜式（截距式）到一般式方程的转化
情景导入
由下列各条件,写出直线的方程,并画出图形.
(1)斜率是1,经过点A(1,8);
(2)在x轴和y轴上的截距分别是-7,7;
(3)经过两点P1(-1,6),P2(2,9);
(4)在y轴上的截距是7,倾斜角是45°.
点斜式
截距式
两点式
斜截式
根据前面我们所学习的直线方程形式,
分别利用点斜式、截距式、两点式和斜截式,
可得到四种情况下的直线方程分别为
(1)y-8=x-1;
如果我们画出这4条直线的图象,
你会惊奇地发现:这4条直线是重合的.
事实上,它们的方程都可以化简为x-y+7=0.
这样前几种直线方程就有了统一的形式.
1.直线方程与二元一次方程的关系
新知探究
斜率存在
斜率不存在
直线l
(A,B不同时为0)
结论：平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用
一个关于x，y的二元一次方程表示
思考探究
(A,B不同时为0)
斜率为 ，
在y轴上截距为 的直线
过点 ,
垂直于x轴的直线
结论：任意一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.
思考探究
概念归纳
思考探究
斜率为0，
在y轴截距不为0
平行于x轴
,
A,B不同时为0
思考探究
斜率不存在，
在x轴截距不为0
平行于y轴
,
A,B不同时为0
斜率为0，
在y轴截距为0
与x轴重合
,
A,B不同时为0
思考探究
与 轴重合
思考探究
与 轴重合？
斜率不存在，
在x轴截距为0
与y轴重合
,
A,B不同时为0
结论：A，B，C取值的不同，决定了一条直线的位置.
概念归纳
直线的方程
× √ √
× √ √
× × √
× × ×
√ √ √
概念归纳
直线的点斜式方程
直线上的一点
直线的斜率
直线的一般式方程
课本例题
直线一般式方程的结构特征：
① 方程是关于x,y的二元一次方程；
② 方程中等号的左侧自左向右一般按x,y常数的先后顺序排列；
③x的系数一般不为分数和负数；
④ 虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程．
概念归纳
直线的
斜截式方程
直线的
一般式方程
直线斜率
时， x的值
直线在y轴上截距
直线在x轴上截距
直线与x轴
交点横坐标
直线与两坐标轴的交点
经过两点绘制直线
课本例题
课本例题
在直角坐标系中画直线时，通常找出直线与两坐标轴的交点，然后连接这两点.
练一练
概念归纳
1.直线的一般式方程的系数，对直线特点的影响．
2.直线的一般式方程的系数，对直线特点的影响．
概念归纳
【例1】设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
题型1　直线的一般式方程
典例剖析
典例剖析
典例剖析
概念归纳
概念归纳
练一练
练一练
　【例2】设直线l的方程为(a－1)x＋y－2－a＝0(a∈R)，
若直线l不过第三象限，则a的取值范围为________．
题型2　由含参一般式求参数的值或取值范围
[1，＋∞)
典例剖析
　【例3】设直线l的方程为x＋(a－1)y－2－a＝0 (a∈R)，
当a取何值时，直线不过第二象限？
典例剖析
已知含参的直线的一般式方程求参数的值或取值范围的步骤
概念归纳
2．直线恒过定点的求解策略
(1)将方程化为点斜式，求得定点的坐标．
(2)将方程变形，把x，y作为参数的系数，因为此式子对任意的参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得x，y的值，即为直线过的定点．
概念归纳
2．无论k为何值时，直线kx－y＋2＋2k＝0恒过定点________．
(－2,2)
练一练
【例4】已知直线l1：3x＋(m＋1)y－6＝0，l2：mx＋2y－(m＋2)＝0，分别求满足下列条件的m的值．
(1)l1⊥l2；
(2)l1∥l2.
　
　题型3　一般式形式下直线的平行与垂直问题
典例剖析
典例剖析
1．根据两条直线的一般式方程判定两条直线平行的方法
(1)判定斜率是否存在，若存在，化成斜截式后，则k1＝k2且b1≠b2；
若都不存在，则还要判定不重合．
(2)可直接采用如下方法：
一般地，设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，
l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
l1∥l2 A1B2－A2B1＝0，
且B1C2－B2C1≠0，或A1C2－A2C1≠0.
这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论，
可以减小因考虑不周而造成失误的可能性．
概念归纳
2．根据两条直线的一般式方程判定两条直线垂直的方法
(1)若一个斜率为零，另一个不存在，则垂直；
若两个都存在斜率，化成斜截式后，则k1k2＝－1.
(2)一般地，设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，
l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
第二种方法可避免讨论，减少失误．
3．与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0.
概念归纳
3.已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0 ，分别求满足下列条件的m的值．
(1)l1⊥l2；
(2)l1∥l2.
练一练
练一练
练一练
4．已知点A(2,2)和直线l：3x＋4y－20＝0.求：
(1)过点A和直线l平行的直线方程；
(2)过点A和直线l垂直的直线方程．
解：(1)将与直线l平行的方程设为3x＋4y＋C1＝0，
又过点A(2,2)，所以3×2＋4×2＋C1＝0，所以C1＝－14.
所求直线方程为3x＋4y－14＝0.
(2)将与l垂直的直线方程设为4x－3y＋C2＝0，
又过点A(2,2)，所以4×2－3×2＋C2＝0，所以C2＝－2.
所求直线方程为4x－3y－2＝0.
练一练
5．已知直线l1的方程为3x＋4y－12＝0，求l2的方程，使得：
(1)l2与l1平行，且过点(－1,3)；
(2)l2与l1垂直，且l2与两坐标轴围绕成的三角形面积为4.
练一练
【例5】已知直线x＋2ay－1＝0与(a－1)x－ay＋1＝0，若两条直线 平行，求a的值．
规范解答：由两条直线平行或垂直求参数的值
典例剖析
典例剖析
1.已知直线2x+ay+b=0在x轴、y轴上的截距分别为-1,2,则a,b的值分别为(　　)
A.-1,2 B.-2,2 C.2,-2 D.-2,-2
随堂练
A
2.两直线ax-by-1=0(ab≠0)与bx-ay-1=0(ab≠0)的图象可能是(　　)
B
随堂练
3.已知三条直线l1:ax-by+4=0,l2:(a-1)x+y+b=0,l3:bx+2y+a=0,若l1⊥l2,且l2∥l3,则a+b=(　　)
A.2 B.4
C.2或1 D.4或1
D
4.斜率为2,且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为　　　　　　　　　　.
5.若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直,则实数m=　　　　　.
随堂练
2x-y+1=0
1
课本练习
(1)
(2)
(3)
(4)
习题2.2
6. 菱形的两条对角线分别位于x轴和y轴上，其长度分别是8和6，求菱形各边所在直线的方程.
7. 求过点P(2,3),并且在两轴上截距相等的直线方程。
O
y
3
x
4
1
2
1
2
3
4
5
P
5
易错提醒：直线在两坐标轴上的截距相等包含两种情形：截距相等且为0；截距相等且不为0．
9. 三角形的三个顶点是A(4,0), B(6,7), C(0,3).
(1)求BC边上的高所在直线的方程;
(2)求BC边上的中线所在直线的方程;
9. 三角形的三个顶点是A(4,0), B(6,7), C(0,3).
(3)求BC边的垂直平分线的方程.
提示：（1）牢记本题结论，用于设过定点的直线方程．
12. 若直线l沿x轴向左平移3个单位，再沿y轴向上平移1个单位后，回到原来的位置，试求直线l的斜率.
12. 若直线l沿x轴向左平移3个单位，再沿y轴向上平移1个单位后，回到原来的位置，试求直线l的斜率.
O
y
3
x
4
1
2
1
2
3
4
5
6
P
Q
P
y
O
3
x
4
1
2
1
2
3
4
5
6
Q
经过取点、计算、观察知，在直线上方的点的坐标使得2x-y+3的值小于零，在直线下方的点的坐标使得2x-y+3的值大于零.
例3　已知直线l1：mx＋8y＋m－10＝0和直线l2：x＋2my－4＝0垂直，则m＝________.
0
错因分析
易错分析：忽视斜率不存在
错因分析
注意：含参数的直线方程中，一定注意垂直于x轴的情况，
此情况直线方程存在而斜率不存在，常常忽视而漏解.
易错分析：忽视斜率不存在，把直线的一般式化为斜截式得
，导致出错.
错因分析
分析：讨论截距是否0,分别求出直线即可.
错因分析
A
分层练习-基础
2．直线l过点(－1,2)，且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是(　　)
A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0
C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0
A
分层练习-基础
3．若直线2x－y－4＝0在x轴和y轴上的截距分别为a和b，则a－b的值为(　　)
A．6 B．2
C．－2 D．－6
4．直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图形大致是(　　)
A
C
分层练习-基础
5．若直线mx＋3y－5＝0经过连接点A(－1，－2)，B(3,4)的线段的中点，则m＝________.
6．已知Rt△ABC的顶点C(0，－1)，斜边AB所在直线的方程为3x－2y＋1＝0，则AB边上的高所在直线的方程为________．
7．在平面直角坐标系Oxy中，若直线l1：x－2y－1＝0和直线l2：2x－ay－a＝0平行，则常数a的值为________．
8．已知点P(－1,1)与点Q(3,5)关于直线l对称，则直线l的方程为____________．
2
2x＋3y＋3＝0
4
x＋y－4＝0
分层练习-基础
9．根据下列条件，求直线的一般方程：
(1)过点(2,1)且与直线2x＋3y＝0平行；
(2)与直线y＝x垂直，且在两坐标轴上的截距之和为－4.
解：(1)设直线方程为2x＋3y＋c＝0，
将(2,1)代入，
得4＋3＋c＝0，c＝－7，
所以所求直线方程为2x＋3y－7＝0.
分层练习-基础
10．求m，n的值，使直线l1：y＝(m－1)x－n＋7满足：
(1)平行于x轴；
(2)平行于直线l2：7x－y＋15＝0；
(3)垂直于直线l2：7x－y＋15＝0.
分层练习-巩固
11．已知直线Ax＋By＋C＝0的斜率为5，且A－2B＋3C＝0，则该直线方程为(　　)
A．15x－3y－7＝0 B．15x＋3y－7＝0
C．3x－15y－7＝0 D．3x＋15y－7＝0
A
ABD
分层练习-巩固
13．已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是________．
14．直线ax＋y＋1＝0与连接A(2,3)，B(－3,2)的线段相交，则a的取值范围是________．
3或5
a≤－2或a≥1
分层练习-巩固
15．设直线l的方程为(a＋3)x＋y＋3－a＝0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上的截距均为0，求l的方程；
(2)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
(3)若l不经过第三象限，求实数a的取值范围．
分层练习-巩固
(3)将 l 的方程化为y＝－(a＋3)x＋a－3，
欲使 l 不经过第三象限，
当且仅当－(a＋3)≤0且a－3≥0，解得a≥3.
故所求a的取值范围为a≥3.
分层练习-巩固
16．求与直线3x－4y＋7＝0平行，且在两坐标轴上截距之和为1的直线l的方程．
分层练习-拓展
分层练习-巩固
分层练习-拓展
分层练习-巩固
课堂小结
直线的方程
× √ √
× √ √
× × √
× × ×
√ √ √

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