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人教版2019高一数学（选修一） 第二章 直线和圆的方程
2.1.2 两条直线平行和
垂直的判定
学习目标
理解两条直线平行与垂直的条件,培养数学抽象的核心素养.
能根据斜率判定两条直线平行或垂直，强化数学运算的核心素养.
能利用两直线平行或垂直的条件解决问题，培养逻辑推理的核心素养.
情景导入
过山车给人以飞翔的感觉,让你前一秒升至高空,下一秒却落至地面.
从高空看下去——如果你有机会停下来看一眼的话必定很难忘.
但它不会给你时间去欣赏美景,相反会立即从高空开始急速降落,带来一次又一次的动人心魄之旅.
过山车的铁轨是两条平行的、起伏的轨道,它们靠着一根根巨大且垂直于地面的钢柱支撑着,你能感受到过山车中的平行与垂直吗
1.利用直线斜率判断直线平行
新知探究
思考探究：
1.在平面内画两条直线它们一共有几种位置关系？
答：平行、相交
注：若没有特别说明，说“两条直线l1 ， l2”时，指两条不重合的直线.
l1// l2



概念归纳
平面内直线的位置关系
平行
相交
斜率存在
斜率不存在
垂直
例2.已知A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2)，试判断直线AB与PQ的位置关系，并证明你的结论。
分析：直线的位置关系是一个几何问题，不应盲目进行代数运算。应先作图，进行直观判断，再根据几何特征选择合适的代数方法进行运算。
课本例题
解：如右图,由已知可得直线AB、PQ的斜率
分别为
因为kAB=kPQ，所以直线AB∥PQ.
例2.已知A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2)，试判断直线AB与PQ的位置关系，并证明你的结论。
课本例题
已知A(1,2), B(-1,0), C(3,4)三点，请判断A、B、C三点的位置并证明。
解：
所以kAB=kBC，
又因为有公共点B，
所以A,B,C三点在一条直线上.
练一练
思考：斜率相等得到两直线平行还是两直线重合？
注意：区分重合还是平行，需要借助图形进行判断，其中是否有公共点是关键。
1.利用直线斜率判断直线垂直
新知探究
两条直线相交，它们之间的斜率有怎样的关系？
两条直线相交
斜率不相等
在相交的位置关系中，垂直是最特殊的情形
显然，当两条直线相交时，它们的斜率不相等；反之，当两条直线的斜率不相等时，它们相交
概念归纳
课本例题
例4 已知A（-6，0），B（3，6），P（0，3），Q（6，-6），试判断直线AB与PQ的位置关系.
例5.已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3)三点，试判断△ABC的形状。
解：如右图,边AB,BC所在直线的斜率分别为
所以△ABC是直角三角形。
课本例题
两条直线平行和垂直的判定
斜率存在，分别为k ,k 斜率不存在
（不妨设直线l 的斜率不存在）
l ∥ l k =k
l ⊥l k k =-1 另一条直线的倾斜角为0，
斜率为0.
概念归纳
题型1　两条直线平行的判定与应用
典例剖析
典例剖析
典例剖析
看斜率
相等？
提醒：若已知直线上点的坐标，判断直线是否平行时，要考虑直线重合的情况．
平行
平行
不平行
都不存在
是
否
归纳总结
1．已知两平行直线的斜率是方程2x2－4x＋m－1＝0的两实数根，则m的值为 (　　)
A．1 B．－1
C．3 D．－3
【解析】由题意知方程2x2－4x＋m－1＝0的两实数根相等，所以
Δ＝(－4)2－4×2×(m－1)＝0，解得m＝3.
练一练
C
2．直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)且与y轴交于点P，则点P的坐标为 (　　)
A．(3,0) B．(－3,0)
C．(0，－3) D．(0,3)
练一练
D
(1)l1经过点A(3,2)，B(3，－1)，l2经过点M(1,1)，N(2,1)，
判断l1与l2是否垂直；
(2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2,3)，
直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，若l1⊥l2，求a的值．
题型2　两条直线垂直的判定与应用
典例剖析
典例剖析
典例剖析
使用斜率公式判定两直线垂直的步骤
(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步．
(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式．
(3)三求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式对参数进行讨论．
提醒：若已知点的坐标含有参数，利用两条直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率是否存在．
归纳总结
3．已知△ABC的顶点B(2,1)，C(－6,3)，其垂心为H(－3,2)，则其顶点A的坐标为________________．
(－19，－62)
练一练
　如图，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长AD＝5 m，宽AB＝3 m，其中一条小路定为AC，另一条小路过点D，问如何在BC上找到一点M，使得两条小路AC与DM相互垂直？
典例剖析
　题型3　平行与垂直的综合应用
典例剖析
利用坐标法解决实际问题的三个步骤
(1)建立恰当的直角坐标系．
(2)将“形”转化为“数”进行运算．
(3)将计算结果转化为实际问题所求解的问题．
提醒：利用平行、垂直关系式的关键在于正确求解斜率，特别是含参数的问题，必须要分类讨论；其次要注意的是斜率不存在并不意味着问题无解．
归纳总结
练一练
4.如图，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长AD＝5 m，宽AB＝3 m，其中一条小路定为AC，另一条小路过点D，若要在花园里设计一条过M且与AC平行的小路，怎样设计？
5．已知A(1，－1)，B(2,2)，C(3,0)三点，求点D，
使直线CD⊥AB，且CB∥AD．
练一练
6．已知A(0,3)，B(－1,0)，C(3,0)，求D点的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列)．
解：设所求点D的坐标为(x，y)，如图，
由于kAB＝3，kBC＝0，所以kAB·kBC＝0≠－1，
即AB与BC不垂直．
故AB，BC都不可作为直角梯形的直角腰．
①若CD是直角梯形的直角腰，则BC⊥CD，AD⊥CD．
因为kBC＝0，所以CD的斜率不存在，从而有x＝3.
练一练
此时AD与BC不平行．
故所求点D坐标为(3.6,1.8)．
综上所述，D点的坐标为(3,3)或(3.6,1.8)．
已知直线l1经过A(3，m)，B(m－1,2)，
直线l2经过点C(1,2)，D(－2，m＋2)．
(1)若l1∥l2，求m的值；
(2)若l1⊥l2，求m的值．
题型四 由两条直线平行、垂直的条件求参数的值
典例剖析
1．两条直线平行时关注是否重合
由于斜率相等的两条直线可能平行，也可能重合，所以由两条直线平行得斜率相等，求参数的值后要注意检验，如本题中m＝1或m＝6时，经检验l1与l2不重合．
归纳总结
归纳总结
1.若直线l1的斜率为a,l1⊥l2,则直线l2的斜率为(　　)
解析 若a≠0,则l2的斜率为- ;若a=0,则l2的斜率不存在.
随堂练
D
2.已知过A(1,1),B(1,-3)两点的直线与过C(-3,m),D(n,2)两点的直线互相垂直,则m=　　　　,n有　　　　个.
解析 因为由条件知过A(1,1),B(1,-3)两点的直线的斜率不存在,而AB⊥CD,
得m=2,n≠-3,所以n有无数个.
答案 2　无数
随堂练
3.已知△ABC的三个顶点分别是A(2,2),B(0,1),C(4,3),点D(m,1)在边BC的高所在的直线上,则实数m=　　　　　.
解析 设直线AD,BC的斜率分别为kAD,kBC,
由题意,得AD⊥BC,则有kAD·kBC=-1,
随堂练
4.顺次连接A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点,判断四边形ABCD形状.
随堂练
解 ,kAD=-3,因为kAB=kCD,且AB,CD不是同一条直线,所以AB∥CD.因为kAB·kAD=-1,
所以直线AD垂直于直线AB与CD.因为直线BC不平行于任何一条直线,所以四边形ABCD是直角梯形.
课本练习
课本练习
习题2.1
习题2.1
习题2.1
习题2.1
习题2.1
P
O
A
B
x
y
习题2.1
习题2.1
习题2.1
例3　已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2,3)，直线l2经过点C(2,3)，P(－1，a－2)，若l1⊥l2，则a的值为________．
易错辨析　忽视直线斜率不存在的情况致错
错因分析
0或5
本题容易由k1·k2＝－1得a＝0而出错，误认为直线l1的斜率存在.
已知点的坐标中有参数的，首先判断直线的斜率是否存在，本题中直线l1的斜率就要分存在与不存在两种情况解答.
错因分析
1．若直线l1的倾斜角为135°，直线l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)，则直线l1与l2的位置关系是(　　)
A．垂直 B．平行
C．重合 D．平行或重合
D
分层练习-基础
C
分层练习-基础
A
B
分层练习-基础
5．已知△ABC中，A(0,3)，B(2，－1)，E，F分别为AC，BC的中点，则直线EF的斜率为________．
7．若A(－4,2)，B(6，－4)，C(12,6)，D(2,12)，则下面四个结论：
①AB∥CD；②AB⊥AD；③AC∥BD；④AC⊥BD．其中正确的序号有________．
-2
±2
①②④　
分层练习-基础
8．已知点M(1，－3)，N(1,2)，P(5，y)，且∠NMP＝90°，则log8(7＋y)＝________.
分层练习-基础
9．已知A(1,5)，B(－1,1)，C(3,2)，若四边形ABCD是平行四边形，求D点的坐标．
分层练习-基础
10．已知点M(2,2)，N(5，－2)，点P在x轴上，分别求满足下列条件的点P的坐标．
(1)∠MOP＝∠OPN(O是坐标原点)；
(2)∠MPN是直角．
分层练习-基础
分层练习-巩固
11．满足下列条件的直线l1与l2，其中l1∥l2的是(　　)
①l1的斜率为2，l2过点A(1,2)，B(4,8)，且l1不经过A点；
②l1经过点P(3,3)，Q(－5,3)，l2平行于x轴，但不经过P点；
③l1经过点M(－1,0)，N(－5，－2)，l2经过点R(－4,3)，S(0,5)．
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
12．(多选)已知A(m,3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1,2)，D(1,0)，且直线AB与CD平行，则m的值为(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
D
BC
分层练习-巩固
13．已知定点A(－1,3)，B(4,2)，以AB为直径作圆，与x轴有交点C，则交点C的坐标是________．
(1,0)或(2,0)　
分层练习-巩固
14．如图，在平面直角坐标系Oxy中，设△ABC的顶点分别为A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)，点P(0，p)为线段AO上的一点(异于端点)，这里a，b，c，p均为非零实数，设直线BP，CP分别与边AC，AB交于点E，F.若BE⊥AC，求证：CF⊥AB．
分层练习-巩固
分层练习-拓展
分层练习-拓展
【分析】建立直角坐标系，求(设)出相关点的坐标，再由两垂直直线斜率之积为－1建立方程求解．
分层练习-拓展
（1）两条直线平行，它们斜率有怎样的关系？
（2）两条直线垂直，它们斜率有怎样的关系？
（3）我们如何判断直线的位置关系？
数：计算直线的斜率进行判断
形：画图！
课堂小结
课堂小结
两直线平行于垂直的判定
平行
垂直
斜率相等
斜率都不存在
斜率之积等于-1
一条直线斜率为0，另一条斜率不存在

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