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人教版2019高一数学（选修一） 第二章 直线和圆的方程
2.2.2 直线的两点式方程
学习目标
3.掌握直线方程两点式（直线方程截距式）的形式、特点及适用范围（难点）
2.掌握中点坐标公式与会求线段中点
1.能够利用直线两点式方程与截距式方程解决对应的问题。（重点）
情景导入
上节课我们学习了直线的点斜式方程、斜截式方程.
那么这是一种什么关系呢？
本节课我们就来探讨一下吧！
1.直线方程的两点式
新知探究
已知直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (其中x1≠x2，y1≠y2)，因为两点确定一条直线，所以直线l是唯一确定的．
即直线l上任意一点P(x，y)坐标与的两点P1，P2的坐标之间有唯一确定的关系．
那么，它们的坐标之间的关系是什么呢？你有什么思路吗？
思路一：先由两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)确定直线l的斜率，
然后写出直线l的点斜式方程， 则点P的坐标满足直线l方程．
思路二：点P，P1，P2中任意两点确定的直线斜率相等．
又y1≠y2，则以上两方程可统一改写为：
方程 称为经过两点 ，
（ ， ）的直线l的两点式方程，简称两点式 .
概念归纳
直线方程的两点式可以看作点斜式的“变式”或推论；
(2) 在两种方案的推导过程中，斜率均处于核心地位．
课本例3：如右图，已知直线l与x轴的交点为 ，与y轴上的交点为 ，其中 ，求直线l的方程
2.直线方程的截距式
新知探究
x
y
O
a
b
概念归纳
x
y
O
a
b
b:直线l在y轴上的截距
a:直线l在x轴上的截距
直线的截距式方程（简称：截距式）
截距式方程是
特殊的两点式方程
过
，
直线不能
平行于x轴
直线不能
平行于y轴
直线不能
过原点
概念归纳
运用截距式求直线方程的注意事项：
三角形的
三个顶点
边所在直线的方程
横纵坐标不等，将端点代入两点式，截距式
课本例题
思路分析：
解：过 ， 的两点式方程为 ，
整理得
这就是边BC所在直线的方程.
过 ， 的截距式方程为 ，
整理得
这就是边AC所在直线的方程.
一边上的中点
中线
中线所在直线方程
将中线端点代入直线的两点式方程
课本例题
思路分析：
解：
中点坐标公式
直线的方程
直线过
直线的方程
直线的两点式方程
直线
过两点
直线过
直线过
直线的截距式方程
直线过
归纳总结
【例1】如图，已知A(1,2)，B(－1,4)，C(5,2)．
(1)求线段AB的中点D的坐标；
(2)求△ABC的边AB上的中线所在的直线方程．
题型1　直线的两点式方程
典例剖析
典例剖析
【例2】如图，已知A(1,2)，B(－1,4)，C(5,2)．求三角形三条边所在直线
的方程．
典例剖析
【例3】如图，已知A(1,2)，B(－1,4)，C(5,2)．
求过线段AC中点E和线段BC中点F的直线方程，
并判断直线EF与直线AB是否平行．
典例剖析
典例剖析
求直线的两点式方程的策略以及注意点
(1)适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．
(2)差的顺序性：一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．
提醒：已知两点坐标，求过这两点的直线方程也可以先求斜率，再代入点斜式得到直线的方程．
概念归纳
1．在△ABC中，A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)．
(1)求BC所在直线的方程；
(2)求BC边上的中线所在直线的方程．
练一练
练一练
【例4】已知直线l过点A(1,2)，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积是4，求直线l的方程．
题型2　直线的截距式方程
典例剖析
典例剖析
概念归纳
2．在△ABC中，点A，B的坐标分别为(－1,2)，(4,3)，AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上．
(1)求点C的坐标；
(2)求直线MN的方程．
练一练
练一练
练一练
题型3　直线方程的综合应用
【例5】一条光线从点A(3,2)发出，经x轴反射，通过点B(－1,6)，求入射光线和反射光线所在直线的方程．
　
典例剖析
典例剖析
概念归纳
1．直线方程的选择技巧
(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率．
(2)若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距．
(3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程．
(4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决．
概念归纳
2．妙解光线的反射问题
光线的反射问题是直线部分常考的题型之一，
此类问题可借助光学性质：入射角等于反射角，或使用对称思想(一般找对称点)解决．
练一练
3.（变式练）一条光线从点A(3,2)发出，经x轴反射，通过点B(1,6)，
求入射光线和反射光线所在直线的方程．
练一练
练一练
练一练
5．(拓展练)如图，已知光线从A(2,1)出发，先后经过x轴和y轴反射后到达B(1,2)，求光线从x轴到达y轴时所在直线的方程．
练一练
解：由题意，点A关于x轴的对称点A1的坐标为(2，－1)，
点B关于y轴的对称点B1的坐标为(－1,2)，
如图，由光线的对称性可知直线A1B1就是所求的直线．
由直线方程的两点式可得，所求直线的方程为y＝－x＋1.
1.点A(1,2)关于直线y=kx+b对称的点是B(-1,6),则直线y=kx+b在x轴上的截距是(　　)
A.4 B.-4
C.8 D.-8
随堂练
D
随堂练
2.已知△ABC三顶点A(1,2),B(3,6),C(5,2),M为AB的中点,N为AC的中点,则中位线MN所在的直线方程为(　　)
A.2x+y-8=0 B.2x-y+8=0
C.2x+y-12=0 D.2x-y-12=0
A
3.若点P(3,m)在过点A(2,-1),B(-3,4)的直线上,则m=　　　　.
随堂练
-2
4.直线ax+by=1(ab≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积是　　　　　.
课本练习
课本练习
O
y
3
x
4
1
2
1
2
3
4
5
6
课本练习
课本练习
　过点A(4,2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l的方程为________________．
易错警示　 求直线的方程
错因分析
错因分析
错解分析：错误的根本原因是对直线在坐标轴上的截距的理解不够准确致误，实际上直线过原点时在两坐标轴上截距的绝对值也相等．
错因分析
错因分析
错因分析
分层练习-基础
A
D
3．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是(　　)
A．1 B．－1
C．－2或－1 D．－2或1
D
分层练习-基础
4．直线l过A(－4，－6)，B(2,6)两点，点C(1009，b)在直线l上，则b的值为(　　)
A．2016 B．2018
C．2020 D．2022
C
分层练习-基础
5．已知A(1,2)及AB的中点(2,3)，则B点的坐标是________．
6．直线l过原点且平分平行四边形ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为B(1,4)，D(5,0)，则直线l的方程为__________．
7．直线l过点P(－2,3)，且与x轴、y轴分别交于A，B两点，若P恰为AB的中点，则直线l的方程为__________．
(3,4)
3x－2y＋12＝0
8．过点P(1,3)的直线l分别与两坐标轴交于A，B两点，若P为AB的中点，则直线l的截距式方程是____________．
分层练习-基础
9．已知在△ABC中，A(2，－1)，B(4,3)，C(3，－2)．求：
(1)BC边上的高所在直线方程；
(2)AB边中垂线方程．
分层练习-基础
分层练习-基础
10．如图，已知正方形的边长是4，它的中心在原点，对角线在坐标轴上，求正方形各边及对称轴所在直线的方程．
分层练习-基础
分层练习-巩固
11．已知△ABC的三顶点坐标分别为A(1,2)，B(3,6)，C(5,2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线的方程为(　　)
A．2x＋y－8＝0 B．2x－y＋8＝0
C．2x＋y－12＝0 D．2x－y－12＝0
A
AB
分层练习-巩固
13．点M(4,1)关于点N(2，－3)的对称点P的坐标为________．
14．已知直线l：x－y＋3＝0，一束光线从点A(1,2)处射向x轴上一点B，又从B点反射到l上的一点C，最后从C点反射回A点，则直线BC的方程为____________．
(0，－7)
3x＋y－1＝0
分层练习-巩固
15．过点P(2,3)作直线l，使l与点A(－1，－2)，B(7,4)的距离相等，这样的直线l存在吗？若存在，求出其方程；若不存在，请说明理由．
分层练习-巩固
分层练习-巩固
分层练习-拓展
分层练习-拓展
规划
问题
转化为在线段AB上求一点P，使长方形面积最大
建系，求出直线AB的方程
求出P点坐标
求长方形面积的表达式
求最值
数学抽象
数学运算
数学建模
数学运算
分层练习-拓展
分层练习-拓展
分层练习-拓展
课堂小结
直线的方程
常数的几何意义
斜率不存在
斜率为0
过原点
两点式方程：
_____________
________________
截距式方程:
_____________
a:____________
b:____________
x
y
O
直线上两点的坐标
直线在x轴上的截距
×
×
直线在y轴上的截距
×
×
x
y
O
x
y
O
×
√

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