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人教版2019高一数学（选修一） 第二章 直线和圆的方程
2.4.1 圆的标准方程
学习目标
1．会用圆的定义推导圆的标准方程，并掌握圆的标准方程的特征．
培养直观想象能力和逻辑推理能力；
2．能根据已知条件求圆的标准方程，掌握待定系数法和几何法．
培养数学运算素养、渗透方程思想；
3．能判断点与圆的位置关系并能解决相关问题．体会如何用代数方法去解决几何问题．
情景导入
已知隧道的截面是半径为4 m的半圆,车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆宽为2.7 m,高为3 m的货车能不能驶入这个隧道
1.根据问题一的探究能不能得到圆心在原点,半径为r的圆的方程
2.如果圆心在(a,b),半径为r时又如何呢
本节课我们就来学习圆的标准式方程解决此类问题！
1.圆的标准式方程
新知探究
类似于直线方程的建立过程，为建立圆的方程，我们首先考虑确定一个圆的几何要素．
在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？圆的定义是什么？
初中我们学习过的圆的定义。
圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合。
在平面直角坐标系中，如果一个圆的圆心坐标及它的半径确定，这个圆也就确定了.
由上述过程可知，若点M(x, y)在圆A上，点M的坐标就满足方程(1)；
反过来，若点M的坐标(x, y)满足方程(1) ，就说明点M与圆心A间的距离为r ，点M就在圆A上。
这时我们就把方程(1) 称为圆心为A(a, b)，半径为r 的圆的标准方程．
　　

半径r
由此得到了圆的标准式方程：
这个方程是否能够表示所有圆的方程呢？
1. 是关于x, y的二元二次方程；
2. 确定圆的方程必须具备三个独立条件, 即 a，b，r；
圆的标准式方程的特征:
4. 要注意r 的取值，r>0．
3. 特别地，若圆心在坐标原点，则圆方程为
概念归纳
解：将圆心A(2,-3)，半径为5代入圆的标准方程，可得所求圆的方程为
例1. 求圆心为A(2,-3)，半径为5的圆的标准方程，并判断点M1(5,-7)，
M2(-2,-1) 是否在这个圆上．
我们该如何确定点是否在这个圆上呢？
课本例题
例1. 求圆心为A(2,-3)，半径为5的圆的标准方程，并判断点M1(5,-7)，
M2(-2,-1) 是否在这个圆上．
课本例题
很明显，从几何角度看点与圆的位置关系有三种．
设点到圆心的距离为d，半径为r，则有
（1）若d（2）若d=r，则点在圆上
（3）若d>r，则点在圆外
2.点与圆的位置关系
新知探究
观察下图，点与圆的位置关系有几种，你是如何判断的？
我们如果用代数方法，将点M坐标代入圆的方程左边，会发现这个格式恰好是MA两点距离d的平方，然后我们将其与r2作大小比较：
在直角坐标系中，已知点M(x0, y0)与圆A：(x－a)2＋(y－b)2＝r2
如何判断点M与圆A的位置关系？
概念归纳
概念归纳
位置关系 d与r的大小 图示 点P的坐标的特点
点在圆外 d＞r (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2
点在圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点在圆内 d＜r (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2
点M(x0, y0)与圆A：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法
3.根据已知条件求圆的标准方程
新知探究
[分析] 本题条件中“三点共圆”．我们不妨设圆的标准方程，代入点坐标，联立方程，待定系数；把问题转化为方程组问题，解出a、b、r即可．
例2. △ABC 的三个顶点分别是A(5, 1), B(7, -3), C(2, -8), 求△ABC的外接圆的标准方程.
解:
例2. △ABC 的三个顶点分别是A(5, 1), B(7, -3), C(2, -8), 求△ABC的外接圆的标准方程.
你还有其他方法吗？
例2 △ABC 的三个顶点分别是A(5, 1), B(7, -3), C(2, -8), 求△ABC的外接圆的标准方程.
x
O
y
A(5,1)

C(2,-8)

B(7,-3)

r
M

解2：
因为线段AB是圆的一条弦，根据平面几何知识，AB的中点与圆心C的连线垂直于AB，由此可得到另一种解法.
圆的标准方程的两种求法
概念归纳
题型1　用直接法求圆的标准方程
典例剖析
用直接法求圆的标准方程的策略
(1)首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程．
(2)确定圆心和半径时，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“过切点与切线垂直的直线必过圆心”等．
提醒：当圆与坐标轴相切时要特别注意圆心的坐标与圆的半径的关系．
归纳总结
1．⊙C的圆心C坐标为(x0，x0)，且过定点P(4,2)．
(1)求⊙C的方程(用含x0的式子表示)；
(2)当x0为何值时，⊙C的面积最小？求出此时圆的标准方程．
练一练
经过点A(－1,3)，B(4,2)且圆心在x轴上的圆的方程是________________．
典例剖析
题型2　用待定系数法求圆的标准方程
(x－1)2＋y2＝13
经过点A(－1,3)，B(4,2)且圆心在y轴上的圆的方程是________________．
x2 ＋ (y+5) 2＝13
典例剖析
经过点A(－1,3)，B(4,2)点C(1，－1)的圆的方程是________________．
典例剖析
1．待定系数法求圆的标准方程的一般步骤
设方程
列方程组
解方程组
得方程
设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2
由已知条件，建立关于a，b，r
解方程组，求出a，b，r
将a，b，r代入所设方程，得所求原方程
归纳总结
2．求任意△ABC外接圆方程的方法
(1)直接法：①求出AB，AC中垂线的方程；
②联立成二元方程组得圆心D坐标；
③求AD(或BD，CD)得半径；
④代入标准方程一般形式即可．
(2)间接法：①设出标准方程；
②代入三点坐标联立成三元方程组；
③解方程组得标准方程．
归纳总结
3．几种常见特殊位置的圆的标准方程
(1)以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程：x2＋y2＝r2.
(2)圆心在x轴上，半径为r的圆的标准方程：(x－a)2＋y2＝r2.
(3)圆心在y轴上，半径为r的圆的标准方程：x2＋(y－b)2＝r2.
(4)圆心在x轴上且过原点的圆的标准方程：(x－a)2＋y2＝a2(a≠0)．
(5)圆心在y轴上且过原点的圆的标准方程：x2＋(y－b)2＝b2(b≠0)．
2．求过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心C在直线x＋y－2＝0上的
圆的标准方程．
练一练
　如图，已知两点P1(4,9)和P2(6,3)．
(1)求以P1P2为直径的圆的方程；
(2)试判断点M(6,9)，N(3,3)，Q(5,3)是在圆上、在圆内、还是在圆外．
题型3　点与圆的位置关系
典例剖析
归纳总结
1．判断点与圆的位置关系的两种方法
(1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小．
(2)代数法：主要是把点的坐标代入圆的标准方程来判断：
点P(x0，y0)在圆C上 (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；
点P(x0，y0)在圆C内 (x0－a)2＋(y0－b)2点P(x0，y0)在圆C外 (x0－a)2＋(y0－b)2>r2.
归纳总结
2．确定一定点与圆上任一点P间的最值的方法
若点M与圆心的距离为d，则有：
①若点M在圆C外，则|PM|的最大值为d＋r，最小值为d－r.
②若点M在圆C上，则|PM|的最大值为2r，最小值为0.
③若点M在圆C内，则|PM|的最大值为d＋r，最小值为r－d.
3．已知点A(1,2)和圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2，试分别求满足下列条件的实数a的取值范围．
(1)点A在圆的内部；
(2)点A在圆上；
(3)点A在圆的外部．
解：(1)A在圆的内部，(1－a)2＋(2＋a)2<2a2，且a不为0，解得a<－2.5.
(2)点A在圆上，(1－a)2＋(2＋a)2＝2a2，解得a＝－2.5.
(3)点A在圆的外部，(1－a)2＋(2＋a)2>2a2，且a不为0，解得a>－2.5且a≠0.
练一练
1.圆x2+y2=1的圆心到直线3x+4y-25=0的距离是(　　)
A.5 B.3 C.4 D.2
A
2.以C(2,-3)为圆心,且过点B(5,-1)的圆的方程为(　　)
A.(x-2)2+(y+3)2=25 B.(x+2)2+(y-3)2=65
C.(x+2)2+(y-3)2=53 D.(x-2)2+(y+3)2=13
D
随堂练
3.已知圆C经过A(0,0),B(2,0)两点,且圆心在第一象限,△ABC为直角三角形,则圆C的方程为(　　)
A.(x-1)2+(y-1)2=4 B.(x- )2+(y- )2=2
C.(x-1)2+(y-1)2=2 D.(x-1)2+(y-2)2=5
随堂练
C
4.已知点P(1,-1)在圆(x+2)2+y2=m的外部,则实数m的取值范围是　　　　　 .
5.圆(x+2)2+y2=5关于原点O(0,0)对称的圆的方程为　　　　　　　　　　　　 .
随堂练
（0,10）
(x-2)2+y2=5
课本练习
课本练习
课本练习
课本练习
　已知某圆圆心C在x轴上，半径为10，且在y轴上截得的线段AB的长为16，则圆的标准方程为________．
易错警示　求圆的标准方程
错因分析
(x+6)2＋y2＝100
错解分析：错误的根本原因是借助图形辅助求解时漏掉一解，以及对圆的标准方程的结构形式特点掌握不准确导致错误．
错因分析
错因分析
防范措施：
1．突出图形的作用
图形可以帮助我们直观地分析题意，能有效地避免漏解，提高解题的准确性．如本题通过图形能准确地判定出圆心在y轴左右两侧这两种情形，忽略此点易造成漏解．
2．准确认识圆的标准方程的结构特点
圆的标准方程的结构特点是：等号左边是平方和的形式，右边是半径的平方而非半径．
如本题中若不注意此点则易出现类似(x±6)2＋y2＝10的失误.
错因分析
分层练习-基础
1．以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是(　　)
A．(x－1)2＋(y－2)2＝25 B．(x＋1)2＋(y＋2)2＝25
C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝100 D．(x－1)2＋(y－2)2＝100
A
D
分层练习-基础
3．点P(m,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　)
A．在圆外 B．在圆内
C．在圆上 D．不确定
A
A
分层练习-基础
5．一圆与圆C：(x＋2)2＋(y＋1)2＝3为同心圆且面积为圆C面积的两倍，此圆的标准方程为________．
8．过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝________.
(x＋2)2＋(y＋1)2＝6
(x＋1)2＋y2＝2
或(x＋3)2＋y2＝2
(x－2)2＋y2＝9
分层练习-基础
9．已知A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(－1,2)，问这四点能否在同一个圆上？为什么？
10．已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0)．
(1)若点M(6,9)在圆上，求a的值；
(2)已知点P(3,3)和点Q(5,3)，线段PQ(不含端点)与圆N有且只有一个公共点，求a的取值范围．
分层练习-基础
12．(多选)瑞士数学家欧拉(Leonhard Euler)1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A(－4,0)，B(0,4)，其欧拉线方程为x－y＋2＝0，则顶点C的坐标可以是(　　)
A．(2,0) B．(0,2)
C．(－2,0) D．(0，－2)
分层练习-巩固
B
AD
13．已知点A(1,2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，则实数a的取值范围为________．
分层练习-巩固
(x＋1)2＋y2＝20
或(x－5)2＋(y－2)2＝20
分层练习-巩固
15．已知以点C为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，且圆心在直线x＋3y－15＝0上．
(1)求圆C的方程；
(2)设点P在圆C上，求△PAB的面积的最大值
16．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1,1)在AD边所在的直线上．
(1)求AD边所在直线的方程；
(2)求矩形ABCD外接圆的方程．
分层练习-巩固
16．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1,1)在AD边所在的直线上．
(1)求AD边所在直线的方程；
(2)求矩形ABCD外接圆的方程．
分层练习-巩固
分层练习-拓展
分层练习-拓展
分层练习-拓展
课堂小结
圆的标准方程
方程的建立
点与圆的位置关系
圆的方程的求法
点在圆上
点在圆外
点在圆内
待定系数法（代数法）
几何法

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