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人教版2019高一数学（必修一） 第二章 直线和圆的方程
2.3.1 两条直线的交点坐标
2.3.2 两点间的距离公式
学习目标
1．理解并掌握用直线方程求两条相交直线的交点坐标的方法；
2．理解二元一次方程组的解与两条直线的位置的对应关系，会用
直线方程组的解和斜率两种方法判断两条直线的位置关系；
3 ．探索、掌握并熟练运用两点间的距离公式.
4 ．能用坐标法解决平面几何中的距离问题.
情景导入
O
x
y
B
1.两条直线的交点坐标
新知探究
直线 和 存在唯一交点，记为
直线 和 相交.
点 既在 上，又在 上.
是方程组 的唯一解.
思考探究
O
x
y
B
因此解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标
联立方程组
解得
即为两条直线交点坐标.
已知两条直线
相交，如何求得两条直线的交点坐标？
（1）联立
（2）求解
（3）得交点
课本例题

　　设两条直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,将两条直线的方程联立
得到方程组:
　　
若方程组有唯一解,则两条直线相交,
以此解为坐标的点就是两直线的交点.
两条直线的交点
概念归纳
2.判断两直线的位置关系
新知探究
有解（一个交点）
无数解（重合）
这其中有什么规律吗？
无解（无交点）
判断两条直线位置关系代数方法：
概念归纳
直线的位置关系 公共点的个数 方程组解的个数 图例
相交
平行
重合
有且仅有1个
唯一解
0个
无解
无数个
无数组解
两条直线的位置关系与对应的二元一次方程组解的个数
概念归纳
你能用直线的斜率判断上述各对直线的位置关系吗？
概念归纳
用斜率可以快速判断两条直线平行或不相交(或垂直)
但无法直接得出不相交时两条直线的交点坐标.
对于斜率分别为 的两条不同直线 ，有
比较用斜率判断和解方程组判断两直线位置关系，你有什么体会？
代数方法
关注直线方程系数关系，快速判断两条直线平行重合或相交（垂直）.
关注解的个数与交点个数的对应，判断两条直线平行、重合或相交；
求相交直线交点坐标.
概念归纳
3.判断两直线的位置关系
新知探究

概念归纳
上式我们利用向量法进行证明！
还有其他方法证明吗？
思考探究
思考探究

该公式对情况(1)(2)也适用
思考探究
与向量法比较，你有什么体会？
思考探究
构造直角三角形
向量法
向量法简洁方便,不需要分类讨论
体现数形结合思想

课本例题
1.建立坐标系.
以哪个点为原点？
例4.用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍.
1.建立坐标系.


例4.用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍.
2.代数运算
例4.用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍.
3.得出结论.
题型1　求两条直线的交点
典例剖析
(1)已知直线l1的方程为Ax＋3y＋C＝0，直线l2的方程为2x－3y＋4＝0，若l1，l2的交点在y轴上，则C的值为 (　　)
A．4 B．－4
C．±4 D．与A有关
(2)直线l1：2x＋3y＝12与直线l2：x－2y－4＝0的交点坐标为________．
(3)已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围是________．
B
方法一 联立直线方程解方程组，若有一解，则两条直线相交
方法二 两条直线斜率都存在且斜率不等
方法三 两条直线的斜率一个存在，另一个不存在
两条直线相交的判定方法
概念归纳
1．判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点．
(1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；
(2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0.
练一练
典例剖析
【例1】求过两条直线x－2y＋4＝0和x＋y－2＝0的交点，且分别满足下列条件的直线l的方程：
(1)直线l与直线3x－4y＋1＝0平行；
(2)直线l与直线5x＋3y－6＝0垂直．
题型2　过两条直线交点的直线的问题
【例2】求过两条直线x－2y＋4＝0和x＋y－2＝0的交点，若直线l在x轴上的截距为－3，求直线l的方程．
典例剖析
【例3】求过两条直线x－2y＋4＝0和x＋y－2＝0的交点，且分别满足下列条件的直线l的方程：
(1)直线l与直线2x＋3y－5＝0平行；
(2)直线l与直线3x－2y－3＝0垂直．
典例剖析
概念归纳
1．过两条直线交点的直线方程的求法
(1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．
(2)特殊解法(直线系法)：先设出过两条直线交点的直线方程，再结合条件利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程．
2．解含有参数的直线恒过定点的问题
(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．
2．已知直线l经过两条直线x－y＋5＝0，x＋y－3＝0的交点，且垂直于直线3x－2y＋4＝0，求直线l的方程．
练一练
已知点A(2,3)，B(4,1)，△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线l：x－2y＋2＝0上．
(1)求AB边上的高CE所在直线的方程；
(2)求△ABC的面积．
典例剖析
　题型3　平面内两点间距离公式的应用
概念归纳
1．利用两点间的距离公式求参数的值的方法及技巧
(1)方法：常用方法是待定系数法，即先设出所求点的坐标，利用两点间的距离公式建立方程，然后利用方程的思想求解参数．
(2)技巧：解决此类问题时，常常需要结合图形，来直观地找出点与点、点与线、线与线的位置关系，然后利用相关性质转化成我们熟悉的问题．
概念归纳
2．用坐标法(解析法)解决几何问题的基本步骤
第一步：建立适当的直角坐标系，用坐标表示有关的量；
第二步：进行有关的代数计算；
在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：
一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或钝角；
二是要考虑三角形边的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理．
第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系．
提醒：建系时让图形中尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算．
练一练
3.已知A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)， △ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线l：x－2y＋2＝0上．试判断此三角形的形状，并求其面积．
练一练
5．△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，已知A，B，C三点在同一直线上，用坐标法证明|AE|＝|CD|.
练一练
证明：如图，以B为坐标原点，直线AC为x轴，建立平面直
角坐标系．
5．△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，已知A，B，C三点在同一直线上，用坐标法证明|AE|＝|CD|.
典例剖析
　已知直线l：3x＋λy－2＋2λx＋4y＋2λ＝0.
(1)求证：直线l过定点；
(2)求过(1)的定点且垂直于直线3x－2y＋4＝0的直线方程．
规范解答　直线恒过定点问题
概念归纳
审结论(明解题方向) 审条件(挖解题信息)
(1)直线过的定点坐标代入方程恒成立；
(2)求直线方程，要确定直线的斜率和所过定点坐标
建关系——切解题突破口
(1)转化方程的形式→解方程组→得定点坐标；
(2)明确定点坐标→求斜率→写出点斜式并化为一般式
随堂练
1.经过直线2x+y-2=0和x-y-1=0的交点,且与直线3x+2y-2=0垂直的直线方程是(　　)
A.3x-2y-1=0 B.2x-3y-1=0
C.2x-3y-2=0 D.3x-2y-2=0
C
2.直线2x+3y-k=0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上,则k的值为(　　)
A.-24 B.24
C.6 D.±6
A
证明 将原方程按m的降幂排列,整理得(x+2y-1)m-(x+y-5)=0,
此式对于m的任意实数值都成立,根据恒等式的要求,m的一次项系数与常数项均等于零,故有
∴m为任意实数时,所给直线必通过定点(9,-4).
3.已知直线l1:ax+y-6=0与l2:x+(a-2)y+a-1=0相交于点P,若l1⊥l2,则点P的坐标为　　　　　　.
(3,3)
4.求证:不论m为何值,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5都通过一定点.
随堂练
O
y
3
x
4
1
2
1
2
3
4
5
6
5
6
课本练习（P72）
课本练习
课本练习
课本练习
课本练习
课本练习（P74）
课本练习
3. 用坐标法证明：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等。
C
A
B
P
x
y
课本练习
C
A
B
P
x
y
课本练习
易错辨析　应用直线系方程漏解引发的错误
错因分析
易错原因 纠错心得
应用直线系方程求解时，恰好漏掉了直线
2x－y＋4＝0. 直线系(2λ＋1)x＋(1－λ)x＋4λ－1＝0表示经过两直线x＋y－1＝0和2x－y＋4＝0的交点，但不包括直线2x－y＋4＝0，而本题是特殊情况，
因为原点到直线2x－y＋4＝0的距离也为.
错因分析
1．已知直线l1：Ax＋3y＋C＝0与l2：2x－3y＋4＝0，若l1，l2的交点在y轴上，则C的值为(　　)
A．4 B．－4
C．4或－4 D．与A的取值有关
B
分层练习-基础
2．以A(5,5)，B(1,4)，C(4,1)为顶点的三角形是(　　)
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
B
分层练习-基础
4．过两条直线3x＋y－1＝0与x＋2y－7＝0的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是(　　)
A．x－3y＋7＝0 B．x－3y＋13＝0
C．2x－y＋7＝0 D．3x－y－5＝0
C
B
分层练习-基础
5．过点A(4，a)和B(5，b)的直线和直线y＝x＋m平行，则|AB|＝________.
6．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|＝________.
2
分层练习-基础
8．已知直线l上两点A，B的坐标分别为(3,5)，(a,2)，且直线l与直线3x＋4y－5＝0垂直，则|AB|的值为__________．
分层练习-基础
9．在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在直线的方程为y＝0，若B点的坐标为(1,2)．
(1)求直线AC的方程；
(2)求A，C两点间的距离．
分层练习-基础
分层练习-基础
10．平行四边形ABCD的一组邻边所在直线的方程分别为x－2y－1＝0与2x＋3y－9＝0，对角线的交点坐标为(2,3)．
(1)求已知两条直线的交点坐标；
(2)求此平行四边形另两边所在直线的方程．
分层练习-基础
分层练习-巩固
11．已知直线2x＋my－1＝0与直线3x－2y＋n＝0垂直，垂足为(2，p)，则p－m－n的值为(　　)
A．－6 B．6
C．4 D．10
12．(多选)两条直线(m＋2)x－y＋m＝0，x＋y＝0与x轴相交且能构成三角形，则m不能取到的值有(　　)
A．－3 B．－2
C．－1 D．0
C
ABD
分层练习-巩固
13．已知直线l1：a1x＋b1y＝1和直线l2：a2x＋b2y＝1相交于点P(2,3)，则经过点P1(a1，b1)和P2(a2，b2)的直线方程是____________．
14．已知直线l：y＝－2x＋6和点A(1，－1)，过点A作直线l1与直线l相交于点B，且|AB|＝5，则直线l1的方程为____________．
2x＋3y＝1
x＝1或3x＋4y＋1＝0
分层练习-巩固
15．已知正三角形ABC的边长为a，在平面上求一点P，使|PA|2＋|PB|2＋|PC|2最小，并求此最小值．
分层练习-巩固
分层练习-巩固
16．在△ABC中，AD是BC边上的中线．求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．
证明：以边BC所在直线为x轴，以D为原点，建立平面直角坐标系，如图所示．
设A(b，c)，C(a,0)，则B(－a,0)．
因为|AB|2＝(a＋b)2＋c2，
|AC|2＝(a－b)2＋c2，|AD|2＝b2＋c2，|DC|2＝a2，
所以|AB|2＋|AC|2＝2(a2＋b2＋c2)，
|AD|2＋|DC|2＝a2＋b2＋c2，
所以|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．
分层练习-拓展
分层练习-拓展
分层练习-拓展
分析：根据两点间的距离公式以及点的对称性建立方
程组求解即可．
分层练习-拓展
分层练习-拓展
课堂小结
求相交直线交点坐标
解方程组
判断两条直线的位置关系
（相交、平行、重合）
解的个数与交点个数的对应
课堂小结
直线的位置关系 公共点的个数 方程组解的个数 图例
相交
平行
重合
有且仅有1个
唯一解
0个
无解
无数个
无数组解
两条直线的位置关系与对应的二元一次方程组解的个数
两直线斜率不存在
能化成相同直线
重合
不能化成相同直线
平行
一条直线斜率不存在，
另一条直线斜率存在
相交
两直线斜率存在
斜率不等
相交
斜率相等
截距不等
则平行
截距相等
则重合
课堂小结

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