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人教版2019高一数学（必修一） 第二章 直线和圆的方程
2.3.3 点到直线的距离公式
2.3.4 两条平行直线间的距离
学习目标
1．了解点到直线的距离公式的推导方法；
2．掌握点到直线的距离公式并会应用；
3.理解两平行线间距离的定义；
4.会求两平行线间的距离，及应用公式求距离；
上节课我们学习了两点间的距离公式，还记得它的内容吗？
情景导入
情景导入
在一条笔直的公路同侧有两个村庄A和B,
现在计划在公路上某处建一个公交站点C,
以方便两村人民的出行.
如何选址能使站点到两个村的距离之和最小
1.点到直线的距离公式
新知探究
点P到直线l的距离，即垂线段长度｜PQ｜
问: 怎么求PQ的长度呢？
通过两点间距离公式
问: 点Q坐标怎么求？
通过联立两直线方程求交点Q
求直线PQ方程
问：求直线方程，需要几个条件？
2个条件，两点或者一点一斜（斜率或倾斜角）.
直线PQ 过点P (x0, y0 ) ，且与直线l垂直.
(2)当A、B中有一个为0时，如A=0，B≠0 时，直线l : By+C=0 ,
此时PQ方程为x= x0 .当B=0，A≠0时，PQ方程为y= y0 .
综上所述PQ方程为： Bx- Ay = B x0 -A y0
PQ：Bx- Ay = B x0 -A y0
(x0, y0 )
概念归纳
点到直线的距离公式
点P(x0 ，y0)到直线l：Ax+By+C=0的距离为：
当A=0，或B=0时，上述公式仍然成立.
分子的式子是直线方程的一般式形式
分母的式子是直线方程的一般式的系数平方和，开根号
所以，点到直线的距离公式中
直线要化成一般式方程
上述方法中，我们根据点到直线距离的定义，将点到直线的距离化为两点之间的距离，思路自然但运算量大.
你能想到其它方法吗？
思考探究
思考探究
我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具，能否用向量方法求点到直线的距离？
思考探究
利用向量的投影进行运算！
思考探究
比较上述两种方法，第一种方法从定义出发，把问题转化为求两点间的距离，通过代数运算得到结果，思路自然；第二种方法利用向量投影, 通过向量运算求出结果,简化了运算. 除了上述两种方法，你还有其他推导方法吗
思考探究
x
y
O
S
R
l
Q
P0
构造三角形，利用等面积法求高，即点到直线的距离d.
只需求出点S、R坐标.
勾股定理
等面积法
x
y
P0 (x0,y0)
O
S
R
Q
d
思考探究
课本例题
y
0

x
P(-1,2)
思考：观察直线方程，有其它方法吗？
思考：用距离公式得出答案不同，哪里出错了？
×
解: （2）先将直线方程化为一般式3x -2=0，再根据点到直线的距离公式：
课本例题

还有其他方法吗？
利用两点距离公式求三边长度
利用余弦定理求角
利用正弦定理面积公式进行计算
课本例题
x
y
C
O
-1
1
2
2
3
3
1
B
A
课本例题
解法2（割补法.）延长AB交x轴于点D.所以
2.两条平行直线间的距离
新知探究
什么是两条平行线间的距离？
答：两平行线间的距离是指夹在两条
平行线间的公垂线段的长；
任意取一个点，满足直线方程即可！
思考探究
概念归纳
概念归纳
分析：这两条直线方程现在已经是一般式方程，可否直接代入公式呢？如果直接代入公式，公式中的A,B需选择哪条直线的系数呢？我们通过思考可知，需要首先将两条直线方程x,y前的系数化为相等，才可以利用两平行线间的距离公式计算。

课本例题
课本例题
我们该如何取点A，可以简化计算呢？

思考探究
课本例题
题型1　点到直线的距离
典例剖析
B
x＋y－1＝0或7x＋y＋5＝0
概念归纳
应用点到直线的距离公式应注意的三个问题
(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式．
(2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．
(3)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0时公式也成立，
但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．
练一练
C
题型2　两条平行线间的距离
典例剖析
C
2x－y＋1＝0
1或-9
概念归纳
两条平行直线间距离的三种求法
(1)直接利用两条平行线间的距离公式．
(2)在一条直线上任取一点，利用点到直线的距离公式求解
(一般要选特殊的点，如直线与坐标轴的交点、坐标为整数的点)．
(3)当两条直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决．
①当两条直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|；
②当两条直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|.
2．已知两条不同直线l1：ax＋3y＋1＝0，l2：x＋(a－2)y＋a＝0.
(1)若l1⊥l2，求实数a的值；
(2)若l1∥l2，求实数a的值，并求此时直线l1与l2之间的距离．
练一练
练一练
　已知正方形ABCD的一边CD所在直线的方程为x＋3y－13＝0，对角线AC，BD的交点为P(1,5)，求正方形ABCD其他三边所在直线的方程．
典例剖析
　题型3　距离公式的综合应用
概念归纳
距离公式综合应用的三种常见类型
(1)最值问题．
①利用对称转化为两点之间的距离问题．
②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离．
③利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值．
概念归纳
(2)求参数问题．
利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值．
(3)求方程的问题．
立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解．
练一练
3.已知正方形ABCD以直线2x－y＋2＝0和x＋y＋1＝0的交点为中心，其一边所在直线的方程为x＋3y－5＝0 ，求正方形ABCD其他三边所在直线的方程．
练一练
4．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点P.
(1)点A(5,0)到直线l的距离为3，求直线l的方程；
(2)求点A(5,0)到直线l的距离的最大值，并求距离最大时的直线l的方程．
练一练
1.点A(1,-2)关于原点的对称点为A',则|AA'|为(　　)
A
随堂练
A
3.两条平行直线3x+4y-12=0与ax+8y+11=0间的距离为(　　)
C
随堂练
4.设点A在x轴上,点B在y轴上,线段AB的中点P(2,-1),则|AB|=(　　)
A
5.已知点A(-3,-4),B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a的值等于(　　)
随堂练
C
课本练习（P77）
课本练习（P77）
O
x
y
B
C
A
l1
l2
l3
(第3题)
习题2.3
O
y
x
相交直线系
O
A
B
C
x
y
P
O
A
B
C
x
y
P
O
A
B
C
x
y
P
（2）说明上述不等式的几何意义．
（2）对于（1）中的不等式，
它的几何意义是：
边长为1的正方形内任意一点到四个顶点
的距离的和不小于两条对角线的和．
错因分析
易错警示　有关距离公式的综合应用
错解分析：
错误的根本原因是忽视直线过原点的情况造成漏解，以及距离公式的错用．
错因分析
错因分析
防范措施：
1．分类讨论思想的正确应用
解题时，分类讨论是常用的数学思想方法之一，正确把握分类讨论的标准是解题的关键，如本题直线过原点与不过原点时，直线方程的形式是不一样的，所以必须分情况讨论．
2．公式的正确应用
解题时，正确应用公式、性质是解题得分的前提，如本题中若距离公式不能正确应用，则解答无法继续或必然出现错误结果.
错因分析
A
分层练习-基础
D
分层练习-基础
3．若直线l过点A(1,2)，且原点到直线l的距离为1，则直线l的方程为(　　)
A．3x－4y＋5＝0
B．4x－3y＋2＝0
C．2x－y＝0或x＋2y－5＝0
D．x＝1或3x－4y＋5＝0
4．若两条平行直线2x＋y－4＝0与y＝－2x－k－2的距离不大于，则k的取值范围是(　　)
A．[－11，－1] B．[－11,0]
C．[－11，－6)∪(－6，－1] D．[－1，＋∞)
D
C
5．设点P在直线x＋3y＝0上，且P到原点的距离与P到直线x＋3y－2＝0的距离相等，则点P坐标是________．
6．直线l在x轴上的截距为1，且点A(－2，－1)，B(4,5)到l的距离相等，则l的方程为__________．
分层练习-基础
x＝1或x－y－1＝0
3
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-巩固
A
AB
12．两条直线l1：3x＋4y＋1＝0和l2：5x＋12y－1＝0相交，则对顶角的角平分线所在直线的方程为__________．
13．在△ABC中，A(1,0)，B(0，－2)，点C在函数y＝x2的图象上，则△ABC面积的最小值为________．
分层练习-巩固
7x－4y＋9＝0,8x＋14y＋1＝0
14．在△ABC中，A(3,2)，B(－1,5)，点C在直线3x－y＋3＝0上，若△ABC的面积为10，求点C的坐标．
分层练习-巩固
分层练习-巩固
分层练习-巩固
分层练习-巩固
分层练习-拓展
建立平面直角坐标系
确定等边三角形三个顶点坐标
得出三边所在直线
求距离之和
分析：
分层练习-拓展
分层练习-拓展
分层练习-拓展
分层练习-拓展
课堂小结
距离
点到直线的距离
平行线间的距离
距离公式
应用
距离公式
转化为点线距离

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