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人教版2019高一数学（选修一） 第二章 直线和圆的方程
2.5.1 直线和圆的位置关系
学习目标
1．理解并掌握直线与圆的位置关系的判定方法，培养和提高数学直观想象、数学运算能力；
2．能用直线和圆的方程解决直线与圆的弦长及切线问题，体会用代数方法处理几何问题的思想，培养和提高直观想象、逻辑推理素养；
3．借助圆的知识解决实际问题，培养数学建模素养.
情景导入
海上日出是非常壮丽的美景.
在海天交于一线的天际,一轮红日慢慢升起,先是探出半个圆圆的小脑袋,然后冉冉上升,和天际线相连,再跃出海面,越来越高,展现着斑斓的霞光和迷人的风采.
这个过程中,太阳看作一个圆,海天交线看作一条直线,日出的过程中也体现了直线与圆的三种位置关系:
相交、相切和相离.
1. 直线和圆的位置关系
新知探究
1.观察下列三副图，直线与圆的位置关系是怎样的？它们交点有什么变化？
2．怎样判断直线与圆的位置关系？
2．怎样判断直线与圆的位置关系？
在初中，我们是利用圆心到直线的距离与半径的关系，从而得到直线与圆的位置关系.到了高中，我们可以利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系.
下面，我们通过具体例子进行研究．
课本例题
思路1：将判断直线与圆的位置关系转化为判断由它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解；
若相交，可以由方程组解得两交点的坐标，利用两点间的距离公式求得弦长.
课本例题
代数法
课本例题
思路2：依据圆心到直线的距离与半径的关系，判断直线与圆的位置关系；若相交，则可利用垂径定理求得弦长.
几何法：数形结合

方程有两解
直线与圆相交，有两个交点，可通过两点坐标公式求弦长

方程有一解
直线与圆相切，有一个交点

方程有0解
直线与圆相离，无交点
概念归纳
方法二：几何法（数形结合）
可以根据圆的方程求得圆心坐标与半径r，从而求得圆心到直线的距离d，通过比较d与r的大小,判断直线与圆的位置关系.
若相交,则可利用勾股定理求得弦长.
概念归纳
代数法是直接运用直线和圆的方程组成的方程组有无实数解的情况判断直线与圆的位置关系，是完全代数的方法；具有程序性、普适性.
几何法是利用图形中的相关几何量（圆心到直线的距离、圆的半径）的大小判断直线与圆的位置关系，涉及圆心到直线距离的计算。利用图形的几何性质，有助于简化计算.（数形结合）
代数法与几何法的比较：
概念归纳
消去y后得到一个一元二次方程。

方程有一解
直线与圆相切，有一个交点
我们该如何求它的切线方程？
课本例题

几何法
课本例题
几何法
代数法
课本例题
例3 图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图. 圆拱跨度AB=20 m，拱高OP=4 m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度（精确到0.01 m).
利用平面直角坐标系解决实际问题
分析：建立如图2.5-4所示的直角坐标系，要得到支柱A2P2的高度，只需求出点P2的纵坐标.
课本例题
例3 图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图. 圆拱跨度AB=20 m，拱高OP=4 m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度（精确到0.01 m).
例3 图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图. 圆拱跨度AB=20 m，拱高OP=4 m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度（精确到0.01 m).
【小结】：
本例使用坐标法，建立平面直角坐标系，把几何问题转化为代数问题，
利用点坐标求得圆的方程，进而求出点P2的纵坐标即支柱高度.
例3 图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图. 圆拱跨度AB=20 m，拱高OP=4 m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度（精确到0.01 m).
还有没有其他解法？
可以看到，运用综合法需要添加多条辅助线，有一定的技巧，而且求解过程中利用了垂径定理,并多次使用勾股定理进行计算，过程比较复杂.
例3 图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图. 圆拱跨度AB=20 m，拱高OP=4 m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度（精确到0.01 m).
例4 一个小岛的周围有环岛暗礁,暗礁分布在以小岛中心为圆心半径为20 km的圆形区域内. 已知小岛中心位于轮船正西40 km处，港口位于小岛中心止北30 km 处. 如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险
课本例题
分析：先画出示意图，如图所示，根据题意，建立适当的平面直角坐标系，求出暗礁所在区域的边缘圆的方程，以及轮船返港直线的方程，利用方程判断直线与圆的位置关系，进而确定轮船是否有触礁危险.
O
y
x
港口
轮船
O
y
x
港口
轮船
思考：你还能用其他方法解决上述问题吗？
几何法
例4.一个小岛的周围有环岛暗礁,暗礁分布在以小岛中心为圆心半径为20 km的圆形区域内. 已知小岛中心位于轮船正西40 km处，港口位于小岛中心止北30 km 处. 如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险
概念归纳
用坐标法解决平面几何问题的 “三步曲”：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，如点、 直线、 圆，把平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：把代数运算的结果 “翻译” 成几何结论．
典例剖析
题型1　直线与圆的位置关系的判断
　当m为何值时，直线mx－y－1＝0与圆x2＋y2－4x＝0相交、相切、相离？
直线与圆的位置关系的判定有两种方法
(1)代数法：通过直线方程与圆的方程所组成的方程组，根据解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即Δ>0，则相交；若有两组相同的实数解，即Δ＝0，则相切；若无实数解，即Δ<0，则相离．
(2)几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断：当dr时，直线与圆相离．
提醒：利用几何法来判定直线与圆的位置关系时，一定要明确圆心的坐标．
归纳总结
1．判断下列直线与圆的位置关系，若有公共点求出公共点的坐标．
(1)直线：x＋y＝0，圆：x2＋y2＋2x＋4y－4＝0；
(2)直线：y＝x＋5，圆：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0；
(3)直线：x＋y＝3，圆：x2＋y2－4x＋2y＋4＝0.
练一练
练一练
练一练
练一练
过点M(2,4)向圆(x－1)2＋(y＋3)2＝1引切线，求其切线的方程．
题型2　直线与圆相切的有关问题
典例剖析
所以切线方程为24x－7y－20＝0.
又当切线斜率不存在时，直线x＝2与圆相切．
综上所述，所求切线方程为24x－7y－20＝0或x＝2.
练一练
2.过点M(2,4)向圆(x－1)2＋(y＋3)2＝1引切线，求其切线长．
3.过点M(1，-2)向圆(x－1)2＋(y＋3)2＝1引切线，求其切线的方程．
解：由于(1－1)2＋(－2＋3)2＝1，
故点M在圆上．
由已知圆心坐标为C(1，－3)，
此时直线MC的斜率不存在，故切线的斜率为0，
所以切线的方程为y＝－2.
练一练
归纳总结
归纳总结
(2)点(x0，y0)在圆外．
①设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，即可求得切线方程．
②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况．
③过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解．
提醒：已知一点求圆的切线方程时，切勿漏掉斜率不存在的情况．
4．过点A(4，－3)作圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线的方程．
解：因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，
所以点A在圆外．
(1)若所求切线的斜率存在，设切线斜率为k，
则切线方程为y＋3＝k(x－4)．
练一练
练一练
(2)若直线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x＝4的距离也为1，
这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x＝4.
综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.
典例剖析
题型3　直线与圆相交的有关问题
探究1　已知直线方程和弦长求圆的方程
　
　过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为________．
典例剖析
探究2　已知直线和圆的方程求弦长
解：由题意可知，若直线与圆相交，斜率须存在，
设直线l的斜率为k，则方程可表示为y＋2＝k(x＋1)．
又圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为(1,1)，
典例剖析
探究3　已知圆的方程和弦长求直线方程
典例剖析
归纳总结
求直线与圆相交时弦长的两种方法
练一练
练一练
练一练
1.直线3x+4y+12=0与圆(x-1)2+(y+1)2=9的位置关系是(　　)
A.过圆心 B.相切
C.相离 D.相交但不过圆心
2.若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切,则m的值是(　　)
随堂练
D
B
随堂练
4.经过点M(2,1)作圆x2+y2=5的切线,则切线的方程为　　　　　　　　　.
C
2x+y-5=0
5.直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|=　　　　　.
1.赵州桥的跨度是37.4 m,圆拱高约为7.2 m.求这座圆拱桥的拱圆的方程.
P
课本练习
A
B
P
C
x
y
课本练习
2.某圆拱桥的水面跨度是20 m,拱高4 m,现有一船，宽10 m,水面以上高3 m,这条船能否从桥下通过
课本练习
A
B
H
O
C
F
E
x
y
课本练习
A
B
H
O
C
F
E
x
y
课本练习
错因分析
易错警示　过一点求圆的切线方程
错解分析：错误的根本原因是没有先判断出点P与圆的位置关系，以及在设直线方程的时候没有考虑到斜率不存在的情况，从而造成漏解．
错因分析
错因分析
错因分析
防范措施：
1．明确点与圆的位置关系
过一点求圆的切线时，首先要判断点与圆的位置关系，以此来确定切线的条数，
如本例中点P在圆外，故过点P与圆相切的切线应有两条．
2．注重分类讨论的意识
求过一点与圆相切的直线时，在设直线的斜率时要考虑到斜率是否存在，要进行分情况讨论处理．
如本例中当斜率不存在时，过点P的直线也与圆相切.
错因分析
分层练习-基础
1．直线x－y＋1＝0与圆(x＋1)2＋y2＝1的位置关系是(　　)
A．相切
B．直线过圆心
C．直线不过圆心但与圆相交
D．相离
2．若直线3x＋4y＋k＝0与圆x2＋y2－6x＋5＝0相切，则k的值等于(　　)
A．1或－19 B．10或－1
C．－1或－19 D．－1或19
B
A
分层练习-基础
3．点M(x0，y0)是圆x2＋y2＝a2(a>0)内不为圆心的一点，则直线x0x＋y0y＝a2与该圆的位置关系是(　　)
A．相切 B．相交
C．相离 D．相切或相交
4．平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是(　　)
A．2x－y＋＝0或2x－y－＝0
B．2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0
C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
D．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
C
D
分层练习-基础
5．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是________．
6．已知直线5x＋12y＋m＝0与圆x2－2x＋y2＝0相切，则m＝________.
7．过点G(0,1)的直线与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则|AB|的最小值为________．
8．由直线y＝x＋1上的点向圆C：x2＋y2－6x＋8＝0引切线，则切线长的最小值为________．
相交
8或－18
分层练习-基础
9．已知点P(x，y)是圆C：(x＋2)2＋y2＝1上任意一点．求P点到直线3x＋4y＋12＝0的距离的最大值和最小值．
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-巩固
12．(多选)直线y＝kx－1与圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝36相交于A，B两点，则AB长度可能为(　　)
A．6 B．8
C．12 D．16
D
BC
分层练习-巩固
13．设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．
14．若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝__________.
[－1,1]
2
15．设圆上的点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x－y＋1＝0相交的弦长为2，求圆的方程．
分层练习-巩固
分层练习-拓展
分层练习-拓展
分层练习-拓展
分层练习-拓展
分层练习-拓展
分层练习-拓展
课堂小结
用坐标法解决平面几何问题的 “三步曲”：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，如点、 直线、 圆，把平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：把代数运算的结果 “翻译” 成几何结论．

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