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2025年新九年级数学人教版暑假大讲堂
第十九讲 实际问题与二次函数（一）
知识点梳理
知识点1 图形问题
实际问题与二次函数的图形问题主要涉及二次函数在实际场景中的应用，包括面积最值、几何图形变换等。
（1）面积最值问题
矩形/围栏问题 ：如篱笆围矩形养鸡场（墙长限制），设一边长为x，面积y = x（总长-2x），通过顶点公式求最大值。
（2）几何图形组合 ：如菱形内接矩形，利用对称性或坐标法求解面积表达式，再通过求导或配方法求最值
要点诠释：
边界条件 ：如墙长限制、动点不重合等，需在自变量取值范围内讨论。
函数性质 ：结合开口方向、对称轴判断最值位置。
知识点2 拱桥问题
解题步骤:
1、分析题意,把实际问题转化为数学问题,画出图形. 抽象 转化 数学问题 运用 数学知识 问题的解决 .
根据已知条件建立适当的平面直角坐标系.
3、选用适当的解析式求解. 4、根据二次函数的解析式解决具体的实际问题。
要点诠释：
常见难点与易错点
（1）坐标系混淆 ：需明确对称轴与原点的关系，避免计算错误。
（2）实际意义验证 ：求解后需检查结果是否符合物理或几何约束（如宽度为正数）。
知识点3 销售问题
（1）建立函数模型 ：根据实际问题提取变量关系，如涨价/降价对销量和利润的影响，建立二次函数解析式。
（2）确定自变量范围 ：需考虑实际约束条件（如售价不低于成本、销量非负），避免计算错误
（3）根据二次函数性质确定最值.
要点诠释：
易错点与注意事项
1)变量混淆 ：需明确基准价格与调整后售价的关系，避免混淆“涨价金额”与“售价”。
2)顶点应用 ：正确使用二次函数顶点公式求最值，同时验证顶点是否在自变量取值范围内。
【例1】．如图所示，在中，，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点作于点，连接，．
(1)用t的代数式表示： ，
(2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
(3)当t为何值时，为直角三角形？请说明理由．
(4)当t为何值时，的面积最大，并求出最大面积．
针对训练1
题型1 图形问题
1．小宇想在边长为的正方形纸片上剪出四个全等的直角三角形和一个正方形纸片，设计了如图所示的方案，若要使正方形纸片的面积最小，则的长为 ．
2．如图1，用一段长为45米的篱笆围成一个一边靠墙，并且中间有一道篱笆隔墙的矩形菜园，墙长为18米．设的长为米，矩形菜园的面积为平方米．
(1)___________平方米．（用含的代数式表示，结果需化简）
(2)若分成的两个小矩形是正方形，求的值．
(3)如图2，若在分成的两个小矩形的正前方和中间的篱笆隔墙各开一个1米宽的门（无需篱笆），当为何值时，取得最大值？最大值为多少？
3．综合与实践：
当下快递行业高速发展．某校数学兴趣小组决定开展快递包装盒设计的综合与实践活动课，探索设计包装盒的各种操作技能技巧．
【探索过程】
步骤一：准备长方形纸板，三角尺，剪刀，记号笔；
步骤二：在长方形纸板四个角用记号笔分别画出需要裁剪的小正方形和长方形；兴趣小组将长，宽的长方形纸板按如下方式进行裁剪设计，剪掉阴影部分后，再将四周沿虚线折叠，这样便可以制作完成一个长方体盒子．如图，设剪去的小正方形的边长为，长方体的长、宽、高的和为，长方体包装盒的底面积为．
【操作目标】按要求制作经济实惠的长方体包装盒．
【解决问题】请按要求完成下列任务：
(1)分别求y关于x，S关于x的函数解析式；
(2)若设计的长方体包装盒的底面积为，求x的值；
(3)经过考查，当设计的长方体包装盒的长、宽、高的和不低于且不高于时，长方体包装盒最为经济实惠，求此时长方体包装盒的底面积S的最大值及剪去的小正方形的边长．
4．许多数学问题源于生活．如图①是撑开后的户外遮阳伞，可以发现数学研究的对象一抛物线．在如图②所示的平面直角坐标系中，伞柄在轴上，坐标原点为伞骨，的交点．点为抛物线的顶点，点，在抛物线上，，关于轴对称．设点、，的坐标分别是，．
(1)求抛物线对应的函数表达式（不要求写自变量取值范围）；
(2)如图③，分别延长，交抛物线于点，，求，两点之间的距离；
(3)如图③，以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为，将抛物线向左平移个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．若，求的值．
题型2 拱桥问题
【例2】．如图，某公园用两段院墙和一段抛物线型的围栏围出一个封闭的花圃，与是两段院墙，，抛物线与两段院墙分别交于点、，以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，抛物线的对称轴垂直于轴，已知，，抛物线的函数表达式为（、为常数，）．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)过点向右作轴的平行线交抛物线于点，过点作轴于点，现要在矩形区域种植郁金香，请你求出矩形区域的面积．
针对训练2
1．如图①是我市某葡萄基地种植棚，它一定意义上带动了我市的经济发展，其截面为图②所示的轴对称图形，点A、B在以O顶点的抛物线上，，，，点G在直线上，点E在直线上，，当以O为原点建立如图③所示的平面坐标系时，抛物线过点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若O点到地面的距离为5米，记，当m最大时，求棚的跨度长；
(3)在（2）的条件下，E点的纵坐标，，为了使棚更加牢固安全，需要把直线，向下平移到与抛物线相切的位置处焊接，求向下平移的距离．
2．一座拱桥其中一段的横截面为抛物线型，如图所示，线段表示水面，桥墩跨度为，以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点且垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．已知：左右两边的桥墩相同，高度，抛物线的顶点到轴的距离是．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)节日为了庆祝，决定在该桥上共挂三串彩灯，第一串彩灯平行于水面挂设，彩灯两端，皆在抛物线上，另外两串彩灯，都垂直于水面挂设，且点，距离水面，求挂设的三串彩灯，，长度和的最大值．
3．毛乌素沙漠是中国四大沙地之一，位于陕西省榆林市长城一线以北，如图1是该沙漠边缘地区常见的抛物线状沙丘（一种风积地貌），其平面轮廓呈抛物线状．如图2，已知某一抛物线状沙丘两翼端点的水平距离，沙丘弧顶最高点P到的距离为，抛物线的对称轴垂直于，以所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，现计划从点M到点N种植一排柠条（M、N在抛物线上，点M在点N的左侧）．
(1)求抛物线状沙丘的函数表达式；
(2)轴于点E，轴于点F，若，求M、N两点之间的距离．
4．如图，在河道中，建有三个钢拱，包括一个主拱和两个腹拱，均呈抛物线型．主拱跨度米，拱顶C到主拱水面的距离为米，两侧各有一个对称腹拱，右侧腹拱跨度为，顶点为D．以主拱水面为x轴，过顶点C的垂线为y轴建立坐标系，设主拱抛物线解析式为，右侧腹拱所在抛物线解析式为．
(1)直接写出b的值，并求a；
(2)求的长；
(3)汛期水位上涨，当刚好到达点D时，需在主拱内边缘两侧各对称安装一根临时支撑柱和（要求：支撑柱顶端M、在主拱上，底端N、在腹拱上，且、均垂直水平面），
①请在第一象限画出的示意图；（任意画出一条即可）
②当支撑柱高度为米时，分别求M和的横坐标．
题型3 销售问题
【例3】．某水果批发商以每千克元的价格购进一批水果，规定其售价每千克不低于成本价且不高于元．经市场调查发现，水果的日销售量（千克）与每千克售价（元）之间为一次函数关系，部分数据如下表：
每千克售价x（元）
日销售量y（千克）
(1)求与之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)当每千克水果的售价定为多少元时，批发商每日销售这批水果所获得的利润最大？最大利润为多少元？
针对训练3
1．研究背景：某校数学兴趣小组到蔬菜基地了解某种有机蔬菜的销售情况（该基地只种植一种蔬菜），并利用所学的数学知识对基地的蔬菜销售提出合理化建议．
材料一：某种蔬菜的种植成本为每千克10元，经过市场调查发现，该蔬菜的每天销售量（千克）与销售单价（元）是一次函数关系；
材料二：该种蔬菜销售单价为12元时，每天销售量为1800千克；销售单价为15元时，每天销售量为1500千克．
任务一：建立函数模型
（1）求出与的函数关系式：
任务二：设计销售方案
（2）市场监督管理部门规定，该蔬菜销售单价不得超过每千克19元，据了解该蔬菜基地每天其他正常开支总计1000元，请帮助蔬菜基地设计：该蔬菜的销售单价应定为多少元时，每天的纯利润最大，最大纯利润为多少元？（注：每天的纯利润每天销售利润其他开支）
2．习近平总书记指出“中医药学是中华文明的瑰宝．要深入发掘中医药宝库中的精华，推进产学研一体化，推进中医药产业化、现代化，让中医药走向世界．”2023年，云南省林下中药材种植面积达400万亩．某种优质中药材成本每千克800元，某药材公司试销一段时间发现：这种中药材每周的销售量（千克）与销售单价（元/千克）满足的关系如下表：
（元/千克） 950 1000 1050 1100
（千克） 250 200 150 100
(1)请根据表中的数据写出与之间的函数解析式；
(2)根据有关部门规定，该药材每千克售价不允许超过1200元．该药材公司每周获利元，试写与之间的函数解析式，并求出药材公司每周的最大利润．
3．某商店购进一批单价为20元的日用品，如果按每件25元出售，那么每天可销售250件．经调查发现，这种日用品的销售单价每提高5元，其销售量就减少50件．设销售单价为（元），销售利润为（元），解答下列问题：
(1)求销售利润与销售单价的关系式；
(2)为了扩大利润，该商店决定开辟线上网店销售渠道，线上和线下售价保持一致．经过调研，线上每天所获销售利润（元）与销售单价（元）的关系可以近似地用二次函数来刻画，其图象如图所示．物价部门规定，售价不得高于40元，当售价为多少元时，线上和线下的利润之和最大？最大利润是多少？
4．某奶茶店新推出一款果饮，依据销售经验，定价在元之间适合顾客心理，且日销售量（单位：杯）与销售单价（单位：元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示，已知该款果饮的成本价为8元/杯．
(1)求关于的函数解析式（写出自变量的取值范围）；
(2)当该款果饮的销售单价为多少元时，每日的销售利润最大？最大利润是多少元？
能力提升 创新拓展
1．近两年直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在网络平台上对一款成本价为120元的商品进行直播销售，如果按每件200元销售，每天可卖出40件．通过市场调查，该商品售价每降低1元，日销售量增加2件，设每件商品降价元．
(1)每件商品降价元时，日销售量为______件：
(2)若日销售盈利为4800元，为尽快减少库存，的值应为多少；
(3)设日销售盈利为元，当为何值时，取值最大，最大值是多少？
2．如图，在中，，，，点、分别是、的中点，连接．点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿向终点运动，过点作的垂线交于点，以为直角边向下方作，使，且．设点的运动时间为（秒）．
(1)填空：________，________（用含的代数式表示）；
(2)当点落在线段上时，求的值；
(3)当与重合部分的图形是四边形时，设这个重叠部分的四边形的面积为平方单位，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
3．某地计划完善公交站设施，给公交站加上顶棚，如图，公交站的顶棚由两段抛物线、组成，立柱均与地面垂直，垂足分别为E、O、C，线段米，米，点B、D分别在抛物线、上，抛物线和抛物线关于所在直线对称．以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，已知抛物线的函数表达式为（b、c为常数）．
(1)求抛物线的对称轴及b、c的值；
(2)求抛物线的函数表达式；
(3)现要在抛物线的下方安装一个矩形广告牌，轴，与之间的距离和与之间的距离相等均为米，为安全起见，抛物线到广告牌上边沿的竖直距离最小为米，点M到x轴的距离是多少米？
2025年新九年级数学人教版暑假大讲堂
第十九讲 实际问题与二次函数（一）（解析版）
知识点梳理
知识点1 图形问题
实际问题与二次函数的图形问题主要涉及二次函数在实际场景中的应用，包括面积最值、几何图形变换等。
（1）面积最值问题
矩形/围栏问题 ：如篱笆围矩形养鸡场（墙长限制），设一边长为x，面积y = x（总长-2x），通过顶点公式求最大值。
（2）几何图形组合 ：如菱形内接矩形，利用对称性或坐标法求解面积表达式，再通过求导或配方法求最值
要点诠释：
边界条件 ：如墙长限制、动点不重合等，需在自变量取值范围内讨论。
函数性质 ：结合开口方向、对称轴判断最值位置。
知识点2 拱桥问题
解题步骤:
1、分析题意,把实际问题转化为数学问题,画出图形. 抽象 转化 数学问题 运用 数学知识 问题的解决 .
根据已知条件建立适当的平面直角坐标系.
3、选用适当的解析式求解. 4、根据二次函数的解析式解决具体的实际问题。
要点诠释：
常见难点与易错点
（1）坐标系混淆 ：需明确对称轴与原点的关系，避免计算错误。
（2）实际意义验证 ：求解后需检查结果是否符合物理或几何约束（如宽度为正数）。
知识点3 销售问题
（1）建立函数模型 ：根据实际问题提取变量关系，如涨价/降价对销量和利润的影响，建立二次函数解析式。
（2）确定自变量范围 ：需考虑实际约束条件（如售价不低于成本、销量非负），避免计算错误
（3）根据二次函数性质确定最值.
要点诠释：
易错点与注意事项
1)变量混淆 ：需明确基准价格与调整后售价的关系，避免混淆“涨价金额”与“售价”。
2)顶点应用 ：正确使用二次函数顶点公式求最值，同时验证顶点是否在自变量取值范围内。
题型1 图形问题
【例1】．如图所示，在中，，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点作于点，连接，．
(1)用t的代数式表示： ，
(2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
(3)当t为何值时，为直角三角形？请说明理由．
(4)当t为何值时，的面积最大，并求出最大面积．
【答案】(1)，
(2)当时，四边形能够成为菱形；
(3)当t为或时，为直角三角形；
(4)当时，有最大值为．
【分析】（1）根据点的运动，含角的直角三角形的性质即可求解；
（2）先证明四边形为平行四边形，如果四边形能够成为菱形，则必有邻边相等，则，列方程求出即可；
（3）当为直角三角形时，有三种情况：①当时，如图3，②当时，如图4，③当不成立；分别找一等量关系列方程可以求出的值；
（4）作于点，求得，利用三角形面积公式列得关于二次函数，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：，；
（2）解：四边形能够成为菱形，理由是：
由（1）得：，
，
，
四边形为平行四边形，
若为菱形，则，
，，
，
，
，
当时，四边形能够成为菱形；
（3）解：分三种情况：
当时，如图3，
则四边形为矩形，
，
，，
，
；
当时，如图4，
四边形为平行四边形，
，
，
在中，，，
，
，
则，
，
当不成立；
综上所述：当为或时，为直角三角形；
（4）解：作于点，
在中，，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为．
【点睛】本题考查了平行四边形、菱形、矩形的性质和判定，直角三角形的性质以及勾股定理，二次函数的性质．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
针对训练1
1．小宇想在边长为的正方形纸片上剪出四个全等的直角三角形和一个正方形纸片，设计了如图所示的方案，若要使正方形纸片的面积最小，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、二次函数的最值问题．设的长度为，可得，根据二次函数的性质可得：正方形纸片的面积最小，则的长为．
【详解】解：设的长度为，
则，
四个直角三角形全等，
，
，
又，
，
整理得：，
，
当时，正方形纸片的面积最小，
正方形纸片的面积最小，则的长为．
故答案为：．
2．如图1，用一段长为45米的篱笆围成一个一边靠墙，并且中间有一道篱笆隔墙的矩形菜园，墙长为18米．设的长为米，矩形菜园的面积为平方米．
(1)___________平方米．（用含的代数式表示，结果需化简）
(2)若分成的两个小矩形是正方形，求的值．
(3)如图2，若在分成的两个小矩形的正前方和中间的篱笆隔墙各开一个1米宽的门（无需篱笆），当为何值时，取得最大值？最大值为多少？
【答案】(1)
(2)162
(3)当时，取得最大值，最大值为180
【分析】本题主要考查列代数式，一元一次方程的应用以及二次函数的应用，正确理解题意是解答本题的关键．
（1）根据题意得米，根据矩形的面积公式可得结论；
（2）根据正方形的性质可列方程，求得的长，可得的值；
（3）设菜园面积为S，得出S关于x的二次函数解析式，然后求二次函数的最大值即可求解．
【详解】（1）解：∵的长为米，
∴米，
∴（平方米），
故答案为：；
（2）解：由题意，得，
解得，
（平方米），
的值为162平方米；
（3）解：．
墙长为18米，正前方有两个1米宽的门，
.
，
抛物线开口向下，
当时，随着的增大而减小，
当时，取得最大值，最大值为．
3．综合与实践：
当下快递行业高速发展．某校数学兴趣小组决定开展快递包装盒设计的综合与实践活动课，探索设计包装盒的各种操作技能技巧．
【探索过程】
步骤一：准备长方形纸板，三角尺，剪刀，记号笔；
步骤二：在长方形纸板四个角用记号笔分别画出需要裁剪的小正方形和长方形；兴趣小组将长，宽的长方形纸板按如下方式进行裁剪设计，剪掉阴影部分后，再将四周沿虚线折叠，这样便可以制作完成一个长方体盒子．如图，设剪去的小正方形的边长为，长方体的长、宽、高的和为，长方体包装盒的底面积为．
【操作目标】按要求制作经济实惠的长方体包装盒．
【解决问题】请按要求完成下列任务：
(1)分别求y关于x，S关于x的函数解析式；
(2)若设计的长方体包装盒的底面积为，求x的值；
(3)经过考查，当设计的长方体包装盒的长、宽、高的和不低于且不高于时，长方体包装盒最为经济实惠，求此时长方体包装盒的底面积S的最大值及剪去的小正方形的边长．
【答案】(1)
(2)4
(3)S的最大值为，此时小正方形的边长为3cm
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的应用，二次函数的实际应用．
（1）根据题意列出y关于x，S关于x的函数解析式即可．
（2）当时，解一元二次方程，并选择合适的答案即可．
（3）由y的取值范围得出x的取值范围，再根据二次函数的图像和性质求解即可．
【详解】（1）解：，
，
即．
（2）解：当时，，
∴，
解得， （舍去），
答：x的值为4．
（3）解：由题意知，，
∴，解得，，
∵，
又∵，
∴当时，S随x的增大而减小，
∴当时，S有最大值，最大值为408，
即S的最大值为，此时小正方形的边长为3cm．
4．许多数学问题源于生活．如图①是撑开后的户外遮阳伞，可以发现数学研究的对象一抛物线．在如图②所示的平面直角坐标系中，伞柄在轴上，坐标原点为伞骨，的交点．点为抛物线的顶点，点，在抛物线上，，关于轴对称．设点、，的坐标分别是，．
(1)求抛物线对应的函数表达式（不要求写自变量取值范围）；
(2)如图③，分别延长，交抛物线于点，，求，两点之间的距离；
(3)如图③，以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为，将抛物线向左平移个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．若，求的值．
【答案】(1)
(2)24
(3)6或
【分析】（1）设抛物线的解析式为，把点A，C的坐标代入，即可求解；
（2）运用待定系数法求出直线的解析式为，解方程组得到点E的坐标，根据对称得到点F的坐标，进而可解答；
（3）设平移后的抛物线解析式为，则得到此时抛物线与轴的交点，根据，结合两个三角形的底相同，即可得到，进而即可解答．
【详解】（1）解：设抛物线对应的函数关系式为：，
由题意得，把，代入得，
．
抛物线对应的函数关系式为：
（2）解：设直线的关系式为：
直线经过点
，即
直线的关系式为：
解方程组
，
点的坐标为，根据对称性可得点的坐标为
；
（3）解：设平移后的抛物线对应的关系式为：
令，则
此时抛物线与轴的交点设为
平移后抛物线和轴交点间的距离不变，又
则，即
解得的值为或（舍去负值）
的值为6或
【点睛】本题考查二次根式的实际应用，待定系数法求抛物线解析式，抛物线与直线的交点，函数图象的平移等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
题型2 拱桥问题
【例2】．如图，某公园用两段院墙和一段抛物线型的围栏围出一个封闭的花圃，与是两段院墙，，抛物线与两段院墙分别交于点、，以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，抛物线的对称轴垂直于轴，已知，，抛物线的函数表达式为（、为常数，）．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)过点向右作轴的平行线交抛物线于点，过点作轴于点，现要在矩形区域种植郁金香，请你求出矩形区域的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次函数和四边形的综合问题，解出二次函数解析式是解题的关键．
（1）根据题意得出，，利用待定系数法求二次函数解析式即可．
（2）令，求出，再根据矩形的面积求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
把，代入，
可得出：，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为：
（2）解：∵令，
解得：，
∴
矩形的面积为：
针对训练2
1．如图①是我市某葡萄基地种植棚，它一定意义上带动了我市的经济发展，其截面为图②所示的轴对称图形，点A、B在以O顶点的抛物线上，，，，点G在直线上，点E在直线上，，当以O为原点建立如图③所示的平面坐标系时，抛物线过点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若O点到地面的距离为5米，记，当m最大时，求棚的跨度长；
(3)在（2）的条件下，E点的纵坐标，，为了使棚更加牢固安全，需要把直线，向下平移到与抛物线相切的位置处焊接，求向下平移的距离．
【答案】(1)
(2)当m取得最大值时，棚的跨度为8米
(3)直线向下平移距离是米
【分析】（1）根据题意设抛物线解析式为，将点P代入求得a即可；
（2）设米，则A点横坐标为，结合二次函数求得，则，那么，，利用二次函数的性质求得当时，m取得最大值14即可；
（3）设直线解析式为，进一步求得点，利用待定系数法求得直线为，设直线向下平移n米与抛物线相切，联立方程组根据题意知只有一组解，则有两个相等的实数根，利用根与系数的关系求解即可．
【详解】（1）解：设抛物线解析式为
∵抛物线过点，
∴，解得，
抛物线解析式为；
（2）解：设米，则A点横坐标为，
∴当时， ，
∴，
∴，
∴，
∴当时，m取得最大值14，
则当m取得最大值时，棚的跨度为8米；
（3）解：设直线解析式为，
∵点E纵坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
则直线为，
设直线向下平移n米与抛物线相切，
∴，
根据题意知只有一组解，则有两个相等的实数根，
，解得，
∴直线向下平移距离是米
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，涉及待定系数法求解析式、二次函数的性质、一次函数的平移、根与系数的关系和求一次函数的解析式，解题的关键是熟悉二次函数的性质．
2．一座拱桥其中一段的横截面为抛物线型，如图所示，线段表示水面，桥墩跨度为，以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点且垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．已知：左右两边的桥墩相同，高度，抛物线的顶点到轴的距离是．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)节日为了庆祝，决定在该桥上共挂三串彩灯，第一串彩灯平行于水面挂设，彩灯两端，皆在抛物线上，另外两串彩灯，都垂直于水面挂设，且点，距离水面，求挂设的三串彩灯，，长度和的最大值．
【答案】(1)
(2)的最大值为31.6米
【分析】（1）先理解题意，则设该抛物线的函数表达式，再把代入，进行计算得，即可作答．
（2）设点，，则，将转化为，利用二次函数最值解答即可．
本题考查了二次函数的应用，求二次函数的解析式，二次函数的线段综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】（1）解：∵线段表示水面，桥墩跨度为，抛物线的顶点到轴的距离是．
∴，抛物线的顶点坐标为，
设该抛物线的函数表达式，
∵高度，
∴把代入，
得，
解得，
∴该抛物线的函数表达式，
（2）解：由（1）得，对称轴为直线，
∵第一串彩灯平行于水面挂设，彩灯两端，皆在抛物线上，
设点，
∵点，关于对称轴对称，
则，
∴，
∵另外两串彩灯，都垂直于水面挂设，且点，距离水面，
∴，
∴
∵，
∴当时，有最大值，最大值为31.6米．
3．毛乌素沙漠是中国四大沙地之一，位于陕西省榆林市长城一线以北，如图1是该沙漠边缘地区常见的抛物线状沙丘（一种风积地貌），其平面轮廓呈抛物线状．如图2，已知某一抛物线状沙丘两翼端点的水平距离，沙丘弧顶最高点P到的距离为，抛物线的对称轴垂直于，以所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，现计划从点M到点N种植一排柠条（M、N在抛物线上，点M在点N的左侧）．
(1)求抛物线状沙丘的函数表达式；
(2)轴于点E，轴于点F，若，求M、N两点之间的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次函数的应用，主要考查待定系数法求二次函数解析式，已知自变量值求函数值等．
（1）先求出顶点坐标，再设该抛物线的表达式，再将代入即可得到；
（2）将代入（1）中求得的解析式中即可求出本题答案．
【详解】（1）解：根据题意得，抛物线的顶点．
设抛物线的函数表达式为．
将点代入，得，
解得，
∴抛物线状沙丘的函数表达式为．
（2）解：令，得，
解得，，
∴，，
∴M、N两点之间的距离为．
4．如图，在河道中，建有三个钢拱，包括一个主拱和两个腹拱，均呈抛物线型．主拱跨度米，拱顶C到主拱水面的距离为米，两侧各有一个对称腹拱，右侧腹拱跨度为，顶点为D．以主拱水面为x轴，过顶点C的垂线为y轴建立坐标系，设主拱抛物线解析式为，右侧腹拱所在抛物线解析式为．
(1)直接写出b的值，并求a；
(2)求的长；
(3)汛期水位上涨，当刚好到达点D时，需在主拱内边缘两侧各对称安装一根临时支撑柱和（要求：支撑柱顶端M、在主拱上，底端N、在腹拱上，且、均垂直水平面），
①请在第一象限画出的示意图；（任意画出一条即可）
②当支撑柱高度为米时，分别求M和的横坐标．
【答案】(1)，
(2)6
(3)①见解析；②M的横坐标为15，的横坐标为
【分析】（1）根据，，得，，得，代入，解得；
（2）令，求得，得；
（3）设，得，得，解得（舍去），得M的横坐标为15，由对称性得的横坐标为．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
∴，
∴，
解得；
（2）解：时，
，
∴，
∴；
（3）解：①如图所示，
②由（1）可得，
∵，
∴设，
∴，
∵
∴，
解得（舍去），
∴M的横坐标为15，
由对称性知，的横坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数的应用——拱桥问题，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，二次函数的对称性，坐标轴上或平行坐标轴的线段的长度，分类讨论，是解答的关键．
题型3 销售问题
【例3】．某水果批发商以每千克元的价格购进一批水果，规定其售价每千克不低于成本价且不高于元．经市场调查发现，水果的日销售量（千克）与每千克售价（元）之间为一次函数关系，部分数据如下表：
每千克售价x（元）
日销售量y（千克）
(1)求与之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)当每千克水果的售价定为多少元时，批发商每日销售这批水果所获得的利润最大？最大利润为多少元？
【答案】(1)与之间的函数关系式为（）
(2)当每千克水果的售价定为元时，批发商每日销售这批水果所获得的利润最大，最大利润为元
【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式以及二次函数的性质．
（1）运用待定系数法求解即可；
（2）设批发商每日销售这批水果所获得的利润为元，然后根据总利润等于每千克的利润×销售量，然后根据二次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为，
由表中数据得：，
解得：，
与之间的函数关系式为（）；
（2）设批发商每日销售这批水果所获得的利润为元，
由题意得：，
市场监督部门规定其售价每千克不高于元，
，
，
当时，随的增大而增大，
当时，最大，最大值为，
当每千克水果的售价定为元时，批发商每日销售这批水果所获得的利润最大，最大利润为元．
针对训练3
1．研究背景：某校数学兴趣小组到蔬菜基地了解某种有机蔬菜的销售情况（该基地只种植一种蔬菜），并利用所学的数学知识对基地的蔬菜销售提出合理化建议．
材料一：某种蔬菜的种植成本为每千克10元，经过市场调查发现，该蔬菜的每天销售量（千克）与销售单价（元）是一次函数关系；
材料二：该种蔬菜销售单价为12元时，每天销售量为1800千克；销售单价为15元时，每天销售量为1500千克．
任务一：建立函数模型
（1）求出与的函数关系式：
任务二：设计销售方案
（2）市场监督管理部门规定，该蔬菜销售单价不得超过每千克19元，据了解该蔬菜基地每天其他正常开支总计1000元，请帮助蔬菜基地设计：该蔬菜的销售单价应定为多少元时，每天的纯利润最大，最大纯利润为多少元？（注：每天的纯利润每天销售利润其他开支）
【答案】（1）；（2）这种蔬菜的销售单价应定为19元时，每天的纯利润最大，最大纯利润为8900元
【分析】本题考查函数解应用题，涉及待定系数法确定一次函数关系式、二次函数求最值等知识，读懂题意，找准关系得到函数表达式是解决问题的关键．
（1）由待定系数法确定函数关系式即可得到答案；
（2）设每天的纯利润为元，根据题意，可得，由二次函数图象与性质分析即可得到答案．
【详解】解：（1）设与的函数关系式为，
将点代入，
可得，
解得，
；
（2）设每天的纯利润为元，根据题意，可得：
，
，
该函数图象开口向下，
对称轴为，
∴当时，随的增大而增大，
，
∴当时，取最大值，元，
答：这种蔬菜的销售单价应定为19元时，每天的纯利润最大，最大纯利润为8900元．
2．习近平总书记指出“中医药学是中华文明的瑰宝．要深入发掘中医药宝库中的精华，推进产学研一体化，推进中医药产业化、现代化，让中医药走向世界．”2023年，云南省林下中药材种植面积达400万亩．某种优质中药材成本每千克800元，某药材公司试销一段时间发现：这种中药材每周的销售量（千克）与销售单价（元/千克）满足的关系如下表：
（元/千克） 950 1000 1050 1100
（千克） 250 200 150 100
(1)请根据表中的数据写出与之间的函数解析式；
(2)根据有关部门规定，该药材每千克售价不允许超过1200元．该药材公司每周获利元，试写与之间的函数解析式，并求出药材公司每周的最大利润．
【答案】(1)
(2)，药材公司每周的最大利润为40000
【分析】本题主要考查一次函数，二次函数的运用，掌握待定系数法，二次函数最值的计算是关键．
（1）运用待定系数法即可求解；
（2）根据数量关系列式得到二次函数，根据二次函数最值的计算方法即可求解．
【详解】（1）解：设与之间的函数解析式为，
根据题意，得
解得
则．
（2）解：，
，，
当时，取得最大值，，
答：与之间的函数解析式为，药材公司每周的最大利润为40000元．
3．某商店购进一批单价为20元的日用品，如果按每件25元出售，那么每天可销售250件．经调查发现，这种日用品的销售单价每提高5元，其销售量就减少50件．设销售单价为（元），销售利润为（元），解答下列问题：
(1)求销售利润与销售单价的关系式；
(2)为了扩大利润，该商店决定开辟线上网店销售渠道，线上和线下售价保持一致．经过调研，线上每天所获销售利润（元）与销售单价（元）的关系可以近似地用二次函数来刻画，其图象如图所示．物价部门规定，售价不得高于40元，当售价为多少元时，线上和线下的利润之和最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)当售价为40元时，线上和线下销售的利润之和最大，最大利润是8200元
【分析】本题主要考查二次函数的应用，能从实际问题中抽象出二次函数模型是解题的关键．
（1）根据利润数量每件的利润建立与的关系式即可；
（2）先用待定系数法求出的解析式，再建立与的函数解析式，由函数的性质和的最大值确定取值范围．
【详解】（1）解：根据题意得：，
故销售利润与销售单价的关系式为；
（2）解：把代入，
得到：，
解得，
，
设线上线下利润之和为元，
则，
，
故当时，最大，最大值为．
故当售价为元时，线上和线下的利润之和最大，最大利润为．
4．某奶茶店新推出一款果饮，依据销售经验，定价在元之间适合顾客心理，且日销售量（单位：杯）与销售单价（单位：元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示，已知该款果饮的成本价为8元/杯．
(1)求关于的函数解析式（写出自变量的取值范围）；
(2)当该款果饮的销售单价为多少元时，每日的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)当该款果饮的销售单价为19元时，每日的销售利润最大，最大利润是1210元
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用，二次函数的最值，解题的关键是理解掌握题意，正确的找出题目中的等量关系，列出方程或函数关系式，从而进行解题．
（1）直接用待定系数法，求出一次函数的关系式；
（2）根据题意，设该款果饮的日销售利润为元，列出与的关系式，然后利用二次函数的性质，即可求出答案．
【详解】（1）解：设关于的函数解析式为，
将点代入，得，
解得
关于的函数解析式为．
（2）设该款果饮的日销售利润为元，根据题意，得，
，
，
当时，取得最大值，最大值为1210，
当该款果饮的销售单价为19元时，每日的销售利润最大，最大利润是1210元．
能力提升 创新拓展
1．近两年直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在网络平台上对一款成本价为120元的商品进行直播销售，如果按每件200元销售，每天可卖出40件．通过市场调查，该商品售价每降低1元，日销售量增加2件，设每件商品降价元．
(1)每件商品降价元时，日销售量为______件：
(2)若日销售盈利为4800元，为尽快减少库存，的值应为多少；
(3)设日销售盈利为元，当为何值时，取值最大，最大值是多少？
【答案】(1)
(2)的值应为40；
(3)当时，取最大值，最大值是5000．
【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，正确理解题意列出对应的解析式和方程是解题的关键．
（1）根据售价每降低1元，日销售量增加2件列出对应的代数式即可；
（2）根据利润（售价成本价）数量列出方程求解即可；
（3）根据利润（售价成本价）数量列出关于x的二次函数关系，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，每件商品降价x元时，日销售量为件，
故答案为：；
（2）解：由题意得，，
∴，
解得，
∵为尽快减少库存，
∴的值应为40；
（3）解：由题意得，，
，
∴当时，取最大值，最大值是5000．
2．如图，在中，，，，点、分别是、的中点，连接．点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿向终点运动，过点作的垂线交于点，以为直角边向下方作，使，且．设点的运动时间为（秒）．
(1)填空：________，________（用含的代数式表示）；
(2)当点落在线段上时，求的值；
(3)当与重合部分的图形是四边形时，设这个重叠部分的四边形的面积为平方单位，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）利用勾股定理和相似三角形的性质求解即可；
（2）利用矩形的性质求解即可；
（3）分类讨论的取值情况，利用面积公式列式即可．
【详解】（1）解：∵在中，，，，
∴，
由题意可得：，，
∴，
∴，即，
，
故答案为：；；
（2）解：如图①，当点落在线段上时，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如图②，当时，重叠部分是四边形，
；
如图③，当时，重叠部分是四边形，
．
【点睛】本题为动点与几何综合，涉及到了相似三角形的判定即性质，矩形的性质，二次函数，一次函数等知识点，合理分析图象作出图形是解题的关键．
3．某地计划完善公交站设施，给公交站加上顶棚，如图，公交站的顶棚由两段抛物线、组成，立柱均与地面垂直，垂足分别为E、O、C，线段米，米，点B、D分别在抛物线、上，抛物线和抛物线关于所在直线对称．以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，已知抛物线的函数表达式为（b、c为常数）．
(1)求抛物线的对称轴及b、c的值；
(2)求抛物线的函数表达式；
(3)现要在抛物线的下方安装一个矩形广告牌，轴，与之间的距离和与之间的距离相等均为米，为安全起见，抛物线到广告牌上边沿的竖直距离最小为米，点M到x轴的距离是多少米？
【答案】(1)直线，，；
(2)；
(3)米．
【分析】本题考查了二次函数的应用，求函数解析式等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）由：米，，得到抛物线的对称轴是直线，根据对称轴可求出，把点代入，可求出；
（2）由（1）可得抛物线的函数表达式为，根据抛物线和抛物线关于所在直线对称，即可得到抛物线的函数表达式；
（3）由题意可得点M、Q到抛物线的竖直距离最小且相等，当时，求出值，即可得出答案．
【详解】（1）解：米，，
抛物线的对称轴是直线，
，
解得：，
把点代入，得；
（2）解：由（1）可得抛物线的函数表达式为，
抛物线和抛物线关于所在直线对称，
抛物线的函数表达式为；
（3）解：由题意可得；点M、Q到抛物线的竖直距离最小且相等，
当时，，
，
点M到x轴的距离是米．
典例精讲1
典例精讲2
典例精讲3
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