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四川省泸州市龙马潭区2024-2025学年七年级下学期5月期中数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．
1．（2025七下·龙马潭期中）如图所示的图案分别是奔驰、奥迪、大众、三菱汽车的车标，其中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025七下·龙马潭期中）在0，1，，中最小的实数是（　　）
A．0 B． C．1 D．
3．（2025七下·龙马潭期中）下列方程是二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025七下·龙马潭期中）下列数中是无理数的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025七下·龙马潭期中）下列说法正确的是（　　）
A． 的算术平方根是3
B．平行于同一条直线的两条直线互相平行
C．带根号的数都是无理数
D．三角形的一个外角大于任意一个内角
6．（2025七下·龙马潭期中）如图，实数在数轴上对应的点可能是（　　）
A．点A B．点B C．点C D．点D
7．（2025七下·龙马潭期中）下列说法正确的是（　　）
A．同位角相等
B．不相交的两条直线叫做平行线
C．过一点有且只有一条直线与这条直线平行
D．两直线相交，对顶角相等
8．（2025七下·龙马潭期中）下列命题是真命题的是（　　）
A．相等的角是对顶角 B．两直线平行，同旁内角相等
C．如果，那么，两数同号 D．如果，那么
9．（2025七下·龙马潭期中）下列是二元一次方程解的是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025七下·龙马潭期中）如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，设每块小长方形地砖的长为x cm，宽为y cm，下列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2025七下·龙马潭期中）若是关于x，y的二元一次方程，则（　　）
A． B．
C． D．
12．（2025七下·龙马潭期中）在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BE平分∠ABC交AC于点E，AD、BE相交于点F，过点D作DG∥AB，过点B作BG⊥DG交DG于点G．下列结论：①∠AFB＝135°；②∠BDG＝2∠CBE；③BC平分∠ABG；④∠BEC＝∠FBG．其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）．
13．（2025七下·龙马潭期中）的立方根是，则　 　．
14．（2025七下·龙马潭期中）如图，直线m∥n，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，则∠1=　 　度．
15．（2025七下·龙马潭期中）对于实数、，且，我们用符号表示、两数中较小的数，如．若，则　 　．
16．（2025七下·龙马潭期中）关于x，y的二元一次方程组的解满足，则满足条件的a值为　 　．
三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分．
17．（2025七下·龙马潭期中）计算：．
18．（2025七下·龙马潭期中）解方程组．
19．（2025七下·龙马潭期中）如图，把向上平移个单位，再向右平移个单位得到．
（1）在图中画出；
（2）请写出点，，的坐标；
（3）求出的面积．
四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分．
20．（2025七下·龙马潭期中）已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求的平方根．
21．（2025七下·龙马潭期中）已知中，，平分，，求的度数．
五、本大题共2个小题，每小题8分，共16分．
22．（2025七下·龙马潭期中）如图，若∠DAE=∠E，∠B=∠D，那么AB∥DC吗？请在下面的解答过程中填空或在括号内填写理由．
解：理由如下：
∵∠DAE=∠E，________
∴______∥BE，________
∴∠D=∠DCE．________
又∵∠B=∠D，________
∴∠B=______．（等量代换）
∴______∥______，（同位角相等，两直线平行）
23．（2025七下·龙马潭期中）列方程组解应用题：用3辆型车和2辆型车载满货物一次可运货17吨；用2辆型车和3辆型车载满货物一次可运货18吨，某物流公司现有35吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物.
（1）1辆型车和1辆型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
（2）若型车每辆需租金200元/次，型车每辆需租金240元/次，请你帮该物流设计最省钱的租车方案，并求出最少租车费.
六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分．
24．（2025七下·龙马潭期中）定义：把（其中，是常数，，是未知数）这样的方程称为“优美二元一次方程”．当时，“优美二元一次方程”中的值称为“优美二元一次方程”的“优美值”．例如：当时，“优美二元一次方程”化为，解得：，故其“优美值”为4．
（1）求“优美二元一次方程”的“优美值”；
（2）若“优美二元一次方程”的“优美值”是﹣3，求的值；
（3）是否存在，使得优美二元一次方程与优美二元一次方程的“优美值”相同？若存在，请求出的值及此时的“优美值”；若不存在，请说明理由．
25．（2025七下·龙马潭期中）已知直线，点E、F分别在直线、上，连接，平分．
（1）如图1，连接，若平分．求的度数；
（2）如图2，连接，若，猜想和的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，点H为线段（端点除外）上的一个动点，过点H作的垂线交于M，连接，若平分，问的度数是否为定值？若是，求出的度数；若不是，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：A中，图形的平移只改变图形的位置，图形位置没变化，不是平移变换，故不符合题意；
B中，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，故符合题意；
C中，图形的平移只改变图形的位置，图形位置没变化，不是平移变换，故不符合题意；
D中，图形的平移只改变图形的位置，图形位置没变化，不是平移变换，故不符合题意．
故选：B．
【分析】本题考查了图形的平移，根据图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，结合选项，逐项分析判断，得到的图案B，即可求解．
2．【答案】B
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴最小的实数是，
故答案为：B．
【分析】根据实数的大小比较方法，直接进行比较，可得，即可得出其中最小的实数。
3．【答案】B
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A中，由是一元二次方程，故A不符合题意；
B中，由，符合二元一次方程的定义，故B符合题意；
C中，由，含有三个未知数，不是二元一次方程，故C不符合题意；
D中，由是一元一次方程，故D不符合题意．
故选：B．
【分析】本题考查二元一次方程的定义，把含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都为1的方程即为二元一次方程，据此定义，逐项分析判断，即可得到答案.
4．【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、是开不尽方的数，是无理数，故选项A正确；
B、是整数，是有理数，故选项B错误；
C、是分数，是有理数，故选项C错误；
D、是分数，是有理数，故选项D错误．
故选：A ．
【分析】根据无理数的定义：无理数是无限不循环小数，判断即可.
5．【答案】B
【知识点】算术平方根；平行线的判定；无理数的概念
【解析】【解答】A、 的算术平方根是 ，所以A选项不符合题意；
B、平行于同一条直线的两条直线互相平行，所以B选项符合题意；
C、带根号的数不一定是无理数，所以C选项不符合题意；
D、三角形的一个外角大于与之不相邻的任何一个内角，所以D选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据算术平方根的定义、无理数的定义、三角形的外角的性质逐项判定即可。
6．【答案】C
【知识点】实数在数轴上表示；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴在数轴上对应的点可能是，
故选：C ．
【分析】估算 的取值即可求解．
7．【答案】D
【知识点】平面中直线位置关系；对顶角及其性质；同位角的概念；平行公理
【解析】【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，故该选项说法错误，不符合题意；
B、同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故该选项说法错误，不符合题意；
C、过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故该选项说法错误，不符合题意；
D、两直线相交，对顶角相等，故该选项说法正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】A选项没有强调平行直线，故而不正确；B选项没有强调在同一平面内，故而不正确；C选项没有强调过直线外一点，故而错误，D选项对顶角的性质正确，即可得出答案。
8．【答案】D
【知识点】平行线的性质；有理数的乘法法则；对顶角及其性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解： A、相等的角不一定是对顶角，故原命题是假命题；
B、两直线平行，同旁内角互补，故原命题是假命题；
C、如果，那么，两数异号，故原命题是假命题；
D、如果，那么，故原命题是真命题；
故答案为：D。
【分析】根据对顶角的意义、平行线的性质、乘法法则及乘方的意义，逐项判断，判断正确的命题，即是真命题。
9．【答案】B
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：A、把代入二元一次方程， 得 ，故不是方程的解，故选项A错误；
B、把代入二元一次方程，得，故是方程的解，故选项B正确；
C、把代入二元一次方程， 得 ，故不是方程的解，故选项C错误；
D、把代入二元一次方程，得 ，故不是方程的解，故选项D错误；
故选：B．
【分析】直接把四个选项中的值，将其代入二元一次方程，使等式两边结果相等的值便是二元一次方程的解．
10．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设每块小长方形地砖的长为x cm，宽为y cm，根据题意，得
故答案为：C．
【分析】设每块小长方形地砖的长为x cm，宽为y cm，根据大长方形的宽，可得出方程：x+y=80①；根据大长方形的长可得出2x=x+3y②，联立①②，即可得出方程组 ： 。
11．【答案】D
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：是关于，的二元一次方程，
，，
解得：．
故答案为：D．
【分析】根据二元一次方程的定义可得：未知数的次数为1，且系数不能为0，即可得出关系式：，
解方程，求出mn的值，即可得出答案。
12．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AD平分∠BAC交BC于点D，BE平分∠ABC交AC于点E，
∴∠BAF＝∠BAC，∠ABF＝∠ABC，
又∵∠C＝90°，∴∠ABC+∠BAC＝90°，∴∠BAF+∠ABF＝45°，∴∠AFB＝135°，故①正确；
∵DG∥AB，∴∠BDG＝∠ABC＝2∠CBE，故②正确；
∵∠ABC的度数不确定，∴BC平分∠ABG不一定成立，故③错误；
∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBE，
又∵∠C＝∠ABG＝90°，∴∠BEC+∠CBE＝90°，∠ABF+∠FBG＝90°，∴∠BEC＝∠FBG，故④正确．
故选：C.
【分析】根据角平分线的概念、三角形内角和定理即可判定①；根据平行线的性质即可判定②；根据等角的余角相等，即可判定④.
13．【答案】
【知识点】开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：∵的立方根是，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】根据题意得到，进而根据立方根即可求解。
14．【答案】45
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵m∥n，∴∠1=∠ABC=45°；
故答案为：45．
【分析】根据等腰直角三角形的性质可知∠ABC的度数，进而根据平行线的性质即可求得∠1的度数．
15．【答案】
【知识点】解一元一次方程；一元一次方程的其他应用；解一元一次不等式；定义新运算
【解析】【解答】
解：根据题意得：∵
当1-x＜x，即x＞，1-x=2x+1，解得x=0，不合题意；
当1-x=x，即x=，1-x=x，解得x=，，不合题意；
当1-x＞x，即x＜，x=2x+1，解得x=-1，符合题意；
综上，x=-1
故答案为：-1
【分析】本题考查解一元一次方程、不等式及定义新运算，根据题意，分类讨论，列出不等式得出范围，列出方程求解是解题关键。
16．【答案】5
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：
得：，
∴，
∵方程组的解满足，
∴，解得，
故答案为：.
【分析】将可得，再根据方程组的解满足，进而可知，解方程即可求得a的值．
17．【答案】解：原式==.
【知识点】二次根式的混合运算；化简含绝对值有理数；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】首先计算乘方、开平方、开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，即可求出算式的值．
18．【答案】解：
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴原方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】直接利用加减消元法解方程组即可．
19．【答案】（1）解：如图所示，即为所求．
（2）解：，，
（3）解：的面积为．
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）根据平移的性质分别确定点A、B、C向上平移个单位，再向右平移个单位后的对应点A'、B'、C'，再顺次连接即可；
（2）利用（1）种所画图形，直接写出坐标即可；
（3）利用割补法，用大长方形面积减去各直角三角形面积即可．
20．【答案】（1）解：的立方根是，的算术平方根是，
，，
，，
，
，
；
（2）解：当，，时，，
的平方根是．
【知识点】无理数的估值；开平方（求平方根）；算术平方根的概念与表示；立方根的概念与表示
【解析】【分析】（1）如果一个数x的立方等于a，则x就是a的立方根；如果一个正数x的平方等于a，则x就是a的算术平方根，据此可求出a、b的值；根据被开方数越大，其算术平方根就越大，估算出 的范围，从而可求出c的值；
（2）求出a，b，c的和，进一步根据平方根的定义“如果一个数x的平方等于a，则x就是a的平方根”求出答案.
21．【答案】解：∵CD平分∠ACB（已知），∴∠3=∠DCB（角平分线定义）．
又∵∠2=∠3（已知），
∴∠2=∠DCB（等量代换）．
∴DEBC（内错角相等，两直线平行），
∴∠1=∠B=70°（两直线平行，同位角相等）．
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】本题考查了平行线的判定与性质和角平分线的性质，由CD平分∠ACB，得到∠3=∠DCB，进而得到∠2=∠DCB，再由内错角相等，两直线平行，证得DEBC，结合两直线平行，同位角相等，即可求解．
22．【答案】解：∵∠DAE=∠E，（已知）∴AD∥BE，（内错角相等，两直线平行）
∴∠D=∠DCE．（两直线平行，内错角相等）
又∵∠B=∠D，（已知）
∴∠B=DCE．（等量代换）
∴AB∥DC，（同位角相等，两直线平行）
故答案为已知；AD，内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；∠DCE；AB，DC．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】由∠DAE=∠E，根据内错角相等，两直线平行，可判定AD∥BE，再根据两直线平行，内错角相等，可得出B=∠D，进而代换为∠B=DCE，最后根据同位角相等，两直线平行，即可得出AB∥DC。
23．【答案】解：（1）设每辆A型车、B型车都装满货物一次可以分别运货x吨、y吨，
依题意列方程组得： ，
解方程组，得： ，
答：1辆A型车装满货物一次可运3吨，1辆B型车装满货物一次可运4吨．
（2）结合题意和（1）得：3a+4b=35，
∴a=
∵a、b都是正整数
∴或 或
方案一：A型车9辆，B型车2辆；
方案二：A型车5辆，B型车5辆；
方案三：A型车1辆，B型车8辆．
∵A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次，
∴方案一需租金：9×200+2×240=2280（元）
方案二需租金：5×200+5×240=2200（元）
方案三需租金：1×200+8×240=2120（元）
∵2280＞2200＞2120
∴最省钱的租车方案是方案三：A型车1辆，B型车8辆，最少租车费为2120元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）设每辆A型车、B型车都装满货物一次可以分别运货x吨、y吨，根据题意列方程组，解方程组即可；（2）由题意理解出：3a+4b=35，解此二元一次方程，求出其整数解，得到三种租车方案；分别三种方案的租车费用，进而比较大小即可求得最省钱的租车方案以及最少租车费．
24．【答案】（1）解：令，则“优美二元一次方程”化为：，．其“优美值”为．

（2）解：令，则“优美二元一次方程”化为：，把代入，得．
（3）解：令，则“优美二元一次方程”化为：，，其“优美值”为．
令，则“优美二元一次方程”化为：，，
其“优美值”为．
假设“优美值”相同，
∴，∴．
∴即“优美值”为．
【知识点】二元一次方程的解；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）根据 优美二元一次方程 的优美值的定义，令，代入原方程，进行求解即可；
（2）首先根据优美值的定义，令，代入原方程，得到，然后再把代入中，即可求得m的值；
（3）首先分别解原方程，求出它们的优美值（用含n的式子表示），然后令两个方程的优美值相等，得出关于n的方程，解方程，即可得出n的值，进一步代入求值，即可得出优美值；
25．【答案】（1）解：∵EG、FG分别平分∠BEF和∠EFD，∴∠BEF＝2∠FEG，∠EFD＝2∠EFG，
∵，
∴∠BEF＋∠EFD＝180°，
∴2∠FEG＋2∠GFE＝180°，
∴∠FEG＋∠GFE＝90°，
∵∠EGF＋∠FEG＋∠GFE＝180°，
∴∠EGF＝90°．
（2）解：猜想：∠EGF＋∠EHF＝180°，
理由如下：如图所示，过点G作，
∵，
∴，
∴设∠EGN＝∠BEG＝α，∠NGF＝∠GFD＝β，
∴∠EGF＝∠BEG＋∠GFD＝α＋β，
∵FG平分∠EFD，
∴∠EFG＝∠GFD＝β，
∵∠EHF＝180° ∠EFG ∠FEH＝180° α β，
∴∠EHF＝180° α β＝180° ∠EGF，
∴∠EGF＋∠EHF＝180°．
（3）解：∠MGF的度数是为定值，∠MGF＝45°，
理由如下：过点 G作，
∵，
∴，
∴设∠MGN＝∠BMG＝α，∠NGF＝∠GFD＝β，
∴∠MGF＝∠BMG＋∠GFD＝α＋β，
∵FG平分∠EFD，
∴∠EFG＝∠GFD＝β，
∵，
∴∠MEF＝∠EFD＝2β，
∵MH⊥EF，
∴∠HME＝90° ∠MEF＝90° 2β，
∵MG平分∠BMH，
∴∠EMG＝∠GMH＝α＝∠HME，
∴∠EMG＝α＝∠HME＝(90° 2β)＝45° β，
∴∠MGF＝α＋β＝45° β＋β＝45°，
∴∠MGF＝45°，
∴∠MGF的度数是为定值．
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质可知∠BEF＝2∠FEG，∠EFD＝2∠GFE，根据平行线的性质可知∠BEF＋∠EFD＝180°，可得2∠FEG＋2∠GFD＝180°，进而根据三角形内角和即可求得∠G的度数；
（2）过点G作，根据平行线的可传递性可知．设∠EGN＝∠BEG＝α，∠NGF＝∠GFD＝β，可得∠EGF＝∠BEG＋∠GFD＝α＋β，∠EHF＝180° ∠EFG ∠FEH＝180° α β，进而可知和的数量关系 ；
（3）过点 G作， 根据平行线的可传递性可知，设∠MGN＝∠BMG＝α，∠NGF＝∠GFD＝β．即∠MGF＝∠BMG＋∠GFD＝α＋β，根据角平分线的性质可知∠MEF＝∠EFD＝2β，即可得∠HME＝90° ∠MEF＝90° 2β，再因为MH⊥EF，所以∠HME＝90° ∠MEF＝90° 2β．再根据MG平分∠BMH，得到∠EMG＝45° β，进而即可求得∠G的度数．
（1）解：∵EG、FG分别平分∠BEF和∠EFD，
∴∠BEF＝2∠FEG，∠EFD＝2∠EFG，
∵，
∴∠BEF＋∠EFD＝180°，
∴2∠FEG＋2∠GFE＝180°，
∴∠FEG＋∠GFE＝90°，
∵∠EGF＋∠FEG＋∠GFE＝180°，
∴∠EGF＝90°．
（2）解：猜想：∠EGF＋∠EHF＝180°，
过点G作，
∵，
∴，
∴设∠EGN＝∠BEG＝α，∠NGF＝∠GFD＝β，
∴∠EGF＝∠BEG＋∠GFD＝α＋β，
∵FG平分∠EFD，
∴∠EFG＝∠GFD＝β，
∵∠EHF＝180° ∠EFG ∠FEH＝180° α β，
∴∠EHF＝180° α β＝180° ∠EGF，
∴∠EGF＋∠EHF＝180°．
（3）解：结论：∠MGF＝45°，理由如下：
过点 G作，
∵，
∴，
∴设∠MGN＝∠BMG＝α，∠NGF＝∠GFD＝β，
∴∠MGF＝∠BMG＋∠GFD＝α＋β，
∵FG平分∠EFD，
∴∠EFG＝∠GFD＝β，
∵，
∴∠MEF＝∠EFD＝2β，
∵MH⊥EF，
∴∠HME＝90° ∠MEF＝90° 2β，
∵MG平分∠BMH，
∴∠EMG＝∠GMH＝α＝∠HME，
∴∠EMG＝α＝∠HME＝(90° 2β)＝45° β，
∴∠MGF＝α＋β＝45° β＋β＝45°，
∴∠MGF＝45°，
∴∠MGF的度数是为定值．
1 / 1四川省泸州市龙马潭区2024-2025学年七年级下学期5月期中数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．
1．（2025七下·龙马潭期中）如图所示的图案分别是奔驰、奥迪、大众、三菱汽车的车标，其中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：A中，图形的平移只改变图形的位置，图形位置没变化，不是平移变换，故不符合题意；
B中，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，故符合题意；
C中，图形的平移只改变图形的位置，图形位置没变化，不是平移变换，故不符合题意；
D中，图形的平移只改变图形的位置，图形位置没变化，不是平移变换，故不符合题意．
故选：B．
【分析】本题考查了图形的平移，根据图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，结合选项，逐项分析判断，得到的图案B，即可求解．
2．（2025七下·龙马潭期中）在0，1，，中最小的实数是（　　）
A．0 B． C．1 D．
【答案】B
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴最小的实数是，
故答案为：B．
【分析】根据实数的大小比较方法，直接进行比较，可得，即可得出其中最小的实数。
3．（2025七下·龙马潭期中）下列方程是二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A中，由是一元二次方程，故A不符合题意；
B中，由，符合二元一次方程的定义，故B符合题意；
C中，由，含有三个未知数，不是二元一次方程，故C不符合题意；
D中，由是一元一次方程，故D不符合题意．
故选：B．
【分析】本题考查二元一次方程的定义，把含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都为1的方程即为二元一次方程，据此定义，逐项分析判断，即可得到答案.
4．（2025七下·龙马潭期中）下列数中是无理数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、是开不尽方的数，是无理数，故选项A正确；
B、是整数，是有理数，故选项B错误；
C、是分数，是有理数，故选项C错误；
D、是分数，是有理数，故选项D错误．
故选：A ．
【分析】根据无理数的定义：无理数是无限不循环小数，判断即可.
5．（2025七下·龙马潭期中）下列说法正确的是（　　）
A． 的算术平方根是3
B．平行于同一条直线的两条直线互相平行
C．带根号的数都是无理数
D．三角形的一个外角大于任意一个内角
【答案】B
【知识点】算术平方根；平行线的判定；无理数的概念
【解析】【解答】A、 的算术平方根是 ，所以A选项不符合题意；
B、平行于同一条直线的两条直线互相平行，所以B选项符合题意；
C、带根号的数不一定是无理数，所以C选项不符合题意；
D、三角形的一个外角大于与之不相邻的任何一个内角，所以D选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据算术平方根的定义、无理数的定义、三角形的外角的性质逐项判定即可。
6．（2025七下·龙马潭期中）如图，实数在数轴上对应的点可能是（　　）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】C
【知识点】实数在数轴上表示；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴在数轴上对应的点可能是，
故选：C ．
【分析】估算 的取值即可求解．
7．（2025七下·龙马潭期中）下列说法正确的是（　　）
A．同位角相等
B．不相交的两条直线叫做平行线
C．过一点有且只有一条直线与这条直线平行
D．两直线相交，对顶角相等
【答案】D
【知识点】平面中直线位置关系；对顶角及其性质；同位角的概念；平行公理
【解析】【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，故该选项说法错误，不符合题意；
B、同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故该选项说法错误，不符合题意；
C、过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故该选项说法错误，不符合题意；
D、两直线相交，对顶角相等，故该选项说法正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】A选项没有强调平行直线，故而不正确；B选项没有强调在同一平面内，故而不正确；C选项没有强调过直线外一点，故而错误，D选项对顶角的性质正确，即可得出答案。
8．（2025七下·龙马潭期中）下列命题是真命题的是（　　）
A．相等的角是对顶角 B．两直线平行，同旁内角相等
C．如果，那么，两数同号 D．如果，那么
【答案】D
【知识点】平行线的性质；有理数的乘法法则；对顶角及其性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解： A、相等的角不一定是对顶角，故原命题是假命题；
B、两直线平行，同旁内角互补，故原命题是假命题；
C、如果，那么，两数异号，故原命题是假命题；
D、如果，那么，故原命题是真命题；
故答案为：D。
【分析】根据对顶角的意义、平行线的性质、乘法法则及乘方的意义，逐项判断，判断正确的命题，即是真命题。
9．（2025七下·龙马潭期中）下列是二元一次方程解的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：A、把代入二元一次方程， 得 ，故不是方程的解，故选项A错误；
B、把代入二元一次方程，得，故是方程的解，故选项B正确；
C、把代入二元一次方程， 得 ，故不是方程的解，故选项C错误；
D、把代入二元一次方程，得 ，故不是方程的解，故选项D错误；
故选：B．
【分析】直接把四个选项中的值，将其代入二元一次方程，使等式两边结果相等的值便是二元一次方程的解．
10．（2025七下·龙马潭期中）如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，设每块小长方形地砖的长为x cm，宽为y cm，下列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设每块小长方形地砖的长为x cm，宽为y cm，根据题意，得
故答案为：C．
【分析】设每块小长方形地砖的长为x cm，宽为y cm，根据大长方形的宽，可得出方程：x+y=80①；根据大长方形的长可得出2x=x+3y②，联立①②，即可得出方程组 ： 。
11．（2025七下·龙马潭期中）若是关于x，y的二元一次方程，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：是关于，的二元一次方程，
，，
解得：．
故答案为：D．
【分析】根据二元一次方程的定义可得：未知数的次数为1，且系数不能为0，即可得出关系式：，
解方程，求出mn的值，即可得出答案。
12．（2025七下·龙马潭期中）在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BE平分∠ABC交AC于点E，AD、BE相交于点F，过点D作DG∥AB，过点B作BG⊥DG交DG于点G．下列结论：①∠AFB＝135°；②∠BDG＝2∠CBE；③BC平分∠ABG；④∠BEC＝∠FBG．其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AD平分∠BAC交BC于点D，BE平分∠ABC交AC于点E，
∴∠BAF＝∠BAC，∠ABF＝∠ABC，
又∵∠C＝90°，∴∠ABC+∠BAC＝90°，∴∠BAF+∠ABF＝45°，∴∠AFB＝135°，故①正确；
∵DG∥AB，∴∠BDG＝∠ABC＝2∠CBE，故②正确；
∵∠ABC的度数不确定，∴BC平分∠ABG不一定成立，故③错误；
∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBE，
又∵∠C＝∠ABG＝90°，∴∠BEC+∠CBE＝90°，∠ABF+∠FBG＝90°，∴∠BEC＝∠FBG，故④正确．
故选：C.
【分析】根据角平分线的概念、三角形内角和定理即可判定①；根据平行线的性质即可判定②；根据等角的余角相等，即可判定④.
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）．
13．（2025七下·龙马潭期中）的立方根是，则　 　．
【答案】
【知识点】开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：∵的立方根是，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】根据题意得到，进而根据立方根即可求解。
14．（2025七下·龙马潭期中）如图，直线m∥n，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，则∠1=　 　度．
【答案】45
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵m∥n，∴∠1=∠ABC=45°；
故答案为：45．
【分析】根据等腰直角三角形的性质可知∠ABC的度数，进而根据平行线的性质即可求得∠1的度数．
15．（2025七下·龙马潭期中）对于实数、，且，我们用符号表示、两数中较小的数，如．若，则　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次方程；一元一次方程的其他应用；解一元一次不等式；定义新运算
【解析】【解答】
解：根据题意得：∵
当1-x＜x，即x＞，1-x=2x+1，解得x=0，不合题意；
当1-x=x，即x=，1-x=x，解得x=，，不合题意；
当1-x＞x，即x＜，x=2x+1，解得x=-1，符合题意；
综上，x=-1
故答案为：-1
【分析】本题考查解一元一次方程、不等式及定义新运算，根据题意，分类讨论，列出不等式得出范围，列出方程求解是解题关键。
16．（2025七下·龙马潭期中）关于x，y的二元一次方程组的解满足，则满足条件的a值为　 　．
【答案】5
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：
得：，
∴，
∵方程组的解满足，
∴，解得，
故答案为：.
【分析】将可得，再根据方程组的解满足，进而可知，解方程即可求得a的值．
三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分．
17．（2025七下·龙马潭期中）计算：．
【答案】解：原式==.
【知识点】二次根式的混合运算；化简含绝对值有理数；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】首先计算乘方、开平方、开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，即可求出算式的值．
18．（2025七下·龙马潭期中）解方程组．
【答案】解：
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴原方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】直接利用加减消元法解方程组即可．
19．（2025七下·龙马潭期中）如图，把向上平移个单位，再向右平移个单位得到．
（1）在图中画出；
（2）请写出点，，的坐标；
（3）求出的面积．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求．
（2）解：，，
（3）解：的面积为．
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）根据平移的性质分别确定点A、B、C向上平移个单位，再向右平移个单位后的对应点A'、B'、C'，再顺次连接即可；
（2）利用（1）种所画图形，直接写出坐标即可；
（3）利用割补法，用大长方形面积减去各直角三角形面积即可．
四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分．
20．（2025七下·龙马潭期中）已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求的平方根．
【答案】（1）解：的立方根是，的算术平方根是，
，，
，，
，
，
；
（2）解：当，，时，，
的平方根是．
【知识点】无理数的估值；开平方（求平方根）；算术平方根的概念与表示；立方根的概念与表示
【解析】【分析】（1）如果一个数x的立方等于a，则x就是a的立方根；如果一个正数x的平方等于a，则x就是a的算术平方根，据此可求出a、b的值；根据被开方数越大，其算术平方根就越大，估算出 的范围，从而可求出c的值；
（2）求出a，b，c的和，进一步根据平方根的定义“如果一个数x的平方等于a，则x就是a的平方根”求出答案.
21．（2025七下·龙马潭期中）已知中，，平分，，求的度数．
【答案】解：∵CD平分∠ACB（已知），∴∠3=∠DCB（角平分线定义）．
又∵∠2=∠3（已知），
∴∠2=∠DCB（等量代换）．
∴DEBC（内错角相等，两直线平行），
∴∠1=∠B=70°（两直线平行，同位角相等）．
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】本题考查了平行线的判定与性质和角平分线的性质，由CD平分∠ACB，得到∠3=∠DCB，进而得到∠2=∠DCB，再由内错角相等，两直线平行，证得DEBC，结合两直线平行，同位角相等，即可求解．
五、本大题共2个小题，每小题8分，共16分．
22．（2025七下·龙马潭期中）如图，若∠DAE=∠E，∠B=∠D，那么AB∥DC吗？请在下面的解答过程中填空或在括号内填写理由．
解：理由如下：
∵∠DAE=∠E，________
∴______∥BE，________
∴∠D=∠DCE．________
又∵∠B=∠D，________
∴∠B=______．（等量代换）
∴______∥______，（同位角相等，两直线平行）
【答案】解：∵∠DAE=∠E，（已知）∴AD∥BE，（内错角相等，两直线平行）
∴∠D=∠DCE．（两直线平行，内错角相等）
又∵∠B=∠D，（已知）
∴∠B=DCE．（等量代换）
∴AB∥DC，（同位角相等，两直线平行）
故答案为已知；AD，内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；∠DCE；AB，DC．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】由∠DAE=∠E，根据内错角相等，两直线平行，可判定AD∥BE，再根据两直线平行，内错角相等，可得出B=∠D，进而代换为∠B=DCE，最后根据同位角相等，两直线平行，即可得出AB∥DC。
23．（2025七下·龙马潭期中）列方程组解应用题：用3辆型车和2辆型车载满货物一次可运货17吨；用2辆型车和3辆型车载满货物一次可运货18吨，某物流公司现有35吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物.
（1）1辆型车和1辆型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
（2）若型车每辆需租金200元/次，型车每辆需租金240元/次，请你帮该物流设计最省钱的租车方案，并求出最少租车费.
【答案】解：（1）设每辆A型车、B型车都装满货物一次可以分别运货x吨、y吨，
依题意列方程组得： ，
解方程组，得： ，
答：1辆A型车装满货物一次可运3吨，1辆B型车装满货物一次可运4吨．
（2）结合题意和（1）得：3a+4b=35，
∴a=
∵a、b都是正整数
∴或 或
方案一：A型车9辆，B型车2辆；
方案二：A型车5辆，B型车5辆；
方案三：A型车1辆，B型车8辆．
∵A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次，
∴方案一需租金：9×200+2×240=2280（元）
方案二需租金：5×200+5×240=2200（元）
方案三需租金：1×200+8×240=2120（元）
∵2280＞2200＞2120
∴最省钱的租车方案是方案三：A型车1辆，B型车8辆，最少租车费为2120元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）设每辆A型车、B型车都装满货物一次可以分别运货x吨、y吨，根据题意列方程组，解方程组即可；（2）由题意理解出：3a+4b=35，解此二元一次方程，求出其整数解，得到三种租车方案；分别三种方案的租车费用，进而比较大小即可求得最省钱的租车方案以及最少租车费．
六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分．
24．（2025七下·龙马潭期中）定义：把（其中，是常数，，是未知数）这样的方程称为“优美二元一次方程”．当时，“优美二元一次方程”中的值称为“优美二元一次方程”的“优美值”．例如：当时，“优美二元一次方程”化为，解得：，故其“优美值”为4．
（1）求“优美二元一次方程”的“优美值”；
（2）若“优美二元一次方程”的“优美值”是﹣3，求的值；
（3）是否存在，使得优美二元一次方程与优美二元一次方程的“优美值”相同？若存在，请求出的值及此时的“优美值”；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：令，则“优美二元一次方程”化为：，．其“优美值”为．

（2）解：令，则“优美二元一次方程”化为：，把代入，得．
（3）解：令，则“优美二元一次方程”化为：，，其“优美值”为．
令，则“优美二元一次方程”化为：，，
其“优美值”为．
假设“优美值”相同，
∴，∴．
∴即“优美值”为．
【知识点】二元一次方程的解；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）根据 优美二元一次方程 的优美值的定义，令，代入原方程，进行求解即可；
（2）首先根据优美值的定义，令，代入原方程，得到，然后再把代入中，即可求得m的值；
（3）首先分别解原方程，求出它们的优美值（用含n的式子表示），然后令两个方程的优美值相等，得出关于n的方程，解方程，即可得出n的值，进一步代入求值，即可得出优美值；
25．（2025七下·龙马潭期中）已知直线，点E、F分别在直线、上，连接，平分．
（1）如图1，连接，若平分．求的度数；
（2）如图2，连接，若，猜想和的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，点H为线段（端点除外）上的一个动点，过点H作的垂线交于M，连接，若平分，问的度数是否为定值？若是，求出的度数；若不是，请说明理由．
【答案】（1）解：∵EG、FG分别平分∠BEF和∠EFD，∴∠BEF＝2∠FEG，∠EFD＝2∠EFG，
∵，
∴∠BEF＋∠EFD＝180°，
∴2∠FEG＋2∠GFE＝180°，
∴∠FEG＋∠GFE＝90°，
∵∠EGF＋∠FEG＋∠GFE＝180°，
∴∠EGF＝90°．
（2）解：猜想：∠EGF＋∠EHF＝180°，
理由如下：如图所示，过点G作，
∵，
∴，
∴设∠EGN＝∠BEG＝α，∠NGF＝∠GFD＝β，
∴∠EGF＝∠BEG＋∠GFD＝α＋β，
∵FG平分∠EFD，
∴∠EFG＝∠GFD＝β，
∵∠EHF＝180° ∠EFG ∠FEH＝180° α β，
∴∠EHF＝180° α β＝180° ∠EGF，
∴∠EGF＋∠EHF＝180°．
（3）解：∠MGF的度数是为定值，∠MGF＝45°，
理由如下：过点 G作，
∵，
∴，
∴设∠MGN＝∠BMG＝α，∠NGF＝∠GFD＝β，
∴∠MGF＝∠BMG＋∠GFD＝α＋β，
∵FG平分∠EFD，
∴∠EFG＝∠GFD＝β，
∵，
∴∠MEF＝∠EFD＝2β，
∵MH⊥EF，
∴∠HME＝90° ∠MEF＝90° 2β，
∵MG平分∠BMH，
∴∠EMG＝∠GMH＝α＝∠HME，
∴∠EMG＝α＝∠HME＝(90° 2β)＝45° β，
∴∠MGF＝α＋β＝45° β＋β＝45°，
∴∠MGF＝45°，
∴∠MGF的度数是为定值．
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质可知∠BEF＝2∠FEG，∠EFD＝2∠GFE，根据平行线的性质可知∠BEF＋∠EFD＝180°，可得2∠FEG＋2∠GFD＝180°，进而根据三角形内角和即可求得∠G的度数；
（2）过点G作，根据平行线的可传递性可知．设∠EGN＝∠BEG＝α，∠NGF＝∠GFD＝β，可得∠EGF＝∠BEG＋∠GFD＝α＋β，∠EHF＝180° ∠EFG ∠FEH＝180° α β，进而可知和的数量关系 ；
（3）过点 G作， 根据平行线的可传递性可知，设∠MGN＝∠BMG＝α，∠NGF＝∠GFD＝β．即∠MGF＝∠BMG＋∠GFD＝α＋β，根据角平分线的性质可知∠MEF＝∠EFD＝2β，即可得∠HME＝90° ∠MEF＝90° 2β，再因为MH⊥EF，所以∠HME＝90° ∠MEF＝90° 2β．再根据MG平分∠BMH，得到∠EMG＝45° β，进而即可求得∠G的度数．
（1）解：∵EG、FG分别平分∠BEF和∠EFD，
∴∠BEF＝2∠FEG，∠EFD＝2∠EFG，
∵，
∴∠BEF＋∠EFD＝180°，
∴2∠FEG＋2∠GFE＝180°，
∴∠FEG＋∠GFE＝90°，
∵∠EGF＋∠FEG＋∠GFE＝180°，
∴∠EGF＝90°．
（2）解：猜想：∠EGF＋∠EHF＝180°，
过点G作，
∵，
∴，
∴设∠EGN＝∠BEG＝α，∠NGF＝∠GFD＝β，
∴∠EGF＝∠BEG＋∠GFD＝α＋β，
∵FG平分∠EFD，
∴∠EFG＝∠GFD＝β，
∵∠EHF＝180° ∠EFG ∠FEH＝180° α β，
∴∠EHF＝180° α β＝180° ∠EGF，
∴∠EGF＋∠EHF＝180°．
（3）解：结论：∠MGF＝45°，理由如下：
过点 G作，
∵，
∴，
∴设∠MGN＝∠BMG＝α，∠NGF＝∠GFD＝β，
∴∠MGF＝∠BMG＋∠GFD＝α＋β，
∵FG平分∠EFD，
∴∠EFG＝∠GFD＝β，
∵，
∴∠MEF＝∠EFD＝2β，
∵MH⊥EF，
∴∠HME＝90° ∠MEF＝90° 2β，
∵MG平分∠BMH，
∴∠EMG＝∠GMH＝α＝∠HME，
∴∠EMG＝α＝∠HME＝(90° 2β)＝45° β，
∴∠MGF＝α＋β＝45° β＋β＝45°，
∴∠MGF＝45°，
∴∠MGF的度数是为定值．
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