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山东省烟台市莱州市2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题（五四制）
一、单选题
1．下列函数中，是反比例函数的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列各式化成最简二次根式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．把一元二次方程化成一般式，则的值分别是 （ ）
A．1，4，1 B．2，，0 C．3，4，0 D．，，1
4．若函数在实数范围内有意义，则实数x应满足的条件是（ ）
A． B．且 C． D．且
5．关于反比例函数，下列结论正确的是 （ ）
A．图象位于第一、三象限
B．图象与轴有公共点
C．随的增大而增大
D．不存在与的图象有交点的其他反比例函数
6．如图，已知，下列条件中不能判断和相似的是（ ）
A． B．平分
C． D．
7．如图，中，直角边落在轴的负半轴上，点的坐标是，以为位似中心，按比例尺把缩小，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B．或
C． D．或
8．已知实数满足，则代数式的值是( )
A．7 B．-1 C．7或-1 D．-5或3
9．已知中，，交于，，，，则
A． B． C． D．
10．如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B、C为反比例函数上不同的三点，连接、、，过点A作轴于点D，过点B、C分别作，垂直x轴于点、，与相交于点M，记、、四边形的面积分别为、、，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如果且，那么 ．
12．若，那么 ．
13．一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边的长度为24，则这个多边形的最短边的长度为 ．
14．如图所示是三个反比例函数、、的图象，由此观察得到、、的大小关系是 （用“＜”连接）．
15．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．若，．小孔O到的距离为，则小孔O到的距离为 ．
16．已知，，则代数式的值是 ．
17．如图，在平面直角坐标系中，四边形的边与轴的负半轴重合，，轴，对角线交于点．已知，的面积为4．若反比例函数的图象恰好经过点，则的值为 ．
18．如图，，，，点在线段上运动，为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是 ．
三、解答题
19．计算：
(1)；
(2)．
20．按要求解下列方程：
(1)（直接开方法）；
(2)（配方法）．
21．图中有一面墙（可利用的最大长度为），现打算沿墙围成一个面积为的长方形花圃．设花圃与墙平行的一边长，与墙垂直的一边长为．
(1)求关于的函数表达式，并指出自变量的取值范围．
(2)若想使花圃长是宽的倍，则花圃至少需要围栏多少米？
22．如图，在中，是角平分线，点E在边上，且，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
23．阅读下列材料：
【材料1】若一元二次方程的两根为，
则．
【材料2】已知实数满足，且，求的值．
解：由题知是方程的两个不相等的实数根，
∴；
∴ ．
根据上述材料，解答下列问题：
(1)关于的方程的两个根是和1，则的值为___________；
(2)若关于的方程的两个实数根的平方和等于4，求实数的值；
(3)已知：，，且．求的值为______________．
24．如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点，，点在轴上，为等腰直角三角形，且，．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)求点的坐标．
25．根据背景材料，探索问题．
端午粽子销售价格的探究
生活中的问题 端午节来临之际，某超市以每袋30元的价格购进了500袋真空包装的粽子，第一周以每袋50元的价格销售了150袋．
市场调查 第二周如果价格不变，预计仍可售出150袋，该超市经理为了增加销售，决定降价，据调查发现：每袋粽子每降价2元，超市平均可多售出20袋，但最低每袋要盈利15元．
销售设置 第二周结束后，该超市将对剩余的粽子一次性赔钱甩卖，此时价格为每袋25元．
解决问题
任务1 若设第二周每袋粽子降低元，则第二周每袋的盈利是________元，销量是__________袋．
任务2 ①经两周后还剩余粽子_____________袋．（用的代数式表示）
②若该超市想通过销售这批粽子获利5160元，那么第二周的单价每袋应是多少元？
26．我们定义：在内有一点P，连接，，．在所得的中，有且只有两个三角形相似，则称点P为的相似心．
(1)如图1，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，若点P为的相似心，则____________________；（填两个相似三角形）
(2)如图2，在平面直角坐标系中，点A与点B分别为x轴负半轴，y轴正半轴上的两个动点，连接，设的外角平分线，交于点M，延长，分别交x轴于点G，交y轴于点H，连接．
①的度数是__________；
②求证：点O为的相似心；
(3)如图3，在（2）的条件下，若点M在反比例函数的图象上，，若点G的坐标是，求k的值．
参考答案
1．D
解：A中，，是正比例函数，不是反比例函数，故不符合题意；
B中，，不是反比例函数，故不符合题意；
C中，，是一次函数，不是反比例函数，故不符合题意；
D中，，是反比例函数，故符合题意，
故选：D．
2．D
选项A：原式化简应为，错误；
选项B：正确化简为，而选项B结果为，数值明显不符，错误；
选项C：分母含根号，未有理化，正确形式应为，错误；
选项D：将化为分数，再有理化分母：，符合最简二次根式要求，正确；
故选：D．
3．B
解：原方程为，
展开左边得，
移项，得，
方程化简为，
可得，，，
故选：B．
4．D
解：由题可知，
且，
解得且
故选：D．
5．D
选项A：反比例函数中，比例系数，其图象位于第二、四象限，而非第一、三象限，故A错误；
选项B：反比例函数的图象为双曲线，与坐标轴无限接近但永不相交，故B错误；
选项C：当时，反比例函数在每个象限内，随的增大而增大．但选项C未限定“每个象限内”，若跨象限变化（如从负数到正数），会减小，故C错误；
选项D：设其他反比例函数为，联立方程，因此，仅当时两函数图象重合，其他的反比例函数均无交点，故D正确．
故选：D．
6．D
∵，
∴，
∵，
∴，故A能判断，不符合题意；
∵平分，
∴．
∵，
∴，故B能判断，不符合题意；
∵
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，故C能判断，不符合题意；
∵，结合题意没有满足使和相似的条件，
∴不能判断，符合题意．
故选D．
7．B
以为位似中心，按比例尺把缩小，
当对应点与在位似中心同侧时，则的坐标乘以，
∴的坐标为：；
当对应点与在位似中心异侧时，则的坐标乘以，
∴的坐标为：；
∴点的对应点的坐标为：或．
故选：B．
8．A
∵(x2﹣x)2﹣4(x2﹣x)﹣12＝0，
∴(x2﹣x+2)(x2﹣x﹣6)＝0，
∴x2﹣x+2＝0或x2﹣x﹣6＝0，
∴x2﹣x＝﹣2或x2﹣x＝6；
当x2﹣x＝﹣2时，x2﹣x+2＝0，
∵b2﹣4ac＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0，
∴此方程无实数解；
当x2﹣x＝6时，x2﹣x+1＝7，
故选A．
9．C
∵AD∥EF∥BC，
∴AE：EB=AF：FC=1：2，
∴EF：AD=CF：AC=2：3，
∵△ADE和△AEF等高，
∴S△AEF：S△ADE=EF：AD=2：3，
∵S△ADE=1，
∴S△AEF=．
故选C．
10．B
∵点A、B、C为反比例函数y＝（）上不同的三点，轴，过点B、C分别作，垂直x轴于点E、F
∴，，
∴
∴
故答案为：B．
11．1
解：设（），
则，，，
∵，
∴，
∴，
∴，，，
∴．
故答案为：1
12．3或
解：，
，
，即，
或，
∴或
或．
故答案为：或3 ．
13．8
解：该多边形的最短边长为．
由相似多边形的性质可知：，
，
故答案为：8．
14．k1＜k2＜k3
解：读图可知：反比例函数 y＝的图象在第二象限，故k1＜0；
y=，y=在第一象限；且y=的图象距原点较远，故有：k1＜k2＜k3；
故答案为k1＜k2＜k3．
15．/
由题意得：，
∴，
如图，过作于点，交于点，
∴，，
∴，即，
∴，
即小孔到的距离为，
故答案为：．
16．
解：∵，，
∴，，
∴
，
故答案为：．
17．
解：∵，
∴，
∴，，
∵的面积为4，
∴，
如图所示，过点M作于H，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵反比例的函数图象有一部分在第二象限，
∴，
∴，
故答案为：．
18．6
解：，，
，，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的值最小时，的值最小，此时的值最小，
，，，
，
根据垂线段最短可知，当时，的值最小，根据三角形面积得，此时，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：6．
19．(1)
(2)
（1）解：
；
（2）
．
20．(1)
(2)，
（1）解：原方程可变形为，
，
开平方，得
，
即，或，
∴；
（2）解：
方程两边都除以2，得，
移项，得，
配方，得，
，
∴，
即，或，
∴，．
21．(1)
(2)
（1）解：∵设花圃与墙平行的一边长，与墙垂直的一边长为，面积为
∴
∴
∵可利用的最大长度为
∴
∴关于的函数表达式为；
（2）解：∵使花圃长是宽的倍
∴
∴代入得，
∴
∴或（舍去）
∴
∴
∴花圃至少需要围栏米．
22．(1)见解析
(2)4
（1）证明：∵是的角平分线，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，即．
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
23．(1)2
(2)的值为
(3)3
（1）解：∵关于的方程的两个根是和1，
∴，即：，
∴．
故答案为2．
（2）解：设关于的方程的两个实数根分别为，
根据根与系数的关系得，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
当时，原方程化为，
则，此方程没有实数解；
当时，原方程化为，
则，此方程有两个不相等的实数解．
综上所述，的值为．
（3）解：∵，
∴，
∴，即，
∵
∴是方程的两个的实数根，且．
∵，
∴．
24．(1)；
(2)
（1）解：将代入反比例函数中，得，
解得，
故反比例函数的表达式为
将代入反比例函数中，
得，
解得，
故
将，代入一次函数中得
，
解得
故一次函数解析式为；
（2）解：如图，过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，

则，
，
为等腰直角三角形，，
，
．
在和中，
，
，
，
∵，，
，
．
25．任务1：
任务2：①
②第二周的单价每袋应是48元
解：任务1：任务1：第二周每袋的盈利元，
销量袋；
故答案为：；
任务2：①经两周后还剩余粽子袋数袋，
故答案为： ；
②第二周每袋粽子降低元，
由题意得
∴
解得或
∵第二周最低每袋要盈利15元，
∴
∴，
∴（不合题意，舍去）
∴，
∴第二周的单价每袋应是
答：第二周的单价每袋应是48元．
26．(1)
(2)①；②见解析
(3)
（1）解：由图可知：，，，，
，
．
故答案为：，；
（2）①解：根据题意得：，
，
的外角平分线，交于点M，
，，
，
，
故答案为：；
②证明：过点M作轴，轴，垂足分别为Q、P、N，连接，
的外角平分线，交于点M，
，
，
平分，
，
，
，
，
又，
，
点O为的相似心；
（3）解：由（2）知：，
，
点，
，
，
由（2）得：，设长度都为m，
则，，
，
∵在反比例函数的图象上，
∴，
．

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