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吉林省长春市德惠市德惠市第三中学2024-2025学年八年级下学期5月期中数学试题
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（2025八下·德惠期中）下列各式中是分式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八下·德惠期中）中国的k在网上成为热搜和下载安装的榜首软件，要支持这些软件功能，需要芯片的支持．据报道的主要芯片为，相当于，数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八下·德惠期中）若点在第一象限，则点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2025八下·德惠期中）如图表示的是一次函数（、为常数，）的图象，则关于的方程的解是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八下·德惠期中）如图，在中，、相交于点，若，，与的周长差为（　　）．
A．4 B．3 C．2 D．1
6．（2025八下·德惠期中）如图，已知，添加下列条件可以使四边形成为平行四边形的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025八下·德惠期中）综合实践课上，李海画出，利用尺规作图找一点，使得四边形为平行四边形．图图③是他的作图过程．
李海的作法中，可直接判定四边形是平行四边形的条件是（　　）
A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等
8．（2025八下·德惠期中）如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，轴于点，点在第一象限，为斜边上一点，且，过点作（点在直线的右侧），已知，点在反比例函数的图象上，反比例函数的图象过点．结合图象判断下列结论：①；②四边形是平行四边形；③点是的中点；④的值是2．其中正确结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．（2025八下·德惠期中）若分式 有意义，则x的取值范围是　 　．
10．（2025八下·德惠期中）在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB=60°，AC=10，则AB=　 　．
11．（2025八下·德惠期中）如图，规格相同的某种盘子整齐地摞在一起，若这摞盘子的个数为，盘子摞在一起的厚度为cm，则与之间满足的关系式是　 　．
12．（2025八下·德惠期中）若一次函数的图象不经过第三象限，则的取值范围是　 　．
13．（2025八下·德惠期中）已知点都在反比例函数的图象上，若，则、、的大小关系　 　（用“<”连接）．
14．（2025八下·德惠期中）如图，在矩形中，，．点E、F分别在边、上（点E不与A、D重合）且，于点P，交于点Q，于点M，交于点N．给出下面四个结论：①；②；③四边形是矩形；④平分四边形的周长．上述结论中，所有正确结论的序号是　 　．
三、解答题（每小题10分，共78分）
15．（2025八下·德惠期中）计算：．
16．（2025八下·德惠期中）先化简，再求值：，其中－217．（2025八下·德惠期中）为了丰富校园文体活动，某学校准备一次性购买若干个足球和排球．已知用160元购买足球的数量与用130元购买排球的数量相同，足球的单价比排球的单价多15元．求排球的单价．
18．（2025八下·德惠期中）如图，、是平行四边形ABCD对角线BD上的两点，且，求证：四边形是平行四边形．
19．（2025八下·德惠期中）图①、图②、图③都是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的顶点都在格点上.
（1）利用图①以AB为边画一个面积最大的平行四边形，且这个平行四边形的其他两个顶点在格点上；
（2）利用图②以AB为边画一个面积为4的平行四边形，且这个平行四边形的其他两个顶点在格点上；
（3）利用图③以AB为边画一个面积为4的菱形，且这个菱形的其他两个顶点在格点上．
20．（2025八下·德惠期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于、两点．
（1）求对应的函数表达式．
（2）过点B作轴于点P，求的面积．
（3）根据函数图象，直接写出关于x的不等式的解集．
21．（2025八下·德惠期中）小明和父亲每天早晨在友谊公园匀速慢跑，他们从地出发，慢跑到目的地地．小明比父亲早出发1min，结果父亲比小明先到达地．两人各自距地的路程（m）与小明慢跑的时间（min）之间的函数图象如图所示．
（1）______，______．
（2）求父亲慢跑过程中与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）．
（3）当小明和父亲在途中相遇后相距20m时，直接写出小明慢跑的时间．
22．（2025八下·德惠期中）【感知】如图，在平行四边形中，对角线相交于点，过点的直线分别交边于点，易证：（不需要证明）；
【探究】如图，平行四边形中，对角线相交于点，过点的直线分别交边的延长线于，求证：；
【应用】连接图中的，其它条件不变，如图，若，的面积为，则四边形的面积为__________．
23．（2025八下·德惠期中）如图，在矩形中，，，动点E从点B出发以每秒1个单位长度的速度沿向终点C匀速运动，同时动点F从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点D匀速运动，当点F到达终点D时，点E也随之停止运动，以、为邻边构造平行四边形与矩形重叠部分的面积为S，点F的运动时间为t(秒）
（1）当时，平行四边形与矩形重叠部分的面积S为 ，当时，平行四边形与矩形重叠部分的面积S为 ；
（2）当点G与点D重合时，求t的值；
（3）当以D、G、E、C为顶点的四边形恰好是平行四边形时，直接写出t的值．
24．（2025八下·德惠期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴相交于点A，与x轴相交于点，过点作平行于y轴的直线l，交直线于点D，点P是直线l上一动点，且点P不与点D重合，连结，设点P的纵坐标为m，的面积为S．
（1）点A的坐标为______；
（2）求k的值；
（3）求S与m之间的函数关系式；
（4）当时，以点B为直角顶点作等腰直角，直接写出点C的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：ABD、，，是整式，不是分式；
C、是分式；
故选：C．
【分析】根据分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，对各个选项逐一判断即可．
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：用科学记数法表示为．
故选：B．
【分析】根据负整数指数科学记数法表示法的定义：对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0），即可求得数据 的表示.
3．【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：在第一象限，，，
在第四象限．
故选：D．
【分析】根据点A的位置判断a，b的正负性，进而可知-b的正负性，即可求得点B的位置.
4．【答案】A
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系
【解析】【解答】解：由图象可知：的图象经过点，
即当时，，
所以关于的方程的解为，
故选：A．
【分析】观察图象找到当时的值即为的解 ．
5．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
∵△OAD的周长=OA+AD+OD，△AOB的周长=OA+AB+BO，
∴△AOD与△AOB的周长差为OA+AD+OD-(OA+AB+BO)=AD-AB，
∵AB=8cm，AD=10cm，
∴△AOD与△AOB的周长差为：10-8=2cm，
故答案为：C．
【分析】
本题主要考查平行四边形的性质和三角形周长的计算，熟知平行四边形的性质是解题关键.根据平行四边形的性质：对角线互相平分可知：OB=OD，再根据三角形的周长计算公式=三边之和，代入数据可得：△OAD的周长=OA+AD+OD，△AOB的周长=OA+AB+BO；通过对两个三角形周长表达式作差，利用平行四边形性质进行化简，进而求出周长差，代入数据即可得出答案.
6．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A．，四边形是平行四边形，故选项A正确；
B．，，不能使四边形成为平行四边形，故B选项错误；
C．，，不能使四边形成为平行四边形，故C选项错误；
D．，，不能使四边形成为平行四边形，故D选项错误；
故选：A．
【分析】根据平行四边形的判定即可得出结论．
7．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由图1可知O是的中点，由图2可知，
可知对角线互相平分，从而得出四边形为平行四边形，
判定四边形为平行四边形的条件是：对角线互相平分，
故选：C．
【分析】根据作图步骤可知对角线互相平分，从而可以判定四边形是平行四边形的条件 ．
8．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵，，∴，
∵，，
∴，故①正确；
∴，，
∵，∴，∴，∴，
∵，∴四边形是平行四边形；故②正确；
∴，
如图所示，延长交轴于一点，过点作轴，
∵，∴，
∵轴，，，∴四边形是矩形，
同理，四边形是矩形，
∵点D在反比例函数的图象上，∴矩形的面积是4，∴，
∵，∴，∴，∴矩形的面积是2；
∵反比例函数的图象过点A．∴；故④正确；
条件不足，无法得到点是的中点；故③错误；
故正确的结论有3个，
故选：C．
【分析】根据全等三角形的判定定理即可证明判断①；利用全等三角形的性质可知，再结合等边对等角可知，根据平行四边形的判定定理即可判断四边形是平行四边形，判断②；条件不足，无法得到点是的中点判断③；延长交轴于一点，过点作轴，先证明四边形是矩形，根据值的几何意义，得到的面积，进而求出四边形的面积，即可求得k的值判断④，进而可得正确结论的个数．
9．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】∵分式 有意义，
∴x＋1≠0，
∴x≠－1．
故答案为x≠－1．
【分析】若改为分式 有意义则X+1＞0 故X＞ 1
10．【答案】5
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB
又∵∠AOB=60°
∴△AOB是等边三角形．
∴AB=OA= AC=5，
故答案是：5．
【分析】根据矩形的性质，可以得到△AOB是等边三角形，则可以求得OA的长，进而求得AB的长．
11．【答案】
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】解∶设与之间满足的关系式为
由题意可知，解得
∴与之间满足的关系式为
故答案为：．
【分析】设与之间满足的关系式为，根据已知条件列方程组求得k，b的值，进而求得y与x的关系式．
12．【答案】
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得，解得
故答案为：．
【分析】根据图象不经过第三象限可确定满足的条件，列出不等式组即可求出k的取值范围．
13．【答案】
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意可知，函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小．
，
、两点在第一象限，点在第三象限，
则．
故答案为：．
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据即可得到、、的大小关系．
14．【答案】①③④
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；矩形的判定与性质；反证法
【解析】【解答】解：①在中，由勾股定理可得， ，故①正确；
②若，
∵，，，∴，
又∵是矩形，∴，，
∴，
∴
∴，
∴，与已知矛盾，故②错误；
③∵，∴是矩形，故③正确；
④∵，，
∴，
在矩形中，，，
又∵，∴四边形是平行四边形，∴，
∵，，∴，∴，
如图所示，设、分别交于点J、K，
∵，∴，
又∵，∴，∴，
∵四边形是矩形，∴，，∴平分四边形的周长，
故④正确；
正确的序号为①③④．
故答案为：①③④．
【分析】由勾股定理即可判断①；由反证法即可判断②，由矩形定义判断③，由全等三角形的判定定理和性质定理即可判断④．
15．【答案】解：
．

【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数的乘方法则；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据乘方运算、负整数指数幂、零指数幂的性质计算即可．
16．【答案】解：原式．
∵－2∴x取－1，0，1，2．
又∵，且，
∴，
∴原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的混合运算；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】根据分式的加减运算以及乘除法运算法则进行化简，得出原式=然后根据 －217．【答案】解：设排球的单价是x元，则足球的单价是元，依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：排球的单价是65元．
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】 设排球的单价是x元，则足球的单价是元，根据题意列出关于x的分式方程，解之并经检验即可．
18．【答案】证明：如图所示，连接交于O，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】首先在平行四边形ABCD中，得出， 进而得出， 再根据平行四边形的判定得出四边形为平行四边形即可。
19．【答案】解：（1）如图①，四边形ABDE即为所求.
（2）知图②，四边形ABHF即为所求.
（3）如图③，四边形ABCK即为所求.
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；几何图形的面积计算-割补法；平行四边形的面积
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质画出图形即可；
（2）先根据平行四边形的面积公式确定出AB的邻边，即可画出图形；
（3）根据菱形的轴对称性画出图形即可.
20．【答案】（1）解：直线与双曲线相交于、两点，
，解得：，
双曲线y2的表达式为：，
把代入，得：，解得：，
，
把和代入得：，
解得：，
直线y1的表达式为：.
（2）解：，，
，
.
（3）解：观察图象，关于的不等式的解集是或．
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）把代入到可求得的值，再把代入反比例函数的表达式中，可求得的值，即可求得点B的坐标，进而把，两点的坐标代入到一次函数表达式中，解方程组求得k1和b的值即可求得一次函数的表达式；
（2）结合已知条件可知BP的长度，即BP作为底，再求得BP边上的高，利用三角形的面积公式进行求解即可；
（3）不等式的解集就是反比例函数的图象在一次函数的图象的下方对应的的取值．
（1）解：（1）直线与双曲线相交于、两点，
，解得：，
双曲线y2的表达式为：，
把代入，得：，解得：，
，
把和代入得：，
解得：，
直线y1的表达式为：；
（2），，
，
；
（3）观察图象，关于的不等式的解集是或．
21．【答案】（1）
（2）解：设父亲慢跑过程中与之间的函数关系式为
将代入得，解得，
所以父亲慢跑过程中与之间的函数关系式为，
（3）解：小明慢跑的时间为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）设小明慢跑过程中与之间的函数关系式为
将(10，1200)代入得，解得，
小明慢跑过程中与之间的函数关系式为，
当时，
设父亲慢跑过程中与之间的函数关系式为
将代入得，解得，
父亲慢跑过程中与之间的函数关系式为，
当y=1200时，1200=150x-150，解得x=9，即m=9，
故答案为：；
(3)根据题意得，
解得，
小明慢跑的时间为．
【分析】（1） 设小明慢跑过程中与之间的函数关系式为 ，将(10，1200)代入其中求得k1，即可小明慢跑过程中与之间的函数关系式，进而求得， 设父亲慢跑过程中与之间的函数关系式为 ，将代入即可求得k和b的值，即可求得父亲慢跑过程中与之间的函数关系式，将y=1200代入即可求得m的值；
（2） 设父亲慢跑过程中与之间的函数关系式为 ，将代入即可求得k和b的值，即可求得父亲慢跑过程中与之间的函数关系式，
（3）根据题意得，解得，即可得到答案．
（1）解：设小明慢跑过程中与之间的函数关系式为
由函数图象得，
解得，
小明慢跑过程中与之间的函数关系式为，
当时，
，
故答案为：；
（2）解：设父亲慢跑过程中与之间的函数关系式为，
将代入得，
解得，
父亲慢跑过程中与之间的函数关系式为；
（3）解：根据题意得，
解得，
小明慢跑的时间为．
22．【答案】解：探究：证明：四边形是平行四边形，
，
．
∵是对顶角
在和中
，
，
应用：12
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：应用：，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
同理，，
．
故答案为：．
【分析】探究：由平行四边形的性质得到，进而根据平行线的性质可知，再由对顶角相等可得利用全等三角形的判定定理判定，即可证得；
应用：因为，所以．由可求，由平行四边形性质得，可求，同理可求，则．
23．【答案】（1）2，12
（2）解：当点与点重合时，，
，
由题意有：，
即：，
解得；
（3）解：t=2或
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定与性质；平行四边形的面积；四边形-动点问题
【解析】【解答】（1）解：当时，，，在矩形中，，，
，
平行四边形与矩形重叠部分的面积；
当时，，，
如图所示：
在矩形中，，，
平行四边形与矩形重叠部分的面积；
（3）解：如图所示，
以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
，
∵，
平行四边形是矩形，
点与点重合，
，
；
另一种情形：
如图所示，当与相交时，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
，
即，
当以、、、为顶点的四边形恰好是平行四边形时， 或．
【分析】（1）当时，得出和的长，平行四边形与矩形重叠部分的面积等于平行四边形的面积，进而利用矩形的面积公式解答即可；当时，得出和的长，平行四边形与矩形重叠部分的面积等于平行四边形的面积，进而利用平行四边形的面积公式解答即可；
（2）根据列出方程求解即可解决问题；
（3）根据以、、、为顶点的四边形是平行四边形，得出，进而得出四边形是矩形，利用矩形的性质可求出一个值；另一种情形：当与相交时，利用平行四边形的性质可求出另一个值．
（1）解：当时，，，
在矩形中，，，
，
平行四边形与矩形重叠部分的面积
平行四边形的面积
；
当时，，，
如图：
在矩形中，，，
平行四边形与矩形重叠部分的面积
平行四边形的面积
；
（2）解：当点与点重合时，，
，
由题意有：，
即：，
解得；
（3）解：如图，
以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
，
∵，
平行四边形是矩形，
点与点重合，
，
；
另一种情形：
如图，当与相交时，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
，
即，
当以、、、为顶点的四边形恰好是平行四边形时， 或．
24．【答案】（1）
（2）解：将点代入，得，
∴.
（3）解：由，得，∴，
∵，
∴，
∴，
∵点P不与点D重合，
∴；
（4）解：点C坐标为或或或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）当时，，∴点A的坐标为；
故答案为：；
（4）当时，，∴或，
∴或，
当点P的坐标为时，如图所示，过点作轴于点F，
此时，
∴是等腰直角三角形，，
∵为等腰直角三角形，
∴
∴
∴，
∴，
∵轴，
∴四边形为矩形，
∴
∴；
∵为等腰直角三角形，
∴
∴
∴
∴；
当点P的坐标为时，如图所示，过点作，交于点M，过点作轴于点 N，
此时，
∵为等腰直角三角形，
∴
∴
∵
∴
在和中，
∴
∴，
∴；
同理可证：
∴
∴
综上，满足条件的点C坐标为或或或．
【分析】（1）把代入 求出对应的y值，即可得到点A的坐标；
（2）将点代入 ，即可求出k的值；
（3）先求出交点D的坐标，得到，再利用三角形面积公式即可得到 S与m之间的函数解析式；
（4）利用（3）的结论可求得或，分两种情况讨论：当点P的坐标为时，过点作轴于点F，易得四边形为矩形，此时可得；同理可得；当点P的坐标为时，过点作，交于点M，过点作轴于点 N，易证，得到，求出；同理可证：进而得到．
（1）当时，，
∴点A的坐标为；
故答案为：；
（2）将点代入，
得，
∴；
（3）由，得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点P不与点D重合，
∴；
（4）当时，，
∴或，
∴或，
当点P的坐标为时，如图，过点作轴于点F，
此时，
∴是等腰直角三角形，，
∵为等腰直角三角形，
∴
∴
∴，
∴，
∵轴，
∴四边形为矩形，
∴
∴；
∵为等腰直角三角形，
∴
∴
∴
∴；
当点P的坐标为时，如图，过点作，交于点M，过点作轴于点 N，
此时，
∵为等腰直角三角形，
∴
∴
∵
∴
在和中，
∴
∴，
∴；
同理可证：
∴
∴
综上，满足条件的点C坐标为或或或．
1 / 1吉林省长春市德惠市德惠市第三中学2024-2025学年八年级下学期5月期中数学试题
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（2025八下·德惠期中）下列各式中是分式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：ABD、，，是整式，不是分式；
C、是分式；
故选：C．
【分析】根据分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，对各个选项逐一判断即可．
2．（2025八下·德惠期中）中国的k在网上成为热搜和下载安装的榜首软件，要支持这些软件功能，需要芯片的支持．据报道的主要芯片为，相当于，数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：用科学记数法表示为．
故选：B．
【分析】根据负整数指数科学记数法表示法的定义：对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0），即可求得数据 的表示.
3．（2025八下·德惠期中）若点在第一象限，则点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：在第一象限，，，
在第四象限．
故选：D．
【分析】根据点A的位置判断a，b的正负性，进而可知-b的正负性，即可求得点B的位置.
4．（2025八下·德惠期中）如图表示的是一次函数（、为常数，）的图象，则关于的方程的解是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系
【解析】【解答】解：由图象可知：的图象经过点，
即当时，，
所以关于的方程的解为，
故选：A．
【分析】观察图象找到当时的值即为的解 ．
5．（2025八下·德惠期中）如图，在中，、相交于点，若，，与的周长差为（　　）．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
∵△OAD的周长=OA+AD+OD，△AOB的周长=OA+AB+BO，
∴△AOD与△AOB的周长差为OA+AD+OD-(OA+AB+BO)=AD-AB，
∵AB=8cm，AD=10cm，
∴△AOD与△AOB的周长差为：10-8=2cm，
故答案为：C．
【分析】
本题主要考查平行四边形的性质和三角形周长的计算，熟知平行四边形的性质是解题关键.根据平行四边形的性质：对角线互相平分可知：OB=OD，再根据三角形的周长计算公式=三边之和，代入数据可得：△OAD的周长=OA+AD+OD，△AOB的周长=OA+AB+BO；通过对两个三角形周长表达式作差，利用平行四边形性质进行化简，进而求出周长差，代入数据即可得出答案.
6．（2025八下·德惠期中）如图，已知，添加下列条件可以使四边形成为平行四边形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A．，四边形是平行四边形，故选项A正确；
B．，，不能使四边形成为平行四边形，故B选项错误；
C．，，不能使四边形成为平行四边形，故C选项错误；
D．，，不能使四边形成为平行四边形，故D选项错误；
故选：A．
【分析】根据平行四边形的判定即可得出结论．
7．（2025八下·德惠期中）综合实践课上，李海画出，利用尺规作图找一点，使得四边形为平行四边形．图图③是他的作图过程．
李海的作法中，可直接判定四边形是平行四边形的条件是（　　）
A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由图1可知O是的中点，由图2可知，
可知对角线互相平分，从而得出四边形为平行四边形，
判定四边形为平行四边形的条件是：对角线互相平分，
故选：C．
【分析】根据作图步骤可知对角线互相平分，从而可以判定四边形是平行四边形的条件 ．
8．（2025八下·德惠期中）如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，轴于点，点在第一象限，为斜边上一点，且，过点作（点在直线的右侧），已知，点在反比例函数的图象上，反比例函数的图象过点．结合图象判断下列结论：①；②四边形是平行四边形；③点是的中点；④的值是2．其中正确结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵，，∴，
∵，，
∴，故①正确；
∴，，
∵，∴，∴，∴，
∵，∴四边形是平行四边形；故②正确；
∴，
如图所示，延长交轴于一点，过点作轴，
∵，∴，
∵轴，，，∴四边形是矩形，
同理，四边形是矩形，
∵点D在反比例函数的图象上，∴矩形的面积是4，∴，
∵，∴，∴，∴矩形的面积是2；
∵反比例函数的图象过点A．∴；故④正确；
条件不足，无法得到点是的中点；故③错误；
故正确的结论有3个，
故选：C．
【分析】根据全等三角形的判定定理即可证明判断①；利用全等三角形的性质可知，再结合等边对等角可知，根据平行四边形的判定定理即可判断四边形是平行四边形，判断②；条件不足，无法得到点是的中点判断③；延长交轴于一点，过点作轴，先证明四边形是矩形，根据值的几何意义，得到的面积，进而求出四边形的面积，即可求得k的值判断④，进而可得正确结论的个数．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．（2025八下·德惠期中）若分式 有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】∵分式 有意义，
∴x＋1≠0，
∴x≠－1．
故答案为x≠－1．
【分析】若改为分式 有意义则X+1＞0 故X＞ 1
10．（2025八下·德惠期中）在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB=60°，AC=10，则AB=　 　．
【答案】5
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB
又∵∠AOB=60°
∴△AOB是等边三角形．
∴AB=OA= AC=5，
故答案是：5．
【分析】根据矩形的性质，可以得到△AOB是等边三角形，则可以求得OA的长，进而求得AB的长．
11．（2025八下·德惠期中）如图，规格相同的某种盘子整齐地摞在一起，若这摞盘子的个数为，盘子摞在一起的厚度为cm，则与之间满足的关系式是　 　．
【答案】
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】解∶设与之间满足的关系式为
由题意可知，解得
∴与之间满足的关系式为
故答案为：．
【分析】设与之间满足的关系式为，根据已知条件列方程组求得k，b的值，进而求得y与x的关系式．
12．（2025八下·德惠期中）若一次函数的图象不经过第三象限，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得，解得
故答案为：．
【分析】根据图象不经过第三象限可确定满足的条件，列出不等式组即可求出k的取值范围．
13．（2025八下·德惠期中）已知点都在反比例函数的图象上，若，则、、的大小关系　 　（用“<”连接）．
【答案】
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意可知，函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小．
，
、两点在第一象限，点在第三象限，
则．
故答案为：．
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据即可得到、、的大小关系．
14．（2025八下·德惠期中）如图，在矩形中，，．点E、F分别在边、上（点E不与A、D重合）且，于点P，交于点Q，于点M，交于点N．给出下面四个结论：①；②；③四边形是矩形；④平分四边形的周长．上述结论中，所有正确结论的序号是　 　．
【答案】①③④
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；矩形的判定与性质；反证法
【解析】【解答】解：①在中，由勾股定理可得， ，故①正确；
②若，
∵，，，∴，
又∵是矩形，∴，，
∴，
∴
∴，
∴，与已知矛盾，故②错误；
③∵，∴是矩形，故③正确；
④∵，，
∴，
在矩形中，，，
又∵，∴四边形是平行四边形，∴，
∵，，∴，∴，
如图所示，设、分别交于点J、K，
∵，∴，
又∵，∴，∴，
∵四边形是矩形，∴，，∴平分四边形的周长，
故④正确；
正确的序号为①③④．
故答案为：①③④．
【分析】由勾股定理即可判断①；由反证法即可判断②，由矩形定义判断③，由全等三角形的判定定理和性质定理即可判断④．
三、解答题（每小题10分，共78分）
15．（2025八下·德惠期中）计算：．
【答案】解：
．

【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数的乘方法则；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据乘方运算、负整数指数幂、零指数幂的性质计算即可．
16．（2025八下·德惠期中）先化简，再求值：，其中－2【答案】解：原式．
∵－2∴x取－1，0，1，2．
又∵，且，
∴，
∴原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的混合运算；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】根据分式的加减运算以及乘除法运算法则进行化简，得出原式=然后根据 －217．（2025八下·德惠期中）为了丰富校园文体活动，某学校准备一次性购买若干个足球和排球．已知用160元购买足球的数量与用130元购买排球的数量相同，足球的单价比排球的单价多15元．求排球的单价．
【答案】解：设排球的单价是x元，则足球的单价是元，依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：排球的单价是65元．
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】 设排球的单价是x元，则足球的单价是元，根据题意列出关于x的分式方程，解之并经检验即可．
18．（2025八下·德惠期中）如图，、是平行四边形ABCD对角线BD上的两点，且，求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明：如图所示，连接交于O，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】首先在平行四边形ABCD中，得出， 进而得出， 再根据平行四边形的判定得出四边形为平行四边形即可。
19．（2025八下·德惠期中）图①、图②、图③都是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的顶点都在格点上.
（1）利用图①以AB为边画一个面积最大的平行四边形，且这个平行四边形的其他两个顶点在格点上；
（2）利用图②以AB为边画一个面积为4的平行四边形，且这个平行四边形的其他两个顶点在格点上；
（3）利用图③以AB为边画一个面积为4的菱形，且这个菱形的其他两个顶点在格点上．
【答案】解：（1）如图①，四边形ABDE即为所求.
（2）知图②，四边形ABHF即为所求.
（3）如图③，四边形ABCK即为所求.
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；几何图形的面积计算-割补法；平行四边形的面积
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质画出图形即可；
（2）先根据平行四边形的面积公式确定出AB的邻边，即可画出图形；
（3）根据菱形的轴对称性画出图形即可.
20．（2025八下·德惠期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于、两点．
（1）求对应的函数表达式．
（2）过点B作轴于点P，求的面积．
（3）根据函数图象，直接写出关于x的不等式的解集．
【答案】（1）解：直线与双曲线相交于、两点，
，解得：，
双曲线y2的表达式为：，
把代入，得：，解得：，
，
把和代入得：，
解得：，
直线y1的表达式为：.
（2）解：，，
，
.
（3）解：观察图象，关于的不等式的解集是或．
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）把代入到可求得的值，再把代入反比例函数的表达式中，可求得的值，即可求得点B的坐标，进而把，两点的坐标代入到一次函数表达式中，解方程组求得k1和b的值即可求得一次函数的表达式；
（2）结合已知条件可知BP的长度，即BP作为底，再求得BP边上的高，利用三角形的面积公式进行求解即可；
（3）不等式的解集就是反比例函数的图象在一次函数的图象的下方对应的的取值．
（1）解：（1）直线与双曲线相交于、两点，
，解得：，
双曲线y2的表达式为：，
把代入，得：，解得：，
，
把和代入得：，
解得：，
直线y1的表达式为：；
（2），，
，
；
（3）观察图象，关于的不等式的解集是或．
21．（2025八下·德惠期中）小明和父亲每天早晨在友谊公园匀速慢跑，他们从地出发，慢跑到目的地地．小明比父亲早出发1min，结果父亲比小明先到达地．两人各自距地的路程（m）与小明慢跑的时间（min）之间的函数图象如图所示．
（1）______，______．
（2）求父亲慢跑过程中与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）．
（3）当小明和父亲在途中相遇后相距20m时，直接写出小明慢跑的时间．
【答案】（1）
（2）解：设父亲慢跑过程中与之间的函数关系式为
将代入得，解得，
所以父亲慢跑过程中与之间的函数关系式为，
（3）解：小明慢跑的时间为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）设小明慢跑过程中与之间的函数关系式为
将(10，1200)代入得，解得，
小明慢跑过程中与之间的函数关系式为，
当时，
设父亲慢跑过程中与之间的函数关系式为
将代入得，解得，
父亲慢跑过程中与之间的函数关系式为，
当y=1200时，1200=150x-150，解得x=9，即m=9，
故答案为：；
(3)根据题意得，
解得，
小明慢跑的时间为．
【分析】（1） 设小明慢跑过程中与之间的函数关系式为 ，将(10，1200)代入其中求得k1，即可小明慢跑过程中与之间的函数关系式，进而求得， 设父亲慢跑过程中与之间的函数关系式为 ，将代入即可求得k和b的值，即可求得父亲慢跑过程中与之间的函数关系式，将y=1200代入即可求得m的值；
（2） 设父亲慢跑过程中与之间的函数关系式为 ，将代入即可求得k和b的值，即可求得父亲慢跑过程中与之间的函数关系式，
（3）根据题意得，解得，即可得到答案．
（1）解：设小明慢跑过程中与之间的函数关系式为
由函数图象得，
解得，
小明慢跑过程中与之间的函数关系式为，
当时，
，
故答案为：；
（2）解：设父亲慢跑过程中与之间的函数关系式为，
将代入得，
解得，
父亲慢跑过程中与之间的函数关系式为；
（3）解：根据题意得，
解得，
小明慢跑的时间为．
22．（2025八下·德惠期中）【感知】如图，在平行四边形中，对角线相交于点，过点的直线分别交边于点，易证：（不需要证明）；
【探究】如图，平行四边形中，对角线相交于点，过点的直线分别交边的延长线于，求证：；
【应用】连接图中的，其它条件不变，如图，若，的面积为，则四边形的面积为__________．
【答案】解：探究：证明：四边形是平行四边形，
，
．
∵是对顶角
在和中
，
，
应用：12
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：应用：，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
同理，，
．
故答案为：．
【分析】探究：由平行四边形的性质得到，进而根据平行线的性质可知，再由对顶角相等可得利用全等三角形的判定定理判定，即可证得；
应用：因为，所以．由可求，由平行四边形性质得，可求，同理可求，则．
23．（2025八下·德惠期中）如图，在矩形中，，，动点E从点B出发以每秒1个单位长度的速度沿向终点C匀速运动，同时动点F从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点D匀速运动，当点F到达终点D时，点E也随之停止运动，以、为邻边构造平行四边形与矩形重叠部分的面积为S，点F的运动时间为t(秒）
（1）当时，平行四边形与矩形重叠部分的面积S为 ，当时，平行四边形与矩形重叠部分的面积S为 ；
（2）当点G与点D重合时，求t的值；
（3）当以D、G、E、C为顶点的四边形恰好是平行四边形时，直接写出t的值．
【答案】（1）2，12
（2）解：当点与点重合时，，
，
由题意有：，
即：，
解得；
（3）解：t=2或
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定与性质；平行四边形的面积；四边形-动点问题
【解析】【解答】（1）解：当时，，，在矩形中，，，
，
平行四边形与矩形重叠部分的面积；
当时，，，
如图所示：
在矩形中，，，
平行四边形与矩形重叠部分的面积；
（3）解：如图所示，
以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
，
∵，
平行四边形是矩形，
点与点重合，
，
；
另一种情形：
如图所示，当与相交时，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
，
即，
当以、、、为顶点的四边形恰好是平行四边形时， 或．
【分析】（1）当时，得出和的长，平行四边形与矩形重叠部分的面积等于平行四边形的面积，进而利用矩形的面积公式解答即可；当时，得出和的长，平行四边形与矩形重叠部分的面积等于平行四边形的面积，进而利用平行四边形的面积公式解答即可；
（2）根据列出方程求解即可解决问题；
（3）根据以、、、为顶点的四边形是平行四边形，得出，进而得出四边形是矩形，利用矩形的性质可求出一个值；另一种情形：当与相交时，利用平行四边形的性质可求出另一个值．
（1）解：当时，，，
在矩形中，，，
，
平行四边形与矩形重叠部分的面积
平行四边形的面积
；
当时，，，
如图：
在矩形中，，，
平行四边形与矩形重叠部分的面积
平行四边形的面积
；
（2）解：当点与点重合时，，
，
由题意有：，
即：，
解得；
（3）解：如图，
以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
，
∵，
平行四边形是矩形，
点与点重合，
，
；
另一种情形：
如图，当与相交时，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
，
即，
当以、、、为顶点的四边形恰好是平行四边形时， 或．
24．（2025八下·德惠期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴相交于点A，与x轴相交于点，过点作平行于y轴的直线l，交直线于点D，点P是直线l上一动点，且点P不与点D重合，连结，设点P的纵坐标为m，的面积为S．
（1）点A的坐标为______；
（2）求k的值；
（3）求S与m之间的函数关系式；
（4）当时，以点B为直角顶点作等腰直角，直接写出点C的坐标．
【答案】（1）
（2）解：将点代入，得，
∴.
（3）解：由，得，∴，
∵，
∴，
∴，
∵点P不与点D重合，
∴；
（4）解：点C坐标为或或或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）当时，，∴点A的坐标为；
故答案为：；
（4）当时，，∴或，
∴或，
当点P的坐标为时，如图所示，过点作轴于点F，
此时，
∴是等腰直角三角形，，
∵为等腰直角三角形，
∴
∴
∴，
∴，
∵轴，
∴四边形为矩形，
∴
∴；
∵为等腰直角三角形，
∴
∴
∴
∴；
当点P的坐标为时，如图所示，过点作，交于点M，过点作轴于点 N，
此时，
∵为等腰直角三角形，
∴
∴
∵
∴
在和中，
∴
∴，
∴；
同理可证：
∴
∴
综上，满足条件的点C坐标为或或或．
【分析】（1）把代入 求出对应的y值，即可得到点A的坐标；
（2）将点代入 ，即可求出k的值；
（3）先求出交点D的坐标，得到，再利用三角形面积公式即可得到 S与m之间的函数解析式；
（4）利用（3）的结论可求得或，分两种情况讨论：当点P的坐标为时，过点作轴于点F，易得四边形为矩形，此时可得；同理可得；当点P的坐标为时，过点作，交于点M，过点作轴于点 N，易证，得到，求出；同理可证：进而得到．
（1）当时，，
∴点A的坐标为；
故答案为：；
（2）将点代入，
得，
∴；
（3）由，得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点P不与点D重合，
∴；
（4）当时，，
∴或，
∴或，
当点P的坐标为时，如图，过点作轴于点F，
此时，
∴是等腰直角三角形，，
∵为等腰直角三角形，
∴
∴
∴，
∴，
∵轴，
∴四边形为矩形，
∴
∴；
∵为等腰直角三角形，
∴
∴
∴
∴；
当点P的坐标为时，如图，过点作，交于点M，过点作轴于点 N，
此时，
∵为等腰直角三角形，
∴
∴
∵
∴
在和中，
∴
∴，
∴；
同理可证：
∴
∴
综上，满足条件的点C坐标为或或或．
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