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吉林省四平市伊通满族自治县2025年中考三模数学试题
一、选择题（每小题3分，共18分）
1．（2025·伊通模拟）下列两个数中，互为相反数的是（　　）
A．和 B．和 C．和 D．4和
2．（2025·伊通模拟）隋朝时期的青瓷高足盘是湖北省博物馆重要馆藏文物之一，具有极高的历史价值、文化价值．如图所示，关于它的三视图，下列说法正确的是（　　）
A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同
3．（2025·伊通模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·伊通模拟）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025·伊通模拟）如图，小亮为将一个衣架固定在墙上，他在衣架两端各用一个钉子进行固定，用数学知识解释他这样操作的原因，应该是（　　）
A．过一点有无数条直线
B．两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离
C．两点确定一条直线
D．两点之间，线段最短
6．（2025·伊通模拟）图1是实验室利用过滤法除杂的装置图，图2是其简化示意图，在图2中，若，，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
7．（2025·伊通模拟）计算：　 　．
8．（2025·伊通模拟）一元二次方程根的情况是　 　．
9．（2025·伊通模拟）如图，小明同学用木棍制成的测量旗杆的高度．他调整自己的位置，使斜边保持与地面平行，直角边与点在同一直线上．已知米，米，斜边离地面的高度米，米，则旗杆的高度　 　米．
10．（2025·伊通模拟）如图，将平行四边形绕点A旋转得到平行四边形，点B'落在边CD上，若，当三点共线时，等于　 　．
11．（2025·伊通模拟）如图，在正方形中，以A为圆心，为半径画弧，再以为直径作半圆，连接，若正方形边长为4，则图中阴影部分的面积为　 　.
三、解答题（本大题共11小题，共87分）
12．（2025·伊通模拟）先化简代数式，再从，，，四个数中选择一个你喜欢的数代入求值．
13．（2025·伊通模拟）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3，随机取出一个小球然后放回，再随机取出一个小球．
（1）第一次取出的小球标号为3的概率是 ；
（2）请用画树状图或列表的方法求两次取出的小球标号的和等于4的概率．
14．（2025·伊通模拟）如图，在大长方形草坪中规划出了3块大小、形状一样的小长方形（图中阴影部分）区域种植鲜花．已知大长方形的长和宽分别为，，求小长方形的长和宽．
15．（2025·伊通模拟）图①、图②、图③均是由的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点．的三个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求完成作图（保留必要的作图痕迹）．
（1）如图①，作点A关于的对称点D；
（2）如图②，作，垂足为E；
（3）如图③，M是上一点（点M不与点B、C重合），在上找一点N，使的值最小．
16．（2025·伊通模拟）如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔100海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处．这时，处距离处有多远？（参考数据：，，）
17．（2025·伊通模拟）如图，直线与双曲线的一个分支交于点，与轴交于点，与轴交于点．
（1）求双曲线的解析式；
（2）点在轴上，若，求点的坐标．
18．（2025·伊通模拟）某学校举办的“青春之歌”主题歌手大赛分为初赛和决赛两个阶段．初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制）．对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．教师评委打分：84 90 90 91 91 91 91 92 94 96；
b．学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）；
c．评委打分的平均数、中位数、众数如下：
平均数 中位数 众数
教师评委 91 91 m
学生评委 90.8 n 93
根据以上信息，回答下列问题：
（1）m的值为______，n的值位于学生评委打分数据分组的第______组；
（2）若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，求其余8名教师评委打分的平均数，并比较与原平均数的大小；
（3）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）．对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数，平均数较大的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：
评委1 评委2 评委3 评委4 评委5
甲 91 92 92 92 92
乙 90 90 92 93 92
丙 90 94 90 94 k
若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是_____，表中k（k为整数）的值为 ．
19．（2025·伊通模拟）蓄电池发展水平是制约新能源汽车发展的关键要素．小明爸爸根据自家电动汽车仪表显示，感觉蓄电池充满电后，用前半部分电量所行驶的路程，总要比用后半部分电量行驶的路程更远一些．于是小明细心观察了充满电后汽车的行驶情况，并将蓄电池剩余电量（千瓦时）和已行驶路程（千米）的相关数据，用函数图象表示如下．
（1）电池充满电时的电量为______千瓦时；
（2）求所对应的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）在电量允许的情况下，如果在某段连续行驶时间里，汽车消耗了10千瓦时的电量，直接写出这段时间连续行驶路程的取值范围．
20．（2025·伊通模拟）【问题情境】如图①，在正方形中，E为边上一点（不与点B、C重合），垂直于的一条直线分别交于点M、P、N．判断线段之间的数量关系，并说明理由．
【解决问题】小明根据所学知识，给出了如下不完整的证明过程：
线段之间的数量关系为．
理由如下：
∵四边形是正方形，
，如图①，过点B作分别交于点G、F．
∴四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
．
根据小明的解答思路，解答下列问题：
（1）将过程补充完整；
（2）上述证明过程中，证明四边形为平行四边形的理论依据为 ；
【结论应用】如图②，若图①的点M是的中点，且，其他条件不变，则的长为 ；
【问题拓展】如图③，将图①中的正方形沿着翻折，使得的对应边恰好经过点A，交AD于点F．若E为边的中点，且，直接写出的值．
21．（2025·伊通模拟）如图，为矩形的对角线，，．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向点B运动，连接AP，取AP的中点Q，过点P作于点M，连接，以、为边作．设矩形与重叠部分图形的面积为y（平方单位），点P的运动时间为x（秒）
（1）当点N落在边上时，求x的值；
（2）求y关于x的函数解析式；
（3）连接，当直线将矩形的面积两等分时，直接写出x的值．
22．（2025·伊通模拟）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线（其中b、c为常数）的图象经过点，其顶点A的横坐标为1．点P是该抛物线在x轴上方的图象上的一点，其横坐标为m，点Q的坐标为，连接并延长交该抛物线的对称轴于点M，连接，以、为边作．
（1）求该抛物线对应的函数关系式；
（2）当，且轴时，求点Q的坐标；
（3）当点N与点Q的纵坐标之和为0时，求m的值；
（4）当四边形是轴对称图形时，直接写出m的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相反数的意义与性质；化简多重符号有理数
【解析】【解答】解：A、，故和不是互为相反数，不符合题意；
B、，，故和是互为相反数，符合题意；
C、和，不是互为相反数，不符合题意；
D、4和，不是互为相反数，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数， 0的相反数是 0，负数的相反数是正数．
2．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】这个几何体的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同．
故选：A．
【分析】
从物体正面观察得到的图形叫主视图，从物体左边观察得到的图形叫左视图，从物体上面观察得到 的图形叫俯视图．
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故选项错误，不符合题意；
B、 与不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意；
C、，故选项错误，不符合题意；
D、，故选项正确，符合题意；
故选：D
【分析】根据同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方，幂的乘方等知识，分别进行计算，即可得出答案。
4．【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
由得，，
由得，，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的解集在数轴上表示为：
故选：．
【分析】
先求出各不等式的解集，再在同一数轴上表示出各解集即可．
5．【答案】C
【知识点】两点确定一条直线
【解析】【解答】解：因为“两点确定一条直线”，所以他在衣架两端各用一个钉子进行固定．
故选：C．
【分析】
利用直线公理“两点确定一条直线”．
6．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】先利用两直线平行内错角相等得，，再根据等边对等角求得，最后再利用三角形内角和定理即可．
7．【答案】2
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：
，
故答案为：2．
【分析】实数的混合运算，先根据负整数指数幂的性质和零指数幂的性质运算即可．
8．【答案】有两个不相等的实数根
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：一元二次方程，，
∴
，
∴方程有两个不相等的实数根，
故答案为：有两个不相等的实数根．
【分析】对于一元二次方程ax2+bx+c=0，根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此即可求解．
9．【答案】12
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：延长交于H，
∵，
∴四边形是矩形，
∴米，米，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴（米），
即旗杆的高度米．
故答案为：12．
【分析】
延长交于H，则四边形ACDH为矩形，则可判定，由相似比可求得BH，再由矩形的对边相等即AH=CD即可．
10．【答案】28
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形绕点A旋转得到平行四边形，
， ，，
，
，
，
，
∴=，
故答案为：．
【分析】根据图形旋转的性质求出∠C'=∠C=76°，再根据平行四边形的性质求出 ，，接着根据等腰三角形的性质求出，最后根据三角形的内角和定理计算求解即可。
11．【答案】
【知识点】正方形的性质；圆周角定理；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，设半圆与的交点为点E，取的中点为点O，连接，设以A为圆心，为半径画弧交于点F，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】
由圆的对称性可把弓形AE转化到弓形DE上，从而把阴影部分面积转化到扇形ADF中，再利用割补法即即可.
12．【答案】解：
，
，
只能取，
当时，原式
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】分式的化简求值，先根据分式的混合运算化简，化简时先把括号内的异分母分式化为同分母分式，再颠倒分子与分母的位置与前面的分式相乘，同时对分子和分母分别分解因式并约分，化结果为最简分式或整式，然后根据分式有意义的条件取舍的值，代入化简结果进行计算即可求解．
13．【答案】（1）
（2）解：画树状图如图．
由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中两次取出的小球标号的和等于4的结果数有3种，
∴两次取出的小球标号的和等于4的概率是
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】（1）解：∵一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3，
∴第一次取出的小球标号为3的概率是，
故答案为：；
【分析】（1）简单事件的概率可直接由概率公式求解；
（2）两步试验可通过画树装图或列表法求概率，画树状图是不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据.
（1）解：∵一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3，
∴第一次取出的小球标号为3的概率是，
故答案为：；
（2）解：画树状图如图．
由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中两次取出的小球标号的和等于4的结果数有3种，
∴两次取出的小球标号的和等于4的概率是．
14．【答案】解：设小长方形的长和宽分别为、，根据图形可得：
，
解得：，
答：小长方形的长和宽分别为，
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【分析】设小长方形的长和宽分别为、，观察图形可得，再联立方程组并求解即可．
15．【答案】（1）解：如图，点即为所求：
（2）解：如图，即为所求：
（3）解：如图，点即为所求：
【知识点】作图﹣轴对称；尺规作图-垂线；三角形全等的判定-SAS；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【分析】（1）由轴对称的性质结合网格图的特征可在BC下方确定点D使BC垂直平分AD即可；
（2）先在BC上取格点G，使，再在BC上方取格点H，使且CH=CG，再连接BH与AC交点即为点E，因为可利用SAS证明，由全等的性质可得，则即；
（3）取格点，连接，延长与交于点，连接与交点即为点，由作法（2）得，同理，则，则，所以，则，故点关于的对称点为点，那么，则，根据两点间线段最短即可说理．
（1）解：如图，点即为所求：
（2）解：如图，即为所求：
（3）解：如图，点即为所求：
16．【答案】解：过作于，
在中，，海里，
（海里），
（海里），
在中，，
（海里），
（海里），
答：处距离处有140海里．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】过作于构造直角三角形，再解求出PC和AC，再解求BC即可．
17．【答案】（1）解：把点代入直线得：，
解得：，
，
设双曲线的解析式为：，
把代入双曲线解析式得：，
，
双曲线的解析式为；
（2）解：在中，令，则，
解得：，
，
设点的坐标为，则，
，
，即，
解得：或，
点的坐标为或．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】
（1）先利用直线上点的坐标特征把点代入直线解析式求出，再利用待定系数法求解即可；
（2）先利用直线上点的坐标特征求出点，设点的坐标为，则，再由三角形面积公式可得，再解方程即可．
（1）解：把点代入直线得：，
解得：，
，
设双曲线的解析式为：，
把代入双曲线解析式得：，
，
双曲线的解析式为；
（2）解：在中，令，则，
解得：，
，
设点的坐标为，则，
，
，即，
解得：或，
点的坐标为或．
18．【答案】（1）91；4
（2）解：若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为：，
∴，
∴比原平均数大
（3）甲，90
【知识点】条形统计图；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】（1）解：由题意得，教师评委打分中91出现的次数最多，故众数，
45名学生评委打分数据的中位数是第23个数，故n的值位于学生评委打分数据分组的第4组；
故答案为：91；4；
（3）解：甲选手的平均数为，
乙选手的平均数为，
∵丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，
∴这三位选手中排序最靠前的是甲，丙选手的平均数大于乙选手的平均数且小于甲选手的平均数，
∴，
∴，
∵k为整数，
∴k的值为90．
故答案为：甲，90．
【分析】（1）众数是指一组数据中重复出现次数最多的数据，可以是一个也可能是多个；中位数需要先对所有数据按照从小到大顺序排序，再根据样本容量取最中间的一个或最中间的两个数据的平均值；
（2）直接利用算术平均数的定义求出其余8名教师评委打分的平均数，再与原平均数进行比较即可；
（3）先由平均数的计算公式求出甲、乙的平均数，再根据丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中可得关于k的不等式，再解不等式求出满足条件的整数解即可．
（1）解：由题意得，教师评委打分中91出现的次数最多，故众数，
45名学生评委打分数据的中位数是第23个数，故n的值位于学生评委打分数据分组的第4组；
故答案为：91；4；
（2）解：若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为：
，
∴，
∴比原平均数大；
（3）解：甲选手的平均数为，
乙选手的平均数为，
∵丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，
∴这三位选手中排序最靠前的是甲，丙选手的平均数大于乙选手的平均数且小于甲选手的平均数，
∴，
∴，
∵k为整数，
∴k的值为90．
故答案为：甲，90．
19．【答案】（1）60
（2）解：设所对应的函数关系式为，将代入得
解得
；
（3）
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）由图可知，电池充满电时的电量为60千瓦时，
故答案为：60；
（2）当在段消耗了10千瓦时的电量时，
(千米)
当在段消耗了10千瓦时的电量时，
（千米）
．
【分析】
本题考查一次函数的应用．
（1）观察图象可直接得出答案；
（2）设线段的函数关系式为，利用待定系数法直接求解即可；
（3）分别求出在段消耗了10千瓦时的电量时和在段消耗了10千瓦时的电量时对应的路程即可．
20．【答案】解决问题：（1）
四边形是正方形，
，
已证，
又，
，
，
， ，
，即；
（2）第一空：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
结论应用：1；
问题拓展：
解：如图，连接，
由轴对称图形的性质可得：，
，
，
，
为边的中点，，
，
，
，
设，
由折叠性质可得：，，
则，
在中，，则，
解得：，
，
，
又，
，
，，
，
，即，
设，则，则，
在中，，
解得：或（负数舍去）
，，
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA；四边形的综合；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：（2），，
，
又，
四边形为平行四边形，
则证明四边形为平行四边形的理论依据为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
故答案为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
结论应用：，
，则，
点M是的中点，
，
由，
，
故答案为：1；
【分析】解决问题：（1）过点B作MN的平行线交CD于点F，则四边形MBFN是平行四边形，则BM=FN；再由正方形性质可利用ASA证明，则，由于正方形中CD=CB，即CB=CE+BE=DF+CF，所以CE=DF=DN+BM；
（2）由平行四边形的概念可得四边形MBFN是平行四边形；
结论应用：由BE=1可得AB=CB=4，则CE=3，再由中点的概念可得BM=2，则DN=CE-BM=3-2=1；
问题拓展：如图，连接，由轴对称图形的性质得，则，再由平行线分线段成比例求出，因为B`C`=BC=4，所以，此时可设，则由折叠得：，由勾股定理可得，即，则；此时可再证明，由相似比可得，则可设FD=m，则AF=4-m，FC`=4m，再利用勾股定理可求得，则DF、AF均可求得，即可求．
21．【答案】（1）解：当点N落在边上时，如图，作于点，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
由题意得，
∵，
∴，
∴，即，
∴，，
∵，点Q是AP的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
由题意得，即，
解得
（2）解：当时，；
当时，如图，
，
∵，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴
；
当时，如图，
由题意得，
同理，是的中位线，
∴，，，
∴，
综上，；
（3）x的值为或
【知识点】一次函数中的动态几何问题；二次函数的实际应用-几何问题；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】（3）解：连接交于点，当直线经过点时，直线将矩形的面积两等分，
当时，如图，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵点Q是AP的中点，
∴，
∴，
解得；
当时，如图，作于点，直线交于点，
由（2）得，
∴，
同理，是的中位线，
同理，求得，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
解得，
综上，x的值为或．
【分析】（1）延长NQ交AD于点E，由平行四边形的性质可得QE//PM//CD，则可证明，则由相似比可得，，同理可证明，则，，再根据列方程并求解即可；
（2）可分三种情况进行计算，即当点P在AC上且点N在矩形ABCD内部时，此时，则；当点P在AC上但点N在矩形ABCD外部时，此时，则，此时可证明，则利用三角函数可求出FG；当点P在CB上运动时，此时，则；
（3）由于矩形是中心对称图形，则经过对角线交点的任一条直线均可等分矩形面积，因此可连接交于点，当直线经过点时，直线将矩形的面积两等分，此时可分两种情况分别计算，即当N在BC上时，此时和N在矩形ABCD外时，此时时．
（1）解：当点N落在边上时，如图，作于点，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
由题意得，
∵，
∴，
∴，即，
∴，，
∵，点Q是AP的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
由题意得，即，
解得；
（2）解：当时，；
当时，如图，
，
∵，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴
；
当时，如图，
由题意得，
同理，是的中位线，
∴，，，
∴，
综上，；
（3）解：连接交于点，当直线经过点时，直线将矩形的面积两等分，
当时，如图，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵点Q是AP的中点，
∴，
∴，
解得；
当时，如图，作于点，直线交于点，
由（2）得，
∴，
同理，是的中位线，
同理，求得，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
解得，
综上，x的值为或．
22．【答案】（1）解：∵抛物线顶点A的横坐标为1，∴，
∴，
∵抛物线经过点，
∴，
解得，
∴该抛物线对应的函数关系式为
（2）解：设点P的坐标为，
∵轴，且点Q的坐标为，
∴点M和点P的纵坐标都为1，
解方程，
得或（舍去），
∴点Q的坐标为
（3）解：对于抛物线，顶点A的坐标为．
∵点N与点Q的纵坐标之和为0，又点Q的纵坐标为1，
∴点N的纵坐标为，
∵四边形是平行四边形，
∴互相平分，
∴，即，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∵，
解得，
∴直线的解析式为，
将代入得，
整理得，
解得或
（4）m的值为或或或
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】（4）解：当平行四边形是菱形时，平行四边形是轴对称图形，此时，对角线与对角线互相垂直平分，
∵点Q的坐标为，
∴点N的纵坐标为，
∵点A的坐标为，
∴点M与点A关于直线对称，
∴点M的坐标为，
设直线的解析式为，
∵，
解得，
∴直线的解析式为，
将代入得，
整理得，
解得或．
当平行四边形是矩形时，平行四边形是轴对称图形，
此时，，
∴，
设，
，
，
，
∴，
∴，
∴，
同理得的解析式为，
将代入得，
整理得，
解得或．
综上，m的值为或或或．
【分析】（1）由于抛物线的对称轴经过顶点，则可先求出b，再利用待定系数法求出c即可；
（2）由于垂直y轴的直线上所有点的纵坐标相等，即点M和点P的纵坐标都为1，即，解方程求出正数解即可；
（3）由题意可先求得点N的纵坐标为，由平行四边形的对角线互相平分得，求得，，设直线的解析式为，利用待定系数法求出QM的解析式，再把点P的坐标代入到直线QM上即可；
（4）若成轴对称图形，则是菱形或矩形时才是轴对称，所以应分别计算，具体方法同（3）求解即可．
（1）解：∵抛物线顶点A的横坐标为1，
∴，
∴，
∵抛物线经过点，
∴，
解得，
∴该抛物线对应的函数关系式为；
（2）解：设点P的坐标为，
∵轴，且点Q的坐标为，
∴点M和点P的纵坐标都为1，
解方程，
得或（舍去），
∴点Q的坐标为；
（3）解：对于抛物线，顶点A的坐标为．
∵点N与点Q的纵坐标之和为0，又点Q的纵坐标为1，
∴点N的纵坐标为，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∵，
解得，
∴直线的解析式为，
将代入得，
整理得，
解得或；
（4）解：当平行四边形是菱形时，平行四边形是轴对称图形，
此时，对角线与对角线互相垂直平分，
∵点Q的坐标为，
∴点N的纵坐标为，
∵点A的坐标为，
∴点M与点A关于直线对称，
∴点M的坐标为，
设直线的解析式为，
∵，
解得，
∴直线的解析式为，
将代入得，
整理得，
解得或．
当平行四边形是矩形时，平行四边形是轴对称图形，
此时，，
∴，
设，
，
，
，
∴，
∴，
∴，
同理得的解析式为，
将代入得，
整理得，
解得或．
综上，m的值为或或或．
1 / 1吉林省四平市伊通满族自治县2025年中考三模数学试题
一、选择题（每小题3分，共18分）
1．（2025·伊通模拟）下列两个数中，互为相反数的是（　　）
A．和 B．和 C．和 D．4和
【答案】B
【知识点】相反数的意义与性质；化简多重符号有理数
【解析】【解答】解：A、，故和不是互为相反数，不符合题意；
B、，，故和是互为相反数，符合题意；
C、和，不是互为相反数，不符合题意；
D、4和，不是互为相反数，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数， 0的相反数是 0，负数的相反数是正数．
2．（2025·伊通模拟）隋朝时期的青瓷高足盘是湖北省博物馆重要馆藏文物之一，具有极高的历史价值、文化价值．如图所示，关于它的三视图，下列说法正确的是（　　）
A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】这个几何体的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同．
故选：A．
【分析】
从物体正面观察得到的图形叫主视图，从物体左边观察得到的图形叫左视图，从物体上面观察得到 的图形叫俯视图．
3．（2025·伊通模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故选项错误，不符合题意；
B、 与不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意；
C、，故选项错误，不符合题意；
D、，故选项正确，符合题意；
故选：D
【分析】根据同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方，幂的乘方等知识，分别进行计算，即可得出答案。
4．（2025·伊通模拟）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
由得，，
由得，，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的解集在数轴上表示为：
故选：．
【分析】
先求出各不等式的解集，再在同一数轴上表示出各解集即可．
5．（2025·伊通模拟）如图，小亮为将一个衣架固定在墙上，他在衣架两端各用一个钉子进行固定，用数学知识解释他这样操作的原因，应该是（　　）
A．过一点有无数条直线
B．两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离
C．两点确定一条直线
D．两点之间，线段最短
【答案】C
【知识点】两点确定一条直线
【解析】【解答】解：因为“两点确定一条直线”，所以他在衣架两端各用一个钉子进行固定．
故选：C．
【分析】
利用直线公理“两点确定一条直线”．
6．（2025·伊通模拟）图1是实验室利用过滤法除杂的装置图，图2是其简化示意图，在图2中，若，，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】先利用两直线平行内错角相等得，，再根据等边对等角求得，最后再利用三角形内角和定理即可．
二、填空题（每小题3分，共15分）
7．（2025·伊通模拟）计算：　 　．
【答案】2
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：
，
故答案为：2．
【分析】实数的混合运算，先根据负整数指数幂的性质和零指数幂的性质运算即可．
8．（2025·伊通模拟）一元二次方程根的情况是　 　．
【答案】有两个不相等的实数根
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：一元二次方程，，
∴
，
∴方程有两个不相等的实数根，
故答案为：有两个不相等的实数根．
【分析】对于一元二次方程ax2+bx+c=0，根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此即可求解．
9．（2025·伊通模拟）如图，小明同学用木棍制成的测量旗杆的高度．他调整自己的位置，使斜边保持与地面平行，直角边与点在同一直线上．已知米，米，斜边离地面的高度米，米，则旗杆的高度　 　米．
【答案】12
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：延长交于H，
∵，
∴四边形是矩形，
∴米，米，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴（米），
即旗杆的高度米．
故答案为：12．
【分析】
延长交于H，则四边形ACDH为矩形，则可判定，由相似比可求得BH，再由矩形的对边相等即AH=CD即可．
10．（2025·伊通模拟）如图，将平行四边形绕点A旋转得到平行四边形，点B'落在边CD上，若，当三点共线时，等于　 　．
【答案】28
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形绕点A旋转得到平行四边形，
， ，，
，
，
，
，
∴=，
故答案为：．
【分析】根据图形旋转的性质求出∠C'=∠C=76°，再根据平行四边形的性质求出 ，，接着根据等腰三角形的性质求出，最后根据三角形的内角和定理计算求解即可。
11．（2025·伊通模拟）如图，在正方形中，以A为圆心，为半径画弧，再以为直径作半圆，连接，若正方形边长为4，则图中阴影部分的面积为　 　.
【答案】
【知识点】正方形的性质；圆周角定理；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，设半圆与的交点为点E，取的中点为点O，连接，设以A为圆心，为半径画弧交于点F，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】
由圆的对称性可把弓形AE转化到弓形DE上，从而把阴影部分面积转化到扇形ADF中，再利用割补法即即可.
三、解答题（本大题共11小题，共87分）
12．（2025·伊通模拟）先化简代数式，再从，，，四个数中选择一个你喜欢的数代入求值．
【答案】解：
，
，
只能取，
当时，原式
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】分式的化简求值，先根据分式的混合运算化简，化简时先把括号内的异分母分式化为同分母分式，再颠倒分子与分母的位置与前面的分式相乘，同时对分子和分母分别分解因式并约分，化结果为最简分式或整式，然后根据分式有意义的条件取舍的值，代入化简结果进行计算即可求解．
13．（2025·伊通模拟）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3，随机取出一个小球然后放回，再随机取出一个小球．
（1）第一次取出的小球标号为3的概率是 ；
（2）请用画树状图或列表的方法求两次取出的小球标号的和等于4的概率．
【答案】（1）
（2）解：画树状图如图．
由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中两次取出的小球标号的和等于4的结果数有3种，
∴两次取出的小球标号的和等于4的概率是
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】（1）解：∵一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3，
∴第一次取出的小球标号为3的概率是，
故答案为：；
【分析】（1）简单事件的概率可直接由概率公式求解；
（2）两步试验可通过画树装图或列表法求概率，画树状图是不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据.
（1）解：∵一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3，
∴第一次取出的小球标号为3的概率是，
故答案为：；
（2）解：画树状图如图．
由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中两次取出的小球标号的和等于4的结果数有3种，
∴两次取出的小球标号的和等于4的概率是．
14．（2025·伊通模拟）如图，在大长方形草坪中规划出了3块大小、形状一样的小长方形（图中阴影部分）区域种植鲜花．已知大长方形的长和宽分别为，，求小长方形的长和宽．
【答案】解：设小长方形的长和宽分别为、，根据图形可得：
，
解得：，
答：小长方形的长和宽分别为，
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【分析】设小长方形的长和宽分别为、，观察图形可得，再联立方程组并求解即可．
15．（2025·伊通模拟）图①、图②、图③均是由的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点．的三个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求完成作图（保留必要的作图痕迹）．
（1）如图①，作点A关于的对称点D；
（2）如图②，作，垂足为E；
（3）如图③，M是上一点（点M不与点B、C重合），在上找一点N，使的值最小．
【答案】（1）解：如图，点即为所求：
（2）解：如图，即为所求：
（3）解：如图，点即为所求：
【知识点】作图﹣轴对称；尺规作图-垂线；三角形全等的判定-SAS；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【分析】（1）由轴对称的性质结合网格图的特征可在BC下方确定点D使BC垂直平分AD即可；
（2）先在BC上取格点G，使，再在BC上方取格点H，使且CH=CG，再连接BH与AC交点即为点E，因为可利用SAS证明，由全等的性质可得，则即；
（3）取格点，连接，延长与交于点，连接与交点即为点，由作法（2）得，同理，则，则，所以，则，故点关于的对称点为点，那么，则，根据两点间线段最短即可说理．
（1）解：如图，点即为所求：
（2）解：如图，即为所求：
（3）解：如图，点即为所求：
16．（2025·伊通模拟）如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔100海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处．这时，处距离处有多远？（参考数据：，，）
【答案】解：过作于，
在中，，海里，
（海里），
（海里），
在中，，
（海里），
（海里），
答：处距离处有140海里．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】过作于构造直角三角形，再解求出PC和AC，再解求BC即可．
17．（2025·伊通模拟）如图，直线与双曲线的一个分支交于点，与轴交于点，与轴交于点．
（1）求双曲线的解析式；
（2）点在轴上，若，求点的坐标．
【答案】（1）解：把点代入直线得：，
解得：，
，
设双曲线的解析式为：，
把代入双曲线解析式得：，
，
双曲线的解析式为；
（2）解：在中，令，则，
解得：，
，
设点的坐标为，则，
，
，即，
解得：或，
点的坐标为或．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】
（1）先利用直线上点的坐标特征把点代入直线解析式求出，再利用待定系数法求解即可；
（2）先利用直线上点的坐标特征求出点，设点的坐标为，则，再由三角形面积公式可得，再解方程即可．
（1）解：把点代入直线得：，
解得：，
，
设双曲线的解析式为：，
把代入双曲线解析式得：，
，
双曲线的解析式为；
（2）解：在中，令，则，
解得：，
，
设点的坐标为，则，
，
，即，
解得：或，
点的坐标为或．
18．（2025·伊通模拟）某学校举办的“青春之歌”主题歌手大赛分为初赛和决赛两个阶段．初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制）．对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．教师评委打分：84 90 90 91 91 91 91 92 94 96；
b．学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）；
c．评委打分的平均数、中位数、众数如下：
平均数 中位数 众数
教师评委 91 91 m
学生评委 90.8 n 93
根据以上信息，回答下列问题：
（1）m的值为______，n的值位于学生评委打分数据分组的第______组；
（2）若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，求其余8名教师评委打分的平均数，并比较与原平均数的大小；
（3）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）．对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数，平均数较大的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：
评委1 评委2 评委3 评委4 评委5
甲 91 92 92 92 92
乙 90 90 92 93 92
丙 90 94 90 94 k
若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是_____，表中k（k为整数）的值为 ．
【答案】（1）91；4
（2）解：若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为：，
∴，
∴比原平均数大
（3）甲，90
【知识点】条形统计图；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】（1）解：由题意得，教师评委打分中91出现的次数最多，故众数，
45名学生评委打分数据的中位数是第23个数，故n的值位于学生评委打分数据分组的第4组；
故答案为：91；4；
（3）解：甲选手的平均数为，
乙选手的平均数为，
∵丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，
∴这三位选手中排序最靠前的是甲，丙选手的平均数大于乙选手的平均数且小于甲选手的平均数，
∴，
∴，
∵k为整数，
∴k的值为90．
故答案为：甲，90．
【分析】（1）众数是指一组数据中重复出现次数最多的数据，可以是一个也可能是多个；中位数需要先对所有数据按照从小到大顺序排序，再根据样本容量取最中间的一个或最中间的两个数据的平均值；
（2）直接利用算术平均数的定义求出其余8名教师评委打分的平均数，再与原平均数进行比较即可；
（3）先由平均数的计算公式求出甲、乙的平均数，再根据丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中可得关于k的不等式，再解不等式求出满足条件的整数解即可．
（1）解：由题意得，教师评委打分中91出现的次数最多，故众数，
45名学生评委打分数据的中位数是第23个数，故n的值位于学生评委打分数据分组的第4组；
故答案为：91；4；
（2）解：若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为：
，
∴，
∴比原平均数大；
（3）解：甲选手的平均数为，
乙选手的平均数为，
∵丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，
∴这三位选手中排序最靠前的是甲，丙选手的平均数大于乙选手的平均数且小于甲选手的平均数，
∴，
∴，
∵k为整数，
∴k的值为90．
故答案为：甲，90．
19．（2025·伊通模拟）蓄电池发展水平是制约新能源汽车发展的关键要素．小明爸爸根据自家电动汽车仪表显示，感觉蓄电池充满电后，用前半部分电量所行驶的路程，总要比用后半部分电量行驶的路程更远一些．于是小明细心观察了充满电后汽车的行驶情况，并将蓄电池剩余电量（千瓦时）和已行驶路程（千米）的相关数据，用函数图象表示如下．
（1）电池充满电时的电量为______千瓦时；
（2）求所对应的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）在电量允许的情况下，如果在某段连续行驶时间里，汽车消耗了10千瓦时的电量，直接写出这段时间连续行驶路程的取值范围．
【答案】（1）60
（2）解：设所对应的函数关系式为，将代入得
解得
；
（3）
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）由图可知，电池充满电时的电量为60千瓦时，
故答案为：60；
（2）当在段消耗了10千瓦时的电量时，
(千米)
当在段消耗了10千瓦时的电量时，
（千米）
．
【分析】
本题考查一次函数的应用．
（1）观察图象可直接得出答案；
（2）设线段的函数关系式为，利用待定系数法直接求解即可；
（3）分别求出在段消耗了10千瓦时的电量时和在段消耗了10千瓦时的电量时对应的路程即可．
20．（2025·伊通模拟）【问题情境】如图①，在正方形中，E为边上一点（不与点B、C重合），垂直于的一条直线分别交于点M、P、N．判断线段之间的数量关系，并说明理由．
【解决问题】小明根据所学知识，给出了如下不完整的证明过程：
线段之间的数量关系为．
理由如下：
∵四边形是正方形，
，如图①，过点B作分别交于点G、F．
∴四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
．
根据小明的解答思路，解答下列问题：
（1）将过程补充完整；
（2）上述证明过程中，证明四边形为平行四边形的理论依据为 ；
【结论应用】如图②，若图①的点M是的中点，且，其他条件不变，则的长为 ；
【问题拓展】如图③，将图①中的正方形沿着翻折，使得的对应边恰好经过点A，交AD于点F．若E为边的中点，且，直接写出的值．
【答案】解决问题：（1）
四边形是正方形，
，
已证，
又，
，
，
， ，
，即；
（2）第一空：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
结论应用：1；
问题拓展：
解：如图，连接，
由轴对称图形的性质可得：，
，
，
，
为边的中点，，
，
，
，
设，
由折叠性质可得：，，
则，
在中，，则，
解得：，
，
，
又，
，
，，
，
，即，
设，则，则，
在中，，
解得：或（负数舍去）
，，
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA；四边形的综合；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：（2），，
，
又，
四边形为平行四边形，
则证明四边形为平行四边形的理论依据为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
故答案为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
结论应用：，
，则，
点M是的中点，
，
由，
，
故答案为：1；
【分析】解决问题：（1）过点B作MN的平行线交CD于点F，则四边形MBFN是平行四边形，则BM=FN；再由正方形性质可利用ASA证明，则，由于正方形中CD=CB，即CB=CE+BE=DF+CF，所以CE=DF=DN+BM；
（2）由平行四边形的概念可得四边形MBFN是平行四边形；
结论应用：由BE=1可得AB=CB=4，则CE=3，再由中点的概念可得BM=2，则DN=CE-BM=3-2=1；
问题拓展：如图，连接，由轴对称图形的性质得，则，再由平行线分线段成比例求出，因为B`C`=BC=4，所以，此时可设，则由折叠得：，由勾股定理可得，即，则；此时可再证明，由相似比可得，则可设FD=m，则AF=4-m，FC`=4m，再利用勾股定理可求得，则DF、AF均可求得，即可求．
21．（2025·伊通模拟）如图，为矩形的对角线，，．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向点B运动，连接AP，取AP的中点Q，过点P作于点M，连接，以、为边作．设矩形与重叠部分图形的面积为y（平方单位），点P的运动时间为x（秒）
（1）当点N落在边上时，求x的值；
（2）求y关于x的函数解析式；
（3）连接，当直线将矩形的面积两等分时，直接写出x的值．
【答案】（1）解：当点N落在边上时，如图，作于点，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
由题意得，
∵，
∴，
∴，即，
∴，，
∵，点Q是AP的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
由题意得，即，
解得
（2）解：当时，；
当时，如图，
，
∵，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴
；
当时，如图，
由题意得，
同理，是的中位线，
∴，，，
∴，
综上，；
（3）x的值为或
【知识点】一次函数中的动态几何问题；二次函数的实际应用-几何问题；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】（3）解：连接交于点，当直线经过点时，直线将矩形的面积两等分，
当时，如图，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵点Q是AP的中点，
∴，
∴，
解得；
当时，如图，作于点，直线交于点，
由（2）得，
∴，
同理，是的中位线，
同理，求得，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
解得，
综上，x的值为或．
【分析】（1）延长NQ交AD于点E，由平行四边形的性质可得QE//PM//CD，则可证明，则由相似比可得，，同理可证明，则，，再根据列方程并求解即可；
（2）可分三种情况进行计算，即当点P在AC上且点N在矩形ABCD内部时，此时，则；当点P在AC上但点N在矩形ABCD外部时，此时，则，此时可证明，则利用三角函数可求出FG；当点P在CB上运动时，此时，则；
（3）由于矩形是中心对称图形，则经过对角线交点的任一条直线均可等分矩形面积，因此可连接交于点，当直线经过点时，直线将矩形的面积两等分，此时可分两种情况分别计算，即当N在BC上时，此时和N在矩形ABCD外时，此时时．
（1）解：当点N落在边上时，如图，作于点，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
由题意得，
∵，
∴，
∴，即，
∴，，
∵，点Q是AP的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
由题意得，即，
解得；
（2）解：当时，；
当时，如图，
，
∵，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴
；
当时，如图，
由题意得，
同理，是的中位线，
∴，，，
∴，
综上，；
（3）解：连接交于点，当直线经过点时，直线将矩形的面积两等分，
当时，如图，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵点Q是AP的中点，
∴，
∴，
解得；
当时，如图，作于点，直线交于点，
由（2）得，
∴，
同理，是的中位线，
同理，求得，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
解得，
综上，x的值为或．
22．（2025·伊通模拟）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线（其中b、c为常数）的图象经过点，其顶点A的横坐标为1．点P是该抛物线在x轴上方的图象上的一点，其横坐标为m，点Q的坐标为，连接并延长交该抛物线的对称轴于点M，连接，以、为边作．
（1）求该抛物线对应的函数关系式；
（2）当，且轴时，求点Q的坐标；
（3）当点N与点Q的纵坐标之和为0时，求m的值；
（4）当四边形是轴对称图形时，直接写出m的值．
【答案】（1）解：∵抛物线顶点A的横坐标为1，∴，
∴，
∵抛物线经过点，
∴，
解得，
∴该抛物线对应的函数关系式为
（2）解：设点P的坐标为，
∵轴，且点Q的坐标为，
∴点M和点P的纵坐标都为1，
解方程，
得或（舍去），
∴点Q的坐标为
（3）解：对于抛物线，顶点A的坐标为．
∵点N与点Q的纵坐标之和为0，又点Q的纵坐标为1，
∴点N的纵坐标为，
∵四边形是平行四边形，
∴互相平分，
∴，即，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∵，
解得，
∴直线的解析式为，
将代入得，
整理得，
解得或
（4）m的值为或或或
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】（4）解：当平行四边形是菱形时，平行四边形是轴对称图形，此时，对角线与对角线互相垂直平分，
∵点Q的坐标为，
∴点N的纵坐标为，
∵点A的坐标为，
∴点M与点A关于直线对称，
∴点M的坐标为，
设直线的解析式为，
∵，
解得，
∴直线的解析式为，
将代入得，
整理得，
解得或．
当平行四边形是矩形时，平行四边形是轴对称图形，
此时，，
∴，
设，
，
，
，
∴，
∴，
∴，
同理得的解析式为，
将代入得，
整理得，
解得或．
综上，m的值为或或或．
【分析】（1）由于抛物线的对称轴经过顶点，则可先求出b，再利用待定系数法求出c即可；
（2）由于垂直y轴的直线上所有点的纵坐标相等，即点M和点P的纵坐标都为1，即，解方程求出正数解即可；
（3）由题意可先求得点N的纵坐标为，由平行四边形的对角线互相平分得，求得，，设直线的解析式为，利用待定系数法求出QM的解析式，再把点P的坐标代入到直线QM上即可；
（4）若成轴对称图形，则是菱形或矩形时才是轴对称，所以应分别计算，具体方法同（3）求解即可．
（1）解：∵抛物线顶点A的横坐标为1，
∴，
∴，
∵抛物线经过点，
∴，
解得，
∴该抛物线对应的函数关系式为；
（2）解：设点P的坐标为，
∵轴，且点Q的坐标为，
∴点M和点P的纵坐标都为1，
解方程，
得或（舍去），
∴点Q的坐标为；
（3）解：对于抛物线，顶点A的坐标为．
∵点N与点Q的纵坐标之和为0，又点Q的纵坐标为1，
∴点N的纵坐标为，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∵，
解得，
∴直线的解析式为，
将代入得，
整理得，
解得或；
（4）解：当平行四边形是菱形时，平行四边形是轴对称图形，
此时，对角线与对角线互相垂直平分，
∵点Q的坐标为，
∴点N的纵坐标为，
∵点A的坐标为，
∴点M与点A关于直线对称，
∴点M的坐标为，
设直线的解析式为，
∵，
解得，
∴直线的解析式为，
将代入得，
整理得，
解得或．
当平行四边形是矩形时，平行四边形是轴对称图形，
此时，，
∴，
设，
，
，
，
∴，
∴，
∴，
同理得的解析式为，
将代入得，
整理得，
解得或．
综上，m的值为或或或．
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