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广东省深圳市深圳高级中学（集团）2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
1．（2025八下·深圳期末）我国新能源汽车发展迅猛，下列新能源汽车标志是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八下·深圳期末）在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点分别是A（-4，-1），B（1，1），将线段AB平移后得到线段A'B'，若点A'的坐标为（-2，2），则点B'的坐标为（　　）
A．（-1，-2） B．（-1，4） C．（3.-2） D．（3.4）
3．（2025八下·深圳期末）如图，在□ABCD中，∠A=2∠D，则∠B的度数为（　　）
A．60° B．55° C．50° D．45°
4．（2025八下·深圳期末）如图，△DBE是由△MBC绕点B按逆时针方向旋转40°得到的.若AB⊥DE，则∠A的度数为（　　）
A．50° B．45° C．40° D．30°
5．（2025八下·深圳期末）如图，直线y=kx+b（k<0）经过点4（3.1）.当kx+bA．x<0 B．x<3 C．x>3 D．x<1
6．（2025八下·深圳期末）如图，在正六边形ABCDEF中，P，Q分别是边AB，BC的中点，连接PQ，则的值为（　　）
A． B． C．1 D．
7．（2025八下·深圳期末）已知关于x的方程的解是非负数，则a的取值范围是（　　）
A． B．且
C． D．且
8．（2025八下·深圳期末）如图1是利用四边形不稳定性设计的“千斤顶”，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变AC的长度（菱形的边长不变）.从而改变千斤顶的高度（即B，D之间的距离）.在手柄转动过程中，千斤顶的高度y（cm）随AC的长度x（cm）的变化规律如图2所示，则图2中从点M到点N，千斤顶下降的高度为（　　）
A．8cm B．4cm C．6cm D．9cm
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
9．（2025八下·深圳期末）分解因式： 　 　.
10．（2025八下·深圳期末） 定义一种新运算：，若，则=　 　.
11．（2025八下·深圳期末）如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（-2，0），点D在y轴的正半轴上，则点D的坐标是　 　.
12．（2025八下·深圳期末）如图，在四边形ABCD中对角线AC⊥BD，E、F分别是AB、CD的中点.AC=4cm，BD=6cm，则EF=　 　cm.
13．（2025八下·深圳期末）如图，在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，将△ABC绕BC边的小点O逆时针旋转得到△DEF，顶点E落在AC边.，DF边交AC边丁点G，连接CF，则△CFG的面积为　 　.
三、解答题（本大题共7个小题，共61分）
14．（2025八下·深圳期末）解不等式组，把它的解集表示在数轴上.
15．（2025八下·深圳期末）下面是小化简分式的过程：
解：原式=.第一步 =第二步 =.第三步
（1）小华的化简过程从第　 　步开始山现错误；
（2）请你写出正确的化简过程，并从2，3，4，5中选择一个合适的数代入求值.
16．（2025八下·深圳期末）在平而直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度.
（1）平移，点A的对应点的坐标为，作出平移后对应的；平移的距离为 ▲ .
（2）将绕点C逆时针方向旋转得到，按要求作出图形；
（3）若上述通过旋转可得到，则旋转中心P的坐标为　 　.
17．（2025八下·深圳期末）老师布置了一道思考题：“尺规作图：过直线AB外一点P作这条直线的平行线，”小亮的作法如下：如图，在直线AB上任取一点C，以点C为圆心，CP的长为半径画弧交AB于点D，再分别以点P，D为圆心，CP的长为半径画弧，两弧交于点E，作直线PE，则PE//AB，
（1）请判断小亮的作法是否正确，并说明理由，
（2）连接PD，CE，交点为O，若PC=5，PD=6，求点P到直线AB的距离.
18．（2025八下·深圳期末）下面是小轩学习“分式方程的应用”后所作的学习笔记，请认真阅读并解答相应的问题.
题目，某校准备购买甲、乙两种图书，甲种图书的单价比乙种图书的单价多20元，用2000元购买甲种图书和用1200元购买乙种图书的数量相同，问甲、乙两种图书的单价各是多少元？
方法 分析问题 列出方程
解法一 设.……，等量关系：甲图书数量=乙图书数量
解法二 设……，等量关系：甲图书单价-乙图书单价=20
（1）解法一所列方程中的x表示　 　，解法二所列方程中的x表示　 　.（填序号）
①甲种图书的单价；②乙种图书的单价；③甲种图书购买的数量，
（2）请选择一种解法，求出甲、乙两种图书的单价。
（3）若该校用不超过2500元钱购买甲、乙两种图书共60本且进行销售，甲种图书的售价为65元一本，乙种图书的售价为40元一本，那么甲乙两种图书各购进多少本时获利最多？最大利润是多少元
19．（2025八下·深圳期末）定义：对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，6）和直线y=ax+b，我们称点P（a，b）是直线y=ax+b的“友谊点”，直线y=ax+b是点P（a、b）的“友谊直线”.特别地，当a=0时，直线y=b（b为常数）的“友谊点”为P（0，b）.
（1）已知点A（-2，-2），B（4，-2），则点A的“友谊直线”的解析式为　 　：直线AB的“友谊点”的坐标为　 　.
（2）P，Q两点关于×轴对称，且点P的“友谊直线”y=kx+b（k≠0）经过点Q和点M（1，2+b），求该直线的解析式；
（3）直线l：y=（m-1）x+2m-5（m≠1）不经过第二象限，P为直线l的“友谊点”.
①若m为整数，求点P的坐标：
②直线l与×轴，y轴分别相交于A，B两点，OA=4，N为平面内一点，当以A，B，P，N为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点N的坐标，
20．（2025八下·深圳期末）四边形ABCD是一张正方形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏，
（1）【探究发现】
如图1，小明将△ABE沿AE翻折得到△AB'E，点B的对应点B'，将纸片展平后，连接BB'并延长交边CD于点F，小明发现折痕AE与BF存在特殊的数量关系，数量关系为　 　.
（2）【类比探究】
如图2，小明继续折纸，将四边形ABEG沿GE所在直线翻折得到四边形A'B'EG，点A的对应点为点A，点B的对应点为点B'，将纸片展平后，连接BB'交边CD于点F，请你猜想线段AG，CE，DF之间的数量关系并证明；
（3）【拓展延伸】
在（2）的翻折过程中，正方形ABCD的边长为9.
①如图3，若线段A'B'恰好经过点D，CF=3，求CE的长，
②如图4，若F为CD中点，连接BG，EF，直接写出BG+EF的最小值为▲.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A不是中心对称图形，不符合题意；
B是中心对称图形，符合题意；
C不是中心对称图形，不符合题意；
D不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：B
【分析】将图形沿某一点旋转180°后能够与原图重合的图形为中心对称图形.
2．【答案】D
【知识点】平移的性质；坐标与图形变化﹣平移；用坐标表示平移
【解析】【解答】解：由题意可得：
-2-(-4)=2，2-(-1)=3
使用平移规律为向右平移2个单位，再向上平移3个单位
∴B'的坐标为(1+2，1+3)，即为(3，4)
故答案为：D
【分析】根据点的平移规律即可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形
∴∠B=∠D
∵∠A=2∠D
∴∠A+∠B=3∠B=180°
∴∠B=60°
故答案为：A
【分析】根据平行四边形性质即可求出答案.
4．【答案】A
【知识点】旋转的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵△DBE是由△ABC绕点B按逆时针方向旋转40°得到的
∴∠DBA=40°，∠A=∠D
∵AB⊥DE
∴∠A=∠D=90°-∠DBA=50°
故答案为：A
【分析】根据旋转性质可得∠DBA=40°，∠A=∠D，再根据直角三角形两锐角互余即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由题意可得：
函数y=x，经过点A
∴x>3时，kx+b故答案为：C
【分析】当函数y=kx+b的图象在函数y=x图象下方时，有kx+b6．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；勾股定理；正多边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AC，过点B作BH⊥AC，设正六边形的边长为a
由题意可得：BC=AB=a
∴
∵∠FED=∠AFE=∠ABC=120°
∴
∴
∴
∴
∴
∴=
故答案为：A
【分析】连接AC，过点B作BH⊥AC，设正六边形的边长为a，由题意可得：BC=AB=a，根据正六边形性质可得，，再根据三角形内角和定理可得，根据含30°角的直角三角形性质可得，根据勾股定理可得AH，求出AC，再根据三角形中位线定理可得PQ，再根据边之间的关系即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】解分式方程；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：
去分母可得：a-x+2=0
整理得：x=a+2
∵方程的解为非负数
∴a+2≥0，且
解得：且
故答案为：D
【分析】去分母转换为整式方程，再解方程可得x=a+2，再根据方程的解为非负数，建立不等式，解不等式即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】勾股定理；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：连接BD交AC于点O
由题意可得，AC⊥BD，
由图象可得，当AC=30时，BD=40
此时AO=15，DO=20
∴
当AC=14，AO=7
∴
∴
∴a=48
则48-40=8
故答案为：A
【分析】连接BD交AC于点O，由题意可得，AC⊥BD，，由图象可得，当AC=30时，BD=40，此时AO=15，DO=20，根据勾股定理可得AD，当AC=14，AO=7，根据勾股定理可得DO，再根据边之间的关系即可求出答案.
9．【答案】x（x+y）（x-y）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：x3-xy2=x（x2-y2）=x（x+y）（x-y）.
故答案为：x（x+y）（x-y）.
【分析】观察多项式的特点：含有两项，两项的符号相反，且含有公因式x；由此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式。
10．【答案】6
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：依题意
解得m=6
经检验m=6是该分式方程的解，
故答案为：6 .
【分析】新定义题型难度一般不大，只要严格按照题目定义的运算方式，这里的m对应定义中的a，2对应定义中的b，列出相应的方程求解即可。
11．【答案】（0，4）
【知识点】点的坐标；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（-2，0），点D在y轴的正半轴上
∴OA=3，AB=AD=5
∴
∴点D的坐标为(0，4)
故答案为：(0，4)
【分析】根据菱形性质及两点间距离可得OA=3，AB=AD=5，根据勾股定理可得OD，即可求出点D坐标.
12．【答案】
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：取BC中点H，连接EH，FH
∵E，F分别是AB，CD的中线
∴
∴∠EHF=90°
∴
故答案为：
【分析】取BC中点H，连接EH，FH，根据三角形中位线定理可得，再根据勾股定理即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；矩形的判定与性质；几何图形的面积计算-割补法；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵AB=3，BC=4，AC=5
∴AB2+BC2=32+42=52=AC2
∴△ABC是直角三角形，∠ABC=90°
∵点O是BC中点
∴OB=OC
由旋转可得
EF=BC=4，ED=AB=3，DF=AC=5，∠DEF=∠ABC=90°，∠DFE=∠BAC，OB=OE，OC=OF
∴OB=OE=OC=OF
∴∠OEC=∠OCE
∵∠OCE=∠DFE
∴∠OEC=∠DFE
∴GE=GF
∵∠OEC+∠DEG=90°，∠D+∠DFE=90°
∴∠GED=∠D
∴GE=GD
∴GF=GE=GD，且∠DEF=90°
∴点G是DF中点
∴
连接BE，BF
∴四边形BECF是平行四边形
∵BC=EF
∴平行四边形BECF是矩形
∴CE=BF，∠BEC=∠ECF=∠CFB=∠EBF=90°，即BE⊥AC
∵
∴
∴
∴，
∴
故答案为：
【分析】根据勾股定理逆定理可得△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，根据旋转性质可得EF=BC=4，ED=AB=3，DF=AC=5，∠DEF=∠ABC=90°，∠DFE=∠BAC，OB=OE，OC=OF，则OB=OE=OC=OF，根据等边对等角可得∠OEC=∠OCE，再根据角之间的关系可得∠GED=∠D，则GE=GD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，连接BE，BF，再根据矩形判定定理可得平行四边形BECF是矩形，则CE=BF，∠BEC=∠ECF=∠CFB=∠EBF=90°，即BE⊥AC，再根据三角形面积可得BE，再根据勾股定理可得CE，再根据，结合梯形，矩形面积即可求出答案.
14．【答案】解：
解不等式①得：x<3，
解不等式②得：x≥-1，
：.不等式组的解集为-1≤x<3，
在数轴上表示为：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集，再将解集在数轴表示出来即可.
15．【答案】（1）二
（2）解：
=x+2，
当x=5时，原式＝7.
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】（1）根据分式的减法即可求出答案.
（2）根据分式的混合运算化简，再将x值代入即可求出答案.
16．【答案】（1）解：如下图所示：
；
（2）解：先将AC逆时针旋转90°后线段画出，再将BC逆时针旋转90°后线段画出，连接即可，如下图所示：
（3）（-1，-5）
【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据平移的性质作图即可求出答案.
（2）根据旋转性质作图即可求出答案.
（3）根据旋转性质即可求出答案.
17．【答案】（1）解：小亮的作法正确，理由如下：
连接DE，
由题意可得：CP=CD=PE=DE，
∴四边形CPED是菱形，
∴PE//AB
（2）解：如图
∵四边形CPED是菱形，
∴PD⊥CE，CE=2CO，PD=2PO，CD=CP=5，
∵PD=6，
∴PO=3，
，
，
设点P到直线AB的距离为h，
则，
，
点P到直线AB的距离为
【知识点】平行线的性质；勾股定理；菱形的判定与性质；面积及等积变换
【解析】【分析】（1）连接DE，由题意可得：CP=CD=PE=DE，根据菱形判定定理可得四边形CPED是菱形，则PE//AB，即可求出答案.
（2）根据平行性质可得PD⊥CE，CE=2CO，PD=2PO，CD=CP=5，再根据勾股定理可得CO，设点P到直线AB的距离为h，再根据菱形面积可得h，即可求出答案.
18．【答案】（1）①；③
（2）解：解法一：，
方程两边同乘x(x-20)，得2000(x-20)=1200x
解得x=50，·
经检验：x=50是原方程的解，且符合题意，··
∴x-20=50-20=30，
答：甲、乙两种图书的单价分别为50元、30元：
解法二：，
方程两边同乘x，得2000-1200=20x，
解得x=40，
经检验：x=40是原方程的解，且符合题意，
，，
答：甲、乙两种图书的单价分别为50元、30元；
（3）解：设甲种图书购买的数量为m本，则乙种图书购买的数量为(60-m)本，
根据题意得50m+30(60-m)≤2500，
解得m≤35
设总获利为w元，
则w=(65-50)m+(40-30)(60-m)=5m+600
∵5>0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=35时，w最大为775元，
此时60-m=25，
答：购买甲种图书种35本，购买乙种图书25本时，最大利润为775元.·
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据等量关系中代数式的含义即可求出答案.
（2）解分式方程即可求出答案.
（3）设甲种图书购买的数量为m本，则乙种图书购买的数量为(60-m)本，根据题意建立不等式，解不等式可得m≤35，设总获利为w元，求出函数关系式，结合一次函数的性质即可求出答案.
19．【答案】（1）y=-2x-2；(0，-2)
（2）解：将(4，2+b)代入y=kx+b，得2+b=k+b，解得k=2，
∴直线解析式为y=2x+b，
根据定义，y=2x+b的“友谊点”P的坐标为(2，b)，
∵P，Q两点关于x轴对称，
∴点Q的坐标为(2，-6)，
将(2，-6)代入y=2x+b，得-b=2×2+b，
解得b=-2，
∴直线的解析式为y=2x-2．·
（3）解：①∵直线l不经过第二象限，
又∵m为整数，
的值为2
根据题意，直线l的“友谊点”P的坐标为，
∴点P的坐标为(1，-1).
②当x=0时，y=2m-5，
∴点B的坐标为(0，2m-5)，
当y=0时，即(m-1)x+2m-5=0，
解得x=，
∴点A的坐标为，
∵直线l不经过第二象限，
，
，
，
解得，
，
，
当AB为对角线时，则，
，
点N的坐标为；
当AP为对角线时，则，
，
点N的坐标为；
当AN为对角线时，则，
，
点N的坐标为；
综上所述，点N的坐标为或或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
点A的“友谊直线”的解析式为y=-2x-2，
∵点A（-2，-2），B（4，-2）
∴直线AB的解析式为y=-2
∴直线AB的“友谊点”的坐标为(0，-2)
故答案为：y=-2x-2；(0，-2)
【分析】（1）根据友谊直线，友谊点的定义即可求出答案.
（2）将(4，2+b)代入y=kx+b可得直线解析式为y=2x+b，再根据友谊点的定义可得P的坐标为(2，b)，再根据关于x轴对称的点的坐标特征可得点Q的坐标为(2，-6)，再根据待定系数法将点(2，-6)代入解析式即可求出答案.
（3）①根据一次函数图象与系数的关系建立不等式，解不等式可得m的值为2，再根据友谊点的坐标即可求出答案.
②根据坐标轴上点的坐标特征可得点B的坐标为(0，2m-5)，点A的坐标为，根据一次函数图象与系数的关系建立不等式，解不等式可得，再根据两点间距离建立方程，解方程可得，则，即，再根据平行四边形性质分类讨论即可求出答案.
20．【答案】（1）AE=BF
（2）解：AG+CE=DF：理由如下
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A-∠ABC'=∠C-90°，AB=BC=CD，
∵翻折，
∴GE⊥BF，
∴∠BME=90°，
过点G作GN⊥BC，垂足为点N，
∴∠GNB=∠GNE=90°，
∴∠NGE+∠GEN=90°，∠MBE+∠MEB=90°，
∴∠NGE=∠MBE，
∵∠A=∠ABC=∠GNB=90°，
∴四边形ABNG是矩形，
∴AG=BN，AB=GN，
∴BC=GN，
又∵∠NGE=∠MBE，∠C=∠GNE=90°，
∴△BCF≌△GNE(ASA)，
∴NE=CF，
∴BC-NE=CD-CF，即BN+CE=DF，
∴AG+CE=DF
（3）解：①设CE=x，
∵正方形ABCD的边长为9，CF=3，
∴CD=9，DF=CD-FC=6，BE=BC-CE=9-×，
过点D作DP⊥GE，垂足为H，交线段AB于点P，连接PE，DE.
∵四边形ABEG沿GE所在直线翻折得到四边形A'B'EG，线段A'B经过点D，
∴D，P关于直线GE对称，∠PHE=90°，
∴GE垂直平分DP，
∴PE=DE，
∵由(2)得∠BME=90°，∠ABC=∠C=90°，
∴∠PHE=∠BME=90°，
∴PD//BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB//CD，
∴四边形PBFD是平行四边形，
∴PB=DF=6，
在Rt△PBE中，∠PBE=90°，
∴根据勾股定理，PB2+BE2=PE2，
在Rt△DCE中，∠C=90°，
∴根据勾股定理，DC2+CE2=DE2，
又∵PE=DE，
∴62+(9-x)2=x2+92，
解得x=2，
答：CE的长为2.
②.
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；翻折变换（折叠问题）；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：AE垂直平分BB'
∴∠AMB=90°
在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠C=90°
∴∠BAE=∠CBF=90°-∠ABM
∴△ABE≌△BCF（ASA）
∴AE=BF
故答案为：AE=BF
（3）②的最小值为.
如图，过A作交BC于点K，
∵AG//KEK，
∴四边形AKLG是平行四边形，
∴AG=EK，
过K作KH⊥BC于点K，AKH=AB，
∴∠BAG=∠HKE=90°，
∴△BAG≌△HKE(SAS)，
∴BG=HR，
∴BG+EF=HE+EF≥HF，当且仅当H、E、F依次共线时，取等，
过H作HN⊥DC，交DC延长线于点H，则四边形CKHN是矩形，
∴HN=CK，CN-AB=9，
∵F是CD中点，
由（2）中方法可证，
∴，
∴，
在中，，
即的最小值为.
【分析】（1）由题意可得：AE垂直平分BB'，再根据正方形性质可得AB=BC，∠ABC=∠C=90°，再根据角之间的关系可得∠BAE=∠CBF=90°-∠ABM，再根据全等三角形判定定理可得△ABE≌△BCF（ASA），则AE=BF，即可求出答案.
（2）根据正方形性质可得∠A-∠ABC'=∠C-90°，AB=BC=CD，再根据折叠性质可得GE⊥BF，则∠BME=90°，过点G作GN⊥BC，垂足为点N，根据角之间的关系可得∠NGE=∠MBE，再根据矩形判定定理可得四边形ABNG是矩形，则AG=BN，AB=GN，再根据全等三角形判定定理可得△BCF≌△GNE(ASA)，则NE=CF，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）①设CE=x，根据边之间的关系可得CD=9，DF=6，BE=9-×，过点D作DP⊥GE，垂足为H，交线段AB于点P，连接PE，DE，根据折叠性质可得D，P关于直线GE对称，∠PHE=90°，根据垂直平分线判定定理可得GE垂直平分DP，则PE=DE，再根据平行四边形判定定理可得四边形PBFD是平行四边形，则PB=DF=6，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
②过A作交BC于点K，根据平行四边形判定定理可得四边形AKLG是平行四边形，则AG=EK，过K作KH⊥BC于点K，AKH=AB，再根据全等三角形判定定理可得△BAG≌△HKE(SAS)，则BG=HR，根据边之间的关系可得BG+EF=HE+EF≥HF，当且仅当H、E、F依次共线时，取等，过H作HN⊥DC，交DC延长线于点H，则四边形CKHN是矩形，根据矩形性质可得HN=CK，CN-AB=9，再根据边之间的关系可得FN，再根据全等三角形性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
1 / 1广东省深圳市深圳高级中学（集团）2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
1．（2025八下·深圳期末）我国新能源汽车发展迅猛，下列新能源汽车标志是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A不是中心对称图形，不符合题意；
B是中心对称图形，符合题意；
C不是中心对称图形，不符合题意；
D不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：B
【分析】将图形沿某一点旋转180°后能够与原图重合的图形为中心对称图形.
2．（2025八下·深圳期末）在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点分别是A（-4，-1），B（1，1），将线段AB平移后得到线段A'B'，若点A'的坐标为（-2，2），则点B'的坐标为（　　）
A．（-1，-2） B．（-1，4） C．（3.-2） D．（3.4）
【答案】D
【知识点】平移的性质；坐标与图形变化﹣平移；用坐标表示平移
【解析】【解答】解：由题意可得：
-2-(-4)=2，2-(-1)=3
使用平移规律为向右平移2个单位，再向上平移3个单位
∴B'的坐标为(1+2，1+3)，即为(3，4)
故答案为：D
【分析】根据点的平移规律即可求出答案.
3．（2025八下·深圳期末）如图，在□ABCD中，∠A=2∠D，则∠B的度数为（　　）
A．60° B．55° C．50° D．45°
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形
∴∠B=∠D
∵∠A=2∠D
∴∠A+∠B=3∠B=180°
∴∠B=60°
故答案为：A
【分析】根据平行四边形性质即可求出答案.
4．（2025八下·深圳期末）如图，△DBE是由△MBC绕点B按逆时针方向旋转40°得到的.若AB⊥DE，则∠A的度数为（　　）
A．50° B．45° C．40° D．30°
【答案】A
【知识点】旋转的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵△DBE是由△ABC绕点B按逆时针方向旋转40°得到的
∴∠DBA=40°，∠A=∠D
∵AB⊥DE
∴∠A=∠D=90°-∠DBA=50°
故答案为：A
【分析】根据旋转性质可得∠DBA=40°，∠A=∠D，再根据直角三角形两锐角互余即可求出答案.
5．（2025八下·深圳期末）如图，直线y=kx+b（k<0）经过点4（3.1）.当kx+bA．x<0 B．x<3 C．x>3 D．x<1
【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由题意可得：
函数y=x，经过点A
∴x>3时，kx+b故答案为：C
【分析】当函数y=kx+b的图象在函数y=x图象下方时，有kx+b6．（2025八下·深圳期末）如图，在正六边形ABCDEF中，P，Q分别是边AB，BC的中点，连接PQ，则的值为（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；勾股定理；正多边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AC，过点B作BH⊥AC，设正六边形的边长为a
由题意可得：BC=AB=a
∴
∵∠FED=∠AFE=∠ABC=120°
∴
∴
∴
∴
∴
∴=
故答案为：A
【分析】连接AC，过点B作BH⊥AC，设正六边形的边长为a，由题意可得：BC=AB=a，根据正六边形性质可得，，再根据三角形内角和定理可得，根据含30°角的直角三角形性质可得，根据勾股定理可得AH，求出AC，再根据三角形中位线定理可得PQ，再根据边之间的关系即可求出答案.
7．（2025八下·深圳期末）已知关于x的方程的解是非负数，则a的取值范围是（　　）
A． B．且
C． D．且
【答案】D
【知识点】解分式方程；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：
去分母可得：a-x+2=0
整理得：x=a+2
∵方程的解为非负数
∴a+2≥0，且
解得：且
故答案为：D
【分析】去分母转换为整式方程，再解方程可得x=a+2，再根据方程的解为非负数，建立不等式，解不等式即可求出答案.
8．（2025八下·深圳期末）如图1是利用四边形不稳定性设计的“千斤顶”，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变AC的长度（菱形的边长不变）.从而改变千斤顶的高度（即B，D之间的距离）.在手柄转动过程中，千斤顶的高度y（cm）随AC的长度x（cm）的变化规律如图2所示，则图2中从点M到点N，千斤顶下降的高度为（　　）
A．8cm B．4cm C．6cm D．9cm
【答案】A
【知识点】勾股定理；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：连接BD交AC于点O
由题意可得，AC⊥BD，
由图象可得，当AC=30时，BD=40
此时AO=15，DO=20
∴
当AC=14，AO=7
∴
∴
∴a=48
则48-40=8
故答案为：A
【分析】连接BD交AC于点O，由题意可得，AC⊥BD，，由图象可得，当AC=30时，BD=40，此时AO=15，DO=20，根据勾股定理可得AD，当AC=14，AO=7，根据勾股定理可得DO，再根据边之间的关系即可求出答案.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
9．（2025八下·深圳期末）分解因式： 　 　.
【答案】x（x+y）（x-y）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：x3-xy2=x（x2-y2）=x（x+y）（x-y）.
故答案为：x（x+y）（x-y）.
【分析】观察多项式的特点：含有两项，两项的符号相反，且含有公因式x；由此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式。
10．（2025八下·深圳期末） 定义一种新运算：，若，则=　 　.
【答案】6
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：依题意
解得m=6
经检验m=6是该分式方程的解，
故答案为：6 .
【分析】新定义题型难度一般不大，只要严格按照题目定义的运算方式，这里的m对应定义中的a，2对应定义中的b，列出相应的方程求解即可。
11．（2025八下·深圳期末）如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（-2，0），点D在y轴的正半轴上，则点D的坐标是　 　.
【答案】（0，4）
【知识点】点的坐标；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（-2，0），点D在y轴的正半轴上
∴OA=3，AB=AD=5
∴
∴点D的坐标为(0，4)
故答案为：(0，4)
【分析】根据菱形性质及两点间距离可得OA=3，AB=AD=5，根据勾股定理可得OD，即可求出点D坐标.
12．（2025八下·深圳期末）如图，在四边形ABCD中对角线AC⊥BD，E、F分别是AB、CD的中点.AC=4cm，BD=6cm，则EF=　 　cm.
【答案】
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：取BC中点H，连接EH，FH
∵E，F分别是AB，CD的中线
∴
∴∠EHF=90°
∴
故答案为：
【分析】取BC中点H，连接EH，FH，根据三角形中位线定理可得，再根据勾股定理即可求出答案.
13．（2025八下·深圳期末）如图，在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，将△ABC绕BC边的小点O逆时针旋转得到△DEF，顶点E落在AC边.，DF边交AC边丁点G，连接CF，则△CFG的面积为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；矩形的判定与性质；几何图形的面积计算-割补法；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵AB=3，BC=4，AC=5
∴AB2+BC2=32+42=52=AC2
∴△ABC是直角三角形，∠ABC=90°
∵点O是BC中点
∴OB=OC
由旋转可得
EF=BC=4，ED=AB=3，DF=AC=5，∠DEF=∠ABC=90°，∠DFE=∠BAC，OB=OE，OC=OF
∴OB=OE=OC=OF
∴∠OEC=∠OCE
∵∠OCE=∠DFE
∴∠OEC=∠DFE
∴GE=GF
∵∠OEC+∠DEG=90°，∠D+∠DFE=90°
∴∠GED=∠D
∴GE=GD
∴GF=GE=GD，且∠DEF=90°
∴点G是DF中点
∴
连接BE，BF
∴四边形BECF是平行四边形
∵BC=EF
∴平行四边形BECF是矩形
∴CE=BF，∠BEC=∠ECF=∠CFB=∠EBF=90°，即BE⊥AC
∵
∴
∴
∴，
∴
故答案为：
【分析】根据勾股定理逆定理可得△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，根据旋转性质可得EF=BC=4，ED=AB=3，DF=AC=5，∠DEF=∠ABC=90°，∠DFE=∠BAC，OB=OE，OC=OF，则OB=OE=OC=OF，根据等边对等角可得∠OEC=∠OCE，再根据角之间的关系可得∠GED=∠D，则GE=GD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，连接BE，BF，再根据矩形判定定理可得平行四边形BECF是矩形，则CE=BF，∠BEC=∠ECF=∠CFB=∠EBF=90°，即BE⊥AC，再根据三角形面积可得BE，再根据勾股定理可得CE，再根据，结合梯形，矩形面积即可求出答案.
三、解答题（本大题共7个小题，共61分）
14．（2025八下·深圳期末）解不等式组，把它的解集表示在数轴上.
【答案】解：
解不等式①得：x<3，
解不等式②得：x≥-1，
：.不等式组的解集为-1≤x<3，
在数轴上表示为：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集，再将解集在数轴表示出来即可.
15．（2025八下·深圳期末）下面是小化简分式的过程：
解：原式=.第一步 =第二步 =.第三步
（1）小华的化简过程从第　 　步开始山现错误；
（2）请你写出正确的化简过程，并从2，3，4，5中选择一个合适的数代入求值.
【答案】（1）二
（2）解：
=x+2，
当x=5时，原式＝7.
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】（1）根据分式的减法即可求出答案.
（2）根据分式的混合运算化简，再将x值代入即可求出答案.
16．（2025八下·深圳期末）在平而直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度.
（1）平移，点A的对应点的坐标为，作出平移后对应的；平移的距离为 ▲ .
（2）将绕点C逆时针方向旋转得到，按要求作出图形；
（3）若上述通过旋转可得到，则旋转中心P的坐标为　 　.
【答案】（1）解：如下图所示：
；
（2）解：先将AC逆时针旋转90°后线段画出，再将BC逆时针旋转90°后线段画出，连接即可，如下图所示：
（3）（-1，-5）
【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据平移的性质作图即可求出答案.
（2）根据旋转性质作图即可求出答案.
（3）根据旋转性质即可求出答案.
17．（2025八下·深圳期末）老师布置了一道思考题：“尺规作图：过直线AB外一点P作这条直线的平行线，”小亮的作法如下：如图，在直线AB上任取一点C，以点C为圆心，CP的长为半径画弧交AB于点D，再分别以点P，D为圆心，CP的长为半径画弧，两弧交于点E，作直线PE，则PE//AB，
（1）请判断小亮的作法是否正确，并说明理由，
（2）连接PD，CE，交点为O，若PC=5，PD=6，求点P到直线AB的距离.
【答案】（1）解：小亮的作法正确，理由如下：
连接DE，
由题意可得：CP=CD=PE=DE，
∴四边形CPED是菱形，
∴PE//AB
（2）解：如图
∵四边形CPED是菱形，
∴PD⊥CE，CE=2CO，PD=2PO，CD=CP=5，
∵PD=6，
∴PO=3，
，
，
设点P到直线AB的距离为h，
则，
，
点P到直线AB的距离为
【知识点】平行线的性质；勾股定理；菱形的判定与性质；面积及等积变换
【解析】【分析】（1）连接DE，由题意可得：CP=CD=PE=DE，根据菱形判定定理可得四边形CPED是菱形，则PE//AB，即可求出答案.
（2）根据平行性质可得PD⊥CE，CE=2CO，PD=2PO，CD=CP=5，再根据勾股定理可得CO，设点P到直线AB的距离为h，再根据菱形面积可得h，即可求出答案.
18．（2025八下·深圳期末）下面是小轩学习“分式方程的应用”后所作的学习笔记，请认真阅读并解答相应的问题.
题目，某校准备购买甲、乙两种图书，甲种图书的单价比乙种图书的单价多20元，用2000元购买甲种图书和用1200元购买乙种图书的数量相同，问甲、乙两种图书的单价各是多少元？
方法 分析问题 列出方程
解法一 设.……，等量关系：甲图书数量=乙图书数量
解法二 设……，等量关系：甲图书单价-乙图书单价=20
（1）解法一所列方程中的x表示　 　，解法二所列方程中的x表示　 　.（填序号）
①甲种图书的单价；②乙种图书的单价；③甲种图书购买的数量，
（2）请选择一种解法，求出甲、乙两种图书的单价。
（3）若该校用不超过2500元钱购买甲、乙两种图书共60本且进行销售，甲种图书的售价为65元一本，乙种图书的售价为40元一本，那么甲乙两种图书各购进多少本时获利最多？最大利润是多少元
【答案】（1）①；③
（2）解：解法一：，
方程两边同乘x(x-20)，得2000(x-20)=1200x
解得x=50，·
经检验：x=50是原方程的解，且符合题意，··
∴x-20=50-20=30，
答：甲、乙两种图书的单价分别为50元、30元：
解法二：，
方程两边同乘x，得2000-1200=20x，
解得x=40，
经检验：x=40是原方程的解，且符合题意，
，，
答：甲、乙两种图书的单价分别为50元、30元；
（3）解：设甲种图书购买的数量为m本，则乙种图书购买的数量为(60-m)本，
根据题意得50m+30(60-m)≤2500，
解得m≤35
设总获利为w元，
则w=(65-50)m+(40-30)(60-m)=5m+600
∵5>0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=35时，w最大为775元，
此时60-m=25，
答：购买甲种图书种35本，购买乙种图书25本时，最大利润为775元.·
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据等量关系中代数式的含义即可求出答案.
（2）解分式方程即可求出答案.
（3）设甲种图书购买的数量为m本，则乙种图书购买的数量为(60-m)本，根据题意建立不等式，解不等式可得m≤35，设总获利为w元，求出函数关系式，结合一次函数的性质即可求出答案.
19．（2025八下·深圳期末）定义：对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，6）和直线y=ax+b，我们称点P（a，b）是直线y=ax+b的“友谊点”，直线y=ax+b是点P（a、b）的“友谊直线”.特别地，当a=0时，直线y=b（b为常数）的“友谊点”为P（0，b）.
（1）已知点A（-2，-2），B（4，-2），则点A的“友谊直线”的解析式为　 　：直线AB的“友谊点”的坐标为　 　.
（2）P，Q两点关于×轴对称，且点P的“友谊直线”y=kx+b（k≠0）经过点Q和点M（1，2+b），求该直线的解析式；
（3）直线l：y=（m-1）x+2m-5（m≠1）不经过第二象限，P为直线l的“友谊点”.
①若m为整数，求点P的坐标：
②直线l与×轴，y轴分别相交于A，B两点，OA=4，N为平面内一点，当以A，B，P，N为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点N的坐标，
【答案】（1）y=-2x-2；(0，-2)
（2）解：将(4，2+b)代入y=kx+b，得2+b=k+b，解得k=2，
∴直线解析式为y=2x+b，
根据定义，y=2x+b的“友谊点”P的坐标为(2，b)，
∵P，Q两点关于x轴对称，
∴点Q的坐标为(2，-6)，
将(2，-6)代入y=2x+b，得-b=2×2+b，
解得b=-2，
∴直线的解析式为y=2x-2．·
（3）解：①∵直线l不经过第二象限，
又∵m为整数，
的值为2
根据题意，直线l的“友谊点”P的坐标为，
∴点P的坐标为(1，-1).
②当x=0时，y=2m-5，
∴点B的坐标为(0，2m-5)，
当y=0时，即(m-1)x+2m-5=0，
解得x=，
∴点A的坐标为，
∵直线l不经过第二象限，
，
，
，
解得，
，
，
当AB为对角线时，则，
，
点N的坐标为；
当AP为对角线时，则，
，
点N的坐标为；
当AN为对角线时，则，
，
点N的坐标为；
综上所述，点N的坐标为或或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
点A的“友谊直线”的解析式为y=-2x-2，
∵点A（-2，-2），B（4，-2）
∴直线AB的解析式为y=-2
∴直线AB的“友谊点”的坐标为(0，-2)
故答案为：y=-2x-2；(0，-2)
【分析】（1）根据友谊直线，友谊点的定义即可求出答案.
（2）将(4，2+b)代入y=kx+b可得直线解析式为y=2x+b，再根据友谊点的定义可得P的坐标为(2，b)，再根据关于x轴对称的点的坐标特征可得点Q的坐标为(2，-6)，再根据待定系数法将点(2，-6)代入解析式即可求出答案.
（3）①根据一次函数图象与系数的关系建立不等式，解不等式可得m的值为2，再根据友谊点的坐标即可求出答案.
②根据坐标轴上点的坐标特征可得点B的坐标为(0，2m-5)，点A的坐标为，根据一次函数图象与系数的关系建立不等式，解不等式可得，再根据两点间距离建立方程，解方程可得，则，即，再根据平行四边形性质分类讨论即可求出答案.
20．（2025八下·深圳期末）四边形ABCD是一张正方形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏，
（1）【探究发现】
如图1，小明将△ABE沿AE翻折得到△AB'E，点B的对应点B'，将纸片展平后，连接BB'并延长交边CD于点F，小明发现折痕AE与BF存在特殊的数量关系，数量关系为　 　.
（2）【类比探究】
如图2，小明继续折纸，将四边形ABEG沿GE所在直线翻折得到四边形A'B'EG，点A的对应点为点A，点B的对应点为点B'，将纸片展平后，连接BB'交边CD于点F，请你猜想线段AG，CE，DF之间的数量关系并证明；
（3）【拓展延伸】
在（2）的翻折过程中，正方形ABCD的边长为9.
①如图3，若线段A'B'恰好经过点D，CF=3，求CE的长，
②如图4，若F为CD中点，连接BG，EF，直接写出BG+EF的最小值为▲.
【答案】（1）AE=BF
（2）解：AG+CE=DF：理由如下
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A-∠ABC'=∠C-90°，AB=BC=CD，
∵翻折，
∴GE⊥BF，
∴∠BME=90°，
过点G作GN⊥BC，垂足为点N，
∴∠GNB=∠GNE=90°，
∴∠NGE+∠GEN=90°，∠MBE+∠MEB=90°，
∴∠NGE=∠MBE，
∵∠A=∠ABC=∠GNB=90°，
∴四边形ABNG是矩形，
∴AG=BN，AB=GN，
∴BC=GN，
又∵∠NGE=∠MBE，∠C=∠GNE=90°，
∴△BCF≌△GNE(ASA)，
∴NE=CF，
∴BC-NE=CD-CF，即BN+CE=DF，
∴AG+CE=DF
（3）解：①设CE=x，
∵正方形ABCD的边长为9，CF=3，
∴CD=9，DF=CD-FC=6，BE=BC-CE=9-×，
过点D作DP⊥GE，垂足为H，交线段AB于点P，连接PE，DE.
∵四边形ABEG沿GE所在直线翻折得到四边形A'B'EG，线段A'B经过点D，
∴D，P关于直线GE对称，∠PHE=90°，
∴GE垂直平分DP，
∴PE=DE，
∵由(2)得∠BME=90°，∠ABC=∠C=90°，
∴∠PHE=∠BME=90°，
∴PD//BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB//CD，
∴四边形PBFD是平行四边形，
∴PB=DF=6，
在Rt△PBE中，∠PBE=90°，
∴根据勾股定理，PB2+BE2=PE2，
在Rt△DCE中，∠C=90°，
∴根据勾股定理，DC2+CE2=DE2，
又∵PE=DE，
∴62+(9-x)2=x2+92，
解得x=2，
答：CE的长为2.
②.
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；翻折变换（折叠问题）；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：AE垂直平分BB'
∴∠AMB=90°
在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠C=90°
∴∠BAE=∠CBF=90°-∠ABM
∴△ABE≌△BCF（ASA）
∴AE=BF
故答案为：AE=BF
（3）②的最小值为.
如图，过A作交BC于点K，
∵AG//KEK，
∴四边形AKLG是平行四边形，
∴AG=EK，
过K作KH⊥BC于点K，AKH=AB，
∴∠BAG=∠HKE=90°，
∴△BAG≌△HKE(SAS)，
∴BG=HR，
∴BG+EF=HE+EF≥HF，当且仅当H、E、F依次共线时，取等，
过H作HN⊥DC，交DC延长线于点H，则四边形CKHN是矩形，
∴HN=CK，CN-AB=9，
∵F是CD中点，
由（2）中方法可证，
∴，
∴，
在中，，
即的最小值为.
【分析】（1）由题意可得：AE垂直平分BB'，再根据正方形性质可得AB=BC，∠ABC=∠C=90°，再根据角之间的关系可得∠BAE=∠CBF=90°-∠ABM，再根据全等三角形判定定理可得△ABE≌△BCF（ASA），则AE=BF，即可求出答案.
（2）根据正方形性质可得∠A-∠ABC'=∠C-90°，AB=BC=CD，再根据折叠性质可得GE⊥BF，则∠BME=90°，过点G作GN⊥BC，垂足为点N，根据角之间的关系可得∠NGE=∠MBE，再根据矩形判定定理可得四边形ABNG是矩形，则AG=BN，AB=GN，再根据全等三角形判定定理可得△BCF≌△GNE(ASA)，则NE=CF，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）①设CE=x，根据边之间的关系可得CD=9，DF=6，BE=9-×，过点D作DP⊥GE，垂足为H，交线段AB于点P，连接PE，DE，根据折叠性质可得D，P关于直线GE对称，∠PHE=90°，根据垂直平分线判定定理可得GE垂直平分DP，则PE=DE，再根据平行四边形判定定理可得四边形PBFD是平行四边形，则PB=DF=6，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
②过A作交BC于点K，根据平行四边形判定定理可得四边形AKLG是平行四边形，则AG=EK，过K作KH⊥BC于点K，AKH=AB，再根据全等三角形判定定理可得△BAG≌△HKE(SAS)，则BG=HR，根据边之间的关系可得BG+EF=HE+EF≥HF，当且仅当H、E、F依次共线时，取等，过H作HN⊥DC，交DC延长线于点H，则四边形CKHN是矩形，根据矩形性质可得HN=CK，CN-AB=9，再根据边之间的关系可得FN，再根据全等三角形性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
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