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湖南省长沙市2024-2025学年七年级下学期6月期末数学试题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项）
1．（2025七下·长沙期末）的相反数是（　　）
A．2 B．-2 C．4 D．-4
【答案】B
【知识点】实数的相反数
【解析】【解答】解： 的相反数是
故答案为： B.
【分析】根据相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”，可得答案.
2．（2025七下·长沙期末） 下列调查中，适合抽样调查的是（　　）
A．了解某校七年（1）班学生校服的尺码情况
B．检测一批LED灯的使用寿命
C．某公司对参加招聘的人员进行面试
D．检查锦州湾机场搭乘某航班的旅客是否携带违禁物品
【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、了解某校七年 (1)班学生校服的尺码情况，适宜采用全面调查方式，不符合题意；
B、检测一批LED灯的使用寿命，适宜采用抽样调查方式，符合题意；
C、某公司对参加招聘的人员进行面试，适宜采用全面调查方式，不符合题意；
D、检查锦州湾机场搭乘某航班的旅客是否携带违禁物品适宜采用全面调查方式，不符合题意；
故答案为： B.
【分析】根据全面调查与抽样调查的特点“具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查”逐一判断即可解答.
3．（2025七下·长沙期末） 如图，点在的延长线上，下列条件中，能判断的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：A、由内错角相等，两直线平行判定AB∥CD，不能判定BC∥AD， 故A不符合题意；
B、由内错角相等，两直线平行判定BC∥AD，故B符合题意；
C、由同旁内角互补，两直线平行判定AB∥CD，不能判定BC∥AD，故C不符合题意；
D、由同位角相等，两直线平行判定AB∥CD，不能判定BC∥AD，故D不符合题意.
故答案为： B.
【分析】由平行线的判定方法，即可判断.
4．（2025七下·长沙期末）若是关于的二元一次方程的一组解，则的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：将代入得
∴
故答案为：C．
【分析】将方程的解代入方程，得到关于a的方程，解方程即可．
5．（2025七下·长沙期末）若，则下列不等式正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵a∴a+2-3b.
故答案为：D.
【分析】不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；
不等式两边同时乘（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；
不等式两边同时乘（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，据此判断即可.
6．（2025七下·长沙期末）估计的值应在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，且
∴
∴，
故选：B.
【分析】先估算的大小，然后解答即可.
7．（2025七下·长沙期末） 在平面直角坐标系中，第一象限内的点距离轴个单位长度，则的值为（　　）
A． B．或 C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵点P(a，1)距离y轴5个单位长度，
解得：(
∵点P(a，1)在第一象限，
故答案为： C.
【分析】根据点到y轴的距离是这个点到y轴的距离等于它的横坐标的绝对值，列出关于a的方程，解方程求出a，再根据点P的位置，确定a的值即可.
8．（2025七下·长沙期末） 现用186张铁皮做盒子，每张铁皮可做8个盒身或15个盒底，且一个盒身与两个盒底配成一个盒子．设用x张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底，则可得方程组（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设用x张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底，
由题意得，
故答案为： B.
【分析】设用x张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底，根据共有186张铁皮，一个盒身与两个盒底配成一个盒子，列方程组.
9．（2025七下·长沙期末）如图，面积为2的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为．若，则数轴上点E所表示的数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】实数在数轴上表示
【解析】【解答】解：∵面积为2的正方形，
∴，
∴，
∴数轴上点E所表示的数为；
故答案为：A．
【分析】根据正方形的面积等于边长的平方可求出的长，由作图可得AE=AD，然后根据数轴上点所表示的数的特征可求解．
10．（2025七下·长沙期末） 对于，符号 表示不大于的最大整数，如 ，，则满足关系式的的整数值的个数是（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【知识点】不等式组和一元一次方程的综合应用
【解析】【解答】解：
解得：
整数有7， 8， 共2个，
故选： B.
【分析】根据已知得出 求出x的范围，即可得出答案.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（2025七下·长沙期末）3的算术平方根为　 　。
【答案】
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵（ ）2=3，
∴3的算术平方根为 ．
故答案为： ．
【分析】利用算术平方根的定义计算即可得到结果．
12．（2025七下·长沙期末） 已知、满足方程组，则的值为　 　．
【答案】6
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
把①代入②，得 去括号，得
解得：
把 代入①，得
故答案为：6.
【分析】先利用代入消元法解二元一次方程组，求出x，y的值，然后代入 xy进行计算即可.
13．（2025七下·长沙期末）某校有3600名学生，随机抽取了200名学生进行体重调查．在这个问题中，样本容量是　 　．
【答案】200
【知识点】总体、个体、样本、样本容量
【解析】【解答】解：由题意得样本容量为200，
故答案为：200
【分析】直接根据样本容量的概念进行求解。
14．（2025七下·长沙期末）如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若，则等于　 　度．
【答案】55
【知识点】垂线的概念；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图：
∵，
∴，
∵直尺两边平行，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据直角定义求出，然后根据平行线的性质求出∠2解答即可．
15．（2025七下·长沙期末） 如图，A和B的坐标为（2，0），（0，1），若将线段AB平移至，则ab的值为　 　．
【答案】1
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：由B 点平移前后的纵坐标分别为1，2，可得B点向上平移了1个单位，由A点平移前后的横坐标分别为2，3，可得A点向右平移了1个单位，由此得线段AB的平移过程是：向上平移1个单位，再向右平移1个单位，所以点A、B均按此规律平移，由此可得 故
故答案为：A.
【分析】直接利用平移点的变化规律“左减右加，上加下减”求解即可.
16．（2025七下·长沙期末） 已知关于x的不等式组有解，则实数a的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：
由①得：
由②得：
∵关于x的不等式组 有解，
故答案为：
【分析】先求出各个不等式的解集，再根据关于x的不等式组 有解，列出关于a的不等式，解不等式即可.
三、解答题（本大题共10个小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025七下·长沙期末） 计算：．
【答案】解：原式：
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】利用有理数的乘方法则，算术平方根及立方根的定义，绝对值的性质计算后再算加减即可.
18．（2025七下·长沙期末） 解方程组：
【答案】解： 得：
解得：
把 代入①得：
则方程组的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】方程组利用加减消元法求出解即可.
19．（2025七下·长沙期末） 解不等式（组）：
（1）
（2）
【答案】（1）解；2(x-2)+1≤3x-2，
2x-4+1≤3x-2，
2x-3≤3x-2，
2x-3x≤3-2，
-x≤1，
x≥-1；
（2）解：
解不等式①得：x<2.5，
解不等式②得： x≤1，
∴不等式组的解集为：x≤1.
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】(1)按照解一元一次不等式的一般步骤进行解答即可；
(2)先按照解一元一次不等式的一般步骤求出各个不等式的解集，然后根据判断不等式组解集的口诀进行判断即可.
20．（2025七下·长沙期末） 三角形ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，将图中三角形ABC向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到三角形．
（1）请在图中画出三角形，并写出下列各点的坐标： _▲ ，B' _▲ ；
（2）计算三角形的面积．
【答案】（1）解：如图，即为所求，
故答案为：

（2）解：的面积
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】(1)利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点 即可；
(2)把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可.
21．（2025七下·长沙期末） 立定跳远是初中体育课程中的一项，为了解七年级学生立定跳远成绩的情况，某校体育组随机抽取了部分学生的跳远成绩（单位：米）进行处理分析，制成频数分布图表如下：
成绩/米 频数 百分数
6
30
48
18
6
根据表中提供的信息解答下列问题：
（1）　 　，　 　；
（2）补全频数分布直方图；
（3）已知七年级有800名学生参加立定跳远测试，请估计该年级立定跳远成绩为优秀（1.7米以上）的人数．
【答案】（1）12；
（2）解：补全直方图如下：
（3）解： (名)，
答：估计该年级立定跳远成绩为优秀(1.7米以上)的人数约为160名.
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：(1)被调查的总人数为 (人)，
则 40%，
故答案为： 12， 40%；
【分析】(1)先根据第1组频数及其所占百分比可得被调查的总人数，再根据百分比=频数÷总人数×100%求解即可；
(2)根据所求b的值即可补全图形；
(3)总人数乘以样本中成绩为优秀的人数所占比例即可.
22．（2025七下·长沙期末） 请完成下面的推理过程，并在括号里填写推理依据：
已知，，与平行吗？为什么？
解：，理由如下：
∵（已知），
∴（　　），
即 _▲ °，
又∵，且，
∴ _▲ = _▲ （　　），
∴（　　）．
【答案】垂直的定义；90； 等角的余角相等；同位角相等，两直线平行
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解： 理由如下：
(垂直的定义)，
(已知)，且
(等角的余角相等)，
(同位角相等，两直线平行)。
故答案为：垂直的定义；90； 等角的余角相等；同位角相等，两直线平行.
【分析】根据平行线的判定与性质求解即可.
23．（2025七下·长沙期末） 如图，点M是中边上一点，过点M作交于点N，点D是延长线上一点，平分，且．
（1）试说明：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明： ∵MN∥AC，
∴∠AMN+∠A=180°，
∵∠AMN+∠ACE = 180°，
∴∠A=∠ACE，
∴CE∥AB
（2）解：由 (1) 知∠A=∠ACE，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD=∠ACE，
∵∠ACD=∠ECD+∠ACE=∠A+∠B，
∴∠ECD=∠ACE=∠B=65°，
∴∠A=∠ACE=65°，
∵MN∥AC，
∴∠AMN+∠A=180°，
∴∠AMN =180°-65°=115°.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】(1)根据平行线的性质得∠AMN+∠A =180°， 由∠AMN+∠ACE=180°可得∠A =∠ACE， 根据平行线的判定即可得CE∥AB；
(2)由 (1) 知∠A =∠ACE， 由CE平分∠ACD以及三角形外角的性质得∠ECD=∠ACE=∠B=65°， 则∠A =∠ACE=65°， 根据平行线的性质即可得∠AMN的度数.
24．（2025七下·长沙期末） 民以食为天，保障粮食安全始终是治国安邦的头等大事．某现代化农业园区积极响应“藏粮于地、藏粮于技”战略，计划投入专项资金引入新型农机设备，以此提升粮食生产效率与规模．
（1）已知购进1台智能播种机与1台自动化收割机总计需要20万元，而购进2台智能播种机和3台自动化收割机共需55万元．那么，购进1台智能播种机和1台自动化收割机分别需要多少资金呢？
（2）该农业园区规划购进这两种农机设备共10台，且资金投入需控制在95万元到120万元之间（包含95万元与120万元）．在满足预算与生产需求的前提下，有哪几种可行的采购方案呢？
【答案】（1）解：设购进1台智能播种机需要x万元，1台自动化收割机需要y万元，
根据题意得： 解得：
答：购进1台智能播种机需要5万元，1台自动化收割机需要15万元；
（2）解：设购进m台智能播种机，则购进( 台自动化收割机，
根据题意得：
解得：
又∵m， )均为正整数，
∴m可以为3， 4， 5.
答：共有3种可行的采购方案，方案1：购进3台智能播种机，7台自动化收割机；方案2：购进4台智能播种机，6台自动化收割机；方案3：购进5台智能播种机，5台自动化收割机.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】(1)设购进1台智能播种机需要x万元，1台自动化收割机需要y万元，根据“购进1台智能播种机与1台自动化收割机总计需要20万元，购进2台智能播种机和3台自动化收割机共需55万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购进m台智能播种机，则购进(10-m)台自动化收割机，根据资金投入需控制在95万元到120万元之间 (包含95万元与120万元)，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m， 均为正整数，即可得出各采购方案.
25．（2025七下·长沙期末） 定义：不妨约定，在平而直角坐标系中，，，则叫作的“郡点”，且把数值叫作的“郡值”．
（1）若是，的“郡点”，则　 　，　 　，的“郡值”为　 　；
（2）若是，的“郡点”，且M为的“郡值”，且无论为何值，等式“”恒成立，求k，t的值；
（3）若是，的“郡点”，且的“郡值”．若关于x的方程的解在关于x的不等式组范围内，且所有符合条件的正整数n之和为9，求m的取值范围．
【答案】（1）；；
（2）解：由“郡点”的定义得x+y+2=6(a+1)，-2+(-x+2y)=-6a，
解得x=6a+2，y=2，
又∵M为的“郡值”，
∴M=2(x+y)-2(-x+2y)=4x-2y=4(6a+2)-4=24a+4，
∴，
即，
∵ 无论为何值，等式恒成立，
∴6k+24=0，-2k+4t-4=0，
解得k=-4，t=-1；
（3）解：由“郡点”的定义得a+2+b=a+3，2b+a-1=a+1，解得b=1，
又∵的“郡值”，
∴b(a+2)+2b(a-1)=6，
解得a=2，
解方程得x=，
解不等式组得b+m-n≤x≤，即1+m-n≤x≤，
∴1+m-n≤≤，
解得，
又∵ 所有符合条件的正整数n之和为9，
∴正整数为2，3，4；
∴，
解得.
【知识点】解一元一次不等式组；二元一次方程（组）的新定义问题；解系数含参的一元一次方程；不等式组和二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【解答】解：（1）3+b=6×2，a+2=6×1，
解得a=4，b=9，
∴“郡值”为3b+2a=27+8=35，
故答案为：4，9，35；
【分析】（1）根据新定义的运算解答即可；
（2）根据“郡点”求出x=6a+2，y=2，根据“郡值”求出M=24a+4，代入方程整理为，根据恒成立得到6k+24=0，-2k+4t-4=0，求出k和t的值即可；
（3）根据“郡点”和“郡值”求出a=2，b=1，然后解方程和不等式得到1+m-n≤x≤，即可得到，根据正整数n的和为9可以得到，求出m的取值范围即可.
26．（2025七下·长沙期末） 如图1，，直线与交于点E，与交于点F，M是上方一点且平分，N是上一点，连接，，交于点H．
（1）若，，求度数；
（2）如图2，过点N作的平分线交直线于点J，交直线于点K．试探究与之间的数量关系；
（3）如图3，连接，若，，将线段绕着点F以每秒的速度逆时针旋转，将线段绕着点E以每秒的速度顺时针旋转，线段旋转一周停止，设运动时间为t秒．经过多长时间线段与线段平行，请直接写出此时的时间t．
【答案】（1）解：∵PE平分∠MEB， ∠PEB=58°，
∴∠MEB=2∠PEB=116°，
∵∠NHE=109°，
∴∠MHE=180°-109°= 71°，
∴∠M =∠MEB-∠MHE=116°-71°= 45°；
（2）解：2∠NKF+∠M =180°， 理由如下：
∵PE平分∠MEB，
∴设∠MEP =∠PEB=α，
∴∠MEB=2α， ∠MEH =180°-2α，
∵NJ平分∠CNM，
∴设∠CNJ =∠MNJ=β，
∴∠KNF=∠CNJ =β， ∠MNF=180°-2β，
∵AB∥CD，
∴∠MHE=∠MNF=180°-2β， ∠PEB=∠PFD=α=∠NFK，
∴∠M =180°-(180°-2α)-(180°-2β) = 2α+2β-180°， ∠NKF= 180°-α-β，
∴2∠NKF+∠M =180°；
（3）解：如图，
∵∠HEM = 40°，
∴∠MEB = 140°，
∵PE平分∠MEB，
=180°-70°= 110°，
∵AB∥CD，
∴∠PFD=70°，
旋转后如图所示：
，
解得：
如图，作射线ME交NH于T，
同理
∵ME∥HF，
，解得：
如图，
同理：
∵ME∥HF，
解得：
综上：t的值为 或 或
【知识点】旋转的性质；一元一次方程的实际应用-行程问题；角平分线的概念；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】(1)求解∠MEB=2∠PEB=116°， ∠MHE=71°， 再结合三角形的外角的性质可得答案；
(2)设∠MEP =∠PEB=α， 可得∠MEB=2α， ∠MEH =180°-2α， 设∠CNJ =∠MNJ =β， 可得∠KNF=∠CNJ =β， ∠MNF =180°﹣2β， 由AB∥CD，可得∠MHE=∠MNF=180°-2β，∠PEB=∠PFD=α=∠NFK，∠M =2α+2β-180°， ∠NKF=180°-α-β进一步可得答案；
(3)分别画出旋转时两线平行的对应位置，再结合角的和差与平行线的性质建立方程求解即可.
1 / 1湖南省长沙市2024-2025学年七年级下学期6月期末数学试题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项）
1．（2025七下·长沙期末）的相反数是（　　）
A．2 B．-2 C．4 D．-4
2．（2025七下·长沙期末） 下列调查中，适合抽样调查的是（　　）
A．了解某校七年（1）班学生校服的尺码情况
B．检测一批LED灯的使用寿命
C．某公司对参加招聘的人员进行面试
D．检查锦州湾机场搭乘某航班的旅客是否携带违禁物品
3．（2025七下·长沙期末） 如图，点在的延长线上，下列条件中，能判断的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025七下·长沙期末）若是关于的二元一次方程的一组解，则的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2025七下·长沙期末）若，则下列不等式正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025七下·长沙期末）估计的值应在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
7．（2025七下·长沙期末） 在平面直角坐标系中，第一象限内的点距离轴个单位长度，则的值为（　　）
A． B．或 C． D．
8．（2025七下·长沙期末） 现用186张铁皮做盒子，每张铁皮可做8个盒身或15个盒底，且一个盒身与两个盒底配成一个盒子．设用x张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底，则可得方程组（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025七下·长沙期末）如图，面积为2的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为．若，则数轴上点E所表示的数为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025七下·长沙期末） 对于，符号 表示不大于的最大整数，如 ，，则满足关系式的的整数值的个数是（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（2025七下·长沙期末）3的算术平方根为　 　。
12．（2025七下·长沙期末） 已知、满足方程组，则的值为　 　．
13．（2025七下·长沙期末）某校有3600名学生，随机抽取了200名学生进行体重调查．在这个问题中，样本容量是　 　．
14．（2025七下·长沙期末）如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若，则等于　 　度．
15．（2025七下·长沙期末） 如图，A和B的坐标为（2，0），（0，1），若将线段AB平移至，则ab的值为　 　．
16．（2025七下·长沙期末） 已知关于x的不等式组有解，则实数a的取值范围是　 　．
三、解答题（本大题共10个小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025七下·长沙期末） 计算：．
18．（2025七下·长沙期末） 解方程组：
19．（2025七下·长沙期末） 解不等式（组）：
（1）
（2）
20．（2025七下·长沙期末） 三角形ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，将图中三角形ABC向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到三角形．
（1）请在图中画出三角形，并写出下列各点的坐标： _▲ ，B' _▲ ；
（2）计算三角形的面积．
21．（2025七下·长沙期末） 立定跳远是初中体育课程中的一项，为了解七年级学生立定跳远成绩的情况，某校体育组随机抽取了部分学生的跳远成绩（单位：米）进行处理分析，制成频数分布图表如下：
成绩/米 频数 百分数
6
30
48
18
6
根据表中提供的信息解答下列问题：
（1）　 　，　 　；
（2）补全频数分布直方图；
（3）已知七年级有800名学生参加立定跳远测试，请估计该年级立定跳远成绩为优秀（1.7米以上）的人数．
22．（2025七下·长沙期末） 请完成下面的推理过程，并在括号里填写推理依据：
已知，，与平行吗？为什么？
解：，理由如下：
∵（已知），
∴（　　），
即 _▲ °，
又∵，且，
∴ _▲ = _▲ （　　），
∴（　　）．
23．（2025七下·长沙期末） 如图，点M是中边上一点，过点M作交于点N，点D是延长线上一点，平分，且．
（1）试说明：；
（2）若，求的度数．
24．（2025七下·长沙期末） 民以食为天，保障粮食安全始终是治国安邦的头等大事．某现代化农业园区积极响应“藏粮于地、藏粮于技”战略，计划投入专项资金引入新型农机设备，以此提升粮食生产效率与规模．
（1）已知购进1台智能播种机与1台自动化收割机总计需要20万元，而购进2台智能播种机和3台自动化收割机共需55万元．那么，购进1台智能播种机和1台自动化收割机分别需要多少资金呢？
（2）该农业园区规划购进这两种农机设备共10台，且资金投入需控制在95万元到120万元之间（包含95万元与120万元）．在满足预算与生产需求的前提下，有哪几种可行的采购方案呢？
25．（2025七下·长沙期末） 定义：不妨约定，在平而直角坐标系中，，，则叫作的“郡点”，且把数值叫作的“郡值”．
（1）若是，的“郡点”，则　 　，　 　，的“郡值”为　 　；
（2）若是，的“郡点”，且M为的“郡值”，且无论为何值，等式“”恒成立，求k，t的值；
（3）若是，的“郡点”，且的“郡值”．若关于x的方程的解在关于x的不等式组范围内，且所有符合条件的正整数n之和为9，求m的取值范围．
26．（2025七下·长沙期末） 如图1，，直线与交于点E，与交于点F，M是上方一点且平分，N是上一点，连接，，交于点H．
（1）若，，求度数；
（2）如图2，过点N作的平分线交直线于点J，交直线于点K．试探究与之间的数量关系；
（3）如图3，连接，若，，将线段绕着点F以每秒的速度逆时针旋转，将线段绕着点E以每秒的速度顺时针旋转，线段旋转一周停止，设运动时间为t秒．经过多长时间线段与线段平行，请直接写出此时的时间t．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】实数的相反数
【解析】【解答】解： 的相反数是
故答案为： B.
【分析】根据相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”，可得答案.
2．【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、了解某校七年 (1)班学生校服的尺码情况，适宜采用全面调查方式，不符合题意；
B、检测一批LED灯的使用寿命，适宜采用抽样调查方式，符合题意；
C、某公司对参加招聘的人员进行面试，适宜采用全面调查方式，不符合题意；
D、检查锦州湾机场搭乘某航班的旅客是否携带违禁物品适宜采用全面调查方式，不符合题意；
故答案为： B.
【分析】根据全面调查与抽样调查的特点“具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查”逐一判断即可解答.
3．【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：A、由内错角相等，两直线平行判定AB∥CD，不能判定BC∥AD， 故A不符合题意；
B、由内错角相等，两直线平行判定BC∥AD，故B符合题意；
C、由同旁内角互补，两直线平行判定AB∥CD，不能判定BC∥AD，故C不符合题意；
D、由同位角相等，两直线平行判定AB∥CD，不能判定BC∥AD，故D不符合题意.
故答案为： B.
【分析】由平行线的判定方法，即可判断.
4．【答案】C
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：将代入得
∴
故答案为：C．
【分析】将方程的解代入方程，得到关于a的方程，解方程即可．
5．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵a∴a+2-3b.
故答案为：D.
【分析】不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；
不等式两边同时乘（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；
不等式两边同时乘（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，据此判断即可.
6．【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，且
∴
∴，
故选：B.
【分析】先估算的大小，然后解答即可.
7．【答案】C
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵点P(a，1)距离y轴5个单位长度，
解得：(
∵点P(a，1)在第一象限，
故答案为： C.
【分析】根据点到y轴的距离是这个点到y轴的距离等于它的横坐标的绝对值，列出关于a的方程，解方程求出a，再根据点P的位置，确定a的值即可.
8．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设用x张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底，
由题意得，
故答案为： B.
【分析】设用x张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底，根据共有186张铁皮，一个盒身与两个盒底配成一个盒子，列方程组.
9．【答案】A
【知识点】实数在数轴上表示
【解析】【解答】解：∵面积为2的正方形，
∴，
∴，
∴数轴上点E所表示的数为；
故答案为：A．
【分析】根据正方形的面积等于边长的平方可求出的长，由作图可得AE=AD，然后根据数轴上点所表示的数的特征可求解．
10．【答案】B
【知识点】不等式组和一元一次方程的综合应用
【解析】【解答】解：
解得：
整数有7， 8， 共2个，
故选： B.
【分析】根据已知得出 求出x的范围，即可得出答案.
11．【答案】
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵（ ）2=3，
∴3的算术平方根为 ．
故答案为： ．
【分析】利用算术平方根的定义计算即可得到结果．
12．【答案】6
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
把①代入②，得 去括号，得
解得：
把 代入①，得
故答案为：6.
【分析】先利用代入消元法解二元一次方程组，求出x，y的值，然后代入 xy进行计算即可.
13．【答案】200
【知识点】总体、个体、样本、样本容量
【解析】【解答】解：由题意得样本容量为200，
故答案为：200
【分析】直接根据样本容量的概念进行求解。
14．【答案】55
【知识点】垂线的概念；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图：
∵，
∴，
∵直尺两边平行，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据直角定义求出，然后根据平行线的性质求出∠2解答即可．
15．【答案】1
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：由B 点平移前后的纵坐标分别为1，2，可得B点向上平移了1个单位，由A点平移前后的横坐标分别为2，3，可得A点向右平移了1个单位，由此得线段AB的平移过程是：向上平移1个单位，再向右平移1个单位，所以点A、B均按此规律平移，由此可得 故
故答案为：A.
【分析】直接利用平移点的变化规律“左减右加，上加下减”求解即可.
16．【答案】
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：
由①得：
由②得：
∵关于x的不等式组 有解，
故答案为：
【分析】先求出各个不等式的解集，再根据关于x的不等式组 有解，列出关于a的不等式，解不等式即可.
17．【答案】解：原式：
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】利用有理数的乘方法则，算术平方根及立方根的定义，绝对值的性质计算后再算加减即可.
18．【答案】解： 得：
解得：
把 代入①得：
则方程组的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】方程组利用加减消元法求出解即可.
19．【答案】（1）解；2(x-2)+1≤3x-2，
2x-4+1≤3x-2，
2x-3≤3x-2，
2x-3x≤3-2，
-x≤1，
x≥-1；
（2）解：
解不等式①得：x<2.5，
解不等式②得： x≤1，
∴不等式组的解集为：x≤1.
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】(1)按照解一元一次不等式的一般步骤进行解答即可；
(2)先按照解一元一次不等式的一般步骤求出各个不等式的解集，然后根据判断不等式组解集的口诀进行判断即可.
20．【答案】（1）解：如图，即为所求，
故答案为：

（2）解：的面积
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】(1)利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点 即可；
(2)把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可.
21．【答案】（1）12；
（2）解：补全直方图如下：
（3）解： (名)，
答：估计该年级立定跳远成绩为优秀(1.7米以上)的人数约为160名.
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：(1)被调查的总人数为 (人)，
则 40%，
故答案为： 12， 40%；
【分析】(1)先根据第1组频数及其所占百分比可得被调查的总人数，再根据百分比=频数÷总人数×100%求解即可；
(2)根据所求b的值即可补全图形；
(3)总人数乘以样本中成绩为优秀的人数所占比例即可.
22．【答案】垂直的定义；90； 等角的余角相等；同位角相等，两直线平行
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解： 理由如下：
(垂直的定义)，
(已知)，且
(等角的余角相等)，
(同位角相等，两直线平行)。
故答案为：垂直的定义；90； 等角的余角相等；同位角相等，两直线平行.
【分析】根据平行线的判定与性质求解即可.
23．【答案】（1）证明： ∵MN∥AC，
∴∠AMN+∠A=180°，
∵∠AMN+∠ACE = 180°，
∴∠A=∠ACE，
∴CE∥AB
（2）解：由 (1) 知∠A=∠ACE，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD=∠ACE，
∵∠ACD=∠ECD+∠ACE=∠A+∠B，
∴∠ECD=∠ACE=∠B=65°，
∴∠A=∠ACE=65°，
∵MN∥AC，
∴∠AMN+∠A=180°，
∴∠AMN =180°-65°=115°.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】(1)根据平行线的性质得∠AMN+∠A =180°， 由∠AMN+∠ACE=180°可得∠A =∠ACE， 根据平行线的判定即可得CE∥AB；
(2)由 (1) 知∠A =∠ACE， 由CE平分∠ACD以及三角形外角的性质得∠ECD=∠ACE=∠B=65°， 则∠A =∠ACE=65°， 根据平行线的性质即可得∠AMN的度数.
24．【答案】（1）解：设购进1台智能播种机需要x万元，1台自动化收割机需要y万元，
根据题意得： 解得：
答：购进1台智能播种机需要5万元，1台自动化收割机需要15万元；
（2）解：设购进m台智能播种机，则购进( 台自动化收割机，
根据题意得：
解得：
又∵m， )均为正整数，
∴m可以为3， 4， 5.
答：共有3种可行的采购方案，方案1：购进3台智能播种机，7台自动化收割机；方案2：购进4台智能播种机，6台自动化收割机；方案3：购进5台智能播种机，5台自动化收割机.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】(1)设购进1台智能播种机需要x万元，1台自动化收割机需要y万元，根据“购进1台智能播种机与1台自动化收割机总计需要20万元，购进2台智能播种机和3台自动化收割机共需55万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购进m台智能播种机，则购进(10-m)台自动化收割机，根据资金投入需控制在95万元到120万元之间 (包含95万元与120万元)，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m， 均为正整数，即可得出各采购方案.
25．【答案】（1）；；
（2）解：由“郡点”的定义得x+y+2=6(a+1)，-2+(-x+2y)=-6a，
解得x=6a+2，y=2，
又∵M为的“郡值”，
∴M=2(x+y)-2(-x+2y)=4x-2y=4(6a+2)-4=24a+4，
∴，
即，
∵ 无论为何值，等式恒成立，
∴6k+24=0，-2k+4t-4=0，
解得k=-4，t=-1；
（3）解：由“郡点”的定义得a+2+b=a+3，2b+a-1=a+1，解得b=1，
又∵的“郡值”，
∴b(a+2)+2b(a-1)=6，
解得a=2，
解方程得x=，
解不等式组得b+m-n≤x≤，即1+m-n≤x≤，
∴1+m-n≤≤，
解得，
又∵ 所有符合条件的正整数n之和为9，
∴正整数为2，3，4；
∴，
解得.
【知识点】解一元一次不等式组；二元一次方程（组）的新定义问题；解系数含参的一元一次方程；不等式组和二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【解答】解：（1）3+b=6×2，a+2=6×1，
解得a=4，b=9，
∴“郡值”为3b+2a=27+8=35，
故答案为：4，9，35；
【分析】（1）根据新定义的运算解答即可；
（2）根据“郡点”求出x=6a+2，y=2，根据“郡值”求出M=24a+4，代入方程整理为，根据恒成立得到6k+24=0，-2k+4t-4=0，求出k和t的值即可；
（3）根据“郡点”和“郡值”求出a=2，b=1，然后解方程和不等式得到1+m-n≤x≤，即可得到，根据正整数n的和为9可以得到，求出m的取值范围即可.
26．【答案】（1）解：∵PE平分∠MEB， ∠PEB=58°，
∴∠MEB=2∠PEB=116°，
∵∠NHE=109°，
∴∠MHE=180°-109°= 71°，
∴∠M =∠MEB-∠MHE=116°-71°= 45°；
（2）解：2∠NKF+∠M =180°， 理由如下：
∵PE平分∠MEB，
∴设∠MEP =∠PEB=α，
∴∠MEB=2α， ∠MEH =180°-2α，
∵NJ平分∠CNM，
∴设∠CNJ =∠MNJ=β，
∴∠KNF=∠CNJ =β， ∠MNF=180°-2β，
∵AB∥CD，
∴∠MHE=∠MNF=180°-2β， ∠PEB=∠PFD=α=∠NFK，
∴∠M =180°-(180°-2α)-(180°-2β) = 2α+2β-180°， ∠NKF= 180°-α-β，
∴2∠NKF+∠M =180°；
（3）解：如图，
∵∠HEM = 40°，
∴∠MEB = 140°，
∵PE平分∠MEB，
=180°-70°= 110°，
∵AB∥CD，
∴∠PFD=70°，
旋转后如图所示：
，
解得：
如图，作射线ME交NH于T，
同理
∵ME∥HF，
，解得：
如图，
同理：
∵ME∥HF，
解得：
综上：t的值为 或 或
【知识点】旋转的性质；一元一次方程的实际应用-行程问题；角平分线的概念；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】(1)求解∠MEB=2∠PEB=116°， ∠MHE=71°， 再结合三角形的外角的性质可得答案；
(2)设∠MEP =∠PEB=α， 可得∠MEB=2α， ∠MEH =180°-2α， 设∠CNJ =∠MNJ =β， 可得∠KNF=∠CNJ =β， ∠MNF =180°﹣2β， 由AB∥CD，可得∠MHE=∠MNF=180°-2β，∠PEB=∠PFD=α=∠NFK，∠M =2α+2β-180°， ∠NKF=180°-α-β进一步可得答案；
(3)分别画出旋转时两线平行的对应位置，再结合角的和差与平行线的性质建立方程求解即可.
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