资源简介

浙江省宁波市象山县文峰学校2024-2025学年七年级下学期竞赛数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1．（2025七下·象山竞赛） 2025+2024-2023-2022+2021+2020-2019-2018++5+4-3-2+1=（　　）
A．2025 B．2024 C．1 D．0
2．（2025七下·象山竞赛）已知4x=18，8y=3，则 52x-6y的值为（　　）
A．5 B．10 C．25 D．50
3．（2025七下·象山竞赛）已知，若，均为整数，则的值不可能为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025七下·象山竞赛）某市为“加快推进污水管网建设，着力提升居民生活品质”，需要铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成这一任务，设原计划每天铺设x米管道，则根据题意，下列方程中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025七下·象山竞赛） 已知a-b=b-c=2，a2+b+c2=1， 则ab+bc+ac=（　　)
A．-22 B．-11 C．7 D．11
6．（2025七下·象山竞赛）光线经过不同介质时，会发生折射，平行的光线经折射后仍是平行的光线，如图，有两束平行光线在油和水中先后发生折射，若∠1+∠2=150°则∠3-∠4的度数为（　　）
A．15° B．30° C．60° D．120°
7．（2025七下·象山竞赛） 已知关于x，y的方程组给出下列结论：
①当a=1时，方程组的解也是x+y=2a+1的解；②无论ɑ取何值，x，y的值不可能是互为相反数；③x，y都为自然数的解有4对：④若2x+y=8，则a=2.正确的有几个（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2025七下·象山竞赛）把两张正方形纸片按如图1所示分别裁剪成A和B两部分（B为长方形），再将裁好的四张纸片不重叠地放入图2所示的正方形中，记一张A纸片的面积为，一张B纸片的面积为，若，则图2中阴影部分面积为（　　）
A．10 B．12 C．14 D．16
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
9．（2025七下·象山竞赛）已知，则分式为　 　．
10．（2025七下·象山竞赛）若，则　 　．
11．（2025七下·象山竞赛）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题，这道题大意是：快马每天行320里，慢马每天行200里，慢马先行10天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意得方程：　 　．
12．（2025七下·象山竞赛） 若关于 x，y 的方程组解为. 则关于 x，y 的方程组的解是　 　.
13．（2025七下·象山竞赛） 一辆车的计程车速度为55km/h，出发时它的里程表上的里程数为，n小时（n是整数）行程结束时里程表上的里程数是为，其中，，　 　.
14．（2025七下·象山竞赛）如图，直线AB//CD，M，N分别为直线AB，CD上一点，且满足∠BMN=54°，P是射线MB上的一个动点（不包括端点M），将三角形 PMN沿 PN折叠，使顶点 M落在点Q处，若∠DNQ=∠PND，则∠PND的度数为　 　.
三、解答题（共4题，第15题16分；第16题10分；第17题12分；第18题12分）
15．（2025七下·象山竞赛）
（1）解方程：；
（2）解方程组：；
（3）若 x， y>0，解方程组：；
（4）因式分解：.
16．（2025七下·象山竞赛）对于多项式x2+2x-3，如果我们把x=1代入此多项式，发现x2+2x-3=0，这是可以确定多项式中有因式（x-1）（注：把x=a代入多项式能使多项式的值为0，则多项式含有因式（x-a），于是我们可以把多项式写成：x2+2x-3=（x-1）（mx+n）.
（1） 求式子中m， n的值：
（2）以上这种因式分解的方法叫试根法，常用来分解一些比较复杂的多项式，请你尝试用试根法分解多项式2x2+5x+3：
（3）小东猜想：如果将x=a代入多项式x3-8能使x3-8=0，那么x3-8就一定能分解成如下形式（x-a）（bx+cx+d）.你认为小东的猜想是否正确？若正确，请直接写出a、b、c、d的值：若不正确，请说明理由，
17．（2025七下·象山竞赛）根据以下素材，探索完成任务.
设计奖项设置和奖品采购的方案
某学校举办七年级数学知识竞赛，分别设置一等奖、二等奖和三等奖若干名，需考虑获奖人数以及奖品购买方案.
素材1 已知购买2盒水笔和1包笔记本需要320元，3盒水笔和2包笔记本需要520元.
素材2 学校准备出资880元购买水笔和笔记本两种奖品
素材3 （1）1盒水笔有12支，1包笔记本有16本， （2）计划设置一等奖a人，二等奖30人，三等奖b人，且a<30问题解决
任务1 确定单价 求一盒水笔和一包笔记本各多少元
任务2 确定购买数量 将880元全部用完，可以购买水笔多少盆？笔记本多少包？（不可全买水笔或全买笔记本）
任务3 确定购买人数 任务2中购买的奖品刚好全部发完，则a= ▲ b= ▲ .
18．（2025七下·象山竞赛） 如图，点E，F分别在直线AB，CD上，P为AB，CD之间一点，连结PE，过点P作PG//EF，交CD于点G， ∠CGP=∠BEF.
（1）如图1，求证：AB//CD；
（2）如图2，EF平分∠PEB，H为线段GF上一点，连结PH.
①若∠FHP+∠PEF=200°求∠HPG的度数；
②如图3，HO平分∠CHP，交PG于点Q.若∠HPE=α，直接写出∠HQP的度数为 （结果用含α的式子表示）
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的加、减混合运算
【解析】【解答】解：原式
故答案为：A.
【分析】将后四项每四项分为一组，每组的计算结果都是0，后2004项的计算结果都是0，剩下第一项计，算解答即可.
2．【答案】A
【知识点】幂的乘方运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴，
即 ，
∴，
∴，
∴.
故选：A.
【分析】先根据幂的乘方得到，然后整体代入计算解答即可.
3．【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】
得a+b=c，ab=-8，
a，b均为整数，
a和b是-8的因数，
则a的值可以是-1，-2，-4，1，2，4，8，
而对应b的值是8，4，2，-8，-4，-2，-1，
则c=a+b=-1+8=7
或-2+4=2
或-4+2=-2
或1+（-8）=-7
所以，c的值可以是，不可能是4
故答案是A
【分析】本题考查多项式相乘法则：多项式乘以多项式，先用第一个多项式的每一项与第二个多项式的每一项相乘， 再把所得的积相加。用公式表示：（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd。根据每一项对应相等，得到c和a、b的数量关系即可。
4．【答案】C
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：∵实际施工时每天的工效比原计划增加25%，且原计划每天铺设x米管道，
∴实际每天铺设( 米管道.
根据题意得：
故答案为： C.
【分析】根据实际及原计划工作效率间的关系，可得出实际每天铺设 米管道，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前30天完成这一任务，即可得出关于x的分式方程，此题得解.
5．【答案】B
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：∵a-b=b-c=2，
∴(a-b)2=(b-c)2=4，a-c=4，
∴a2-2ab+b=4，
b2-2bc+b2=4，
a2-2ac+c2=16，
∴(2a2+b2+c)-2(ab+bc+ac)=4+4+16，
∵a2+b+c2=l，
∴2(ab+bc+ac)=-22，
∴ab+bc+ac=-11，
故答案为：B.
【分析】由题可知， 可得 = 4， 继而 16， 将 代入， 即可求出结果.
6．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵CD∥EF，
∴∠2+∠5 =180°，
∴∠5 =180°-∠2，
∵CE∥DF，
∴∠3=∠5=180°-∠2，
∵AB∥CD，
∴∠4=∠6，
∵AC∥BD，
∴∠6=∠1，
∴∠4=∠1，
∴∠3-∠4 =180°-∠2-∠1 =180°-(∠1+∠2)= 180°-150°= 30°.
故答案为：B.
【分析】由平行线的性质推出∠2+∠5 =180°， ∠4 =∠1，于是得到∠3-∠4=180°-∠2-∠1 解答即可.
7．【答案】D
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：①将代入原方程组，得解得
将，，代入方程的左右两边，左边=3，右边=3，
当时，方程组的解也是的解；
② 解原方程组，得
∴x+y=3，
无论ɑ取何值，x，y的值不可能是互为相反数；
③∵x+y=2a+1+2-2a=3
为自然数的解有，，，.
④∵2x+y=8， ∴2（2a+l）+2-2a=8，解得a=2.
故答案为：D.
【分析】①根据消元法解二元一次方程组，然后将解代入方程 即可求解；②根据消元法解二元一次方程组，用含有字母的式子表示x、y，再根据互为相反数的两个数相加为0即可求解；③根据试值法求二元一次方程) 的自然数解即可得结论；④根据整体代入的方法即可求解.
8．【答案】C
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：将B向左推，可得如图，
设图1正方形纸片边长为a，B部分的宽为b，长为c，
根据图2是正方形，得，
即，
由图（2）两个A的位置，可得即，
∴图2正方形边长为
∴，
∵
∴
∴
∴
故选：C．
【分析】设图1正方形纸片边长为a，B部分的宽为b，长为c，即可得出和，再结合题意得到，然后代入计算解题．
9．【答案】
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵，
，即，
，
故答案为：．
【分析】根据等式变形可得，然后整体代入计算解答即可．
10．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：将两式相加，
可得：，
即：，
解得：，
故答案为：．
【分析】把两式相加，根据完全平方公式解答即可．
11．【答案】
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设快马x天可追上慢马，
由题意得，，
故答案为：．
【分析】
本题主要考查了一元一次方程的实际应用， 设快马x天可追上慢马 ，说明快马x天走的路程=慢马（x+10）天走的路程，路程速度时间，据此列出方程即可．
12．【答案】
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：已知关于x，y的方程组的解为，那么将关于x，y的方程组变形得，则，，
解得：，，
即该方程组的解为：，
【分析】结合已知条件，观察两个方程组的关系，根据二元一次方程组解的定义即可求得答案.
13．【答案】37
【知识点】整式的混合运算；质数与合数
【解析】【解答】解：由题意知，，
∵，
∴5，9互质，
∴是9的倍数，是5的倍数，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴.
故答案为：37.
【分析】先判断出 根据5好人9互质，判断出 代入 进而求出a， b，c的值， 即可得出结论.
14．【答案】56°或72°
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：①当点 Q 在 AB与 CD之间，
由折叠可得：，
∵，
∴；
∵，
∴；
∴，，，
∴，
解得：；
②当点 Q 在 CD下方时，如图，
由折叠可得：，
∵，
∴∠BMN+∠MND=180°
∵∠BMN=54°
∴∠MND=180°-∠BMN=126°
∵∠PNM=∠DNM-∠PND=126°-∠PND，∠PNQ=∠PND+∠DNQ， ∠DNQ=∠PND，
∴126°∠PND= ∠PND+∠PND，
解得：∠PND=56
综上所述：∠PND的度数为56或72°
故答案为：56°或72°.
【分析】
分两种情况：①点Q在AB与CD之间；②点Q在CD下方，结合折叠性质可得由平行线的性质可求得结合 从而可求解.
15．【答案】（1）解：
16(x-2)=4(x+1)，
16x-32=4x+4，
16x-4x=32+4，
12x=36，
x =3.
检验： 当x = 3时， (x+1)(x-2)≠0，∴x=3是原分式方程的解.
（2）解：方程组化简为：
②-①得： 7y=14，
解得： y=2，
把y=2代入①得： x=5，
∴方程组的解为： ；
（3）解：∵xy=1，
∴2xy=2， - 2xy= -2，
即
，，，
解方程组①得：
解方程组②得：
解方程组③得：
解方程组④得：
∴方程组的解为 或
（4）解：令 则
【知识点】解分式方程；解二元二次方程组；倒数法解分式方程；因式分解﹣换元法
【解析】【分析】(1)将分式方程去分母化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，再进行检验即可.
(2)先将方程组化简为： 再利用加减消元法求解即可.
(3)根据题意可得 则
进而可得二元一次方程组方程组，利用加减消元法分别求解即可.
(4)令 则 可变形为 ，然后分解因式即可.
16．【答案】（1）解：∵(x-1)(mx+n)=mx2+(n-m)x-n=x2+2x-3，
∴m=1， n=3；
（2）解：把x=-1代入多项式2x2+5x+3=0，
则(x+1)(ax+b)=ax2+(a+b)x+b=2x2+5x+3，
a=2，b=3，
因此 2x2+5x+3=(x+1)(2x+3)
（3）解：∵将x=2代入多项式x3-8能使x3-8=0，
∴(x-2)(bx2+cx+d)=bx3+(c-2b)x2+(d-2c)x-2d= x3-8，
∴b=1， c=2， d=4，
∴a=2， b=1，c=2， d=4.
【知识点】整式的混合运算；因式分解的应用
【解析】【分析】(1)把多项式的乘法展开、合并，根据对应系数相等得出答案即可；
(2) 把 1代入多项式 得出 进一步展开对应的出a、b的数值即可；
(3) 将 代入多项式 能使 得出 进一步整理 得出答案即可.
17．【答案】解：（任务 1）设一盒水笔x元， 一包笔记本y元，
由题意得：
解得：
答：一盒水笔120元，一包笔记本80元；
(任务2)设购买水笔m盒，笔记本n包，
由题意得：
整理得：
∵m、 n均为正整数，
或 或
∴有3种购买方案：
①购买水笔2盒，笔记本8包；
②购买水笔4盒，笔记本5包；
③购买水笔6盒，笔记本2包；
答：将880元全部用完，可以购买购买水笔2盒，笔记本8包或水笔4盒，笔记本5包或水笔6盒，笔记本2包；
（任务 3）18， 62.
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】(任务3)由题意可知，共需笔记本为( 本，水笔 支，
方案①中，水笔为： (支)，笔记本为：8 (本) ，
由题意得：
解得： (不符合题意，舍去)；
方案②中，水笔为： (支)，笔记本为：5 (本) ，
由题意得：
解得： 符合题意；
方案③中，水笔为：( (支)，笔记本为：2 (本) ，
由题意得：
解得： (不符合题意， 舍去) ；
综上所述，(
故答案为： 18， 62.
【分析】(1)设一盒水笔x元，一包笔记本y元，根据购买2盒水笔和1包笔记本需要320元，3盒水笔和2包笔记本需要520元.列出二元一次方程组，解方程组即可；(2)设购买水笔m盒，笔记本n包，根据将880元全部用完，列出二元一次方程，求出正整数解即可；(3)由题意可知，共需笔记本为( 本，水笔 支，根据任务2中购买的奖品刚好全部发完，分别列出二元一次方程组，解方程组即可.
18．【答案】（1）证明：∵PG//EF，
∴∠CGP=∠CFE，
∵∠CGP= ∠BEF，
∴∠CFE= ∠BEF，
∴AB //CD；
（2）解：① 平分 ，
，
设 ，则 ，
由（1）知 ，
，
，
，
，
，
，
②依题意，延长 PQ 交 CD 于点 G，如图所示，
则 ，
，
，，
由（2）知 ，
∴∠PGF=∠EPQ，
∵∠HQP=∠PGF+ ∠CHQ，
∴∠HQP=∠EPQ+ ∠CHQ，
∵HQ平分∠CHP，
∴∠CHQ=∠PHQ，
∴∠HQP=∠EPQ+ ∠PHQ=∠HPE+ ∠HPQ+∠PHQ，
∵∠HPQ+∠PHQ=180°-∠HQP，
∴∠HQP=∠HPE+180°-∠HQP，
∴2∠HQP=∠HPE+180°
∵∠HPE=α，
∴2∠HQP=α+180°
∴∠HQP=+90°
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】(1)根据平行线的性质得到∠CGP=∠CFE，进而得到∠CFE= ∠BEF，根据内错角相等，两直线平行证明即可；
(2)①设 ，则 ，即可得到，，进而代入数值计算解答即可；
②延长 PQ 交 CD 于点 G，根据平行得到，，即可得到∠PGF=∠EPQ，根据角平分线得到∠CHQ=∠PHQ，进而得到∠HQP=∠HPE+180°-∠HQP，解答即可.
1 / 1浙江省宁波市象山县文峰学校2024-2025学年七年级下学期竞赛数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1．（2025七下·象山竞赛） 2025+2024-2023-2022+2021+2020-2019-2018++5+4-3-2+1=（　　）
A．2025 B．2024 C．1 D．0
【答案】A
【知识点】有理数的加、减混合运算
【解析】【解答】解：原式
故答案为：A.
【分析】将后四项每四项分为一组，每组的计算结果都是0，后2004项的计算结果都是0，剩下第一项计，算解答即可.
2．（2025七下·象山竞赛）已知4x=18，8y=3，则 52x-6y的值为（　　）
A．5 B．10 C．25 D．50
【答案】A
【知识点】幂的乘方运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴，
即 ，
∴，
∴，
∴.
故选：A.
【分析】先根据幂的乘方得到，然后整体代入计算解答即可.
3．（2025七下·象山竞赛）已知，若，均为整数，则的值不可能为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】
得a+b=c，ab=-8，
a，b均为整数，
a和b是-8的因数，
则a的值可以是-1，-2，-4，1，2，4，8，
而对应b的值是8，4，2，-8，-4，-2，-1，
则c=a+b=-1+8=7
或-2+4=2
或-4+2=-2
或1+（-8）=-7
所以，c的值可以是，不可能是4
故答案是A
【分析】本题考查多项式相乘法则：多项式乘以多项式，先用第一个多项式的每一项与第二个多项式的每一项相乘， 再把所得的积相加。用公式表示：（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd。根据每一项对应相等，得到c和a、b的数量关系即可。
4．（2025七下·象山竞赛）某市为“加快推进污水管网建设，着力提升居民生活品质”，需要铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成这一任务，设原计划每天铺设x米管道，则根据题意，下列方程中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：∵实际施工时每天的工效比原计划增加25%，且原计划每天铺设x米管道，
∴实际每天铺设( 米管道.
根据题意得：
故答案为： C.
【分析】根据实际及原计划工作效率间的关系，可得出实际每天铺设 米管道，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前30天完成这一任务，即可得出关于x的分式方程，此题得解.
5．（2025七下·象山竞赛） 已知a-b=b-c=2，a2+b+c2=1， 则ab+bc+ac=（　　)
A．-22 B．-11 C．7 D．11
【答案】B
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：∵a-b=b-c=2，
∴(a-b)2=(b-c)2=4，a-c=4，
∴a2-2ab+b=4，
b2-2bc+b2=4，
a2-2ac+c2=16，
∴(2a2+b2+c)-2(ab+bc+ac)=4+4+16，
∵a2+b+c2=l，
∴2(ab+bc+ac)=-22，
∴ab+bc+ac=-11，
故答案为：B.
【分析】由题可知， 可得 = 4， 继而 16， 将 代入， 即可求出结果.
6．（2025七下·象山竞赛）光线经过不同介质时，会发生折射，平行的光线经折射后仍是平行的光线，如图，有两束平行光线在油和水中先后发生折射，若∠1+∠2=150°则∠3-∠4的度数为（　　）
A．15° B．30° C．60° D．120°
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵CD∥EF，
∴∠2+∠5 =180°，
∴∠5 =180°-∠2，
∵CE∥DF，
∴∠3=∠5=180°-∠2，
∵AB∥CD，
∴∠4=∠6，
∵AC∥BD，
∴∠6=∠1，
∴∠4=∠1，
∴∠3-∠4 =180°-∠2-∠1 =180°-(∠1+∠2)= 180°-150°= 30°.
故答案为：B.
【分析】由平行线的性质推出∠2+∠5 =180°， ∠4 =∠1，于是得到∠3-∠4=180°-∠2-∠1 解答即可.
7．（2025七下·象山竞赛） 已知关于x，y的方程组给出下列结论：
①当a=1时，方程组的解也是x+y=2a+1的解；②无论ɑ取何值，x，y的值不可能是互为相反数；③x，y都为自然数的解有4对：④若2x+y=8，则a=2.正确的有几个（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：①将代入原方程组，得解得
将，，代入方程的左右两边，左边=3，右边=3，
当时，方程组的解也是的解；
② 解原方程组，得
∴x+y=3，
无论ɑ取何值，x，y的值不可能是互为相反数；
③∵x+y=2a+1+2-2a=3
为自然数的解有，，，.
④∵2x+y=8， ∴2（2a+l）+2-2a=8，解得a=2.
故答案为：D.
【分析】①根据消元法解二元一次方程组，然后将解代入方程 即可求解；②根据消元法解二元一次方程组，用含有字母的式子表示x、y，再根据互为相反数的两个数相加为0即可求解；③根据试值法求二元一次方程) 的自然数解即可得结论；④根据整体代入的方法即可求解.
8．（2025七下·象山竞赛）把两张正方形纸片按如图1所示分别裁剪成A和B两部分（B为长方形），再将裁好的四张纸片不重叠地放入图2所示的正方形中，记一张A纸片的面积为，一张B纸片的面积为，若，则图2中阴影部分面积为（　　）
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】C
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：将B向左推，可得如图，
设图1正方形纸片边长为a，B部分的宽为b，长为c，
根据图2是正方形，得，
即，
由图（2）两个A的位置，可得即，
∴图2正方形边长为
∴，
∵
∴
∴
∴
故选：C．
【分析】设图1正方形纸片边长为a，B部分的宽为b，长为c，即可得出和，再结合题意得到，然后代入计算解题．
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
9．（2025七下·象山竞赛）已知，则分式为　 　．
【答案】
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵，
，即，
，
故答案为：．
【分析】根据等式变形可得，然后整体代入计算解答即可．
10．（2025七下·象山竞赛）若，则　 　．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：将两式相加，
可得：，
即：，
解得：，
故答案为：．
【分析】把两式相加，根据完全平方公式解答即可．
11．（2025七下·象山竞赛）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题，这道题大意是：快马每天行320里，慢马每天行200里，慢马先行10天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意得方程：　 　．
【答案】
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设快马x天可追上慢马，
由题意得，，
故答案为：．
【分析】
本题主要考查了一元一次方程的实际应用， 设快马x天可追上慢马 ，说明快马x天走的路程=慢马（x+10）天走的路程，路程速度时间，据此列出方程即可．
12．（2025七下·象山竞赛） 若关于 x，y 的方程组解为. 则关于 x，y 的方程组的解是　 　.
【答案】
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：已知关于x，y的方程组的解为，那么将关于x，y的方程组变形得，则，，
解得：，，
即该方程组的解为：，
【分析】结合已知条件，观察两个方程组的关系，根据二元一次方程组解的定义即可求得答案.
13．（2025七下·象山竞赛） 一辆车的计程车速度为55km/h，出发时它的里程表上的里程数为，n小时（n是整数）行程结束时里程表上的里程数是为，其中，，　 　.
【答案】37
【知识点】整式的混合运算；质数与合数
【解析】【解答】解：由题意知，，
∵，
∴5，9互质，
∴是9的倍数，是5的倍数，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴.
故答案为：37.
【分析】先判断出 根据5好人9互质，判断出 代入 进而求出a， b，c的值， 即可得出结论.
14．（2025七下·象山竞赛）如图，直线AB//CD，M，N分别为直线AB，CD上一点，且满足∠BMN=54°，P是射线MB上的一个动点（不包括端点M），将三角形 PMN沿 PN折叠，使顶点 M落在点Q处，若∠DNQ=∠PND，则∠PND的度数为　 　.
【答案】56°或72°
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：①当点 Q 在 AB与 CD之间，
由折叠可得：，
∵，
∴；
∵，
∴；
∴，，，
∴，
解得：；
②当点 Q 在 CD下方时，如图，
由折叠可得：，
∵，
∴∠BMN+∠MND=180°
∵∠BMN=54°
∴∠MND=180°-∠BMN=126°
∵∠PNM=∠DNM-∠PND=126°-∠PND，∠PNQ=∠PND+∠DNQ， ∠DNQ=∠PND，
∴126°∠PND= ∠PND+∠PND，
解得：∠PND=56
综上所述：∠PND的度数为56或72°
故答案为：56°或72°.
【分析】
分两种情况：①点Q在AB与CD之间；②点Q在CD下方，结合折叠性质可得由平行线的性质可求得结合 从而可求解.
三、解答题（共4题，第15题16分；第16题10分；第17题12分；第18题12分）
15．（2025七下·象山竞赛）
（1）解方程：；
（2）解方程组：；
（3）若 x， y>0，解方程组：；
（4）因式分解：.
【答案】（1）解：
16(x-2)=4(x+1)，
16x-32=4x+4，
16x-4x=32+4，
12x=36，
x =3.
检验： 当x = 3时， (x+1)(x-2)≠0，∴x=3是原分式方程的解.
（2）解：方程组化简为：
②-①得： 7y=14，
解得： y=2，
把y=2代入①得： x=5，
∴方程组的解为： ；
（3）解：∵xy=1，
∴2xy=2， - 2xy= -2，
即
，，，
解方程组①得：
解方程组②得：
解方程组③得：
解方程组④得：
∴方程组的解为 或
（4）解：令 则
【知识点】解分式方程；解二元二次方程组；倒数法解分式方程；因式分解﹣换元法
【解析】【分析】(1)将分式方程去分母化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，再进行检验即可.
(2)先将方程组化简为： 再利用加减消元法求解即可.
(3)根据题意可得 则
进而可得二元一次方程组方程组，利用加减消元法分别求解即可.
(4)令 则 可变形为 ，然后分解因式即可.
16．（2025七下·象山竞赛）对于多项式x2+2x-3，如果我们把x=1代入此多项式，发现x2+2x-3=0，这是可以确定多项式中有因式（x-1）（注：把x=a代入多项式能使多项式的值为0，则多项式含有因式（x-a），于是我们可以把多项式写成：x2+2x-3=（x-1）（mx+n）.
（1） 求式子中m， n的值：
（2）以上这种因式分解的方法叫试根法，常用来分解一些比较复杂的多项式，请你尝试用试根法分解多项式2x2+5x+3：
（3）小东猜想：如果将x=a代入多项式x3-8能使x3-8=0，那么x3-8就一定能分解成如下形式（x-a）（bx+cx+d）.你认为小东的猜想是否正确？若正确，请直接写出a、b、c、d的值：若不正确，请说明理由，
【答案】（1）解：∵(x-1)(mx+n)=mx2+(n-m)x-n=x2+2x-3，
∴m=1， n=3；
（2）解：把x=-1代入多项式2x2+5x+3=0，
则(x+1)(ax+b)=ax2+(a+b)x+b=2x2+5x+3，
a=2，b=3，
因此 2x2+5x+3=(x+1)(2x+3)
（3）解：∵将x=2代入多项式x3-8能使x3-8=0，
∴(x-2)(bx2+cx+d)=bx3+(c-2b)x2+(d-2c)x-2d= x3-8，
∴b=1， c=2， d=4，
∴a=2， b=1，c=2， d=4.
【知识点】整式的混合运算；因式分解的应用
【解析】【分析】(1)把多项式的乘法展开、合并，根据对应系数相等得出答案即可；
(2) 把 1代入多项式 得出 进一步展开对应的出a、b的数值即可；
(3) 将 代入多项式 能使 得出 进一步整理 得出答案即可.
17．（2025七下·象山竞赛）根据以下素材，探索完成任务.
设计奖项设置和奖品采购的方案
某学校举办七年级数学知识竞赛，分别设置一等奖、二等奖和三等奖若干名，需考虑获奖人数以及奖品购买方案.
素材1 已知购买2盒水笔和1包笔记本需要320元，3盒水笔和2包笔记本需要520元.
素材2 学校准备出资880元购买水笔和笔记本两种奖品
素材3 （1）1盒水笔有12支，1包笔记本有16本， （2）计划设置一等奖a人，二等奖30人，三等奖b人，且a<30问题解决
任务1 确定单价 求一盒水笔和一包笔记本各多少元
任务2 确定购买数量 将880元全部用完，可以购买水笔多少盆？笔记本多少包？（不可全买水笔或全买笔记本）
任务3 确定购买人数 任务2中购买的奖品刚好全部发完，则a= ▲ b= ▲ .
【答案】解：（任务 1）设一盒水笔x元， 一包笔记本y元，
由题意得：
解得：
答：一盒水笔120元，一包笔记本80元；
(任务2)设购买水笔m盒，笔记本n包，
由题意得：
整理得：
∵m、 n均为正整数，
或 或
∴有3种购买方案：
①购买水笔2盒，笔记本8包；
②购买水笔4盒，笔记本5包；
③购买水笔6盒，笔记本2包；
答：将880元全部用完，可以购买购买水笔2盒，笔记本8包或水笔4盒，笔记本5包或水笔6盒，笔记本2包；
（任务 3）18， 62.
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】(任务3)由题意可知，共需笔记本为( 本，水笔 支，
方案①中，水笔为： (支)，笔记本为：8 (本) ，
由题意得：
解得： (不符合题意，舍去)；
方案②中，水笔为： (支)，笔记本为：5 (本) ，
由题意得：
解得： 符合题意；
方案③中，水笔为：( (支)，笔记本为：2 (本) ，
由题意得：
解得： (不符合题意， 舍去) ；
综上所述，(
故答案为： 18， 62.
【分析】(1)设一盒水笔x元，一包笔记本y元，根据购买2盒水笔和1包笔记本需要320元，3盒水笔和2包笔记本需要520元.列出二元一次方程组，解方程组即可；(2)设购买水笔m盒，笔记本n包，根据将880元全部用完，列出二元一次方程，求出正整数解即可；(3)由题意可知，共需笔记本为( 本，水笔 支，根据任务2中购买的奖品刚好全部发完，分别列出二元一次方程组，解方程组即可.
18．（2025七下·象山竞赛） 如图，点E，F分别在直线AB，CD上，P为AB，CD之间一点，连结PE，过点P作PG//EF，交CD于点G， ∠CGP=∠BEF.
（1）如图1，求证：AB//CD；
（2）如图2，EF平分∠PEB，H为线段GF上一点，连结PH.
①若∠FHP+∠PEF=200°求∠HPG的度数；
②如图3，HO平分∠CHP，交PG于点Q.若∠HPE=α，直接写出∠HQP的度数为 （结果用含α的式子表示）
【答案】（1）证明：∵PG//EF，
∴∠CGP=∠CFE，
∵∠CGP= ∠BEF，
∴∠CFE= ∠BEF，
∴AB //CD；
（2）解：① 平分 ，
，
设 ，则 ，
由（1）知 ，
，
，
，
，
，
，
②依题意，延长 PQ 交 CD 于点 G，如图所示，
则 ，
，
，，
由（2）知 ，
∴∠PGF=∠EPQ，
∵∠HQP=∠PGF+ ∠CHQ，
∴∠HQP=∠EPQ+ ∠CHQ，
∵HQ平分∠CHP，
∴∠CHQ=∠PHQ，
∴∠HQP=∠EPQ+ ∠PHQ=∠HPE+ ∠HPQ+∠PHQ，
∵∠HPQ+∠PHQ=180°-∠HQP，
∴∠HQP=∠HPE+180°-∠HQP，
∴2∠HQP=∠HPE+180°
∵∠HPE=α，
∴2∠HQP=α+180°
∴∠HQP=+90°
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】(1)根据平行线的性质得到∠CGP=∠CFE，进而得到∠CFE= ∠BEF，根据内错角相等，两直线平行证明即可；
(2)①设 ，则 ，即可得到，，进而代入数值计算解答即可；
②延长 PQ 交 CD 于点 G，根据平行得到，，即可得到∠PGF=∠EPQ，根据角平分线得到∠CHQ=∠PHQ，进而得到∠HQP=∠HPE+180°-∠HQP，解答即可.
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