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辽宁省丹东市东港市2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题
一、单选题
1．下列英文字母中，可以看成既是中心对称又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．若，则下列不等式变形不正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．若不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则的值为（ ）
A．3 B． C．7 D．
4．若关于的分式方程有增根，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．3
5．如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，以点A为圆心，任意长为半径作弧．分别交于两点，再分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交边于点，过点作交于点，若，则的周长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．在中，，垂足为，为上一点，连接交于点，若，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在等边中，，垂足为，是上一点，．则的度数为（ ）
如图，等边三角形中，，垂足为D，点E在线段上，且，则等
A． B． C． D．
9．如图，在中，，，为中点，将绕点顺时针旋转得到，点分别在边和的延长线上，连接，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，是以的对角线为边的等边三角形，点与点关于轴对称，若点的坐标是，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．因式分解： ．
12．当 时，分式的值为0．
13．若正多边形的内角和是外角和的2倍，则这个正多边形的一个内角度数是 ．
14．在中，是对角线，的交点，过点作交于点，若，则的度数为 ．
15．如图，在中，，是锐角，将沿着射线方向平移得到，点的对应点分别是点，，，连接，若在整个平移的过程中，和的度数之间存在二倍关系，则的度数为 ．
三、解答题
16．（1）分解因式：；
（2）解不等式组：．
17．先化简再求值：，其中．
18．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为．
(1)将向右平移3个单位长度，画出平移后的；
(2)画出以原点O为对称中心与成中心对称的；
(3)在轴上方有一点，当以为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标为_____．
19．4月23日是世界读书日，为激发学生的阅读热情，弘扬和传承中华优秀传统文化，某中学计划用3000元购买一批图书用于图书馆更新．实际购买时，书店推出优惠活动：每本图书的价格是原来价格的倍，则学校可以用相同预算比原计划多买25本．求原计划每本图书的价格是多少元？
20．如图，在中，为对角线，过点A作交于点M，交于点，过点C作交于点，交于点．
(1)求证四边形是平行四边形；
(2)若，求平行四边形的面积．
21．生态优先，绿色发展，让美丽的地球添上更多“中国绿”．东港市某小区为抓好“园区绿化”，购买了甲，乙两种树苗，已知购买棵甲种树苗和棵乙种树苗共需元，购买棵甲种树苗和棵乙种树苗共需元．
(1)求甲，乙两种树苗单价分别是多少元？
(2)为扩大园区绿化面积，该小区准备购进甲，乙两种树苗共100棵，且甲种树苗的棵数不少于乙种树苗棵数的一半，求购买这批树苗的最低费用．
22．已知：和均为等腰三角形，，连接，取的中点分别为，连接．
【特例感知】
（1）如图1，当点在边上，点在边上时，则是_____三角形；
【类比探究】
（2）把绕点在平面内旋转得到图2，判断的形状是否改变？请说明理由；
【拓展应用】
（3）如图3，在（2）的条件下，当时．
①判断的形状，并说明理由；
②把绕点在平面内任意旋转，若，，直接写出面积的最大值与最小值．
23．数学活动课上，张老师在黑板写下新定义：“若三角形中存在一个内角的度数恰好是另一个内角度数的两倍，则称这个三角形为“倍角三角形”，同学们好奇地围拢过来，开启了对“倍角三角形”的探究之旅……
(1)张老师给出三个三角形示例，让大家快速判断：一定是“倍角三角形”的是_____（只填写序号）．
①顶角为的等腰三角形；
②等腰直角三角形；
③有一个角是的直角三角形．
(2)同学们动手折纸，构造几何模型：如图1，在等腰中，，，将沿边所在直线翻折得到，延长到点，交于点，连接．
①张老师抛出猜想：一定符合“倍角三角形”的定义！”请你帮同学们证明这个结论；
②点在线段上，连接，若，分所得的两个三角形中，是“倍角三角形”，是等腰三角形，请直接写出的度数．
参考答案
1．C
解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
2．A
解：A：原不等式两边同时乘以，根据不等式性质，乘以负数需改变不等号方向，正确变形应为，但选项A未改变方向，故变形错误．
B：两边乘以正数，不等号方向不变，变形正确．
C：两边同时加，不等号方向不变，变形正确．
D：由移项可得，变形正确．
综上，选项A的变形不符合不等式性质，为正确答案．
故选：A
3．B
解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
由数轴可知，不等式组的解集为，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
4．D
解：由化简可得：，
∵关于x的分式方程有增根，
∴增根为，
∴，
解得：；
故选：D．
5．B
解：由图象可知，当时，，
关于的不等式的解集为：，
故选：B．
6．C
解：由作图知：平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
的周长．
故选：C．
7．B
解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
故选：．
8．A
解：在等边中，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴；
故选：A
9．B
解：，，为的中点，
，，
将绕点顺时针旋转得到，
，
是等边三角形，
∴，
故选：B
10．D
解：记与x轴相交于F点，，
∵D与点E关于x轴对称，，
∴，即，，，
∵是等边三角形，
∴，
在中，，
∴，
又∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
则．
故选D
11．
解：．
故答案为：．
12．2
解：∵分式的值为0，
∴，，
∴，
故答案为：2．
13．/120度
解：设这个正多边形是n边形，依题意，得
，
解得，
∴这个正多边形的一个内角度数是．
故答案为：．
14．
解：在中，，
∴，
∵，，
∴是的垂直平分线，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
15．或或
解：E在线段上，过点C作，如下图：
，
，
，
，，
，，
∴，
；
，
，，
即
；
（2）点E在外时，过点C作，如下图：
，
，
，，
，，
，
即；
，
由图可知，，
此情况不成立；
综上，或或．
故答案为：或或．
16．（1）；（2）．
解：（1）原式；
（2）
解不等式①得：
解不等式②得：
所以原不等式组的解集为：.
17．．
解：原式
当时，原式
18．(1)见解析
(2)见解析
(3)或
（1）解：作图如图
（2）作图如图
（3）如图，在轴上方有一点，当以为顶点的四边形是平行四边形时，点的坐标为或．
故答案为：或．
19．原计划每本图书的价格是40元．
解：设原计划每本图书的价格是x元，依题意，得
解得
，
经检验，是原方程的解．
答：原计划每本图书的价格是40元．
20．(1)见解析；
(2)．
（1）证明：四边形是平行四边形
即
四边形为平行四边形；
（2）四边形是平行四边形
，
在和中
，
，
，
在中，
在中，
，
，
，
，
，
．
21．(1)甲种树苗单价为元，乙种树苗单价为元；
(2)购买这批树苗的最低费用为元．
（1）解：设甲种树苗单价为元，乙种树苗单价为元，根据题意得：
，
解得：，
答：甲种树苗单价为元，乙种树苗单价为元．
（2）解：设该小区准备购进甲种树苗棵，则乙种树苗棵，
设购买这批树苗的费用为元，
根据题意得：，
，
随的减小而减小，
根据题意得：，解得：，
取整数，
最小值为，
当时，最小，最小值为，
答：购买这批树苗的最低费用为元．
22．（1）等腰；（2）的形状不变，理由见解析；（3）①是等腰直角三角形，理由见解析；②最大值为，最小值为2．
解：（1）∵，，
∴，即，
∵的中点分别为，
∴，，
∴，
∴是等腰三角形．
故答案为：等腰
（2）的形状不改变，理由如下：
如图，连接，，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵的中点分别为，
∴，，
∴，
∴是等腰三角形．
（3）①是等腰直角三角形，理由如下：
如图，连接，，延长，交于，交于，交于，
由（2）知，，
∴，
∵，
∴，
∵的中点分别为，
∴，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形．
②如图，连接，
∵，，，，，
∴，，
解得：（负值舍去），（负值舍去），
∴，即，
∴的最小值为，最大值为，
∵，
∴的最小值为，最大值为，
∴面积的最大值为，最小值为．
23．(1)②③；
(2)①见解析；②或或19°或．
（1）解：若一个三角形是顶角为的等腰三角形，
则两个底角均为，
，
顶角是的等腰三角形不是“倍角三角形”；
若一个三角形是等腰直角三角形，
则三个角分别为，，，
，
等腰直角三角形是“倍角三角形”；
若一个三角形是有一个角为的直角三角形，
则另两个角分别为，，
，
有一个的直角三角形是“倍角三角形”，
故答案为：②③．
（2）①证明：，
，
∵将沿边所在的直线翻折得到，
，，，
，
，
是“倍角三角形”；
②解：由①可得，
如图，
∵是等腰三角形，
∴，
∵是“倍角三角形”，
或或或，
当时，，
；
当时，，
；
当时，
∵
∴，
，
；
当时，
∵
，
，
．
综上所述：或或19°或．

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