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湖南省怀化市鹤城区雅礼实验学校2024-2025学年九年级上学期数学入学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024九上·鹤城开学考）下列图形中，是中心对称图形的是(　　)
A． B．
C． D．
2．（2024九上·鹤城开学考）在轴上，则点在(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2024九上·鹤城开学考）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是(　　)
A．，， B．，， C．，， D．，，
4．（2024九上·鹤城开学考）已知一组数据，，，，每两个之间的依次增加这组数据中，无理数出现的频数是(　　)
A． B． C． D．
5．（2024九上·鹤城开学考）用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的为(　　)
A． B． C． D．
6．（2024九上·鹤城开学考）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是(　　)
A． B． C．且 D．
7．（2024九上·鹤城开学考）如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的墙图中阴影部分，另外三边用长的篱笆围成为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的木板门，设花圃与墙垂直的一边长为，若花圃的面积为，所列方程正确的是(　　)
A． B．
C． D．
8．（2024九上·鹤城开学考）如图，数学老师利用刻度直尺（单位：）测量三角形教具的尺寸，点B，C分别对应刻度尺上的刻度2和8，点D为的中点，若，则可求得的长为，所应用的数学知识是（　　）
A．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．三角形的中位线等于第三边的一半
D．以上都不正确
9．（2024九上·鹤城开学考）如图，在矩形中，为对角线的中点，，动点在线段上，动点在线段上，点，同时从点出发，以相同的速度分别向终点，包括端点运动点关于，的对称点为，；点关于，的对称点为，，在整个过程中，四边形形状的变化依次是(　　)
A．平行四边形矩形平行四边形菱形
B．平行四边形菱形平行四边形菱形
C．菱形矩形平行四边形菱形平行四边形
D．菱形平行四边形矩形平行四边形菱形
10．（2024九上·鹤城开学考）矩形中，，，以为原点，分别以，所在直线为轴和轴，建立如图所示的直角坐标系，双曲线的图象分别交，于点，，连接，，，，则（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11．（2024九上·鹤城开学考）已知函数有意义，则自变量的取值范围是　 　．
12．（2024九上·鹤城开学考）在一次函数中，若的值随的值增大而减小，的取值范围是　 　．
13．（2024九上·鹤城开学考）如图，在中，，，的垂直平分线交于点若，则的长为　 　．
14．（2024九上·鹤城开学考）一个多边形的内角和是它的外角和的5倍，则这个多边形的边数为　 　。
15．（2024九上·鹤城开学考）如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点E，连接，若，菱形的面积为18，则　 　．
16．（2024九上·鹤城开学考）如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的点，过点作轴的垂线交轴于点，点在轴上，若的面积为，则的值为　 　．
17．（2024九上·鹤城开学考）定义新运算：规定，例如，若，则的值为　 　．
18．（2024九上·鹤城开学考）如图，在平面直角坐标系中，长方形的边在轴的正半轴上，点，的坐标分别为，，过点的正比例函数的图象上有一点，且，将的图象沿轴向下平移得到的图象若点落在长方形的内部不含边界，则的取值范围是　 　．
三、计算题：本大题共1小题，共4分。
19．（2024九上·鹤城开学考）解方程：3x（x-2）=4（2-x）
四、解答题：本题共7小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20．（2024九上·鹤城开学考）先化简，再求值：，其中满足方程：．
21．（2024九上·鹤城开学考）如图，已知平行四边形，点为中点，点在上，连接并延长交于点，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，当四边形为菱形时，求的长．
22．（2024九上·鹤城开学考）为了进一步了解八年级学生的身体素质情况，体育老师对八年级班位学生进行一分钟跳绳次数测试，以测试数据为样本，绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如下所示：
组别 次数 频数人数
第组
第组
第组
第组
第组
请结合图表完成下列问题：
（1）表中的　 　；
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）这个样本数据的中位数落在第　 　组；
（4）若八年级学生一分钟跳绳次数在时为达标，计算该班学生测试成绩达标率为多少．
23．（2024九上·鹤城开学考）如图，已知，是反比例函数的图象和一次函数的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）根据图象直接写出不等式的解集．
24．（2024九上·鹤城开学考）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克元，连续两次降价后每千克元，若每次下降的百分率相同．
（1）求每次下降的百分率；
（2）若每千克盈利元，每天可售出千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价元，日销售量将减少千克，现该商场要保证每天盈利元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
25．（2024九上·鹤城开学考）对于一元二次方程，如果方程有两个实数根为，，那么，，一元二次方程的这种根与系数的关系，最早是由法国数学家韦达发现的，因为，我们把这个关系成为韦达定理，灵活运用这个定理有时可以使解题更为简单．
例：若、是方程的两个根，不解方程，求的值．
解：由题意，根据根与系数的关系得：，
．
根据上面材料，解答下列问题：
（1）已知，是方程的两根，则　 　，　 　．
（2）设，是方程的两个根，求下列各式的值：
①
②
（3）关于的方程的两实数根，满足，求的值．
26．（2024九上·鹤城开学考）如图，直线：与轴交于点，且经过定点，直线：与轴交于点，直线与交于点，连接．
（1）填空：直线解析式为　 　，直线解析式为　 　，点坐标为　 　；
（2）①在轴上的动点使的周长最短？请画图标出点，并求点的坐标；
②在平面直角坐标系中存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？直接写出点坐标；
（3）如图，点为线段上一动点，连接，将沿直线翻折得到交轴于点，当为直角三角形时，求点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形；
B、是中心对称图形；
C、不是中心对称图形；
D、不是中心对称图形.
故答案为：B.
【分析】根据中心对称的概念“旋转180度后与自身重合的图形是中心对很图形”逐项判断解答即可.
2．【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：在y轴上，
则
∴点. 在第四象限.
故答案为：D.
【分析】根据y轴上的点横坐标为0，可得 从而求出点B的坐标，即可解答.
3．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解： 不能构成三角形，故本选项不符合题意；
不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
能构成直角三角形，故本选项符合题意；
不能构成直角三角形，故本选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.如果没有这种关系，这个就不是直角三角形，逐一判定即可.
4．【答案】A
【知识点】频数与频率；无理数的概念
【解析】【解答】解：在 (每两个4之间的1依次增加)这组数据无理数为0.4141141114……(每两个4之间的1依次增加)共1个，所以无理数出现的频数是1.
故答案为：A.
【分析】根据无理数的概念和频数的定义得出结论即可.
5．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
移项得
配方可得
即
故答案为：B.
【分析】先移项，再在等式两边同时加上4，即可得到答案.
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程
∵方程有两个实数根，
解得
∴k的取值范围是 且
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程的定义，得 根据方程有两个实数根，得出 求出k的取值范围即可得出答案.
7．【答案】A
【知识点】列一元二次方程；一元二次方程的应用-动态几何问题
【解析】【解答】解：设花圃与墙垂直的一边长为 xm，则与墙平行的一边长为
根据题意得：
故答案为：A.
【分析】设花圃与墙垂直的一边长为 xm，则与墙平行的一边长为 根据花圃面积为 即可列出关于x的一元二次方程，此题得解.
8．【答案】B
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，点D为的中点，
∴，
∴所应用的数学知识是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
故答案为：B．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解．
9．【答案】D
【知识点】四边形-动点问题；平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形之间的关系
【解析】【解答】解：如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，
∵对称，
T'
∵对称，
同理
∴四边形. 是平行四边形，如图2所示，当E，F，O三点重合时，. ，
即 ∴四边形. 是菱形.
如图3所示，当E，F分别为OD，OB的中点时，设 则.
在 中，
连接AE， AO，
是等边三角形，
∵ E为OB中点，
根据对称性可得
是直角三角形，且. 四边形. 是矩形.
当F，E分别与D，B重合时， 都是等边三角形，则四边形. 是菱形，
∴在整个过程中，四边形. 形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形，
故答案为：D.
【分析】根据题意，分别证明四边形 是菱形，平行四边形，矩形，即可求解.
10．【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的两点两垂线型
【解析】【解答】解：矩形中，，，
，，，
双曲线的图象分别交，于点，，
，，
，
根据图示：，
，
，
又，
，
整理得：，
或（不合题意，舍去），
故选：．
【分析】先得到点A，B，C的坐标，即可得到得到，，求出，根据，得到方程，解方程求出k值即可．
11．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵函数 有意义，
解得：
故答案为：
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解答即可.
12．【答案】
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数 中，y随x的增大而减小，
故答案为：
【分析】利用一次函数图象与系数的关系列出关于m的不等式 即可.
13．【答案】3
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵点D在AB的垂直平分线上，
是 的一个外角，
故答案为：3.
【分析】先利用线段垂直平分线的性质可得 ，从而可得 ，然后利用三角形的外角性质可得 从而在 CD中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算即可解答.
14．【答案】12
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形是n边形，
根据题意得，（n-2） 180°=5×360°，
解得n=12．
故答案为：12．
【分析】根据多边形的内角和公式（n-2） 180°与外角和定理列出方程，然后求解即可．
15．【答案】2
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】由题意得：，解得：
∵
∴
故答案为：2．
【分析】根据菱形的面积求出BD长，再根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半解答．
16．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：如图，连接OA，
∵AB∥OC，
2，
∵点A在反比例函数图象上，
∵反比例函数图象上在第二象限，
故答案为：
【分析】根据反比例函数k值的几何意义解答即可.
17．【答案】或
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意可得
整理得：
则
解得： 或
故答案为： 或
【分析】根据题意列得一元二次方程，利用公式法解方程即可.
18．【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将点D坐标代入 得，
所以正比例函数的解析式为
又因为点P在y=x上，且
所以点P的坐标为(5，5).
将直线 向下平移所得函数的解析式为 b，
将点(5，3)代入 得，
将点(5，0)代入 得，
所以b的取值范围是
故答案为：
【分析】先求出正比例函数的解析式，再根据 得出点P的坐标，最后根据平移后点P在长方形的内部即可求出b的取值范围.
19．【答案】解：
或
∴
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】由题意将（x-2）看作一个整体，用提公因式法可将原方程化为两个一元一次方程，解之即可求解.
20．【答案】解：
，
，
，
解得：，，
要分式有意义，则且且，
当时，
原式．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先计算括号内的，再将除法变为乘法化简，根据题意解方程 再根据分式有意义的条件确定x的值，代入到化简结果计算即可.
21．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
又点为中点，
在和中，
≌，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：如图，过点作，交延长线于点，
，
在中，，
，
设，
四边形为菱形，
在中，，
解得：，
．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】(1)只需推知 且 即可证得四边形BEDF是平行四边形；
(2)如图， 过点B作. 交DA延长线于点H，构造等腰直角三角形 设 由该三角形的性质和菱形的性质求得 x，在. 中，根勾股定理得到： 借助于方程求得x即AE的长度即可.
22．【答案】（1）12
（2）解：补全频率分布直方图如下所示：
（3）三
（4）解：，
该班学生测试成绩达标率为．
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解： 解得 ，
故答案为：12；
(3)∵按照跳绳次数从少到多，第25、26两人都在第三组，
∴中位数落在第三组，
故答案为：3；
【分析】(1)根据各组频数之和等于学生总人数列式计算即可得解；
(2)根据图表数据补全条形统计图即可；
(3)根据中位数的定义找出第25、26两人所在的组即可；
(4)用第3、4、5组的人数之和除以学生总人数，计算即可得解.
23．【答案】（1）解：把代入的得，
所以反比例函数解析式为，
把代入得，解得，
把和代入得，
解得．
所以一次函数的解析式为；
（2）解：直线与轴交于点，
；
（3）解：不等式的解集为或；
故答案为：或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的两点和原点型
【解析】【分析】(1)先把点A的坐标代入反比例函数解析式，可得到 ，把点B的坐标代入反比例函数解析式，求出 ，再用待定系数法求一次函数解析式即可；
(2)设直线AB与x轴交于点C，求出直线与x轴交点C的坐标，利用 确定底和高后计算即可；
(3)找出反比例函数图象位于一次函数的图象的上方的部分，再确定这部分对应的x的取值范围即可.
24．【答案】（1）解：设每次下降的百分率为a，根据题意，得：
50 ( 1-a) 2=32，
解得： a=1.8 (舍)或a=0.2，
答：每次下降的百分率为20%；
（2）解：设每千克应涨价元，由题意，得
，
整理，得，
解得：，，
因为要尽快减少库存，所以符合题意．
答：该商场要保证每天盈利元，那么每千克应涨价元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设 每次下降的百分率为a，依据“ 原价每千克元，连续两次降价后每千克元 ”列出方程求解.
（2）设每千克应涨价元，依据" 若每千克涨价元，日销售量将减少千克，现该商场要保证每天盈利元"可列出一元二次方程求解，并检验根的意义.
25．【答案】（1）；
（2）解：，是方程的两个根，
则，，
；
；
（3）解：方程的两实数根，，
，，
，
，
解得，，
当时，，即，
解得，；
当时，，即，
解得，，
，
方程无实根
的值为．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解： 是方程 的两根，则
故答案为：
【分析】(1)根据一元二次方程根与系数的关系解答；
(2)根据一元二次方程根与系数的关系得到 根据提公因式法、完全平方公式把原式变形，代入计算即可；
(3)分 和 两种情况，根据根与系数的关系计算即可.
26．【答案】（1）；；
（2）解：如图，点即为所求；
把代入直线：得，，解得，
，
与关于轴对称，
，
，
直线解析式为：，
，
解得，
直线解析式为，
令，，
点坐标为；
设点坐标为，
以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
以为对角线时，由中点坐标公式得，
解得，
；
以为对角线时，由中点坐标公式得，
解得，
；
以为对角线时，由中点坐标公式得，
解得，
；
综上所述，点坐标为或或；
（3）解：情况：如图，
当时，
，
，
由折叠可得，，
，
，
过作轴于，
，
，，
，，，
，
，，
，
点在第四象限，
；
情况：如图
当时，
在中，，
由折叠可得，
，
，
点在第三象限，
，
综上，点坐标为或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：（1）把(-2，7)代入y=kx+6得：-2k+6=7，
解得，
∴ 直线解析式为；
把点代入得m=5，
把(2，5)代入得2+b=5，解得b=3，
∴ 直线解析式为y=x+3；
故答案为：；；；
【分析】（1）利用待定系数法求一次函数的解析式；
（2）①作点B关于y轴的对称点B'，然后连接MB'交又轴于点Q，则点Q即为所作；然后根据待定系数法求出一次函数的解析式，然后求出与y轴交点坐标即可；
②根据平行四边形的对角线互相平分得到对角线两点的中点坐标相同解答即可；
（3）分为和两种情况，根据勾股定理和等腰直角三角形的性质解答即可.
1 / 1湖南省怀化市鹤城区雅礼实验学校2024-2025学年九年级上学期数学入学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024九上·鹤城开学考）下列图形中，是中心对称图形的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形；
B、是中心对称图形；
C、不是中心对称图形；
D、不是中心对称图形.
故答案为：B.
【分析】根据中心对称的概念“旋转180度后与自身重合的图形是中心对很图形”逐项判断解答即可.
2．（2024九上·鹤城开学考）在轴上，则点在(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：在y轴上，
则
∴点. 在第四象限.
故答案为：D.
【分析】根据y轴上的点横坐标为0，可得 从而求出点B的坐标，即可解答.
3．（2024九上·鹤城开学考）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是(　　)
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解： 不能构成三角形，故本选项不符合题意；
不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
能构成直角三角形，故本选项符合题意；
不能构成直角三角形，故本选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.如果没有这种关系，这个就不是直角三角形，逐一判定即可.
4．（2024九上·鹤城开学考）已知一组数据，，，，每两个之间的依次增加这组数据中，无理数出现的频数是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】频数与频率；无理数的概念
【解析】【解答】解：在 (每两个4之间的1依次增加)这组数据无理数为0.4141141114……(每两个4之间的1依次增加)共1个，所以无理数出现的频数是1.
故答案为：A.
【分析】根据无理数的概念和频数的定义得出结论即可.
5．（2024九上·鹤城开学考）用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
移项得
配方可得
即
故答案为：B.
【分析】先移项，再在等式两边同时加上4，即可得到答案.
6．（2024九上·鹤城开学考）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是(　　)
A． B． C．且 D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程
∵方程有两个实数根，
解得
∴k的取值范围是 且
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程的定义，得 根据方程有两个实数根，得出 求出k的取值范围即可得出答案.
7．（2024九上·鹤城开学考）如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的墙图中阴影部分，另外三边用长的篱笆围成为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的木板门，设花圃与墙垂直的一边长为，若花圃的面积为，所列方程正确的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列一元二次方程；一元二次方程的应用-动态几何问题
【解析】【解答】解：设花圃与墙垂直的一边长为 xm，则与墙平行的一边长为
根据题意得：
故答案为：A.
【分析】设花圃与墙垂直的一边长为 xm，则与墙平行的一边长为 根据花圃面积为 即可列出关于x的一元二次方程，此题得解.
8．（2024九上·鹤城开学考）如图，数学老师利用刻度直尺（单位：）测量三角形教具的尺寸，点B，C分别对应刻度尺上的刻度2和8，点D为的中点，若，则可求得的长为，所应用的数学知识是（　　）
A．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．三角形的中位线等于第三边的一半
D．以上都不正确
【答案】B
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，点D为的中点，
∴，
∴所应用的数学知识是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
故答案为：B．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解．
9．（2024九上·鹤城开学考）如图，在矩形中，为对角线的中点，，动点在线段上，动点在线段上，点，同时从点出发，以相同的速度分别向终点，包括端点运动点关于，的对称点为，；点关于，的对称点为，，在整个过程中，四边形形状的变化依次是(　　)
A．平行四边形矩形平行四边形菱形
B．平行四边形菱形平行四边形菱形
C．菱形矩形平行四边形菱形平行四边形
D．菱形平行四边形矩形平行四边形菱形
【答案】D
【知识点】四边形-动点问题；平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形之间的关系
【解析】【解答】解：如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，
∵对称，
T'
∵对称，
同理
∴四边形. 是平行四边形，如图2所示，当E，F，O三点重合时，. ，
即 ∴四边形. 是菱形.
如图3所示，当E，F分别为OD，OB的中点时，设 则.
在 中，
连接AE， AO，
是等边三角形，
∵ E为OB中点，
根据对称性可得
是直角三角形，且. 四边形. 是矩形.
当F，E分别与D，B重合时， 都是等边三角形，则四边形. 是菱形，
∴在整个过程中，四边形. 形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形，
故答案为：D.
【分析】根据题意，分别证明四边形 是菱形，平行四边形，矩形，即可求解.
10．（2024九上·鹤城开学考）矩形中，，，以为原点，分别以，所在直线为轴和轴，建立如图所示的直角坐标系，双曲线的图象分别交，于点，，连接，，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的两点两垂线型
【解析】【解答】解：矩形中，，，
，，，
双曲线的图象分别交，于点，，
，，
，
根据图示：，
，
，
又，
，
整理得：，
或（不合题意，舍去），
故选：．
【分析】先得到点A，B，C的坐标，即可得到得到，，求出，根据，得到方程，解方程求出k值即可．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11．（2024九上·鹤城开学考）已知函数有意义，则自变量的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵函数 有意义，
解得：
故答案为：
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解答即可.
12．（2024九上·鹤城开学考）在一次函数中，若的值随的值增大而减小，的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数 中，y随x的增大而减小，
故答案为：
【分析】利用一次函数图象与系数的关系列出关于m的不等式 即可.
13．（2024九上·鹤城开学考）如图，在中，，，的垂直平分线交于点若，则的长为　 　．
【答案】3
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵点D在AB的垂直平分线上，
是 的一个外角，
故答案为：3.
【分析】先利用线段垂直平分线的性质可得 ，从而可得 ，然后利用三角形的外角性质可得 从而在 CD中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算即可解答.
14．（2024九上·鹤城开学考）一个多边形的内角和是它的外角和的5倍，则这个多边形的边数为　 　。
【答案】12
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形是n边形，
根据题意得，（n-2） 180°=5×360°，
解得n=12．
故答案为：12．
【分析】根据多边形的内角和公式（n-2） 180°与外角和定理列出方程，然后求解即可．
15．（2024九上·鹤城开学考）如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点E，连接，若，菱形的面积为18，则　 　．
【答案】2
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】由题意得：，解得：
∵
∴
故答案为：2．
【分析】根据菱形的面积求出BD长，再根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半解答．
16．（2024九上·鹤城开学考）如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的点，过点作轴的垂线交轴于点，点在轴上，若的面积为，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：如图，连接OA，
∵AB∥OC，
2，
∵点A在反比例函数图象上，
∵反比例函数图象上在第二象限，
故答案为：
【分析】根据反比例函数k值的几何意义解答即可.
17．（2024九上·鹤城开学考）定义新运算：规定，例如，若，则的值为　 　．
【答案】或
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意可得
整理得：
则
解得： 或
故答案为： 或
【分析】根据题意列得一元二次方程，利用公式法解方程即可.
18．（2024九上·鹤城开学考）如图，在平面直角坐标系中，长方形的边在轴的正半轴上，点，的坐标分别为，，过点的正比例函数的图象上有一点，且，将的图象沿轴向下平移得到的图象若点落在长方形的内部不含边界，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将点D坐标代入 得，
所以正比例函数的解析式为
又因为点P在y=x上，且
所以点P的坐标为(5，5).
将直线 向下平移所得函数的解析式为 b，
将点(5，3)代入 得，
将点(5，0)代入 得，
所以b的取值范围是
故答案为：
【分析】先求出正比例函数的解析式，再根据 得出点P的坐标，最后根据平移后点P在长方形的内部即可求出b的取值范围.
三、计算题：本大题共1小题，共4分。
19．（2024九上·鹤城开学考）解方程：3x（x-2）=4（2-x）
【答案】解：
或
∴
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】由题意将（x-2）看作一个整体，用提公因式法可将原方程化为两个一元一次方程，解之即可求解.
四、解答题：本题共7小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20．（2024九上·鹤城开学考）先化简，再求值：，其中满足方程：．
【答案】解：
，
，
，
解得：，，
要分式有意义，则且且，
当时，
原式．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先计算括号内的，再将除法变为乘法化简，根据题意解方程 再根据分式有意义的条件确定x的值，代入到化简结果计算即可.
21．（2024九上·鹤城开学考）如图，已知平行四边形，点为中点，点在上，连接并延长交于点，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，当四边形为菱形时，求的长．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
又点为中点，
在和中，
≌，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：如图，过点作，交延长线于点，
，
在中，，
，
设，
四边形为菱形，
在中，，
解得：，
．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】(1)只需推知 且 即可证得四边形BEDF是平行四边形；
(2)如图， 过点B作. 交DA延长线于点H，构造等腰直角三角形 设 由该三角形的性质和菱形的性质求得 x，在. 中，根勾股定理得到： 借助于方程求得x即AE的长度即可.
22．（2024九上·鹤城开学考）为了进一步了解八年级学生的身体素质情况，体育老师对八年级班位学生进行一分钟跳绳次数测试，以测试数据为样本，绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如下所示：
组别 次数 频数人数
第组
第组
第组
第组
第组
请结合图表完成下列问题：
（1）表中的　 　；
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）这个样本数据的中位数落在第　 　组；
（4）若八年级学生一分钟跳绳次数在时为达标，计算该班学生测试成绩达标率为多少．
【答案】（1）12
（2）解：补全频率分布直方图如下所示：
（3）三
（4）解：，
该班学生测试成绩达标率为．
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解： 解得 ，
故答案为：12；
(3)∵按照跳绳次数从少到多，第25、26两人都在第三组，
∴中位数落在第三组，
故答案为：3；
【分析】(1)根据各组频数之和等于学生总人数列式计算即可得解；
(2)根据图表数据补全条形统计图即可；
(3)根据中位数的定义找出第25、26两人所在的组即可；
(4)用第3、4、5组的人数之和除以学生总人数，计算即可得解.
23．（2024九上·鹤城开学考）如图，已知，是反比例函数的图象和一次函数的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）根据图象直接写出不等式的解集．
【答案】（1）解：把代入的得，
所以反比例函数解析式为，
把代入得，解得，
把和代入得，
解得．
所以一次函数的解析式为；
（2）解：直线与轴交于点，
；
（3）解：不等式的解集为或；
故答案为：或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的两点和原点型
【解析】【分析】(1)先把点A的坐标代入反比例函数解析式，可得到 ，把点B的坐标代入反比例函数解析式，求出 ，再用待定系数法求一次函数解析式即可；
(2)设直线AB与x轴交于点C，求出直线与x轴交点C的坐标，利用 确定底和高后计算即可；
(3)找出反比例函数图象位于一次函数的图象的上方的部分，再确定这部分对应的x的取值范围即可.
24．（2024九上·鹤城开学考）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克元，连续两次降价后每千克元，若每次下降的百分率相同．
（1）求每次下降的百分率；
（2）若每千克盈利元，每天可售出千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价元，日销售量将减少千克，现该商场要保证每天盈利元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
【答案】（1）解：设每次下降的百分率为a，根据题意，得：
50 ( 1-a) 2=32，
解得： a=1.8 (舍)或a=0.2，
答：每次下降的百分率为20%；
（2）解：设每千克应涨价元，由题意，得
，
整理，得，
解得：，，
因为要尽快减少库存，所以符合题意．
答：该商场要保证每天盈利元，那么每千克应涨价元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设 每次下降的百分率为a，依据“ 原价每千克元，连续两次降价后每千克元 ”列出方程求解.
（2）设每千克应涨价元，依据" 若每千克涨价元，日销售量将减少千克，现该商场要保证每天盈利元"可列出一元二次方程求解，并检验根的意义.
25．（2024九上·鹤城开学考）对于一元二次方程，如果方程有两个实数根为，，那么，，一元二次方程的这种根与系数的关系，最早是由法国数学家韦达发现的，因为，我们把这个关系成为韦达定理，灵活运用这个定理有时可以使解题更为简单．
例：若、是方程的两个根，不解方程，求的值．
解：由题意，根据根与系数的关系得：，
．
根据上面材料，解答下列问题：
（1）已知，是方程的两根，则　 　，　 　．
（2）设，是方程的两个根，求下列各式的值：
①
②
（3）关于的方程的两实数根，满足，求的值．
【答案】（1）；
（2）解：，是方程的两个根，
则，，
；
；
（3）解：方程的两实数根，，
，，
，
，
解得，，
当时，，即，
解得，；
当时，，即，
解得，，
，
方程无实根
的值为．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解： 是方程 的两根，则
故答案为：
【分析】(1)根据一元二次方程根与系数的关系解答；
(2)根据一元二次方程根与系数的关系得到 根据提公因式法、完全平方公式把原式变形，代入计算即可；
(3)分 和 两种情况，根据根与系数的关系计算即可.
26．（2024九上·鹤城开学考）如图，直线：与轴交于点，且经过定点，直线：与轴交于点，直线与交于点，连接．
（1）填空：直线解析式为　 　，直线解析式为　 　，点坐标为　 　；
（2）①在轴上的动点使的周长最短？请画图标出点，并求点的坐标；
②在平面直角坐标系中存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？直接写出点坐标；
（3）如图，点为线段上一动点，连接，将沿直线翻折得到交轴于点，当为直角三角形时，求点的坐标．
【答案】（1）；；
（2）解：如图，点即为所求；
把代入直线：得，，解得，
，
与关于轴对称，
，
，
直线解析式为：，
，
解得，
直线解析式为，
令，，
点坐标为；
设点坐标为，
以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
以为对角线时，由中点坐标公式得，
解得，
；
以为对角线时，由中点坐标公式得，
解得，
；
以为对角线时，由中点坐标公式得，
解得，
；
综上所述，点坐标为或或；
（3）解：情况：如图，
当时，
，
，
由折叠可得，，
，
，
过作轴于，
，
，，
，，，
，
，，
，
点在第四象限，
；
情况：如图
当时，
在中，，
由折叠可得，
，
，
点在第三象限，
，
综上，点坐标为或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：（1）把(-2，7)代入y=kx+6得：-2k+6=7，
解得，
∴ 直线解析式为；
把点代入得m=5，
把(2，5)代入得2+b=5，解得b=3，
∴ 直线解析式为y=x+3；
故答案为：；；；
【分析】（1）利用待定系数法求一次函数的解析式；
（2）①作点B关于y轴的对称点B'，然后连接MB'交又轴于点Q，则点Q即为所作；然后根据待定系数法求出一次函数的解析式，然后求出与y轴交点坐标即可；
②根据平行四边形的对角线互相平分得到对角线两点的中点坐标相同解答即可；
（3）分为和两种情况，根据勾股定理和等腰直角三角形的性质解答即可.
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