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湖南省长沙市雨花区中雅培粹学校2024-2025学年九年级上学期数学开学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024九上·雨花开学考）下列函数中，是正比例函数的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解：A. y是x的一次函数，所以A选项不符合题意；
B. y是x的二次函数，所以B选项不符合题意；
C. y是x的反比例函数，所以C选项不符合题意；
D. y是x的正比例函数，所以D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据正比例函数的定义“形如y=kx+b(k≠0)的函数是一次函数”解答即可.
2．（2024九上·雨花开学考）抛物线的对称轴是(　　)
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：二次函数 的对称轴是直线 ，
故答案为：A.
【分析】根据顶点式 其中对称轴是直线 解答即可.
3．（2024九上·雨花开学考）一次函数如图，则下列结论正确的是(　　)
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数图象过第二、四象限，
∵一次函数图象与y轴的交点在x轴下方，
故答案为：D.
【分析】根据一次函数图象与系数的关系进行判断.
4．（2024九上·雨花开学考）如图，在中，对角线，交于点O，下列结论一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
与不一定垂直，与不一定相等，
故A不符合题意，B不符合题意；
四边形是平行四边形，对角线与交于点O，
，
故C符合题意；
与不一定相等，
与不一定相等，
故D不符合题意，
故选：C．
【分析】根据平行四边形的性质逐项判断解答即可．
5．（2024九上·雨花开学考）从甲、乙、丙、丁中选一人参加诗词大会比赛，经过三轮初赛，他们的平均成续都是90分，方差分别是S甲2＝3，S乙2＝2.6，S丙2＝2，S丁2＝3.6，派谁去参赛更合适（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵S甲2=3，S乙2=2.6，S丙2=2，S丁2=3.6，
∴S丙2＜S乙2＜S甲2＜S丁2，
∴派丙去参赛更合适，
故答案为：C.
【分析】根据方差的意义求解即可.
6．（2024九上·雨花开学考）关于的方程的根的情况是(　　)
A．有两个不相等实数根 B．有两个相等实数根
C．无实数根 D．由于不知道的值，无法确定
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：
∴方程有两个不相等实数根，
故答案为：A.
【分析】先计算出的正负，然后即可判断根的情况.
7．（2024九上·雨花开学考）用配方法解方程，则配方正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
故答案为：B.
【分析】先移项、然后再给等式两边同时加上16，然后再化简即可解答.
8．（2024九上·雨花开学考）受电子商务的发展及国家法治环境改善等因素的影响，某公司快递业务量迅猛发展，2021年公司快递业务量为100万件，2023年快递业务量达到144万件，若设快递量平均每年增长率为x，则下列方程中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意得：，
故选：B．
【分析】设快递量平均每年增长率为x，根据“2021年公司快递业务量为100万件，2023年快递业务量达到144万件”列二元一次方程解题．
9．（2024九上·雨花开学考）如图，在矩形中，对角线，相交于点，点，分别是，的中点，连接，若，，则的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AC=BD，OA=OC=OD=OB，
∵，，
∴AC=
∴BD=10cm，
∴，
∵点，分别是，的中点，
∴．
故选：D．
【分析】根据矩形的性质，利用勾股定理求出BD的长，即可得到OD的长，根据三角形中位线定理解答即可．
10．（2024九上·雨花开学考）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，下列说法正确的是(　　)
A．
B．抛物线的对称轴是直线
C．当时，的值随值的增大而减小
D．
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由图象可知：抛物线与y轴交于正半轴，
A选项的结论不正确，不符合题意；
∵二次函数 的图象与x轴交于A(1，0)， )两点，
∴对称轴为 故B选项的结论不正确，不符合题意；
∵由图象知：当 1时，图象位于对称轴右侧，y随x的增大而减小，故C选项的结论正确，符合题意；
∵当 时， ，故D选项的结论不正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据图象与y轴交点即可判定 再利用二次函数的对称性和与x轴交点求出对称轴 根据图象即可判断当 时，图象位于对称轴右侧，y随x的增大而减小，再由∵当x = 时，可得
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（2024九上·雨花开学考）若代数式有意义，则实数的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意，得
解得
故答案为：
【分析】根据被开方数是非负数，可得答案.
12．（2024九上·雨花开学考）若，是方程的两根，则　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵m， n是方程 的两根，
故答案为：
【分析】直接运用根与系数的关系求解即可.
13．（2024九上·雨花开学考）将一次函数的图象向上平移个单位长度，所得直线表达式为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：一次函数 的图象向上平移3个单位长度，所得直线表达式为 即
故答案为：
【分析】根据“上加下减”的法则解答即可.
14．（2024九上·雨花开学考）某种芯片每个探针单元的面积为0.00000164cm2，0.00000164用科学记数法表示为　 　.
【答案】1.64×10﹣6
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.00000164＝1.64×10﹣6，
故答案是：1.64×10﹣6.
【分析】用科学记数法表示小数时，10的指数是负的，数值就是从左到右到第一个不为0的数，前面的所有0的个数；也可以说是小数点向右移动的位数.
15．（2024九上·雨花开学考）如图，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点，则的面积为　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：在 中，令 则 ，
解得：
则A的坐标是B的坐标是(3，0)；
在 中，令 则 则
故答案为：15.
【分析】在 中，令 则 求得x的值，即A、B的横坐标，求出C的坐标，则OC的长度可以求得，根据三角形的面积公式即可求解.
16．（2024九上·雨花开学考）以的速度将小球沿与地面成度角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，球的飞行高度单位与飞行时间单位之间具有函数关系：，那么球从飞出到落地要用的时间是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：当 时， 解得：
则小球从飞出到落地需要4s.
故答案为：4s.
【分析】根据函数关系式，当l 时， 解方程即可解答.
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（2024九上·雨花开学考）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】原式利用二次根式性质，零指数幂、负整数指数幂法则，以及绝对值的代数意义计算即可求出值.
18．（2024九上·雨花开学考）先化简，再求值，其中．
【答案】解：原式
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值.
19．（2024九上·雨花开学考）如图，已知一次函数的图象经过，两点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）若为轴上一点，且的面积为，求点的坐标．
【答案】（1）解：设一次函数的解析式为，
把点，分别代入得，
解得，
一次函数的解析式为；
（2）解：设点坐标为，
的面积为，
，
即
解得或，
或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】(1)利用待定系数法求一次函数解析式；
(2)设C点坐标为(0，m)，根据三角形面积公式得到 然后解方程求出m，从而得到C点坐标.
20．（2024九上·雨花开学考）如图，矩形的对角线，交于点，延长到点，使，延长到点，使，连接，，．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）若，，则菱形的面积为______．
【答案】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，
，
四边形是菱形；
（2）
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：（2）四边形是矩形，
，
四边形是菱形，，
，，，
，
在中，由勾股定理得：，
，，
．
故答案为：．
【分析】（1）根据对角线平分得到是平行四边形，再根据即可得到结论；
（2）由矩形可得，根据菱形得到，，求出、的长，利用菱形的面积等于对角线乘积的一半解答即可．
21．（2024九上·雨花开学考）奥运会期间，某网店直接从工厂购进、两款纪念币，进货价和销售价如表：
注：利润销售价进货价
类别价格 款纪念币 款纪念币
进货价元枚
销售价元枚
（1）网店第一次用元购进、两款纪念币共枚，求两款纪念币分别购进的件数；
（2）第一次购进的、两款纪念币售完后，该网店计划再次购进这两款纪念币共枚进货价和销售价都不变，且进货总价不高于元应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
【答案】（1）解：设分别购进款纪念币、款纪念币，枚，
由题意得：，
解得：，
购进款纪念币枚，购进款纪念币枚；
（2）解：设再次购进款纪念币枚，则购进款纪念币枚，利润为，
则，
，
解得：，
又随的增大而减小，
当时，取最大值，且，
此时：，
故再次购进款纪念币枚，购进款纪念币枚，能获得最大销售利润，最大销售利润为元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设分别购进A款纪念币、B款纪念币x，y枚，由题意得列二元一次方程组据此即可求解；
(2)设再次购进A款纪念币m枚，则购进B款纪念币 枚，利润为w，得到w关于m的一次函数的解析式根据m的取值范围，利用函数的增减性即可求解.
22．（2024九上·雨花开学考）定义：已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”如：一元二次方程的两根为，，因为，
，所以一元二次方程为“限根方程”．
请阅读以上材料，回答下列问题：
（1）判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由；
（2）若关于的一元二次方程是“限根方程”，且两根、满足，求的值；
（3）若关于的一元二次方程是“限根方程”，求的取值范围．
【答案】（1）解：此方程为“限根方程”，理由如下：
(x+2)(x+7)=0，
解得
∴此方程为“限根方程”；
（2）解：由根与系数的关系，得
∴k=2或-1；
①当k=2时，
∴k=2符合题意；
②当k=-1时，
∴k=-1(不合题意， 舍去)。
∴k的值为2；(3)
（3）解：解此方程得： x= - 1或m，
∵此方程为“限根方程”，
∴△ >0， 且m<0， 即(
∴m<0且m≠-1；
①当-1②当m<-1时，
∴-4综上所述，m的取值范围为 或-4【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；根据一元二次根的根的情况求参数
【解析】【分析】(1)解得方程后即可利用“限根方程”的定义进行判断；
(2)由根与系数的关系，得 根据 可得 或 ，再分两种情况讨论即可求解；
(3)解此方程得： 或m，分两种情况：①当- 时，②当 时，进行讨论即可求出m的取值范围.
23．（2024九上·雨花开学考）如图，已知抛物线与轴交于点，在的左侧，与轴交于点，顶点为．
（1）求出该抛物线的表达式；
（2）若点是抛物线对称轴上的一点，是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将点，代入抛物线，
得，
解得，
该抛物线的表达式为；
（2）解：存在．理由如下：
，
其对称轴为直线，且，
．
设，
，，
，，．
当时，
，
解得或；
当时，
，解得或，
或；
综上可知，符合要求的点坐标为或或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；等腰三角形的概念；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】(1)将点B(1，0)， C(0，3)代入抛物线 ，组成方程组，解之即可；
(2)由题意可得， 抛物线的对称轴为直线 设 由两点间距离公式可得，.再根据题意分两种情况：①当 时，② 当 时，列出方程，解之即可得出结论.
1 / 1湖南省长沙市雨花区中雅培粹学校2024-2025学年九年级上学期数学开学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024九上·雨花开学考）下列函数中，是正比例函数的是(　　)
A． B． C． D．
2．（2024九上·雨花开学考）抛物线的对称轴是(　　)
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
3．（2024九上·雨花开学考）一次函数如图，则下列结论正确的是(　　)
A．， B．， C．， D．，
4．（2024九上·雨花开学考）如图，在中，对角线，交于点O，下列结论一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024九上·雨花开学考）从甲、乙、丙、丁中选一人参加诗词大会比赛，经过三轮初赛，他们的平均成续都是90分，方差分别是S甲2＝3，S乙2＝2.6，S丙2＝2，S丁2＝3.6，派谁去参赛更合适（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．（2024九上·雨花开学考）关于的方程的根的情况是(　　)
A．有两个不相等实数根 B．有两个相等实数根
C．无实数根 D．由于不知道的值，无法确定
7．（2024九上·雨花开学考）用配方法解方程，则配方正确的是(　　)
A． B． C． D．
8．（2024九上·雨花开学考）受电子商务的发展及国家法治环境改善等因素的影响，某公司快递业务量迅猛发展，2021年公司快递业务量为100万件，2023年快递业务量达到144万件，若设快递量平均每年增长率为x，则下列方程中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2024九上·雨花开学考）如图，在矩形中，对角线，相交于点，点，分别是，的中点，连接，若，，则的长是（　　）
A． B． C． D．
10．（2024九上·雨花开学考）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，下列说法正确的是(　　)
A．
B．抛物线的对称轴是直线
C．当时，的值随值的增大而减小
D．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（2024九上·雨花开学考）若代数式有意义，则实数的取值范围是　 　．
12．（2024九上·雨花开学考）若，是方程的两根，则　 　．
13．（2024九上·雨花开学考）将一次函数的图象向上平移个单位长度，所得直线表达式为　 　．
14．（2024九上·雨花开学考）某种芯片每个探针单元的面积为0.00000164cm2，0.00000164用科学记数法表示为　 　.
15．（2024九上·雨花开学考）如图，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点，则的面积为　 　．
16．（2024九上·雨花开学考）以的速度将小球沿与地面成度角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，球的飞行高度单位与飞行时间单位之间具有函数关系：，那么球从飞出到落地要用的时间是　 　．
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（2024九上·雨花开学考）计算：．
18．（2024九上·雨花开学考）先化简，再求值，其中．
19．（2024九上·雨花开学考）如图，已知一次函数的图象经过，两点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）若为轴上一点，且的面积为，求点的坐标．
20．（2024九上·雨花开学考）如图，矩形的对角线，交于点，延长到点，使，延长到点，使，连接，，．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）若，，则菱形的面积为______．
21．（2024九上·雨花开学考）奥运会期间，某网店直接从工厂购进、两款纪念币，进货价和销售价如表：
注：利润销售价进货价
类别价格 款纪念币 款纪念币
进货价元枚
销售价元枚
（1）网店第一次用元购进、两款纪念币共枚，求两款纪念币分别购进的件数；
（2）第一次购进的、两款纪念币售完后，该网店计划再次购进这两款纪念币共枚进货价和销售价都不变，且进货总价不高于元应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
22．（2024九上·雨花开学考）定义：已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”如：一元二次方程的两根为，，因为，
，所以一元二次方程为“限根方程”．
请阅读以上材料，回答下列问题：
（1）判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由；
（2）若关于的一元二次方程是“限根方程”，且两根、满足，求的值；
（3）若关于的一元二次方程是“限根方程”，求的取值范围．
23．（2024九上·雨花开学考）如图，已知抛物线与轴交于点，在的左侧，与轴交于点，顶点为．
（1）求出该抛物线的表达式；
（2）若点是抛物线对称轴上的一点，是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解：A. y是x的一次函数，所以A选项不符合题意；
B. y是x的二次函数，所以B选项不符合题意；
C. y是x的反比例函数，所以C选项不符合题意；
D. y是x的正比例函数，所以D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据正比例函数的定义“形如y=kx+b(k≠0)的函数是一次函数”解答即可.
2．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：二次函数 的对称轴是直线 ，
故答案为：A.
【分析】根据顶点式 其中对称轴是直线 解答即可.
3．【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数图象过第二、四象限，
∵一次函数图象与y轴的交点在x轴下方，
故答案为：D.
【分析】根据一次函数图象与系数的关系进行判断.
4．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
与不一定垂直，与不一定相等，
故A不符合题意，B不符合题意；
四边形是平行四边形，对角线与交于点O，
，
故C符合题意；
与不一定相等，
与不一定相等，
故D不符合题意，
故选：C．
【分析】根据平行四边形的性质逐项判断解答即可．
5．【答案】C
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵S甲2=3，S乙2=2.6，S丙2=2，S丁2=3.6，
∴S丙2＜S乙2＜S甲2＜S丁2，
∴派丙去参赛更合适，
故答案为：C.
【分析】根据方差的意义求解即可.
6．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：
∴方程有两个不相等实数根，
故答案为：A.
【分析】先计算出的正负，然后即可判断根的情况.
7．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
故答案为：B.
【分析】先移项、然后再给等式两边同时加上16，然后再化简即可解答.
8．【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意得：，
故选：B．
【分析】设快递量平均每年增长率为x，根据“2021年公司快递业务量为100万件，2023年快递业务量达到144万件”列二元一次方程解题．
9．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AC=BD，OA=OC=OD=OB，
∵，，
∴AC=
∴BD=10cm，
∴，
∵点，分别是，的中点，
∴．
故选：D．
【分析】根据矩形的性质，利用勾股定理求出BD的长，即可得到OD的长，根据三角形中位线定理解答即可．
10．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由图象可知：抛物线与y轴交于正半轴，
A选项的结论不正确，不符合题意；
∵二次函数 的图象与x轴交于A(1，0)， )两点，
∴对称轴为 故B选项的结论不正确，不符合题意；
∵由图象知：当 1时，图象位于对称轴右侧，y随x的增大而减小，故C选项的结论正确，符合题意；
∵当 时， ，故D选项的结论不正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据图象与y轴交点即可判定 再利用二次函数的对称性和与x轴交点求出对称轴 根据图象即可判断当 时，图象位于对称轴右侧，y随x的增大而减小，再由∵当x = 时，可得
11．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意，得
解得
故答案为：
【分析】根据被开方数是非负数，可得答案.
12．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵m， n是方程 的两根，
故答案为：
【分析】直接运用根与系数的关系求解即可.
13．【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：一次函数 的图象向上平移3个单位长度，所得直线表达式为 即
故答案为：
【分析】根据“上加下减”的法则解答即可.
14．【答案】1.64×10﹣6
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.00000164＝1.64×10﹣6，
故答案是：1.64×10﹣6.
【分析】用科学记数法表示小数时，10的指数是负的，数值就是从左到右到第一个不为0的数，前面的所有0的个数；也可以说是小数点向右移动的位数.
15．【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：在 中，令 则 ，
解得：
则A的坐标是B的坐标是(3，0)；
在 中，令 则 则
故答案为：15.
【分析】在 中，令 则 求得x的值，即A、B的横坐标，求出C的坐标，则OC的长度可以求得，根据三角形的面积公式即可求解.
16．【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：当 时， 解得：
则小球从飞出到落地需要4s.
故答案为：4s.
【分析】根据函数关系式，当l 时， 解方程即可解答.
17．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】原式利用二次根式性质，零指数幂、负整数指数幂法则，以及绝对值的代数意义计算即可求出值.
18．【答案】解：原式
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值.
19．【答案】（1）解：设一次函数的解析式为，
把点，分别代入得，
解得，
一次函数的解析式为；
（2）解：设点坐标为，
的面积为，
，
即
解得或，
或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】(1)利用待定系数法求一次函数解析式；
(2)设C点坐标为(0，m)，根据三角形面积公式得到 然后解方程求出m，从而得到C点坐标.
20．【答案】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，
，
四边形是菱形；
（2）
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：（2）四边形是矩形，
，
四边形是菱形，，
，，，
，
在中，由勾股定理得：，
，，
．
故答案为：．
【分析】（1）根据对角线平分得到是平行四边形，再根据即可得到结论；
（2）由矩形可得，根据菱形得到，，求出、的长，利用菱形的面积等于对角线乘积的一半解答即可．
21．【答案】（1）解：设分别购进款纪念币、款纪念币，枚，
由题意得：，
解得：，
购进款纪念币枚，购进款纪念币枚；
（2）解：设再次购进款纪念币枚，则购进款纪念币枚，利润为，
则，
，
解得：，
又随的增大而减小，
当时，取最大值，且，
此时：，
故再次购进款纪念币枚，购进款纪念币枚，能获得最大销售利润，最大销售利润为元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设分别购进A款纪念币、B款纪念币x，y枚，由题意得列二元一次方程组据此即可求解；
(2)设再次购进A款纪念币m枚，则购进B款纪念币 枚，利润为w，得到w关于m的一次函数的解析式根据m的取值范围，利用函数的增减性即可求解.
22．【答案】（1）解：此方程为“限根方程”，理由如下：
(x+2)(x+7)=0，
解得
∴此方程为“限根方程”；
（2）解：由根与系数的关系，得
∴k=2或-1；
①当k=2时，
∴k=2符合题意；
②当k=-1时，
∴k=-1(不合题意， 舍去)。
∴k的值为2；(3)
（3）解：解此方程得： x= - 1或m，
∵此方程为“限根方程”，
∴△ >0， 且m<0， 即(
∴m<0且m≠-1；
①当-1②当m<-1时，
∴-4综上所述，m的取值范围为 或-4【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；根据一元二次根的根的情况求参数
【解析】【分析】(1)解得方程后即可利用“限根方程”的定义进行判断；
(2)由根与系数的关系，得 根据 可得 或 ，再分两种情况讨论即可求解；
(3)解此方程得： 或m，分两种情况：①当- 时，②当 时，进行讨论即可求出m的取值范围.
23．【答案】（1）解：将点，代入抛物线，
得，
解得，
该抛物线的表达式为；
（2）解：存在．理由如下：
，
其对称轴为直线，且，
．
设，
，，
，，．
当时，
，
解得或；
当时，
，解得或，
或；
综上可知，符合要求的点坐标为或或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；等腰三角形的概念；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】(1)将点B(1，0)， C(0，3)代入抛物线 ，组成方程组，解之即可；
(2)由题意可得， 抛物线的对称轴为直线 设 由两点间距离公式可得，.再根据题意分两种情况：①当 时，② 当 时，列出方程，解之即可得出结论.
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