资源简介

浙江省宁波市余姚市六校2024-2025学年第一学期九年级期中联考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2024·余姚期中）在一个只装有黑色围棋的盒子中摸出一颗棋子，摸到一颗白棋是（　　）
A．必然事件 B．不确定事件 C．不可能事件 D．无法判断
【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：在一个装有黑色围棋的盒子中摸出一颗棋子，摸到一颗白棋是不可能的，
因而这是一个不可能事件.
故答案为：C.
【分析】根据事件的分类解答即可.
2．（2024·余姚期中）已知⊙O的半径是5，OP＝6，则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在圆外 B．点P在圆内 C．点P在圆上 D．不能确定
【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵半径是5，
∴点P与⊙O的位置关系是点P在圆外，
故答案为：C.
【分析】若点与圆心的距离d，圆的半径为r，则当 时，点在圆外；当 时，点在圆上；当( 时，点在圆内，据此求解即可.
3．（2024·余姚期中）抛物线y＝x2﹣8x+12与y轴的交点坐标是（　　）
A．（2，0） B．（6，0） C．（0，12） D．（0，﹣12）
【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：令 则
∴抛物线与y轴的交点坐标是(0，12).
故答案为：C.
【分析】令 ，即可求出抛物线的与y轴的交点坐标.
4．（2024·余姚期中）将二次函数y＝2x2的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（　　）
A．y＝2（x﹣2）2﹣3 B．y＝2（x+2）2﹣3
C．y＝2（x+2）2+ 3 D．y＝2（x﹣2）2+3
【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数 的图象先向右平移2个单位所得函数的解析式为：
由“上加下减”的原则可知，将二次函数 的图象先向下平移3个单位所得函数的解析式为：
故答案为：.
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.
5．（2024·余姚期中）下列说法正确的是（　　）
A．三点确定一个圆
B．三角形的外心是三角形三条角平分线的交点
C．等弧就是长度相等的两条弧
D．圆中最长的弦是直径
【答案】D
【知识点】圆的相关概念；确定圆的条件；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：A.三个不在一条直线上的点可以确定一个圆，原说法错误，故此选项不符合题意；
B.三角形的外心是这个三角形三边垂直平分线的交点，原说法错误，故此选项不符合题意；
C.长度相等的两条弧不一定是等弧，原说法错误，故此选项不符合题意.
D.圆中最长的弦是直径，正确，故此选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】分别利用确定圆的方法以及垂径定理及其推论进而判断得出即可.
6．（2024·余姚期中）某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（　　）
A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80
【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】由统计图可知，树苗移植成活的频率在0.90上下波动，且移植的数量越多，移植成活的频率越接近0.90，
∴由此可估计这种树苗移植成活的概率为0.90.
故答案为：B.
【分析】通过统计图中的树苗成活的频率接近0.90，即可估计该树苗存活的概率.
7．（2024·余姚期中）如图，在中，半径交弦于点，点为中点，若，，则的长为（　　）
A．8 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵点为中点，
∴，
∴，
在中，，
故选：D．
【分析】根据垂径定理可得，然后利用勾股定理解答即可．
8．（2024·余姚期中）将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（　　）
A．y＝（x﹣35）（200﹣5x） B．y＝（x+40）（200﹣10x）
C．y＝（x+5）（200﹣5x） D．y＝（x+5）（200﹣10x）
【答案】C
【知识点】列二次函数关系式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：根据题意可得：，
故答案为：C.
【分析】根据售价减去进价乘以销售量表示出实际的利润.
9．（2024·余姚期中）如图，AB 是⊙O 的直径， ∠D＝32° ，则∠AOC 等于(　　)
A．158° B．58° C．64° D．116°
【答案】D
【知识点】圆周角定理；邻补角
【解析】【解答】解：∵∠BOC与∠D是同弧所对的圆心角与圆周角，∠D=32°，
∴，
，
故答案为：D．
【分析】根据圆周角定理得到∠BOC的度数，然后利用邻补角的定义解题．
10．（2024·余姚期中）如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：
①2a+b＝0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1．其中正确结论的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：由抛物线对称轴为直线 从而 则 故①正确；
抛物线开口向下，与y轴相交于正半轴，则 c 而 因而 故②错误；方程 从函数角度可以看作是 与直线 求交点，从图象可以知道，抛物线顶点为(1，3)，则抛物线与直线有且只有一个交点故方程 有两个相等的实数根，故③正确；
由抛物线对称性，与x轴的一个交点B(4，0)，则另一个交点坐标为 故④错误；
由图象可知，当 时， 故⑤正确；因为 时，y1有最大值，所以 即 )(m实数) ，故⑥正确.
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系——判断即可.
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（2024·余姚期中）二次函数y＝2x2的图象开口方向是　 　.
【答案】向上
【知识点】二次函数y=ax²的图象
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝2x2中，a＝2＞0，
∴开口向上，
故答案为：向上.
【分析】由于二次项的系数大于0，故图象开口向上.
12．（2024·余姚期中）从“”中随机抽取一个字母，抽中字母h的概率为 　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：从“”中随机抽取一个字母，共有8种等可能的结果，其中抽中字母h的结果有2种，
∴抽中字母h的概率为，
故答案为：．
【分析】根据“概率所求情况数与总情况数之比”解答即可．
13．（2024·余姚期中）如图，是的外接圆，的半径为，，则的长是　 　
【答案】4
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接，
∵，
∴
∵
∴是等边三角形，
∴
故答案为：
【分析】连接，根据圆周角定理得到是等边三角形，根据等边三角形的性质解答即可.
14．（2024·余姚期中）如果二次函数y＝（x﹣1）2+m（m为常数）的图象上有两点（﹣3，y1）和（4，y2），那么y1　 　y2（填“＞”、“＝”或“＜”）．
【答案】＞
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：由题意可得，函数 的对称轴为：
点 关于 的对称点为：
时，y随x的增大而增大，
故答案为：>.
【分析】根据对称性找到点关于对称轴的对称点，结合性质求解即可得到答案.
15．（2024·余姚期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝65°，将△ABC绕点B逆时针旋转至△EBD，使点C落在边AC上的D处，则∠EBA＝　 　．
【答案】50°
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转可知，
又∵点D落在边AC上，
即旋转角为
所以
故答案为：
【分析】根据旋转的性质即可解决问题.
16．（2024·余姚期中）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠CDA=90°，AB=1，CD=2，过A，B，D三点的⊙O分别交BC，CD于点E，M，下列结论：①DM=CM；② ；③⊙O的直径为2；④AE=AD．其中正确的结论有　 　（填序号）．
【答案】①②④
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如下图，连接AM，连接MB，过点O作OG⊥AM，OH⊥AM，
∵∠BAD=∠CDA=90°，
∴AM过圆心O，而A、D、M、B四点共圆，
∴四边形ADMB为矩形，
∵AB=1，CD=2，
∴CM=2-1=1=AB=DM，
故①正确；
又∵AB∥CD，
∴四边形ABMC为平行四边形，
∴∠AEB=∠MAE， = ，
故②正确；
∵四边形ADMB为矩形，
∴AB=DM，
∴ = ，
∴=，
∴∠DAM=∠EAM，
过点O作OG⊥AM，OH⊥AM，
∴OG=OH，
∴AD=AE，
故④正确；
由题设条件求不出直径的大小，
故③⊙O的直径为2，错误；
故答案为：①②④.
【分析】①根据圆周角定理和圆的内接四边形可知四边形ADMB为矩形，从而可求得DM=CM，故①正确；
②根据平行四边形的判定可知四边形ABMC为平行四边形，由平行线的性质可知∠AEB=∠MAE，从而可得 ②正确；
③由题设条件求不出直径的大小，故③错误；
④根据矩形的性质和弦、弧之间的关系可得=，从而可得∠DAM=∠EAM，再由角平分线的性质可得OG=OH，从而可得④正确.
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（2024·余姚期中）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过A（0，1），B（2，﹣1）两点．
（1）求b，c的值．
（2）试判断点P（﹣1，2）是否在此函数的图象上．
【答案】（1）解：把(0，1)， 两点代入
，得
∴这个函数的解析式为
（2）解：∵二次函数解析式为
把 代入 得
∴点 不在此函数图象上.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】(1)把两点代入根据待定系数法即可求得；
(2)把 代入解析式，算一下y的值是否为2，即可得出答案.
18．（2024·余姚期中）小红的爸爸积极参加社区抗疫志愿服务工作.根据社区的安排志愿者被随机分到 组（体温检测）、 组（便民代购）、 组（环境消杀）.
（1）小红的爸爸被分到 组的概率是　 　；
（2）某中学王老师也参加了该社区的志愿者队伍，他和小红爸爸被分到同一组的概率是多少？（请用画树状图或列表的方法写出分析过程）
【答案】（1）
（2）解：用列表法表示所有可能出现的结果如下：
小红爸爸 王老师 A B C
A AA AB AC
B BA BB BC
C CA CB CC
共有9种可能出现的结果，其中“他与小红的爸爸”在同一组的有3种，
∴P（他与小红爸爸在同一组）=
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率的简单应用
【解析】【解答】（1）共有3种可能出现的结果，被分到“B组”的有1种，
因此被分到“B组”的概率为 ，
故答案为： ；
【分析】（1）共有3种可能出现的结果，被分到“B组”的有1中，可求出概率.（2）用列表法表示所有可能出现的结果，进而计算“他与小红的爸爸”分到同一组的概率.
19．（2024·余姚期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4）．请解答下列问题：
（1）将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到图形△A1B1C1，请画出此图形；
（2）求出△ABC的面积
【答案】（1）解：
（2）解：ABC的面积为
【知识点】作图﹣旋转；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】(1)根据旋转的性质作图即可.
(2)利用割补法求三角形的面积即可
20．（2024·余姚期中）如图，⊙O的弦AB，CD相交于点E，且AB＝CD，求证：EB＝ED．
【答案】证明：∵AB＝CD，
∴．
∴．
即．
∴∠B＝∠D．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】连接AC，利用在同圆或等圆中，等弦对等弧，同弧或等弧所对的圆周角相等，得出 利用等腰三角形的判定定理得到 利用等式的性质即可得出结论.
21．（2024·余姚期中）足球训练中球员从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示直角坐标系．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）已知球门高为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）
【答案】（1）解：，
抛物线的顶点坐标为，设抛物线，
把点代入得：，
解得，
抛物线的函数表达式为；

（2）解：当时，
，
球不能射进球门．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）运用待定系数法求二次函数的解析式；
（2）当时，求出y值，与2.44作比较解答即可．
（1）解：，
抛物线的顶点坐标为，设抛物线，
把点代入得：，
解得，
抛物线的函数表达式为；
（2）解：当时，
，
球不能射进球门．
22．（2024·余姚期中）如图，AB是半圆O的直径，C，D是圆上的两点，且OD∥AC，OD与BC交于点E．
（1）求证：E为BC的中点．
（2）若BC＝10，DE＝3，求AB的长度．
【答案】（1）证明：∵AB是半圆O的直径，
∴∠C＝90°，
∵OD∥AC，
∴∠OEB＝∠C＝90°，
∴OD⊥BC，-
∵OD是⊙O的半径，
∴BE＝CE，
∴E为BC的中点
（2）解：∵BC＝10，DE＝3，
∴设圆O的半径为x，OB＝OD＝x，OE＝x﹣3，．
在Rt△BOE中，OB2＝BE2+OE2，即x2＝52+（x﹣3）2，
解得，
∴
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角求出根据平行线的性质求出即 ，根据垂径定理即可证得结论；
(2)设圆的半径为x，则 根据勾股定理求出答案.
23．（2024·余姚期中）已知二次函数y＝x2-6x+3．
（1）求该函数图象的顶点坐标、对称轴以及与x轴的交点坐标；
（2）当0≤x≤4时，求y的最大值与最小值之差；
（3）当﹣2≤x≤k时，求y的最小值．（可用含k的代数式表示）
【答案】（1）解：y＝x2﹣6x+3＝（x﹣3）2﹣6，
∴顶点坐标（3，-6），对称轴是直线x=3，
由y=0，得x=3±√6，与x轴的交点坐标是(3＋√6，0 ），(3－√6，0 ）
（2）解：当0≤x≤4时，
①仅当x＝3时，y取得最小值，此时y＝（3﹣3）2﹣6＝﹣6；
②仅当x＝0时，y取得最大值，此时y＝（0﹣3）2﹣6＝3；
3﹣（﹣6）＝9，
∴当0≤x≤4时，求y的最大值与最小值之差为9
（3）解：y＝x2﹣6x+3＝（x﹣3）2﹣6，
当k≤3时，则在﹣2≤x≤k时，y随x的增大而减小，
∴当x≤k时，y有最小值，最小值为y＝k2﹣6k+3；
当k＞3时，则在﹣2≤x≤k时，抛物线的顶点在图象上处于最低点，
∴当x＝3时，y有最小值，最小值为﹣6；
综上所述，y的最小值为k2﹣6k+3或﹣6
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】(1)把一般式化为顶点式即可求顶点坐标、对称轴，令 可得x的值，即可得与x轴的交点坐标；
(2)对称轴为直线 图象开口向上，最小值在x 时取到，最大值在 时取到；
(3)当 时和 时两种情况讨论即可.
24．（2024·余姚期中）已知：A、F、E、C四点在⊙O上，延长CE、AF交于点B，且BE＝CE＝6．
（1）若AE＝BE，
①求证：BF＝CF；
②当∠B＝30°时，求∠FCA的度数．
（2）若⊙O的半径为4，求AB2+AC2的最大值．
【答案】（1）解：①证明：∵AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B．
∵∠BAE＝∠FCE，
∴∠B＝∠FCE，
∴BF＝FC；-
②解：∵∠B＝30°，∠B＝∠FCE，
∴∠B＝∠FCE＝30°．
∴∠AFC＝∠B+∠FCE＝60°．
∵∠AEC＝∠AFC，
∴∠AEC＝60°．
∵BE＝CE，AE＝BE，
∴AE＝CE．
∴∠EAC＝∠ECA＝30°，
∴∠FCA＝∠ECA﹣∠FCB＝90°﹣30°﹣30°＝30°
（2）解：过点A作AG⊥BC于点G，
由勾股定理得：AB2＝AG2+BG2，AC2＝AG2+CG2，
∴AB2+AC2＝2AG2+BG2+CG2．
∵BE＝CE＝6，
∴BG＝BE+EG＝6+EG，CG＝CE﹣EG＝6﹣EG，
∴BG2+CG2＝（6+EG）2+（6﹣EG）2＝72+2EG2．
∴AB2+AC2＝2AG2+72+2EG2．
在Rt△AEG中，AG2+EG2＝AE2，
∴AB2+AC2＝72+2（AG2+EG2）＝72+2AE2．
∵直径是圆中最长的弦，
∴当AE为直径时，AB2+AC2取最大值，
∵⊙O的半径为4，
∴当AE＝8时，AB2+AC2的最大值为：72+2×82＝200．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；圆的相关概念；圆周角定理
【解析】【分析】(1)①利用等腰三角形的性质与圆周角定理得到 结论可得；
②利用等边对等角可得 利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和求得∠ 通过等量代换得到. 利用三角形的内角和定理与等腰三角形的性质可求 A，最后利用 即可求得结论；
(2)过点A作 '于点G，构造直角三角形，利用勾股定理求得 用已知条件表示出 通过转化得到利用直径是圆中最长的弦，得到当AE为直径时， 取最大值，将 代入即可得出结论.
1 / 1浙江省宁波市余姚市六校2024-2025学年第一学期九年级期中联考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2024·余姚期中）在一个只装有黑色围棋的盒子中摸出一颗棋子，摸到一颗白棋是（　　）
A．必然事件 B．不确定事件 C．不可能事件 D．无法判断
2．（2024·余姚期中）已知⊙O的半径是5，OP＝6，则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在圆外 B．点P在圆内 C．点P在圆上 D．不能确定
3．（2024·余姚期中）抛物线y＝x2﹣8x+12与y轴的交点坐标是（　　）
A．（2，0） B．（6，0） C．（0，12） D．（0，﹣12）
4．（2024·余姚期中）将二次函数y＝2x2的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（　　）
A．y＝2（x﹣2）2﹣3 B．y＝2（x+2）2﹣3
C．y＝2（x+2）2+ 3 D．y＝2（x﹣2）2+3
5．（2024·余姚期中）下列说法正确的是（　　）
A．三点确定一个圆
B．三角形的外心是三角形三条角平分线的交点
C．等弧就是长度相等的两条弧
D．圆中最长的弦是直径
6．（2024·余姚期中）某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（　　）
A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80
7．（2024·余姚期中）如图，在中，半径交弦于点，点为中点，若，，则的长为（　　）
A．8 B．5 C．4 D．3
8．（2024·余姚期中）将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（　　）
A．y＝（x﹣35）（200﹣5x） B．y＝（x+40）（200﹣10x）
C．y＝（x+5）（200﹣5x） D．y＝（x+5）（200﹣10x）
9．（2024·余姚期中）如图，AB 是⊙O 的直径， ∠D＝32° ，则∠AOC 等于(　　)
A．158° B．58° C．64° D．116°
10．（2024·余姚期中）如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：
①2a+b＝0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1．其中正确结论的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（2024·余姚期中）二次函数y＝2x2的图象开口方向是　 　.
12．（2024·余姚期中）从“”中随机抽取一个字母，抽中字母h的概率为 　 　．
13．（2024·余姚期中）如图，是的外接圆，的半径为，，则的长是　 　
14．（2024·余姚期中）如果二次函数y＝（x﹣1）2+m（m为常数）的图象上有两点（﹣3，y1）和（4，y2），那么y1　 　y2（填“＞”、“＝”或“＜”）．
15．（2024·余姚期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝65°，将△ABC绕点B逆时针旋转至△EBD，使点C落在边AC上的D处，则∠EBA＝　 　．
16．（2024·余姚期中）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠CDA=90°，AB=1，CD=2，过A，B，D三点的⊙O分别交BC，CD于点E，M，下列结论：①DM=CM；② ；③⊙O的直径为2；④AE=AD．其中正确的结论有　 　（填序号）．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（2024·余姚期中）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过A（0，1），B（2，﹣1）两点．
（1）求b，c的值．
（2）试判断点P（﹣1，2）是否在此函数的图象上．
18．（2024·余姚期中）小红的爸爸积极参加社区抗疫志愿服务工作.根据社区的安排志愿者被随机分到 组（体温检测）、 组（便民代购）、 组（环境消杀）.
（1）小红的爸爸被分到 组的概率是　 　；
（2）某中学王老师也参加了该社区的志愿者队伍，他和小红爸爸被分到同一组的概率是多少？（请用画树状图或列表的方法写出分析过程）
19．（2024·余姚期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4）．请解答下列问题：
（1）将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到图形△A1B1C1，请画出此图形；
（2）求出△ABC的面积
20．（2024·余姚期中）如图，⊙O的弦AB，CD相交于点E，且AB＝CD，求证：EB＝ED．
21．（2024·余姚期中）足球训练中球员从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示直角坐标系．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）已知球门高为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）
22．（2024·余姚期中）如图，AB是半圆O的直径，C，D是圆上的两点，且OD∥AC，OD与BC交于点E．
（1）求证：E为BC的中点．
（2）若BC＝10，DE＝3，求AB的长度．
23．（2024·余姚期中）已知二次函数y＝x2-6x+3．
（1）求该函数图象的顶点坐标、对称轴以及与x轴的交点坐标；
（2）当0≤x≤4时，求y的最大值与最小值之差；
（3）当﹣2≤x≤k时，求y的最小值．（可用含k的代数式表示）
24．（2024·余姚期中）已知：A、F、E、C四点在⊙O上，延长CE、AF交于点B，且BE＝CE＝6．
（1）若AE＝BE，
①求证：BF＝CF；
②当∠B＝30°时，求∠FCA的度数．
（2）若⊙O的半径为4，求AB2+AC2的最大值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：在一个装有黑色围棋的盒子中摸出一颗棋子，摸到一颗白棋是不可能的，
因而这是一个不可能事件.
故答案为：C.
【分析】根据事件的分类解答即可.
2．【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵半径是5，
∴点P与⊙O的位置关系是点P在圆外，
故答案为：C.
【分析】若点与圆心的距离d，圆的半径为r，则当 时，点在圆外；当 时，点在圆上；当( 时，点在圆内，据此求解即可.
3．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：令 则
∴抛物线与y轴的交点坐标是(0，12).
故答案为：C.
【分析】令 ，即可求出抛物线的与y轴的交点坐标.
4．【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数 的图象先向右平移2个单位所得函数的解析式为：
由“上加下减”的原则可知，将二次函数 的图象先向下平移3个单位所得函数的解析式为：
故答案为：.
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.
5．【答案】D
【知识点】圆的相关概念；确定圆的条件；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：A.三个不在一条直线上的点可以确定一个圆，原说法错误，故此选项不符合题意；
B.三角形的外心是这个三角形三边垂直平分线的交点，原说法错误，故此选项不符合题意；
C.长度相等的两条弧不一定是等弧，原说法错误，故此选项不符合题意.
D.圆中最长的弦是直径，正确，故此选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】分别利用确定圆的方法以及垂径定理及其推论进而判断得出即可.
6．【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】由统计图可知，树苗移植成活的频率在0.90上下波动，且移植的数量越多，移植成活的频率越接近0.90，
∴由此可估计这种树苗移植成活的概率为0.90.
故答案为：B.
【分析】通过统计图中的树苗成活的频率接近0.90，即可估计该树苗存活的概率.
7．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵点为中点，
∴，
∴，
在中，，
故选：D．
【分析】根据垂径定理可得，然后利用勾股定理解答即可．
8．【答案】C
【知识点】列二次函数关系式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：根据题意可得：，
故答案为：C.
【分析】根据售价减去进价乘以销售量表示出实际的利润.
9．【答案】D
【知识点】圆周角定理；邻补角
【解析】【解答】解：∵∠BOC与∠D是同弧所对的圆心角与圆周角，∠D=32°，
∴，
，
故答案为：D．
【分析】根据圆周角定理得到∠BOC的度数，然后利用邻补角的定义解题．
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：由抛物线对称轴为直线 从而 则 故①正确；
抛物线开口向下，与y轴相交于正半轴，则 c 而 因而 故②错误；方程 从函数角度可以看作是 与直线 求交点，从图象可以知道，抛物线顶点为(1，3)，则抛物线与直线有且只有一个交点故方程 有两个相等的实数根，故③正确；
由抛物线对称性，与x轴的一个交点B(4，0)，则另一个交点坐标为 故④错误；
由图象可知，当 时， 故⑤正确；因为 时，y1有最大值，所以 即 )(m实数) ，故⑥正确.
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系——判断即可.
11．【答案】向上
【知识点】二次函数y=ax²的图象
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝2x2中，a＝2＞0，
∴开口向上，
故答案为：向上.
【分析】由于二次项的系数大于0，故图象开口向上.
12．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：从“”中随机抽取一个字母，共有8种等可能的结果，其中抽中字母h的结果有2种，
∴抽中字母h的概率为，
故答案为：．
【分析】根据“概率所求情况数与总情况数之比”解答即可．
13．【答案】4
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接，
∵，
∴
∵
∴是等边三角形，
∴
故答案为：
【分析】连接，根据圆周角定理得到是等边三角形，根据等边三角形的性质解答即可.
14．【答案】＞
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：由题意可得，函数 的对称轴为：
点 关于 的对称点为：
时，y随x的增大而增大，
故答案为：>.
【分析】根据对称性找到点关于对称轴的对称点，结合性质求解即可得到答案.
15．【答案】50°
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转可知，
又∵点D落在边AC上，
即旋转角为
所以
故答案为：
【分析】根据旋转的性质即可解决问题.
16．【答案】①②④
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如下图，连接AM，连接MB，过点O作OG⊥AM，OH⊥AM，
∵∠BAD=∠CDA=90°，
∴AM过圆心O，而A、D、M、B四点共圆，
∴四边形ADMB为矩形，
∵AB=1，CD=2，
∴CM=2-1=1=AB=DM，
故①正确；
又∵AB∥CD，
∴四边形ABMC为平行四边形，
∴∠AEB=∠MAE， = ，
故②正确；
∵四边形ADMB为矩形，
∴AB=DM，
∴ = ，
∴=，
∴∠DAM=∠EAM，
过点O作OG⊥AM，OH⊥AM，
∴OG=OH，
∴AD=AE，
故④正确；
由题设条件求不出直径的大小，
故③⊙O的直径为2，错误；
故答案为：①②④.
【分析】①根据圆周角定理和圆的内接四边形可知四边形ADMB为矩形，从而可求得DM=CM，故①正确；
②根据平行四边形的判定可知四边形ABMC为平行四边形，由平行线的性质可知∠AEB=∠MAE，从而可得 ②正确；
③由题设条件求不出直径的大小，故③错误；
④根据矩形的性质和弦、弧之间的关系可得=，从而可得∠DAM=∠EAM，再由角平分线的性质可得OG=OH，从而可得④正确.
17．【答案】（1）解：把(0，1)， 两点代入
，得
∴这个函数的解析式为
（2）解：∵二次函数解析式为
把 代入 得
∴点 不在此函数图象上.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】(1)把两点代入根据待定系数法即可求得；
(2)把 代入解析式，算一下y的值是否为2，即可得出答案.
18．【答案】（1）
（2）解：用列表法表示所有可能出现的结果如下：
小红爸爸 王老师 A B C
A AA AB AC
B BA BB BC
C CA CB CC
共有9种可能出现的结果，其中“他与小红的爸爸”在同一组的有3种，
∴P（他与小红爸爸在同一组）=
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率的简单应用
【解析】【解答】（1）共有3种可能出现的结果，被分到“B组”的有1种，
因此被分到“B组”的概率为 ，
故答案为： ；
【分析】（1）共有3种可能出现的结果，被分到“B组”的有1中，可求出概率.（2）用列表法表示所有可能出现的结果，进而计算“他与小红的爸爸”分到同一组的概率.
19．【答案】（1）解：
（2）解：ABC的面积为
【知识点】作图﹣旋转；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】(1)根据旋转的性质作图即可.
(2)利用割补法求三角形的面积即可
20．【答案】证明：∵AB＝CD，
∴．
∴．
即．
∴∠B＝∠D．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】连接AC，利用在同圆或等圆中，等弦对等弧，同弧或等弧所对的圆周角相等，得出 利用等腰三角形的判定定理得到 利用等式的性质即可得出结论.
21．【答案】（1）解：，
抛物线的顶点坐标为，设抛物线，
把点代入得：，
解得，
抛物线的函数表达式为；

（2）解：当时，
，
球不能射进球门．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）运用待定系数法求二次函数的解析式；
（2）当时，求出y值，与2.44作比较解答即可．
（1）解：，
抛物线的顶点坐标为，设抛物线，
把点代入得：，
解得，
抛物线的函数表达式为；
（2）解：当时，
，
球不能射进球门．
22．【答案】（1）证明：∵AB是半圆O的直径，
∴∠C＝90°，
∵OD∥AC，
∴∠OEB＝∠C＝90°，
∴OD⊥BC，-
∵OD是⊙O的半径，
∴BE＝CE，
∴E为BC的中点
（2）解：∵BC＝10，DE＝3，
∴设圆O的半径为x，OB＝OD＝x，OE＝x﹣3，．
在Rt△BOE中，OB2＝BE2+OE2，即x2＝52+（x﹣3）2，
解得，
∴
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角求出根据平行线的性质求出即 ，根据垂径定理即可证得结论；
(2)设圆的半径为x，则 根据勾股定理求出答案.
23．【答案】（1）解：y＝x2﹣6x+3＝（x﹣3）2﹣6，
∴顶点坐标（3，-6），对称轴是直线x=3，
由y=0，得x=3±√6，与x轴的交点坐标是(3＋√6，0 ），(3－√6，0 ）
（2）解：当0≤x≤4时，
①仅当x＝3时，y取得最小值，此时y＝（3﹣3）2﹣6＝﹣6；
②仅当x＝0时，y取得最大值，此时y＝（0﹣3）2﹣6＝3；
3﹣（﹣6）＝9，
∴当0≤x≤4时，求y的最大值与最小值之差为9
（3）解：y＝x2﹣6x+3＝（x﹣3）2﹣6，
当k≤3时，则在﹣2≤x≤k时，y随x的增大而减小，
∴当x≤k时，y有最小值，最小值为y＝k2﹣6k+3；
当k＞3时，则在﹣2≤x≤k时，抛物线的顶点在图象上处于最低点，
∴当x＝3时，y有最小值，最小值为﹣6；
综上所述，y的最小值为k2﹣6k+3或﹣6
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】(1)把一般式化为顶点式即可求顶点坐标、对称轴，令 可得x的值，即可得与x轴的交点坐标；
(2)对称轴为直线 图象开口向上，最小值在x 时取到，最大值在 时取到；
(3)当 时和 时两种情况讨论即可.
24．【答案】（1）解：①证明：∵AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B．
∵∠BAE＝∠FCE，
∴∠B＝∠FCE，
∴BF＝FC；-
②解：∵∠B＝30°，∠B＝∠FCE，
∴∠B＝∠FCE＝30°．
∴∠AFC＝∠B+∠FCE＝60°．
∵∠AEC＝∠AFC，
∴∠AEC＝60°．
∵BE＝CE，AE＝BE，
∴AE＝CE．
∴∠EAC＝∠ECA＝30°，
∴∠FCA＝∠ECA﹣∠FCB＝90°﹣30°﹣30°＝30°
（2）解：过点A作AG⊥BC于点G，
由勾股定理得：AB2＝AG2+BG2，AC2＝AG2+CG2，
∴AB2+AC2＝2AG2+BG2+CG2．
∵BE＝CE＝6，
∴BG＝BE+EG＝6+EG，CG＝CE﹣EG＝6﹣EG，
∴BG2+CG2＝（6+EG）2+（6﹣EG）2＝72+2EG2．
∴AB2+AC2＝2AG2+72+2EG2．
在Rt△AEG中，AG2+EG2＝AE2，
∴AB2+AC2＝72+2（AG2+EG2）＝72+2AE2．
∵直径是圆中最长的弦，
∴当AE为直径时，AB2+AC2取最大值，
∵⊙O的半径为4，
∴当AE＝8时，AB2+AC2的最大值为：72+2×82＝200．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；圆的相关概念；圆周角定理
【解析】【分析】(1)①利用等腰三角形的性质与圆周角定理得到 结论可得；
②利用等边对等角可得 利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和求得∠ 通过等量代换得到. 利用三角形的内角和定理与等腰三角形的性质可求 A，最后利用 即可求得结论；
(2)过点A作 '于点G，构造直角三角形，利用勾股定理求得 用已知条件表示出 通过转化得到利用直径是圆中最长的弦，得到当AE为直径时， 取最大值，将 代入即可得出结论.
1 / 1

展开更多......

收起↑