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浙江省丽水市莲都区2024-2025学年七年级下学期期末数学试题
1．（2025七下·莲都期末） 计算的结果是（　　）
A．2025 B．1 C．0 D．
2．（2025七下·莲都期末）下列方程中是二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025七下·莲都期末） 人体一根头发的直径约为米，将数字用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025七下·莲都期末）若分式的值为零，则的值是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025七下·莲都期末） 下列等式从左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025七下·莲都期末）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025七下·莲都期末） 我校在一次歌唱选拔比赛中，将所有参赛学生的成绩绘制成如图所示的折线统计图，则下列说法错误的是（　　）
A．最高分为100分 B．最高分与最低分的差是15分
C．参赛学生人数为8人 D．参赛学生的满分率为
8．（2025七下·莲都期末） 若展开后不含的项，则m的值是（　　）
A． B．1 C．3 D．
9．（2025七下·莲都期末） 为解决供水问题需铺设一条长2400米的管道，实际施工时……．设实际每天铺设管道米，可得方程．根据此情景，题中用“……”表示的缺失条件为（　　）．
A．每天比原计划少铺设20米，结果延期6天完成
B．每天比原计划多铺设20米，结果提前6天完成
C．每天比原计划少铺设6米，结果延期20天完成
D．每天比原计划多铺设6米，结果提前20天完成
10．（2025七下·莲都期末） 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与另一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数表示为（　　）
A． B．
C． D．
11．（2025七下·莲都期末） 因式分解：　 　．
12．（2025七下·莲都期末） 将变形，用含的代数式表示，那么　 　．
13．（2025七下·莲都期末） 如图，将三角形沿方向平移到三角形的位置，已知点之间的距离为1，，则的长是　 　．
14．（2025七下·莲都期末）一次数学测试后，某班50名学生的成绩被分为5组，第1至4组的频数分别为13、9、8、10，则第5组的频率是　 　．
15．（2025七下·莲都期末） 规定：若实数满足（且），则记作．例如：，则．若，且，则的值是　 　．
16．（2025七下·莲都期末） 如图，正方形，正方形和正方形摆放在长方形中，，且．已知正方形与正方形的面积之和为7，则长方形的面积为　 　．
17．（2025七下·莲都期末）
（1）计算：
（2）化简：
18．（2025七下·莲都期末） 解方程（组）
（1）
（2）
19．（2025七下·莲都期末） 先化简，再求值：，其中．
20．（2025七下·莲都期末） 某中学数学兴趣小组在开展主题为“绿色出行从我做起——学生上学方式”的调查活动，采取随机抽样的方式进行问卷调查，问卷调查结果分为“私家车接送”“乘公交车”“骑自行车”“步行”四种上学方式，数据整理如下表．
上学方式 私家车接送 乘公交车 步行 骑自行车
频数 54 92 12 42
频率
（1）本次问卷调查取样的样本容量为　 　，表中的值为　 　．
（2）根据表中数据计算“骑自行车”上学的频数在扇形统计图中所对应扇形的圆心角的度数．
（3）若该中学有1500人，根据调查结果估计全校学生中“乘公交车”上学的人数．
21．（2025七下·莲都期末） 如图，是内一点，点在上．过点画一条直线平行于，过点画一条直线平行于，直线交于．
（1）用直尺和三角尺画平行线的方法，画出图形．
（2）若，求的度数．
22．（2025七下·莲都期末） 已知．
（1）当时，求的值．
（2）试说明无论取何值时，．
23．（2025七下·莲都期末） 根据以下素材，探索完成任务．
如何设计门票购买方案？
素材1 乒乓球比赛的门票分为三个档次，购买1张档门票和2张档门票需要700元；购买2张档门票和3张档门票需要1200元；购买1张档门票需要80元．
素材2 购票平台有优惠活动：每购买1张A档门票就赠送1张C档门票．
素材3 某公司计划组织30名员工观看比赛．
问题解决
任务1 求档和档门票的单价．
任务2 购买门票中，档9张，档11张，求公司购买门票至少需要多少元．
任务3 该公司购买门票共花了4040元，且赠送的档门票全部用完．请你求出所有符合条件的购买方案，并写出解答过程．
24．（2025七下·莲都期末） 如图，将两个直角三角尺作如下摆放，，直线过点，在直线上，平分．
（1）求的度数．
（2）试判断与的位置关系，并说明理由．
（3）将绕点逆时针旋转，速度为每秒，同时绕点逆时针旋转，速度为每秒，记旋转时间为，当旋转一周时，整个运动停止．当与的任意一边平行时，求出所有满足条件的的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】零指数幂
【解析】【解答】解：，
故答案为：B.
【分析】根据任何一个不等于0的数的0次幂都等于1解答即可.
2．【答案】B
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A．中，的次数为2，不是二元一次方程，故不合题意；
B．符合二元一次方程定义，是二元一次方程，故符合题意；
C．，不是整式方程，故不合题意；
D．中，x的次数为2，不是二元一次方程，故不合题意；
故答案为：B．
【分析】根据二元一次方程的定义“方程中只含有2个未知数，且含未知数项的最高次数为一次的整式方程是二元一次方程”逐项判断解题．
3．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】
故答案为： D.
【分析】 科学记数法的表示形式为 ，其中1≤|a|<10，n为所有整数位的个数减1.
4．【答案】A
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为零，
∴a+1=0且2a-1≠0，
解得a=-1.
故答案为：A.
【分析】分式值为0的条件：分子为0，分母不为0，据此求解.
5．【答案】C
【知识点】因式分解的正确性判断
【解析】【解答】解： 是乘法运算，则A不符合题意，
中等号右边不是积的形式，则B不符合题意，
符合因式分解的定义，则C符合题意，
是乘法运算，则D不符合题意，
故答案为： C.
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可.
6．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；同类项的概念；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、 ，故选项A错误；
B、 ，故选项B错误；
C、 不能合并，故C错误；
D、 ，故选项D正确.
故答案为：D.
【分析】根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可判断A；根据幂的乘方法则“幂的乘方，底数不变，指数相乘”可判断B；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，据此可判断C；根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可判断D.
7．【答案】C
【知识点】折线统计图
【解析】【解答】解：A、从统计图可以得出最高分为100分，故本选项不符合题意；
B、从统计图可以得出最高分为100分，最低分为85分，最高分与最低分差是15分，故本选项不符合题意；
C、从统计图可以得出参赛学生人数共有 人，故本选项符合题意；
D、参赛学生的满分率为 故本选项不符合题意.
故答案为： C.
【分析】根据统计图中提供的信息，逐项进行判断即可.
8．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵多项式(
不含 项，
解得
故答案为： D.
【分析】先把多项式展开后合并，然后令 项系数等于0，再解方程即可.
9．【答案】B
【知识点】分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：∵a表示原计划每天铺设公路的长度，
表示实际每天铺设公路的长度，
∴实际每天铺设比原计划多铺设20米；
∵所列分式方程为 表示原计划所需时间， 表示实际所需时间，
∴结果提前6天完成，
∴题中用“……”表示的缺失条件应补为：实际每天铺设比原计划多铺设20米，结果提前6天完成.
故答案为： A.
【分析】由a， 间的关系，可得出实际每天铺设比原计划多铺设20米，结合所列分式方程，可得出结果提前6天完成，此题得解.
10．【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：由题意可知AB∥OF.
故答案为： D.
【分析】由平行线的性质可表示出 结合对顶角相等可表示出 ，再利用外角的性质可求得 的度数.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】首先找出多项式的公因式，然后提取公因式法因式分解即可.
12．【答案】
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
解得：
故答案为：
【分析】把x看作已知数，利用移项，系数化为1求出y即可.
13．【答案】4
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵三角形ABC沿水平方向向右平移到三角形DEF，
故答案为：4.
【分析】根据平移的性质得到 然后计算BF即可.
14．【答案】
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：，
∴第5组的频率是，
故答案为：．
【分析】求出第5组的频数，利用“频率频数总数”计算解答．
15．【答案】15
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：
故答案为：15.
【分析】根据新运算的定义及同底数幂的乘法运算法则计算即可.
16．【答案】3
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：设正方形AEHG的边长为a，正方形NKCM的边长为b，
依题意得： AP=EF=BE=3a， PD=CK=b， DQ= AE =a，
∴AD=AP+PD=3-a+b， 长方形PFQD的面积为： PD·DQ= ab，
∵正方形AEHG与正方形NKCM的面积之和为7，
在长方形ABCD中， AB=3， BC= AD =4，
∴3-a+b=4，
∴b-a=1，
∴，7-2ab=1，
∴长方形PFQD的面积为3
故答案为：
【分析】设正方形AEHG的边长为a，正方形NKCM的边长为b， 依题意得AP=EF=BE=3a， PD=CK=b， DQ=AE=a， 进而得AD= AP+PD=3-a+b， 长方形PFQD的面积为PD·D 再由完全平方公式得出 由此即可得出长方形PFQD的面积.
17．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】整式的混合运算；负整数指数幂
【解析】【分析】(1)利用有理数的乘方法则，零指数幂计算后再算加减即可；
(2)利用平方差公式展开，然后去括号，最后合并同类项即可.
18．【答案】（1）解：
得：
解得：
将 代入①得：
解得：
故原方程组的解为 ；
（2）解：原方程去分母得： x-1 = 3x-6+1，
解得： x=2，
检验： 当x = 2时， 则x =2是分式方程的增根，故原方程无解.
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；去分母法解分式方程
【解析】【分析】(1)利用加减消元法解方程组即可；
(2)利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可.
19．【答案】解：原式
当 时， 原式=2.
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可.
20．【答案】（1）200；
（2）解：“骑自行车”上学的频数在扇形统计图中所对应扇形的圆心角的度数为： ；
（3）解： (人)；
答：估计全校学生中“乘公交车”上学的人数为690人.
【知识点】统计表；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】(1)解：本次问卷调查取样的样本容量为
故答案为： 200； 0.21；
【分析】(1)根据“私家车接送”的频数与频率，即可求得本次问卷调查取样的样本容量；用“骑自行车”的人数除以总人数即可求得m的值；
(2)由频率与 的积即可求得扇形圆心角；
(3)全校人数与“乘公交车”的频率之积即是所求结果.
21．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：∵直线a平行于AB，
∵直线b平行于BC，

【知识点】平行线的性质；三角板（直尺）画图-平行线
【解析】【分析】(1)根据画平行线的方法作图即可；
(2)先根据两直线平行，内错角相等求出 再根据两直线平行，同位角相等解答即可.
22．【答案】（1）解：由题意得：
解得：
（2）证明：
【知识点】整式的混合运算；因式分解的应用-比较大小
【解析】【分析】(1)根据题意列出方程，解方程得到答案；
(2)把N-M利用配方法变形，再根据偶次方的非负性证明.
23．【答案】解：(任务1)设A档门票的单价是x元，B档门票的单价是y元，
根据题意得：
解得：
答：A档门票的单价是300元，B档门票的单价是200元；
(任务2)根据题意得：
。
答：公司购买门票至少需要4980元；
(任务3)设购买m张A档门票，n张B档门票，则购买 张C档门票，
根据题意得：
又∵m， n， ( )均为非负整数，
或
∴共有两种购买方案，
方案1：购买4张A档门票，9张B档门票，13张C档门票；
方案2：购买10张A档门票，2张B档门票，8张C档门票.
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(任务1)设A档门票的单价是x元，B档门票的单价是y元，根据“购买1张A档门票和2张B档门票需要700元；购买2张A档门票和3张B档门票需要1200元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(任务2)利用总价=单价×数量，即可求出结论；
(任务3)设购买m张A档门票，n张B档门票，则购买 张C档门票，利用总价=单价×数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n， 均为非负整数，即可得出各购买方案.
24．【答案】（1）解：根据题意得： ∠GEF = 60°，
∵EG平分∠AEF，
∴∠AEF = 2∠GEF = 120°，
∴∠BEF = 180°-∠AEF = 60°；
（2）解：过点G作GL∥AB， 如图所示：
根据题意得： ∠AEG=60°，∠PNM =30°，∠EGF= 90°，
∴∠EGL=∠AEG=60°，
∴∠LGP=30°，
∴∠LGP = ∠PNM =30°，
∴GL∥CD，
∴GL∥CD∥AB，
∴CD∥AB；
（3）解：如图所示，当时，延长EF交CD于点H，延长PN交EF于点O，交AB于点G，
由 (1) 得
∵将 绕点E逆时针旋转，速度为每秒 同时 绕点N逆时针旋转，速度为每秒 记旋转时间为t，
∴∠HEG=60°﹣4t，∠CNP=10t﹣30°，
∵CD∥AB，
∴∠EHN=60°-4t， ∠CNP=∠HNO=10t-30°，
∴∠EHN+∠CNP=90°， 即60°-4t+10t-30°=90°，
解得： t=10；
如图所示，当EF∥NM时，延长NM交AB于点G，
∵将△EGF绕点E逆时针旋转，速度为每秒4°，同时△MPN绕点N逆时针旋转，速度为每秒10°，记旋转时间为t，
∴∠FEG=4t-60°，∠MND=10t-180°，
∵CD∥AB，
∴∠DNM =∠BGM =10t-180°，
∵EF∥NM，
∴∠FEB=∠BGM， 即10t-180°= 4t-60°，
解得： t= 20；
如图所示，当EF∥NP时，延长NP交AB于点G，
∵将△EGF绕点E逆时针旋转，速度为每秒4°，同时△MPN绕点N逆时针旋转，速度为每秒10°，记旋转时间为t，
∴∠FEG=4t-60°，∠GND=10t-180°-30°，
∵CD∥AB，
∴∠DNG=∠AGN =10t-180°-30°，
∵EF∥NM，
∴∠FEG=∠EGN， 即10t-180°-30°= 4t-60°，
解得： t= 25；
综上可得：t的值为10或20或25.
【知识点】旋转的性质；邻补角；角平分线的概念；平行线的应用-三角尺问题
【解析】【分析】(1)根据角平分线及邻补角计算即可；
(2)过点G作GL∥AB，根据平行线的判定和性质即可得出结果；
(3)根据题意，分三种情况分析：当EF∥PM时， 当EF∥NM时， 当EF∥NP时， 然后作出辅助线，利用平行线的性质求解即可.
1 / 1浙江省丽水市莲都区2024-2025学年七年级下学期期末数学试题
1．（2025七下·莲都期末） 计算的结果是（　　）
A．2025 B．1 C．0 D．
【答案】B
【知识点】零指数幂
【解析】【解答】解：，
故答案为：B.
【分析】根据任何一个不等于0的数的0次幂都等于1解答即可.
2．（2025七下·莲都期末）下列方程中是二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A．中，的次数为2，不是二元一次方程，故不合题意；
B．符合二元一次方程定义，是二元一次方程，故符合题意；
C．，不是整式方程，故不合题意；
D．中，x的次数为2，不是二元一次方程，故不合题意；
故答案为：B．
【分析】根据二元一次方程的定义“方程中只含有2个未知数，且含未知数项的最高次数为一次的整式方程是二元一次方程”逐项判断解题．
3．（2025七下·莲都期末） 人体一根头发的直径约为米，将数字用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】
故答案为： D.
【分析】 科学记数法的表示形式为 ，其中1≤|a|<10，n为所有整数位的个数减1.
4．（2025七下·莲都期末）若分式的值为零，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为零，
∴a+1=0且2a-1≠0，
解得a=-1.
故答案为：A.
【分析】分式值为0的条件：分子为0，分母不为0，据此求解.
5．（2025七下·莲都期末） 下列等式从左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的正确性判断
【解析】【解答】解： 是乘法运算，则A不符合题意，
中等号右边不是积的形式，则B不符合题意，
符合因式分解的定义，则C符合题意，
是乘法运算，则D不符合题意，
故答案为： C.
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可.
6．（2025七下·莲都期末）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；同类项的概念；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、 ，故选项A错误；
B、 ，故选项B错误；
C、 不能合并，故C错误；
D、 ，故选项D正确.
故答案为：D.
【分析】根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可判断A；根据幂的乘方法则“幂的乘方，底数不变，指数相乘”可判断B；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，据此可判断C；根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可判断D.
7．（2025七下·莲都期末） 我校在一次歌唱选拔比赛中，将所有参赛学生的成绩绘制成如图所示的折线统计图，则下列说法错误的是（　　）
A．最高分为100分 B．最高分与最低分的差是15分
C．参赛学生人数为8人 D．参赛学生的满分率为
【答案】C
【知识点】折线统计图
【解析】【解答】解：A、从统计图可以得出最高分为100分，故本选项不符合题意；
B、从统计图可以得出最高分为100分，最低分为85分，最高分与最低分差是15分，故本选项不符合题意；
C、从统计图可以得出参赛学生人数共有 人，故本选项符合题意；
D、参赛学生的满分率为 故本选项不符合题意.
故答案为： C.
【分析】根据统计图中提供的信息，逐项进行判断即可.
8．（2025七下·莲都期末） 若展开后不含的项，则m的值是（　　）
A． B．1 C．3 D．
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵多项式(
不含 项，
解得
故答案为： D.
【分析】先把多项式展开后合并，然后令 项系数等于0，再解方程即可.
9．（2025七下·莲都期末） 为解决供水问题需铺设一条长2400米的管道，实际施工时……．设实际每天铺设管道米，可得方程．根据此情景，题中用“……”表示的缺失条件为（　　）．
A．每天比原计划少铺设20米，结果延期6天完成
B．每天比原计划多铺设20米，结果提前6天完成
C．每天比原计划少铺设6米，结果延期20天完成
D．每天比原计划多铺设6米，结果提前20天完成
【答案】B
【知识点】分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：∵a表示原计划每天铺设公路的长度，
表示实际每天铺设公路的长度，
∴实际每天铺设比原计划多铺设20米；
∵所列分式方程为 表示原计划所需时间， 表示实际所需时间，
∴结果提前6天完成，
∴题中用“……”表示的缺失条件应补为：实际每天铺设比原计划多铺设20米，结果提前6天完成.
故答案为： A.
【分析】由a， 间的关系，可得出实际每天铺设比原计划多铺设20米，结合所列分式方程，可得出结果提前6天完成，此题得解.
10．（2025七下·莲都期末） 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与另一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：由题意可知AB∥OF.
故答案为： D.
【分析】由平行线的性质可表示出 结合对顶角相等可表示出 ，再利用外角的性质可求得 的度数.
11．（2025七下·莲都期末） 因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】首先找出多项式的公因式，然后提取公因式法因式分解即可.
12．（2025七下·莲都期末） 将变形，用含的代数式表示，那么　 　．
【答案】
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
解得：
故答案为：
【分析】把x看作已知数，利用移项，系数化为1求出y即可.
13．（2025七下·莲都期末） 如图，将三角形沿方向平移到三角形的位置，已知点之间的距离为1，，则的长是　 　．
【答案】4
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵三角形ABC沿水平方向向右平移到三角形DEF，
故答案为：4.
【分析】根据平移的性质得到 然后计算BF即可.
14．（2025七下·莲都期末）一次数学测试后，某班50名学生的成绩被分为5组，第1至4组的频数分别为13、9、8、10，则第5组的频率是　 　．
【答案】
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：，
∴第5组的频率是，
故答案为：．
【分析】求出第5组的频数，利用“频率频数总数”计算解答．
15．（2025七下·莲都期末） 规定：若实数满足（且），则记作．例如：，则．若，且，则的值是　 　．
【答案】15
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：
故答案为：15.
【分析】根据新运算的定义及同底数幂的乘法运算法则计算即可.
16．（2025七下·莲都期末） 如图，正方形，正方形和正方形摆放在长方形中，，且．已知正方形与正方形的面积之和为7，则长方形的面积为　 　．
【答案】3
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：设正方形AEHG的边长为a，正方形NKCM的边长为b，
依题意得： AP=EF=BE=3a， PD=CK=b， DQ= AE =a，
∴AD=AP+PD=3-a+b， 长方形PFQD的面积为： PD·DQ= ab，
∵正方形AEHG与正方形NKCM的面积之和为7，
在长方形ABCD中， AB=3， BC= AD =4，
∴3-a+b=4，
∴b-a=1，
∴，7-2ab=1，
∴长方形PFQD的面积为3
故答案为：
【分析】设正方形AEHG的边长为a，正方形NKCM的边长为b， 依题意得AP=EF=BE=3a， PD=CK=b， DQ=AE=a， 进而得AD= AP+PD=3-a+b， 长方形PFQD的面积为PD·D 再由完全平方公式得出 由此即可得出长方形PFQD的面积.
17．（2025七下·莲都期末）
（1）计算：
（2）化简：
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】整式的混合运算；负整数指数幂
【解析】【分析】(1)利用有理数的乘方法则，零指数幂计算后再算加减即可；
(2)利用平方差公式展开，然后去括号，最后合并同类项即可.
18．（2025七下·莲都期末） 解方程（组）
（1）
（2）
【答案】（1）解：
得：
解得：
将 代入①得：
解得：
故原方程组的解为 ；
（2）解：原方程去分母得： x-1 = 3x-6+1，
解得： x=2，
检验： 当x = 2时， 则x =2是分式方程的增根，故原方程无解.
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；去分母法解分式方程
【解析】【分析】(1)利用加减消元法解方程组即可；
(2)利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可.
19．（2025七下·莲都期末） 先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
当 时， 原式=2.
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可.
20．（2025七下·莲都期末） 某中学数学兴趣小组在开展主题为“绿色出行从我做起——学生上学方式”的调查活动，采取随机抽样的方式进行问卷调查，问卷调查结果分为“私家车接送”“乘公交车”“骑自行车”“步行”四种上学方式，数据整理如下表．
上学方式 私家车接送 乘公交车 步行 骑自行车
频数 54 92 12 42
频率
（1）本次问卷调查取样的样本容量为　 　，表中的值为　 　．
（2）根据表中数据计算“骑自行车”上学的频数在扇形统计图中所对应扇形的圆心角的度数．
（3）若该中学有1500人，根据调查结果估计全校学生中“乘公交车”上学的人数．
【答案】（1）200；
（2）解：“骑自行车”上学的频数在扇形统计图中所对应扇形的圆心角的度数为： ；
（3）解： (人)；
答：估计全校学生中“乘公交车”上学的人数为690人.
【知识点】统计表；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】(1)解：本次问卷调查取样的样本容量为
故答案为： 200； 0.21；
【分析】(1)根据“私家车接送”的频数与频率，即可求得本次问卷调查取样的样本容量；用“骑自行车”的人数除以总人数即可求得m的值；
(2)由频率与 的积即可求得扇形圆心角；
(3)全校人数与“乘公交车”的频率之积即是所求结果.
21．（2025七下·莲都期末） 如图，是内一点，点在上．过点画一条直线平行于，过点画一条直线平行于，直线交于．
（1）用直尺和三角尺画平行线的方法，画出图形．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：∵直线a平行于AB，
∵直线b平行于BC，

【知识点】平行线的性质；三角板（直尺）画图-平行线
【解析】【分析】(1)根据画平行线的方法作图即可；
(2)先根据两直线平行，内错角相等求出 再根据两直线平行，同位角相等解答即可.
22．（2025七下·莲都期末） 已知．
（1）当时，求的值．
（2）试说明无论取何值时，．
【答案】（1）解：由题意得：
解得：
（2）证明：
【知识点】整式的混合运算；因式分解的应用-比较大小
【解析】【分析】(1)根据题意列出方程，解方程得到答案；
(2)把N-M利用配方法变形，再根据偶次方的非负性证明.
23．（2025七下·莲都期末） 根据以下素材，探索完成任务．
如何设计门票购买方案？
素材1 乒乓球比赛的门票分为三个档次，购买1张档门票和2张档门票需要700元；购买2张档门票和3张档门票需要1200元；购买1张档门票需要80元．
素材2 购票平台有优惠活动：每购买1张A档门票就赠送1张C档门票．
素材3 某公司计划组织30名员工观看比赛．
问题解决
任务1 求档和档门票的单价．
任务2 购买门票中，档9张，档11张，求公司购买门票至少需要多少元．
任务3 该公司购买门票共花了4040元，且赠送的档门票全部用完．请你求出所有符合条件的购买方案，并写出解答过程．
【答案】解：(任务1)设A档门票的单价是x元，B档门票的单价是y元，
根据题意得：
解得：
答：A档门票的单价是300元，B档门票的单价是200元；
(任务2)根据题意得：
。
答：公司购买门票至少需要4980元；
(任务3)设购买m张A档门票，n张B档门票，则购买 张C档门票，
根据题意得：
又∵m， n， ( )均为非负整数，
或
∴共有两种购买方案，
方案1：购买4张A档门票，9张B档门票，13张C档门票；
方案2：购买10张A档门票，2张B档门票，8张C档门票.
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(任务1)设A档门票的单价是x元，B档门票的单价是y元，根据“购买1张A档门票和2张B档门票需要700元；购买2张A档门票和3张B档门票需要1200元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(任务2)利用总价=单价×数量，即可求出结论；
(任务3)设购买m张A档门票，n张B档门票，则购买 张C档门票，利用总价=单价×数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n， 均为非负整数，即可得出各购买方案.
24．（2025七下·莲都期末） 如图，将两个直角三角尺作如下摆放，，直线过点，在直线上，平分．
（1）求的度数．
（2）试判断与的位置关系，并说明理由．
（3）将绕点逆时针旋转，速度为每秒，同时绕点逆时针旋转，速度为每秒，记旋转时间为，当旋转一周时，整个运动停止．当与的任意一边平行时，求出所有满足条件的的值．
【答案】（1）解：根据题意得： ∠GEF = 60°，
∵EG平分∠AEF，
∴∠AEF = 2∠GEF = 120°，
∴∠BEF = 180°-∠AEF = 60°；
（2）解：过点G作GL∥AB， 如图所示：
根据题意得： ∠AEG=60°，∠PNM =30°，∠EGF= 90°，
∴∠EGL=∠AEG=60°，
∴∠LGP=30°，
∴∠LGP = ∠PNM =30°，
∴GL∥CD，
∴GL∥CD∥AB，
∴CD∥AB；
（3）解：如图所示，当时，延长EF交CD于点H，延长PN交EF于点O，交AB于点G，
由 (1) 得
∵将 绕点E逆时针旋转，速度为每秒 同时 绕点N逆时针旋转，速度为每秒 记旋转时间为t，
∴∠HEG=60°﹣4t，∠CNP=10t﹣30°，
∵CD∥AB，
∴∠EHN=60°-4t， ∠CNP=∠HNO=10t-30°，
∴∠EHN+∠CNP=90°， 即60°-4t+10t-30°=90°，
解得： t=10；
如图所示，当EF∥NM时，延长NM交AB于点G，
∵将△EGF绕点E逆时针旋转，速度为每秒4°，同时△MPN绕点N逆时针旋转，速度为每秒10°，记旋转时间为t，
∴∠FEG=4t-60°，∠MND=10t-180°，
∵CD∥AB，
∴∠DNM =∠BGM =10t-180°，
∵EF∥NM，
∴∠FEB=∠BGM， 即10t-180°= 4t-60°，
解得： t= 20；
如图所示，当EF∥NP时，延长NP交AB于点G，
∵将△EGF绕点E逆时针旋转，速度为每秒4°，同时△MPN绕点N逆时针旋转，速度为每秒10°，记旋转时间为t，
∴∠FEG=4t-60°，∠GND=10t-180°-30°，
∵CD∥AB，
∴∠DNG=∠AGN =10t-180°-30°，
∵EF∥NM，
∴∠FEG=∠EGN， 即10t-180°-30°= 4t-60°，
解得： t= 25；
综上可得：t的值为10或20或25.
【知识点】旋转的性质；邻补角；角平分线的概念；平行线的应用-三角尺问题
【解析】【分析】(1)根据角平分线及邻补角计算即可；
(2)过点G作GL∥AB，根据平行线的判定和性质即可得出结果；
(3)根据题意，分三种情况分析：当EF∥PM时， 当EF∥NM时， 当EF∥NP时， 然后作出辅助线，利用平行线的性质求解即可.
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