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浙江省金华市金东区2024-2025学年下学期八年级数学期末试题卷
1．（2025八下·金东期末） 硼、碳、氧、氟是化学元素周期表中第二周期的四种元素，下列选项中分别是它们的元素符号，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八下·金东期末）下列计算中正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八下·金东期末） 抛物线与y轴的交点坐标为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八下·金东期末） 在 22，24，27，22，25，22 中插入一个任意数 x，则一定不会改变的是（　　）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
5．（2025八下·金东期末） 如图是一枚2025年发行的正十二边形纪念币（每个内角相等），则该正十二边形的每个内角为（　　）
A．150° B．145° C．140° D．135°
6．（2025八下·金东期末） 已知关于x的一元二次方程的两个实数根相等，则a的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．0或2
7．（2025八下·金东期末）小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（　　）
A．（1）处可填 B．（2）处可填
C．（3）处可填 D．（4）处可填
8．（2025八下·金东期末） 已知点和点均在反比例函数 (k是常数， )的图象上，下列结论正确的是（　　）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
9．（2025八下·金东期末） 在一块矩形铁皮上裁去一个小矩形得到了如图所示的直角铁皮.用一条直线 l 将该直角铁皮分成面积相等的两部分，则符合条件的直线 l 有（　　）
A．2 条 B．3 条 C．4 条 D．无数条
10．（2025八下·金东期末） 如图，在中，，在上取点，使，连结，过点作交，分别于点，．已知，，，当，发生变化时，下列代数式值不变的是（　　）
A． B． C． D．
11．（2025八下·金东期末） 在二次根式中，x的取值范围是　 　.
12．（2025八下·金东期末） 用反证法证明“已知的三边长为，，，若，则不是直角三角形”时，应先假设　 　．
13．（2025八下·金东期末） 若一组数据 3，5，7，x，11 的平均数为 7，则 =　 　.
14．（2025八下·金东期末）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形CDE，连接AE，BE，则∠AEB的度数为　 　度．
15．（2025八下·金东期末） 如图，在中，，，，于点，点、分别是、的中点，则的周长为　 　．
16．（2025八下·金东期末） 如图，在矩形中，对角线，交于点，的平分线交于点，连结．已知，，则　 　．
17．（2025八下·金东期末） 计算：．
18．（2025八下·金东期末） 习题课上，数学老师展示嘉嘉解题的错误解答过程：
嘉嘉：解方程
解：方程两边同时除以得
第一步
第二步
第三步
（1）嘉嘉的解答过程从第　 　步开始出现错误的；
（2）请给出这道题的正确解答过程．
19．（2025八下·金东期末）在中，，点D是AB的中点.尺规作图：在BC上确定点E，连结DE，使得.现有甲、乙、丙三位同学的做法如下：
（1） 做法正确的同学有　 　.
（2） 用尺规作图的方法画出一种不同于以上三位同学的画法.
20．（2025八下·金东期末） 近日，深度求索推出了“DeepSeek”AI聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”AI聊天机器人（以下简称B款）.有关人员开展了A，B两款AI聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，下面给出了部分信息：（单位：分）（评分分数用表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意）
抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：83，85，86，87，88，89；
抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据：67，68，69，83，85，86，87，87，87，88，88，89，95，96，96，96，96，98，99，100；
抽取的对A，B款AI聊天机器人的评分统计表
设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比
A 88 88.5 98
B 88
（1）求出上述图表中，，的值；
（2）若你是用户，从平均数、中位数、众数的这三个角度进行分析，你认为哪款聊天机器人更受喜爱？请说明理由.
21．（2025八下·金东期末） 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）连接，求的面积．
22．（2025八下·金东期末） 随着全球对环境保护的重视，新能源汽车行业迎来了快速发展.某新能源汽车销售公司统计显示，今年三月份与五月份的新能源汽车销量分别为 4000 辆和 4840 辆，假设该公司每月新能源汽车销量的增长率相同.
（1） 求该公司新能源汽车销量的月平均增长率.
（2） 已知每辆新能源汽车的交付需要经过检测和调试等多个环节，每位员工每月可处理 250 辆汽车的交付任务.若该公司现有 20 名负责交付的员工，按（1）中的增长率预测能否完成今年六月份的新能源汽车交付任务？若不能，至少需要增加几名员工.
23．（2025八下·金东期末） 二次函数的图象经过点，且对称轴为直线．
（1）求这个二次函数的解析式．
（2）若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍值点”．
①求这个函数“倍值点”的坐标；
②若是该二次函数图象上“倍值点”之间的点（包括端点），求的最大值与最小值的差．
24．（2025八下·金东期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在CD上取点E，连接AE，将沿AE折叠，点D的对应点为F.
（1）如图1，若，，求菱形ABCD的面积.
（2）如图2，若点F落在BC的延长线上，求证：.
（3）如图3，若点F落在BC上，连接DF，已知，
① 求DF的长；
② 直接写出四边形ADEF的面积.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A.选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B.选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C.选项图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
D.选项图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意.
故答案为： C.
【分析】如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转 如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.据此逐项判断即可.
2．【答案】C
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：A、与不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
B.与不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
C.，故该选项正确，符合题意；
D.，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【分析】根据二次根式的加、减、乘、除运算法则逐项判断解答即可．
3．【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：在抛物线y=x2-2x+1中，
当x=0时，y=1，
∴抛物线y=x2-2x+1与y轴的交点坐标为（0，1），
故答案为：A .
【分析】将x=0代入解析式，即可解答．
4．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：在22，24，27，22，25，22中插入一个任意数x，则一定不会改变的是众数，即众数是22．
故答案为：B .
【分析】根据一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，即可分析得出答案.
5．【答案】A
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：该正十二边形一个内角的大小为：
故答案为： A.
【分析】根据正多边形内角和公式( 求出正十二边形的内角和再除以12得到正十二边形一个内角的大小即可.
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2-2ax+2=0的两个实数根相等，
∴a≠0，Δ=（-2a）2-4×a×2=0，
解得：a=2．
故答案为： C.
【分析】利用二次项系数非零及根的判别式Δ=0，可列出关于a的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出a的值．
7．【答案】C
【知识点】平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形之间的关系
【解析】【解答】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，（1）处可填是正确的，故该选项不符合题意；
B、一组邻边相等的矩形是正方形，（2）处可填是正确的，故该选项不符合题意；
C、对边相等是平行四边形的性质，不能判定此时平行四边形是菱形，故该选项符合题意；
D、有一个角是直角的菱形是正方形，（4）处可填，故该选项不符合题意．
故选：C．
【分析】根据矩形、菱形、正方形和平行四边形的关系解答即可．
8．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数 中，k＞0，
∴图象经过第一、三象限，每个象限y随x的增大而减小，
当m＜0时，点A（m-1，y1）、B（m，y2）均在第三象限，y2＜y1＜0，故A选项错误，不符合题意；
当0＜m＜1时，点A（m-1，y1）在第三象限，B（m，y2）在第一象限，y2＞0＞y1，故B选项正确，符合题意，C选项错误，不符合题意；
当m＞1时，点A（m-1，y1）、B（m，y2）均在第一象限，0＜y2＜y1，故D选项错误，不符合题意；
故答案为： B.
【分析】根据反比例函数的解析式得到反比例函数图象经过第一、三象限，每个象限y随x的增大而减小，再结合m的取值范围，逐项分析即可求解．
9．【答案】D
【知识点】平面图形的对称轴
【解析】【解答】解：如图：
直线AB经过了大长方形和小长方形的对角线的交点，故两旁的图形的面积都是大长方形和小长方形面积的一半，所以这条直线把这个图形分成了面积相等的两部分；
直线m经过AB的中点，AB平分图形面积，而直线m与AB相交所截得的两个三角形全等，故割补后，这条直线把这个图形分成了面积相等的两部分，
过点C的直线有无数条，故符合条件的直线 l 有无数条.
故答案为：D .
【分析】先将图形分为两个长方形，分别确定两个长方形的对角线的交点，连接对角线，结合全等三角形的判定与性质即可得出结论.
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点D作交BC的延长线于点 F.
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
，
，
，
，
由勾股定理，得
，
，
，
，
解得
∴当x，y的值发生变化时，代数式的值不变的是 xy.
【分析】过点D作交BC的延长线于点 F，即可证明，得到，然后根据勾股定理可以得到，整理即可求出xy解答即可.
11．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：二次根式中，被开方数为x - 1，则x - 1≥0，
解得 .
故答案为： .
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，列出不等式，解不等式即可求解.
12．【答案】是直角三角形
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：反证法证明“已知 的三边长为a，b，c 若 则 不是直角三角形”时，应先假设 是直角三角形，
故答案为： 是直角三角形.【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立.
13．【答案】9
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：7×5-3-5-7-11=9，
故答案为： 9.
【分析】根据平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数，先求出这种数据的总和，再减去其它数据，即得到x的值．
14．【答案】30
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=∠ADC=90°，AD=BC=DC，
∵△CDE是等边三角形，
∴∠EDC=∠ECD=∠DEC=60°，DE=DC=CE，
∴∠ADE=∠BCE=90°+60°=150°，AD=DE=BC=CE，
∴∠DEA=∠CEB= （180°﹣150°）=15°，
∴∠AEB=60°﹣15°﹣15°=30°；
故答案为：30．
【分析】先求出∠BCD=∠ADC=90°，AD=BC=DC，再求出∠DEA=15°，最后计算求解即可。
15．【答案】
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：
在 中，F是AC的中点， 则
同理可得：
∵点E， F分别是AB， AC的中点，
∴EF是 的中位线，
的周长
故答案为： 9.5.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质分别求出DF、DE，根据三角形中位线定理求出EF，再根据三角形周长公式计算，得到答案.
16．【答案】6
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】如图所示，过点E作交AB于点F，连接OF，再过点O作于点G.
平分
四边形ABCD是矩形
，即
四边形ABCD是矩形
是的中位线
设，则
整理得：，即
则在中，
即
解得
【分析】由于可过点E作OE的垂线交AB于点F，因为AE平分，则可证明，由全等的性质可得，此时可过点O作BC的垂线段OG，则可由一线三垂直全等模型证明，由全等的性质可得，等量代换可证明OC=EC，又利用矩形的性质可得OG是的中位线，此时为方便计算可分别，则AB、BC、AC均可表示，可在直角三角形ABC中应用勾股定理求出x与y的数量关系，再在直角三角形BEF中应用勾股定理即可求出y，则x可求，即AB可求.
17．【答案】解：
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【分析】先化简，计算二次根式的除法，再算加减法即可.
18．【答案】（1）一
（2）解：原方程移项得：
分解因式(
即 或
所以
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】(1)根据解一元二次方程的计算的步骤可知：嘉嘉是第一步，
故答案为：第一；
【分析】(1)根据解一元二次方程的计算的步骤检查即可；
(2)根据因式分解法解答即可.
19．【答案】（1）甲，丙
（2）解：如图，DE为所作．
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角；三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：（1）对于甲同学的作法：
根据作图痕迹得AE平分∠BAC，
∵AB=AC，
∴BE=CE，
∵点D是AB的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴，所以甲同学的作法正确；
对于乙同学的作法：
根据作图痕迹得BD=BE，
只有当∠B=60°时，DE=BD=AB，所以乙同学的作法不正确；
对于丙同学的作法：
根据作图痕迹得AE⊥BC，
∵AB=AC，
∴BE=CE，
∵点D是AB的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴，所以丙同学的作法正确；
故答案为：甲、丙.
【分析】（1）根据甲、丙作图，利用在等腰三角形中，底边上的中线、底边上的垂线、顶角的角平分线相互重合可得BE=CE，根据连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线得出DE为三角形的中位线，根据三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半得出，从而判断甲和丙的作法正确；利用乙的作图得到BD=BE，由于只有当∠B=60°时，，于是可判断乙同学的作法不正确；
（2）过D作∠BDE=∠A交BC于E点，根据同位角相等，两直线平行得出DE∥AC，则可证明DE=DB，所以．
20．【答案】（1）解：15，88，96；
（2）解：A款AI聊天机器人更受用户喜爱，理由如下：因为两款的评分数据的平均数相同都是88，但A款评分数据的中位数比B款的中位数高，所以A款AI聊天机器人更受用户喜爱 (答案不唯一)
【知识点】扇形统计图；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】解：(1)由题意得：
即
∵A把B款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88、88，
∴中位数
在B款的评分数据中，96出现的次数最多，
∴众数
故答案为： 15， 88， 96；
【分析】(1)用1分别减去其他三个等级所占百分比可得a的值，根据中位数的定义可得b的值，根据众数的定义可得c的值；
(2)通过比较A，B款的评分统计表的数据解答即可.
21．【答案】（1）解：由条件可得 解得
∴反比例函数的表达式为
把B(n，2)代入 得
解得：
即点B的坐标为(6，2).
把A(3，4)， B(6，2)代入
解得：
∴一次函数的表达式为
（2）解：将直线AB： 与x轴的交点记为D，
令 则 解得 即点D的坐标为(9，0).
∴OD=9.
2=9.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的两点和原点型
【解析】【分析】(1)根据待定系数法求得反比例函数，再求得B点的坐标，最后再根据待定系数法求得一次函数；
(2)根据一次函数求得OD的长度，根据 即可解答.
22．【答案】（1）解：设该公司新能源汽车销量的月平均增长率为x，根据题意得，
解得：x1=0.1=10%，x2=-2.1（不合题意，舍去），
答：该公司新能源汽车销量的月平均增长率为
（2）解：∵每月新能源汽车销量的增长率相同，
∴六月份的新能源汽车销量为：，
∵每位员工每月处理250辆汽车的交付任务，现有20名负责交付的员工，
∴20名员工能完成的交付任务是：，
∴不能完成今年六月份的新能源汽车交付任务
设需要增加m名员工，
由题意得：250（20+m）≥5324，
解得：m≥1.296，
∵m为正整数，
∴m的最小值为2，
∴至少需要增加2名员工，
答：该公司现有20名负责交付的员工，不能完成今年六月份的新能源汽车交付任务，至少需要增加2名员工
【知识点】一元一次不等式的应用；一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用.
（1）设该公司新能源汽车销量的月平均增长率为x，根据今年三月份与五月份的新能源汽车销量分别为4000辆和4840辆，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
（2）求出今年六月份新能源汽车销量是5324辆，20名员工能完成的交付任务是5000辆，得出该公司现有20名负责交付的员工，不能完成今年四月份的新能源汽车交付任务，再设需要增加m名员工，根据完成今年六月份的新能源汽车交付任务，列出一元一次不等式，解不等式即可．
23．【答案】（1）解：由题意得：
解得：
∴这个二次函数的解析式为
（2）解：①将(k，2k)代入二次函数 得：
解得：
∴这个函数“倍值点”的坐标为(5，10)或(
②由题意得P(m，n)是该二次函数图象上( 与(5，10)之间的点，
∵二次函数 的开口向上，对称轴为直线x =1，
∴当 时， 1时，n取最小值，为
当m=5时，n取最大值，为 10，
∴n的最大值与最小值的差为
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)根据点(4，3)和对称轴，利用待定系数法求解析式即可；
(2)①将(k，2k)代入函数表达式， 求k即可； ②根据①可知m的取值范围，再根据二次函数的开口方向和对称轴，确定在自变量m的取值范围内二次函数的最大值和最小值即为n的最大值和最小值，进而得到n的最大值与最小值的差.
24．【答案】（1）解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，，，
∴，
∴，
∴
（2）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD，AB∥CD，
∴∠DCF=∠ABF．
∵将△ADE沿AE折叠，点D的对应点为F，
∴AF=AD，
∴AF=AB，
∴∠ABF=∠AFB，
∴∠AFB=∠DCF，
∴GF=GC
（3）解：①过点A作AG⊥BF于点G，过点F作FH⊥AD于点H，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD，AD∥BC，
∵AG⊥BF，FH⊥AD，
∴四边形AGFH为矩形，
∴AG=FH，AH=GF．
∵BF=2FC=2，
∴FC=1，BF=2，BC=3．
∴AB=BC=AD=CD=3，
∵将△ADE沿AE折叠，点D的对应点为F，
∴AF=AD，
∴AF=AB，
∵AG⊥BF，
∴，
∴AH=GF=1．
∴，
∵DH=AD-AH=3-1=2，
∴．
②.理由：
延长AE，BC交于点H，设AE与DF交于点G，如图，
∵将△ADE沿AE折叠，点D的对应点为F，
∴AE⊥DF，，
∴．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，
∴∠DAG=∠H，
在△ADG和△HFG中，
，
∴△ADG≌△HFG（AAS），
∴AD=FH=3，，
∴CH=FH-FC=2，，
∵AD∥BC，
∴，
∴．
∴四边形ADEF的面积=S△AFD+S△EFD
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；四边形的综合；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据菱形的对角线互相垂直且平分可得AC⊥BD，，，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出OB的值，即可得出BD的值，根据练习的面积公式即可求解；
（2）根据菱形的四条边都相等，对边平行得出AB=AD，AB∥CD，根据两直线平行，同位角相等得出∠DCF=∠ABF，根据折叠前后两图形的对应边相等得出AF=AD，根据等边对等角得到∠ABF=∠AFB，则∠AFB=∠DCF，再根据等角对等边即可证明；
（3）①过点A作AG⊥BF于点G，过点F作FH⊥AD于点H，根据菱形的四条边都相等，对边平行得出AB=AD，AD∥BC，根据四个角都是直角的四边形是矩形得出四边形AGFH为矩形，根据矩形的对边相等得出AG=FH，AH=GF．求得FC=1，BF=2，BC=3，AB=3，根据折叠前后两图形的对应边相等得出AF=AD，根据在等腰三角形中，底边上的中线、底边上的垂线、顶角的角平分线相互重合得出，AH=GF=1．根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方期初FH的值，得出DH的值，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解；
②延长AE，BC交于点H，设AE与DF交于点G，根据折叠前后对应边相等得出AE⊥DF，，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出AG的值，根据菱形的对边平行得出AD∥BC，根据两直线平行，内错角相等得出∠DAG=∠H，根据两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等得出△ADG≌△HFG，根据全等三角形的对应边相等得出AD=FH=3，，根据平行线分割线段成比例得出，再利用四边形ADEF的面积=S△AFD+S△EFD解答即可．
1 / 1浙江省金华市金东区2024-2025学年下学期八年级数学期末试题卷
1．（2025八下·金东期末） 硼、碳、氧、氟是化学元素周期表中第二周期的四种元素，下列选项中分别是它们的元素符号，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A.选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B.选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C.选项图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
D.选项图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意.
故答案为： C.
【分析】如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转 如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.据此逐项判断即可.
2．（2025八下·金东期末）下列计算中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：A、与不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
B.与不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
C.，故该选项正确，符合题意；
D.，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【分析】根据二次根式的加、减、乘、除运算法则逐项判断解答即可．
3．（2025八下·金东期末） 抛物线与y轴的交点坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：在抛物线y=x2-2x+1中，
当x=0时，y=1，
∴抛物线y=x2-2x+1与y轴的交点坐标为（0，1），
故答案为：A .
【分析】将x=0代入解析式，即可解答．
4．（2025八下·金东期末） 在 22，24，27，22，25，22 中插入一个任意数 x，则一定不会改变的是（　　）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：在22，24，27，22，25，22中插入一个任意数x，则一定不会改变的是众数，即众数是22．
故答案为：B .
【分析】根据一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，即可分析得出答案.
5．（2025八下·金东期末） 如图是一枚2025年发行的正十二边形纪念币（每个内角相等），则该正十二边形的每个内角为（　　）
A．150° B．145° C．140° D．135°
【答案】A
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：该正十二边形一个内角的大小为：
故答案为： A.
【分析】根据正多边形内角和公式( 求出正十二边形的内角和再除以12得到正十二边形一个内角的大小即可.
6．（2025八下·金东期末） 已知关于x的一元二次方程的两个实数根相等，则a的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．0或2
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2-2ax+2=0的两个实数根相等，
∴a≠0，Δ=（-2a）2-4×a×2=0，
解得：a=2．
故答案为： C.
【分析】利用二次项系数非零及根的判别式Δ=0，可列出关于a的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出a的值．
7．（2025八下·金东期末）小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（　　）
A．（1）处可填 B．（2）处可填
C．（3）处可填 D．（4）处可填
【答案】C
【知识点】平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形之间的关系
【解析】【解答】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，（1）处可填是正确的，故该选项不符合题意；
B、一组邻边相等的矩形是正方形，（2）处可填是正确的，故该选项不符合题意；
C、对边相等是平行四边形的性质，不能判定此时平行四边形是菱形，故该选项符合题意；
D、有一个角是直角的菱形是正方形，（4）处可填，故该选项不符合题意．
故选：C．
【分析】根据矩形、菱形、正方形和平行四边形的关系解答即可．
8．（2025八下·金东期末） 已知点和点均在反比例函数 (k是常数， )的图象上，下列结论正确的是（　　）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数 中，k＞0，
∴图象经过第一、三象限，每个象限y随x的增大而减小，
当m＜0时，点A（m-1，y1）、B（m，y2）均在第三象限，y2＜y1＜0，故A选项错误，不符合题意；
当0＜m＜1时，点A（m-1，y1）在第三象限，B（m，y2）在第一象限，y2＞0＞y1，故B选项正确，符合题意，C选项错误，不符合题意；
当m＞1时，点A（m-1，y1）、B（m，y2）均在第一象限，0＜y2＜y1，故D选项错误，不符合题意；
故答案为： B.
【分析】根据反比例函数的解析式得到反比例函数图象经过第一、三象限，每个象限y随x的增大而减小，再结合m的取值范围，逐项分析即可求解．
9．（2025八下·金东期末） 在一块矩形铁皮上裁去一个小矩形得到了如图所示的直角铁皮.用一条直线 l 将该直角铁皮分成面积相等的两部分，则符合条件的直线 l 有（　　）
A．2 条 B．3 条 C．4 条 D．无数条
【答案】D
【知识点】平面图形的对称轴
【解析】【解答】解：如图：
直线AB经过了大长方形和小长方形的对角线的交点，故两旁的图形的面积都是大长方形和小长方形面积的一半，所以这条直线把这个图形分成了面积相等的两部分；
直线m经过AB的中点，AB平分图形面积，而直线m与AB相交所截得的两个三角形全等，故割补后，这条直线把这个图形分成了面积相等的两部分，
过点C的直线有无数条，故符合条件的直线 l 有无数条.
故答案为：D .
【分析】先将图形分为两个长方形，分别确定两个长方形的对角线的交点，连接对角线，结合全等三角形的判定与性质即可得出结论.
10．（2025八下·金东期末） 如图，在中，，在上取点，使，连结，过点作交，分别于点，．已知，，，当，发生变化时，下列代数式值不变的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点D作交BC的延长线于点 F.
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
，
，
，
，
由勾股定理，得
，
，
，
，
解得
∴当x，y的值发生变化时，代数式的值不变的是 xy.
【分析】过点D作交BC的延长线于点 F，即可证明，得到，然后根据勾股定理可以得到，整理即可求出xy解答即可.
11．（2025八下·金东期末） 在二次根式中，x的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：二次根式中，被开方数为x - 1，则x - 1≥0，
解得 .
故答案为： .
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，列出不等式，解不等式即可求解.
12．（2025八下·金东期末） 用反证法证明“已知的三边长为，，，若，则不是直角三角形”时，应先假设　 　．
【答案】是直角三角形
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：反证法证明“已知 的三边长为a，b，c 若 则 不是直角三角形”时，应先假设 是直角三角形，
故答案为： 是直角三角形.【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立.
13．（2025八下·金东期末） 若一组数据 3，5，7，x，11 的平均数为 7，则 =　 　.
【答案】9
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：7×5-3-5-7-11=9，
故答案为： 9.
【分析】根据平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数，先求出这种数据的总和，再减去其它数据，即得到x的值．
14．（2025八下·金东期末）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形CDE，连接AE，BE，则∠AEB的度数为　 　度．
【答案】30
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=∠ADC=90°，AD=BC=DC，
∵△CDE是等边三角形，
∴∠EDC=∠ECD=∠DEC=60°，DE=DC=CE，
∴∠ADE=∠BCE=90°+60°=150°，AD=DE=BC=CE，
∴∠DEA=∠CEB= （180°﹣150°）=15°，
∴∠AEB=60°﹣15°﹣15°=30°；
故答案为：30．
【分析】先求出∠BCD=∠ADC=90°，AD=BC=DC，再求出∠DEA=15°，最后计算求解即可。
15．（2025八下·金东期末） 如图，在中，，，，于点，点、分别是、的中点，则的周长为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：
在 中，F是AC的中点， 则
同理可得：
∵点E， F分别是AB， AC的中点，
∴EF是 的中位线，
的周长
故答案为： 9.5.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质分别求出DF、DE，根据三角形中位线定理求出EF，再根据三角形周长公式计算，得到答案.
16．（2025八下·金东期末） 如图，在矩形中，对角线，交于点，的平分线交于点，连结．已知，，则　 　．
【答案】6
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】如图所示，过点E作交AB于点F，连接OF，再过点O作于点G.
平分
四边形ABCD是矩形
，即
四边形ABCD是矩形
是的中位线
设，则
整理得：，即
则在中，
即
解得
【分析】由于可过点E作OE的垂线交AB于点F，因为AE平分，则可证明，由全等的性质可得，此时可过点O作BC的垂线段OG，则可由一线三垂直全等模型证明，由全等的性质可得，等量代换可证明OC=EC，又利用矩形的性质可得OG是的中位线，此时为方便计算可分别，则AB、BC、AC均可表示，可在直角三角形ABC中应用勾股定理求出x与y的数量关系，再在直角三角形BEF中应用勾股定理即可求出y，则x可求，即AB可求.
17．（2025八下·金东期末） 计算：．
【答案】解：
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【分析】先化简，计算二次根式的除法，再算加减法即可.
18．（2025八下·金东期末） 习题课上，数学老师展示嘉嘉解题的错误解答过程：
嘉嘉：解方程
解：方程两边同时除以得
第一步
第二步
第三步
（1）嘉嘉的解答过程从第　 　步开始出现错误的；
（2）请给出这道题的正确解答过程．
【答案】（1）一
（2）解：原方程移项得：
分解因式(
即 或
所以
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】(1)根据解一元二次方程的计算的步骤可知：嘉嘉是第一步，
故答案为：第一；
【分析】(1)根据解一元二次方程的计算的步骤检查即可；
(2)根据因式分解法解答即可.
19．（2025八下·金东期末）在中，，点D是AB的中点.尺规作图：在BC上确定点E，连结DE，使得.现有甲、乙、丙三位同学的做法如下：
（1） 做法正确的同学有　 　.
（2） 用尺规作图的方法画出一种不同于以上三位同学的画法.
【答案】（1）甲，丙
（2）解：如图，DE为所作．
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角；三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：（1）对于甲同学的作法：
根据作图痕迹得AE平分∠BAC，
∵AB=AC，
∴BE=CE，
∵点D是AB的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴，所以甲同学的作法正确；
对于乙同学的作法：
根据作图痕迹得BD=BE，
只有当∠B=60°时，DE=BD=AB，所以乙同学的作法不正确；
对于丙同学的作法：
根据作图痕迹得AE⊥BC，
∵AB=AC，
∴BE=CE，
∵点D是AB的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴，所以丙同学的作法正确；
故答案为：甲、丙.
【分析】（1）根据甲、丙作图，利用在等腰三角形中，底边上的中线、底边上的垂线、顶角的角平分线相互重合可得BE=CE，根据连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线得出DE为三角形的中位线，根据三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半得出，从而判断甲和丙的作法正确；利用乙的作图得到BD=BE，由于只有当∠B=60°时，，于是可判断乙同学的作法不正确；
（2）过D作∠BDE=∠A交BC于E点，根据同位角相等，两直线平行得出DE∥AC，则可证明DE=DB，所以．
20．（2025八下·金东期末） 近日，深度求索推出了“DeepSeek”AI聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”AI聊天机器人（以下简称B款）.有关人员开展了A，B两款AI聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，下面给出了部分信息：（单位：分）（评分分数用表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意）
抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：83，85，86，87，88，89；
抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据：67，68，69，83，85，86，87，87，87，88，88，89，95，96，96，96，96，98，99，100；
抽取的对A，B款AI聊天机器人的评分统计表
设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比
A 88 88.5 98
B 88
（1）求出上述图表中，，的值；
（2）若你是用户，从平均数、中位数、众数的这三个角度进行分析，你认为哪款聊天机器人更受喜爱？请说明理由.
【答案】（1）解：15，88，96；
（2）解：A款AI聊天机器人更受用户喜爱，理由如下：因为两款的评分数据的平均数相同都是88，但A款评分数据的中位数比B款的中位数高，所以A款AI聊天机器人更受用户喜爱 (答案不唯一)
【知识点】扇形统计图；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】解：(1)由题意得：
即
∵A把B款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88、88，
∴中位数
在B款的评分数据中，96出现的次数最多，
∴众数
故答案为： 15， 88， 96；
【分析】(1)用1分别减去其他三个等级所占百分比可得a的值，根据中位数的定义可得b的值，根据众数的定义可得c的值；
(2)通过比较A，B款的评分统计表的数据解答即可.
21．（2025八下·金东期末） 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）连接，求的面积．
【答案】（1）解：由条件可得 解得
∴反比例函数的表达式为
把B(n，2)代入 得
解得：
即点B的坐标为(6，2).
把A(3，4)， B(6，2)代入
解得：
∴一次函数的表达式为
（2）解：将直线AB： 与x轴的交点记为D，
令 则 解得 即点D的坐标为(9，0).
∴OD=9.
2=9.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的两点和原点型
【解析】【分析】(1)根据待定系数法求得反比例函数，再求得B点的坐标，最后再根据待定系数法求得一次函数；
(2)根据一次函数求得OD的长度，根据 即可解答.
22．（2025八下·金东期末） 随着全球对环境保护的重视，新能源汽车行业迎来了快速发展.某新能源汽车销售公司统计显示，今年三月份与五月份的新能源汽车销量分别为 4000 辆和 4840 辆，假设该公司每月新能源汽车销量的增长率相同.
（1） 求该公司新能源汽车销量的月平均增长率.
（2） 已知每辆新能源汽车的交付需要经过检测和调试等多个环节，每位员工每月可处理 250 辆汽车的交付任务.若该公司现有 20 名负责交付的员工，按（1）中的增长率预测能否完成今年六月份的新能源汽车交付任务？若不能，至少需要增加几名员工.
【答案】（1）解：设该公司新能源汽车销量的月平均增长率为x，根据题意得，
解得：x1=0.1=10%，x2=-2.1（不合题意，舍去），
答：该公司新能源汽车销量的月平均增长率为
（2）解：∵每月新能源汽车销量的增长率相同，
∴六月份的新能源汽车销量为：，
∵每位员工每月处理250辆汽车的交付任务，现有20名负责交付的员工，
∴20名员工能完成的交付任务是：，
∴不能完成今年六月份的新能源汽车交付任务
设需要增加m名员工，
由题意得：250（20+m）≥5324，
解得：m≥1.296，
∵m为正整数，
∴m的最小值为2，
∴至少需要增加2名员工，
答：该公司现有20名负责交付的员工，不能完成今年六月份的新能源汽车交付任务，至少需要增加2名员工
【知识点】一元一次不等式的应用；一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用.
（1）设该公司新能源汽车销量的月平均增长率为x，根据今年三月份与五月份的新能源汽车销量分别为4000辆和4840辆，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
（2）求出今年六月份新能源汽车销量是5324辆，20名员工能完成的交付任务是5000辆，得出该公司现有20名负责交付的员工，不能完成今年四月份的新能源汽车交付任务，再设需要增加m名员工，根据完成今年六月份的新能源汽车交付任务，列出一元一次不等式，解不等式即可．
23．（2025八下·金东期末） 二次函数的图象经过点，且对称轴为直线．
（1）求这个二次函数的解析式．
（2）若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍值点”．
①求这个函数“倍值点”的坐标；
②若是该二次函数图象上“倍值点”之间的点（包括端点），求的最大值与最小值的差．
【答案】（1）解：由题意得：
解得：
∴这个二次函数的解析式为
（2）解：①将(k，2k)代入二次函数 得：
解得：
∴这个函数“倍值点”的坐标为(5，10)或(
②由题意得P(m，n)是该二次函数图象上( 与(5，10)之间的点，
∵二次函数 的开口向上，对称轴为直线x =1，
∴当 时， 1时，n取最小值，为
当m=5时，n取最大值，为 10，
∴n的最大值与最小值的差为
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)根据点(4，3)和对称轴，利用待定系数法求解析式即可；
(2)①将(k，2k)代入函数表达式， 求k即可； ②根据①可知m的取值范围，再根据二次函数的开口方向和对称轴，确定在自变量m的取值范围内二次函数的最大值和最小值即为n的最大值和最小值，进而得到n的最大值与最小值的差.
24．（2025八下·金东期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在CD上取点E，连接AE，将沿AE折叠，点D的对应点为F.
（1）如图1，若，，求菱形ABCD的面积.
（2）如图2，若点F落在BC的延长线上，求证：.
（3）如图3，若点F落在BC上，连接DF，已知，
① 求DF的长；
② 直接写出四边形ADEF的面积.
【答案】（1）解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，，，
∴，
∴，
∴
（2）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD，AB∥CD，
∴∠DCF=∠ABF．
∵将△ADE沿AE折叠，点D的对应点为F，
∴AF=AD，
∴AF=AB，
∴∠ABF=∠AFB，
∴∠AFB=∠DCF，
∴GF=GC
（3）解：①过点A作AG⊥BF于点G，过点F作FH⊥AD于点H，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD，AD∥BC，
∵AG⊥BF，FH⊥AD，
∴四边形AGFH为矩形，
∴AG=FH，AH=GF．
∵BF=2FC=2，
∴FC=1，BF=2，BC=3．
∴AB=BC=AD=CD=3，
∵将△ADE沿AE折叠，点D的对应点为F，
∴AF=AD，
∴AF=AB，
∵AG⊥BF，
∴，
∴AH=GF=1．
∴，
∵DH=AD-AH=3-1=2，
∴．
②.理由：
延长AE，BC交于点H，设AE与DF交于点G，如图，
∵将△ADE沿AE折叠，点D的对应点为F，
∴AE⊥DF，，
∴．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，
∴∠DAG=∠H，
在△ADG和△HFG中，
，
∴△ADG≌△HFG（AAS），
∴AD=FH=3，，
∴CH=FH-FC=2，，
∵AD∥BC，
∴，
∴．
∴四边形ADEF的面积=S△AFD+S△EFD
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；四边形的综合；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据菱形的对角线互相垂直且平分可得AC⊥BD，，，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出OB的值，即可得出BD的值，根据练习的面积公式即可求解；
（2）根据菱形的四条边都相等，对边平行得出AB=AD，AB∥CD，根据两直线平行，同位角相等得出∠DCF=∠ABF，根据折叠前后两图形的对应边相等得出AF=AD，根据等边对等角得到∠ABF=∠AFB，则∠AFB=∠DCF，再根据等角对等边即可证明；
（3）①过点A作AG⊥BF于点G，过点F作FH⊥AD于点H，根据菱形的四条边都相等，对边平行得出AB=AD，AD∥BC，根据四个角都是直角的四边形是矩形得出四边形AGFH为矩形，根据矩形的对边相等得出AG=FH，AH=GF．求得FC=1，BF=2，BC=3，AB=3，根据折叠前后两图形的对应边相等得出AF=AD，根据在等腰三角形中，底边上的中线、底边上的垂线、顶角的角平分线相互重合得出，AH=GF=1．根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方期初FH的值，得出DH的值，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解；
②延长AE，BC交于点H，设AE与DF交于点G，根据折叠前后对应边相等得出AE⊥DF，，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出AG的值，根据菱形的对边平行得出AD∥BC，根据两直线平行，内错角相等得出∠DAG=∠H，根据两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等得出△ADG≌△HFG，根据全等三角形的对应边相等得出AD=FH=3，，根据平行线分割线段成比例得出，再利用四边形ADEF的面积=S△AFD+S△EFD解答即可．
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