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人教A版高中数学必修一第二章单元基础测试卷
一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．
1．已知，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知一元二次方程的两根都在内，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，，则
5．已知 且，若恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．} C． D．
6．下列结论正确的是（ ）．
A．当时，的最小值是 B．当时，的最小值是2
C．当时，的最小值是 D．当时，的最小值是2
7．已知，则的最小值为（ ）
A． B．0 C．1 D．
8．已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，，则
10．已知，，，则（ ）
A．且 B．
C． D．
11．已知关于的不等式解集为，则（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．
D．不等式的解集为
三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知，，则的取值范围是 ．
13．若，则的最小值为 ．
14．不等式恒成立，则实数的取值范围是
四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知关于的一元二次不等式的解集为．
(1)求和的值；
(2)求不等式的解集．
16．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本万元与年产量吨之间的函数关系可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.
（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低 并求最低平均成本;
（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润 并求最大利润.
17．如图设矩形ABCD（AB＞AD）的周长为40cm，把△ABC沿AC向△ADC翻折成为△AEC，AE交DC于点P．设AB＝xcm．
(1)若，求x的取值范围；
(2)设△ADP面积为S，求S的最大值及相应的x的值．
18．已知实数a，b，c满足a2+b2+c2＝3．
（1）求证；
（2）求证．
19．已知函数.
(1)当时，求关于x的不等式的解集；
(2)求关于x的不等式的解集；
(3)若在区间上恒成立，求实数a的范围.
答案解析
一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．
1．已知，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用方程组以及不等式的性质计算求解.
【详解】设，
所以，解得，
所以，
又，
所以，故A，C，D错误.
故选：B.
2．已知一元二次方程的两根都在内，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，根据二次函数零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】设，由题意可得，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：B.
3．已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解.
【详解】由题可得，，则，
所以
，
当且仅当，即时，取得等号，
故选:C.
4．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】C
【分析】根据不等式的性质，结合特殊值判断.
【详解】对于A，取特殊值，，，满足条件，但不满足结论，故A错误；
对于B，由，若，则，故B错误；
对于C，由同向不等式的性质知，，可推出，故C正确；
对于D，取，满足条件，但，故D错误.
故选：C.
5．已知 且，若恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．} C． D．
【答案】D
【分析】根据基本不等式可取的最小值，从而可求实数m的取值范围.
【详解】∵，且，
∴，
当且仅当时取等号，∴，
由恒成立可得，
解得：，
故选：D.
6．下列结论正确的是（ ）．
A．当时，的最小值是
B．当时，的最小值是2
C．当时，的最小值是
D．当时，的最小值是2
【答案】D
【分析】根据基本不等式的使用条件一正，二定，三相等，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，，不是定值，不能直接应用基本不等式，故A错误.
对于B中，当时，，当且仅当时，即时等号成立，
但题干要求，故不能取到最小值，故B错误.
对于C中，当时，，
当且仅当时，即等号成立，
故有最大值是，故C错误.
对于D中，当时，，因此，
当且仅当，即时等号成立，
故有最小值是2，故D正确.
故选：D
7．已知，则的最小值为（ ）
A． B．0 C．1 D．
【答案】A
【分析】根据“1”技巧，利用均值不等式求解.
【详解】，，
，
，
，
，
当且仅当，即，时等号成立，
故选：A
8．已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先根据根与系数的关系利用韦达定理求解系数，然后解不等式即可；
【详解】由不等式的解集为，
知是方程的两实数根，
由根与系数的关系，得，解得：，
所以不等式可化为，解得：或，
故不等式的解集为：.
故选：D.
二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】BC
【分析】根据不等式的性质，结合特殊值判断.
【详解】A. 取特殊值，，，显然不满足结论；
B. 由可知，，由不等式性质可得，结论正确；
C. 由同向不等式的性质知，，可推出，结论正确；
D. 取，满足条件，显然不成立，结论错误.
故选：BC.
10．已知，，，则（ ）
A．且 B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】由，可得，即可判断，同理判断，判断A；利用基本不等式可判断B，C，D；
【详解】对于A，，，，则，故，同理可得，A正确；
对于B，，，，
当且仅当时取等号，B正确；
对于C，，，，则，
则，
当且仅当，即时取等号，C错误；
对于D，由于，故，
当且仅当时取等号，而，故，D正确，
故选：ABD
11．已知关于的不等式解集为，则（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．
D．不等式的解集为
【答案】BCD
【解析】根据已知条件得和是方程的两个实根，且，根据韦达定理可得，根据且,对四个选项逐个求解或判断可得解.
【详解】因为关于的不等式解集为，
所以和是方程的两个实根，且，故错误；
所以，，所以，
所以不等式可化为，因为，所以，故正确；
因为，又，所以，故正确；
不等式可化为，又，
所以，即，即，解得,故正确.
故选：BCD.
【点睛】利用一元二次不等式的解集求出参数的关系是解题关键.本题根据韦达定理可得所要求的关系，属于中档题.
三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知，，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用待定系数法可得，利用不等式的基本性质可求得的取值范围.
【详解】设，
所以，解得，
因为，，则，，
因此，.
故答案为：.
13．若，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】两次利用基本不等式即可求出.
【详解】，
，
当且仅当且，即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
14．不等式恒成立，则实数的取值范围是
【答案】
【分析】对分成和两种情况进行分类讨论，由此求得实数的取值范围.
【详解】当时，原不等式可化为恒成立.
当时，，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为
【点睛】本小题主要考查不等式恒成立的条件，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.
四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知关于的一元二次不等式的解集为．
(1)求和的值；
(2)求不等式的解集．
【答案】(1)，
(2)答案见解析
【分析】（1）依题意和是方程的两个根，利用韦达定理得到方程组，解得即可；
（2）依题意可得，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集.
【详解】（1）由题意知和是方程的两个根且，
由根与系数的关系得，解得；
（2）由、，不等式可化为，
即，则该不等式对应方程的实数根为和．
当时，，解得，即不等式的解集为，
当时，，不等式的解集为空集，
当时，，解得，即不等式的解集为，
综上：当时，解集为，
当时，解集为空集，
当时，解集为．
16．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本万元与年产量吨之间的函数关系可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.
（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低 并求最低平均成本;
（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润 并求最大利润.
【答案】（1）年产量为100吨时，平均成本最低为16万元；（2）年产量为110吨时，最大利润为860万元.
【分析】（1）列出式子，通过基本不等式即可求得；
（2）将式子化简后，通过二次函数的角度求得最大值.
【详解】（1），
当且仅当时，即取“=”，符合题意；
∴年产量为100吨时，平均成本最低为16万元.
（2）
又，∴当时，.
答：年产量为110吨时，最大利润为860万元.
17．如图设矩形ABCD（AB＞AD）的周长为40cm，把△ABC沿AC向△ADC翻折成为△AEC，AE交DC于点P．设AB＝xcm．
(1)若，求x的取值范围；
(2)设△ADP面积为S，求S的最大值及相应的x的值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）由折叠性质可知，进而可得，再利用勾股定理得到，化简整理求出a，根据，求出x的范围即可；
（2）根据题意可得，，利用基本不等式即可求出S的最大值以及相应的x的值．
【详解】（1）由矩形周长为，可知，设，则∵，∴．
在中，，即，
得，
由题意，，即，
解得，
由得，，∴，
即x的取值范围是．
（2）因为，．
化简得．
∵，∴，
当且仅当，即时，，.
18．已知实数a，b，c满足a2+b2+c2＝3．
（1）求证；
（2）求证．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）将结论式平方，可得到条件式，再运用重要不等式即可求解.
（2）结合“1”的妙用方法，将结论式与条件式相乘，只需证，即可证明不等式.
【详解】(1)
．
(2)
.当且仅当时取等号.
【点睛】（1）将结论式跟条件联系在一起，只需将结论平方.
（2）不等式性质：

19．已知函数.
(1)当时，求关于x的不等式的解集；
(2)求关于x的不等式的解集；
(3)若在区间上恒成立，求实数a的范围.
【答案】(1)；
(2)答案见解析；
(3).
【分析】（1）把代入可构造不等式，解对应的方程，进而根据二次不等式“大于看两边”得到原不等式的解集.
（2）根据函数，分类讨论可得不等式的解集.
（3）若在区间上恒成立，即在区间上恒成立，利用换元法，结合基本不等式，求出函数的最值，可得实数a的范围.
【详解】（1）当时，则，
由，得，
原不等式的解集为；
（2）由，
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
（3）由即在上恒成立，得.
令，则，
当且仅当 ，即时取等号.
则，.故实数a的范围是

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