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人教A版高中数学必修一第二章单元培优测试卷
一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．
1．下列说法中，错误的是（ ）
A．若，则一定有 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．已知关于的一元二次不等式的解集为，其中，，为常数，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．若a是实数，，，则P，Q的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．由a的取值确定
5．对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，且，那么的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．4
7．为提高市民的健康水平，拟在半径为200米的半圆形区域内修建一个健身广场，该健身广场（如图所示的阴影部分）分休闲健身和儿童活动两个功能区，图中区域是休闲健身区，以为底边的等腰三角形区域是儿童活动区，P，C，D三点在圆弧上，中点恰好在圆心O，则当健身广场的面积最大时，的长度为（ ）

A．米 B．米 C．米 D．米
8．设实数x，y满足，，不等式恒成立，则实数k的最大值为（ ）
A．12 B．24 C． D．
二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知，，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．对于，下列不等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知a，b均为正实数，且，则（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为
三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知，求的取值范围 ．
13． 设，，，则的最小值为 .
14．已知正实数，满足，且恒成立，则的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．设，，均为正数，且，证明：
(1)； (2).
16．关于的方程满足下列条件，求的取值范围．
(1)有两个正根；
(2)一个根大于，一个根小于；
(3)一个根在内，另一个根在内；
(4)一个根小于，一个根大于；
(5)两个根都在内．
17．为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm（宣传栏中相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是10cm），设.
(1)当时，求海报纸（矩形）的周长；
(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？
18．已知函数．
(1)当时，解关于x的不等式；
(2)若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围．
19．已知有限集，若，则称A为“完全集”．
(1)判断集合是否为“完全集”，并说明理由；
(2)若集合为“完全集”，且a，b均大于0，证明：a，b中至少有一个大于2；
(3)若A为“完全集”，且，求A．
答案解析
一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．
1．下列说法中，错误的是（ ）
A．若，则一定有 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A
【分析】对A举反例即可判断；对B和D，利用不等式基本性质即可判断；对C，利用作差法即可判断.
【详解】对于A，若，则，故A错误.
对于B，由，可知，所以，所以.故B正确.
对于C，，因为，
所以，所以.故C正确.
对于D，因为，所以.又，所以.故D正确.
故选：A.
2．已知关于的一元二次不等式的解集为，其中，，为常数，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用不等式与对应方程的关系，由韦达定理得到的关系，再根据一元二次不等式的解法，即可求解.
【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为，
所以，且和是一元二次方程的两根，
所以，解得
所以不等式可化为，即，
解得，则不等式的解集是．
故选：A
3．已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意分析可知，利用基本不等式运算求解.
【详解】因为正实数x，y满足，则，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：A.
4．若a是实数，，，则P，Q的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．由a的取值确定
【答案】A
【分析】由题可得，，进而比较与即可.
【详解】显然P，Q都是正数，
又，
，
若a是负数，则，，所以；
若a是非负数，则，，所以．
综上所述，．
故选：A．
5．对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分类讨论，利用判别式小于0，即可得到结论
【详解】当，即时，，恒成立；
当时，，解之得，
综上可得
故选：D
6．已知，，且，那么的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【分析】由题意可得，再由基本不等式求解即可求出答案.
【详解】因为，，，
则
.
当且仅当即时取等.
故选：C.
7．为提高市民的健康水平，拟在半径为200米的半圆形区域内修建一个健身广场，该健身广场（如图所示的阴影部分）分休闲健身和儿童活动两个功能区，图中区域是休闲健身区，以为底边的等腰三角形区域是儿童活动区，P，C，D三点在圆弧上，中点恰好在圆心O，则当健身广场的面积最大时，的长度为（ ）

A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】D
【分析】
先设，然后将健身广场的面积表示为的函数，再使用基本不等式和二次函数的性质确定取得最大值时的取值，最后求出此时的长度.
【详解】如图，设半圆的半径是，并设，则，由知.

由于，故四边形和四边形都是上底为，下底为，高为的梯形.
所以，健身广场的面积.
从而，健身广场的面积最大的时候，恰好就是最大的时候，而我们又有：
，第一个不等号使用了基本不等式.
等号成立当且仅当且，即且.
由于时，故等号成立当且仅当.
以上结论表明，的最大值是，且取到最大值当且仅当.
由，我们得到当健身广场的面积最大时，的长度为.
最后，由是半圆的半径，再根据题目条件，知等于200米，所以的长度为米，D选项正确.
故选：D.
8．设实数x，y满足，，不等式恒成立，则实数k的最大值为（ ）
A．12 B．24 C． D．
【答案】B
【分析】令，不等式变形为，求出的最小值，从而得到实数的最大值.
【详解】，，变形为，
令，
则转化为
，即，
其中

当且仅当，即时取等号，可知.
故选：B
【点睛】思路点睛：不等式恒成立问题，先分离参数后，然后利用基本不等式求最值.
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知，，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据条件，利用不等式的基本性质逐项判断即可.
【详解】对于A，，即，，，正确，
对于B，，即，，正确，
对于C，，即，，，错误，
对于D，，，又即，，
，，正确.
故选：ABD.
10．对于，下列不等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】选项A，取特值反例即可；选项BC，利用和的变形可证明；选项D作差比较法可证明.
【详解】选项A，当时，，，
此时，不成立，故A错误；
选项B， 由重要不等式，得，
当且仅当时等号成立，故B正确；
选项C，已知，由基本不等式，
两边平方可得，
当且仅当时等号成立，故C正确；
选项D，因为
，
所以，当且仅当时等号成立，故D正确．
故选：BCD.
11．已知a，b均为正实数，且，则（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为
【答案】ACD
【分析】对于A，利用基本不等式即可解得；
对于B，结合代换即可用基本不等式解决；
对于C，消元变为给定范围内二次函数最值问题；
对于D，结合代换即可用基本不等式解决.
【详解】对于A，
因为a，b均为正实数，且，
所以，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，
，
当且仅当即时，等号成立，故B错误；
对于C，
，
当时，的最小值为，故C正确；
对于D，
，
当且仅当即时，等号成立，故D正确.
故选：ACD.
三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知，求的取值范围 ．
【答案】
【分析】利用待定系数法设，得到方程组，解出，再根据不等式基本性质即可得到答案.
【详解】设,则解得
故，
由,故，
由,故，
所以.
故答案为：.
13． 设，，，则的最小值为 .
【答案】.
【分析】把分子展开化为，再利用基本不等式求最值．
【详解】由，得，得
，
等号当且仅当，即时成立．
故所求的最小值为．
【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．
14．已知正实数，满足，且恒成立，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】先求得的最大值，由此列不等式来求得的取值范围.
【详解】依题意，，，
解得，则
，
当且仅当，时等号成立.
所以，
解得或，即的取值范围是.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．设，，均为正数，且，证明：
(1)； (2).
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由，则，根据，，，即可得证；
（2）根据，，，即可得证.
【详解】（1）由，得，
又由基本不等式可知当，，均为正数时，，，，
当且仅当时，上述不等式等号均成立，
所以，
即，
所以，当且仅当时等号成立；
（2）因为，，均为正数，
则，，，当且仅当时，不等式等号均成立，
则，
即，当且仅当时等号成立.
所以.
16．关于的方程满足下列条件，求的取值范围．
(1)有两个正根；
(2)一个根大于，一个根小于；
(3)一个根在内，另一个根在内；
(4)一个根小于，一个根大于；
(5)两个根都在内．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】根据二次方程根的分布的性质逐一解决每个小问.
【详解】（1）令，设的两个根为.
由题得，解得.
（2）若方程的一个根大于，一个根小于，则，解得
（3）若方程一个根在内，另一个根在内，则，解得
（4）若方程的一个根小于，一个根大于，
则，解得
（5）若方程的两个根都在内，则，解得
17．为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm（宣传栏中相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是10cm），设.
(1)当时，求海报纸（矩形）的周长；
(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？
【答案】(1)900cm
(2)选择长、宽分别为350cm，140cm的海报纸，可使用纸量最少
【分析】（1）根据宣传栏的面积以及可计算出直角三角形的高，再根据留空宽度即可求得矩形的周长；
（2）根据阴影部分面积为定值，表示出矩形面积的表达式利用基本不等式即可求得面积的最小值，验证等号成立的条件即可得出对应的长和宽.
【详解】（1）设阴影部分直角三角形的高为cm，
所以阴影部分的面积，所以，
又，故，
由图可知cm，cm.
海报纸的周长为cm.
故海报纸的周长为900 cm.
（2）由（1）知，，，
，
当且仅当，即cm，cm时等号成立，
此时，cm，cm.
故选择矩形的长、宽分别为350 cm，140 cm的海报纸，可使用纸量最少.
18．已知函数．
(1)当时，解关于x的不等式；
(2)若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）根据一元二次不等式解集的形式，结合分类讨论思想，求不等式的解集；
（2）采用分离变量的方法，转化成求函数的最值.
【详解】（1）由.
若即，上式可化为：；
若即，上式可化为：；
若即，上式可化为：，
因为，所以：或.
综上可知：当时，原不等式的解集为：；
当时，原不等式的解集为：；
当时，原不等式的解集为：.
（2）不等式即，
因为恒成立，所以：.
问题转化为：存在，使得成立，所以，
设，
当时，；
当时，，因为（当且仅当时取等号），所以.
所以
综上可知：的取值范围是
【点睛】求参数的取值范围问题，分离参数是常用的一种方法.通常把参数表示出来，而后转化为恒成立或存在性问题，通过求函数的值域或范围来求解.
19．已知有限集，若，则称A为“完全集”．
(1)判断集合是否为“完全集”，并说明理由；
(2)若集合为“完全集”，且a，b均大于0，证明：a，b中至少有一个大于2；
(3)若A为“完全集”，且，求A．
【答案】(1)是，理由见解析；
(2)证明见解析；
(3).
【分析】（1）根据“完美集”定义判断即可；
（2）由“完美集”定义及一元二次方程根与系数关系，结合判别式有，即可证；
（3）讨论，并结合“完美集”定义判断、、是否存在完美集即可.
【详解】（1）由，，
所以，
故集合是“完全集”.
（2）由题设，令，则是的两个不同的正实数根，
所以或（舍），即，
又，若都不大于2，则，矛盾，所以至少有一个大于2.
（3）不妨令，则，
所以，
当，即，故，显然无解，不满足；
当，即，只能有，故存在一个“完美集”；
当，，即，
又，且，
此时，显然有矛盾，
所以时不存在“完美集”；
综上，.
【点睛】关键点点睛：根据完美集定义，结合题设条件、一元二次方程根与系数关系、分类讨论、反证法等判断并确定完美集.

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