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第三章《函数的概念与性质》同步单元必刷卷（基础卷）
人教A版高中数学必修一第三章单元基础测试卷
一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．
1．已知幂函数为偶函数，且在上单调递减，则的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
2．若函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
3．若函数，且，则实数的值为（ ）
A． B．或 C． D．3
4．若函数满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数是定义上的奇函数，满足，且当时，，则（ ）
A． B． C．0 D．1
6．已知函数的定义域为，，且，则（ ）
A．0 B．2022 C．2023 D．2024
7．已知是定义在上的减函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．设函数，则满足的x的取值范围是
A． B． C． D．
二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列命题正确的是（ ）
A．与不是同一个函数
B．的值域为
C．函数的值域为
D．若函数的定义域为，则函数的定义域为
10．函数是定义在上的奇函数，下列说法正确的是（ ）
A．
B．若在上有最小值，则在上有最大值1
C．若在上为增函数，则在上为减函数
D．若时，，则时，
11．已知幂函数的图象过点，则下列说法正确的是（ ）
A．为奇函数
B．在定义域上单调递减
C．在上的值域为
D．在上的最大值是
三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知幂函数的图象过点，则 ，的解集为 .
13．函数的值域为 .
14．定义在R上的，在上增函数，且，，则不等式的解集为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．某企业为进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场调研发现，生产该产品全年需要投入研发成本250万元，每生产（千部）手机，需另外投入成本万元，其中，已知每部手机的售价为5000元，且生产的手机当年全部销售完.
(1)求2023年该款手机的利润关于年产量的函数关系式；
(2)当年产量为多少时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？
16．已知幂函数在上为增函数.
(1)求实数的值；
(2)求函数的值域.
17．已知函数是定义在上的函数，恒成立，且
(1)确定函数的解析式；
(2)用定义证明在上是增函数；
(3)解不等式．
18．已知函数是定义在上的奇函数，且．
(1)确定函数的解析式；
(2)用定义证明在上是增函数；
(3)解不等式：．
19．已知函数的定义域是，若对于任意，都有，且时，有．令．
(1)求的定义域；
(2)解不等式．
答案解析
一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．
1．已知幂函数为偶函数，且在上单调递减，则的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据偶函数的定义和幂函数的性质逐个分析判断即可
【详解】对于A，的定义域为，因为定义域不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，所以A错误，
对于B，的定义域为，因为，所以函数为偶函数，
因为在上递增，所以B错误，
对于C，的定义域为，因为，所以函数为偶函数，
因为在上单调递减，所以C正确，
对于D，的定义域为，因为，所以函数为奇函数，所以D错误，
故选：C
2．若函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据抽象函数定义域的求法，列出方程组，即可求得答案.
【详解】因为的定义域是，所以，根据抽象函数定义域求法，
在函数中，，解得或.
故选：D.
3．若函数，且，则实数的值为（ ）
A． B．或 C． D．3
【答案】B
【分析】令，配凑可得，再根据求解即可
【详解】令（或），，，，.
故选；B
4．若函数满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据对任意，都有成立可判断是上的减函数，通过各段上的单调性分析及区间端点函数值的比较，列出不等式组求解即可.
【详解】由题意可知：
对任意的实数，都有成立，是上的减函数，
，解得，
实数的取值范围是.
故选：B.
5．已知函数是定义上的奇函数，满足，且当时，，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】C
【分析】本题首先可根据得出函数是周期为的周期函数以及，然后根据函数是奇函数得出，最后根据当时即可得出结果.
【详解】因为，所以，
则函数是周期为的周期函数，，
因为函数是定义上的奇函数，所以，
因为当时，，所以，，
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数的周期性和奇偶性，若函数满足，则函数是周期为的周期函数，考查推理能力，是中档题.
6．已知函数的定义域为，，且，则（ ）
A．0 B．2022 C．2023 D．2024
【答案】C
【分析】根据解析式赋值代入，解得;
【详解】令，解得，
然后逐项带入，解得：
，
故选：C.
7．已知是定义在上的减函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由函数是上的减函数，可得，求解即可.
【详解】因为函数是上的减函数，所以，解得.
故选：A.
【点睛】本题考查函数的单调性的应用，考查分段函数的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
8．设函数，则满足的x的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有成立，一定会有，从而求得结果.
详解：将函数的图像画出来，观察图像可知会有，解得，所以满足的x的取值范围是，故选D.
点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果.
二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列命题正确的是（ ）
A．与不是同一个函数
B．的值域为
C．函数的值域为
D．若函数的定义域为，则函数的定义域为
【答案】AD
【分析】根据函数的定义可判断A;结合二次函数知识求得的值域，判断B;求出函数的值域判断C;根据抽象函数的定义域求法求得的定义域，判断D.
【详解】对于A, ，的定义域为R，与对应法则不相同，
故与不是同一个函数，A正确
对于B, ，由，可得，
又，当时，取到最大值4，
故的值域为，故B错误；
对于C, 函数,定义域为,且单调递增，此时，
故函数的值域为，C错误；
对于D，函数的定义域为，即，则，
即函数的定义域为，D正确，
故选:
10．函数是定义在上的奇函数，下列说法正确的是（ ）
A．
B．若在上有最小值，则在上有最大值1
C．若在上为增函数，则在上为减函数
D．若时，，则时，
【答案】ABD
【分析】根据奇函数的定义并取特值即可判定；利用奇函数的定义和最值得定义可以求得在上有最大值，进而判定B；利用奇函数的单调性性质判定C；利用奇函数的定义根据时的解析式求得时的解析式，进而判定D．
【详解】由得，A正确；
在时，，且存在使得，
则时，，则，
则，且当有,
在上有最大值1，故B正确；
若在上为增函数，而奇函数在对称区间上具有相同的单调性，则在上为增函数，故C错误；
若时，，则时，，
则，故D正确．
故选：ABD
11．已知幂函数的图象过点，则下列说法正确的是（ ）
A．为奇函数
B．在定义域上单调递减
C．在上的值域为
D．在上的最大值是
【答案】ACD
【分析】由条件求出幂函数的解析式，根据幂函数的性质判断ABC；利用基本不等式判断D.
【详解】将代入，可得，则，所以.
对于A，由性质可知，为奇函数，A正确：
对于B，在定义域上不单调，B错误；
对于C，在上的值域为，C正确；
对于D，当时，，
则，
当且仅当等号成立，D正确.
故选：ACD.
三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知幂函数的图象过点，则 ，的解集为 .
【答案】
【分析】设出幂函数的解析式，再由给定条件列式计算，然后借助函数性质列出不等式，求解即得.
【详解】依题意，设，则，解得，于是得，
显然是偶函数，且在上单调递增，而，
即有，解得或，
所以的解集为.
故答案为：；
【点睛】思路点睛：解涉及奇偶性的函数不等式，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性
脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)=f(|x|).
13．函数的值域为 .
【答案】
【解析】将变形为，由，得出的范围，即可得出该函数的值域.
【详解】因为，，所以
所以，所以函数的值域为
故答案为：
【点睛】本题主要考查了求函数的值域，属于中档题.
14．定义在R上的，在上增函数，且，，则不等式的解集为 .
【答案】或
【解析】先利用已知条件赋值，计算和，判断是偶函数，再利用已知条件化简所求不等式为，结合奇偶性得到，再利用单调性即得，即得结果.
【详解】依题意，令得，即；
令得，即；令，则，即，故是偶函数.又因为，
故不等式即，故，即，所以，即，故或，即解集为或.
故答案为：或.
【点睛】利用函数奇偶性和单调性解不等式问题：
（1）是奇函数，图像关于原点中心对称，利用奇函数性质将不等式形式，再利用单调性得到和的大小关系，再解不等式即可；
（2）是偶函数，图像关于y轴对称，利用偶函数性质将不等式形式，再利用单调性得到和的大小关系，再解不等式即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．某企业为进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场调研发现，生产该产品全年需要投入研发成本250万元，每生产（千部）手机，需另外投入成本万元，其中，已知每部手机的售价为5000元，且生产的手机当年全部销售完.
(1)求2023年该款手机的利润关于年产量的函数关系式；
(2)当年产量为多少时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)当年产量为52（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是5792万元.
【分析】（1）根据利润等于收入减去成本即可求出结果；
（2）根据（1）求出的函数关系式直接求最大值即可.
【详解】（1）当时，，
当时,，
所以.
（2）当时，,
∴当时，，
当时,
,
当且仅当，即时，，
因此当年产量为52（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是5792万元.
16．已知幂函数在上为增函数.
(1)求实数的值；
(2)求函数的值域.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）解方程再检验即得解；
（2）令，再求函数的值域即得解.
【详解】（1）解：由题得或.
当时，在上为增函数，符合题意；
当时，在上为减函数，不符合题意.
综上所述.
（2）解：由题得，
令，
抛物线的对称轴为，所以.
所以函数的值域为.
17．已知函数是定义在上的函数，恒成立，且
(1)确定函数的解析式；
(2)用定义证明在上是增函数；
(3)解不等式．
【答案】(1)
(2)证明过程见详解
(3)
【分析】（1）先由函数的奇偶性得到，然后由求解；
（2）利用函数单调性定义证明；
（3）将，转化为，利用单调性求解.
【详解】（1）由题意可得，解得
所以，经检验满足奇函数.
（2）设，
则，
，
，且，则，
则，即，
所以函数在上是增函数．
（3），
，
是定义在上的增函数，
，得，
所以不等式的解集为．
18．已知函数是定义在上的奇函数，且．
(1)确定函数的解析式；
(2)用定义证明在上是增函数；
(3)解不等式：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由解出，可确定函数的解析式；
（2）用定义证明函数的单调性；
（3）利用奇偶性和单调性解不等式.
【详解】（1）由题意，得，
∴（经检验符合题意），故．
（2）证明　任取，且，
则．
∵，∴，，．
又，∴．∴，即，
∴在上是增函数．
（3）由（2）知在上是增函数，又在上为奇函数，
，∴，∴，
解得．∴不等式的解集为．
19．已知函数的定义域是，若对于任意，都有，且时，有．令．
(1)求的定义域；
(2)解不等式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合的定义域和列出不等式组即可求解；
（2）结合条件求出的奇偶性和单调性，利用性质求解函数不等式.
【详解】（1）因为的定义域为，
所以有，
即，解得：，
所以的定义域为．
（2）令，可得，即，
令，得，
即是奇函数，
令，则，且为奇函数，
，即，
在上单调递增，
由题意可知，，
，
解得，即不等式的解集为．

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