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人教A版高中数学必修一第三章单元培优测试卷
一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．
1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
2．已知二次函数满足，且的最大值是8，则此二次函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
3．幂函数在区间（0，+∞）上单调递增，且，则的值（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断
4．已知函数，满足对任意的实数，且，都有，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．设，若表示不超过的最大整数，则函数的值域是
A． B． C． D．
7．已知函数的定义域为，若函数为奇函数，且，，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
8．已知是定义在R上的偶函数，若、且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．若的定义域为，则的定义域为
B．函数的值域为
C．函数的值域为
D．函数在上的值域为
10．已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且对任意的，，都有，则（ ）
A．是奇函数 B．
C．的图象关于对称 D．
11．已知幂函数对任意且，都满足，若，则（ ）
A． B． C． D．
三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．函数的单调增区间为
13．设函数若存在最小值，则a的一个取值为 ；a的最大值为 ．
14．设是定义在上的单调增函数，且满足，若对于任意非零实数都有，则 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知幂函数在上单调递减.
(1)求m的值；
(2)若，求a的取值范围.
16．党的二十大大报告明确要求：我们要构建高水平社会主义市场经济体制，坚持和完善社会主义基本经济制度，毫不动摇巩固和发展公有制经济，毫不动摇鼓励、支持、引导非公有制经济发展，充分发挥市场在资源配置中的决定性作用，更好发挥政府作用.这为我们深入推进非公有制企业改革发展指明了方向，提供了根本遵循.某非公有制企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A、B两种产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图（1）；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图（2）（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）
(1)分别求出A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？
17．已知函数.
(1)求函数的解析式；
(2)设，若存在使成立，求实数的取值范围.
18．函数对任意实数恒有，且当时，.
(1)判断的奇偶性；
(2)求证：是上的减函数；
(3)若，解关于的不等式.
19．已知函数，（）．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；
(3)若对任意，存在，使得，求的取值范围．
答案解析
一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．
1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由函数的定义域求出的定义域，再由可得答案.
【详解】因为函数的定义域为，所以满足，即，
又函数有意义，得，解得，
所以函数的定义域为.
故选：C
2．已知二次函数满足，且的最大值是8，则此二次函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据条件设二次函数为，代入条件求解即可.
【详解】根据题意，由得:图象的对称轴为直线，
设二次函数为，
因的最大值是8，所以，当时， ，
即二次函数，
由得:，解得：，
则二次函数，
故选：A.
3．幂函数在区间（0，+∞）上单调递增，且，则的值（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断
【答案】A
【分析】先根据幂函数的定义和函数单调性求出m的值，再判断函数的单调性，根据单调性和奇偶性即可判断．
【详解】幂函数在区间（0，+∞）上单调递增，
∴，解得m＝2，
∴，
∴在R上为奇函数，
由，得，
∵在R上为单调增函数，
∴，
∴恒成立．
故选：A．
4．已知函数，满足对任意的实数，且，都有，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用已知条件判断函数的单调性然后转化分段函数推出不等式组，即可求出a的范围.
【详解】对任意的实数，都有,即成立，
可得函数图像上任意两点连线的斜率小于0，说明函数是减函数；
可得：，
解得，
故选：C
5．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分析函数的定义域、奇偶性、单调性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】函数的定义域为，
且，
函数为奇函数，CD选项错误；
又当时，，B选项错误.
故选：A.
6．设，若表示不超过的最大整数，则函数的值域是
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】试题分析：因为
，故，，表示不超过的最大整数，故值域为{-1,0}
考点：函数的值域，以及对新概念的理解
7．已知函数的定义域为，若函数为奇函数，且，，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】
根据奇函数的性质得到，由条件结合函数的对称性和周期性的定义得到函数的周期为，且，，即可求解.
【详解】因为函数的定义域为，且函数为奇函数，
则，即函数关于点对称，
所以有①，
又②，所以函数关于直线对称，
则由②得：，，
所以，则
又由①和②得：，得，
所以，即，
所以函数的周期为，
则，
所以，
故选：A.
【点睛】结论点睛：函数的定义域为，对，
（1）存在常数，使得，则函数图象关于点对称.
（2）存在常数使得，则函数图象关于直线对称.
8．已知是定义在R上的偶函数，若、且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用构造函数法，结合函数的单调性、奇偶性来求得的取值范围.
【详解】设，则，，
令，则，所以，函数在上为增函数，
对任意的，，
所以，函数为上的偶函数，且，
由可得，即，
即，所以，，即，解得.
故选：A
二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．若的定义域为，则的定义域为
B．函数的值域为
C．函数的值域为
D．函数在上的值域为
【答案】AC
【分析】根据抽象函数的定义域的求解判断A；利用分离常数化简函数解析式，结合反比型函数的值域判断B；利用换元法，结合二次函数的性质求得其值域，判断C；利用配方法，结合二次函数的性质判断D.
【详解】对于A，因为的定义域为，所以，
解得，即的定义域为，故A正确；
对于B，，
所以，即函数的值域为，故B不正确；
对于C，令，则，，
所以，，
所以当时，该函数取得最大值，最大值为，
所以函数的值域为，故C正确；
对于D，，其图象的对称轴为直线，且，，
所以函数在上的值域为，故D不正确．
故选：AC．
10．已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且对任意的，，都有，则（ ）
A．是奇函数 B．
C．的图象关于对称 D．
【答案】BC
【分析】根据函数的奇偶性和题设条件，推得是周期为4的周期函数，结合周期函数的性质求值，利用单调性比较大小，逐项判定即可求解.
【详解】因为为奇函数，所以
,即函数关于对称，C正确;
由函数关于对称可知,
又因为为偶函数，所以
，即函数关于对称，
则,
所以,即,
所以,所以是周期为4的周期函数，
所以,又,
所以,所以,所以,B正确;
是偶函数，A错误;
对任意的,且,都有,不妨设,
则,由单调性的定义可得函数在上单调递增，
又由函数关于对称，所以在上单调递增
又,,
所以,得，D错误.
故选：BC
【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数，解题关键是合理利用抽象函数的单调性，奇偶性周期性分析题意，然后逐个选项分析即可．
11．已知幂函数对任意且，都满足，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】由已知函数为幂函数可得，再由已知可得此函数在上递增，则，从而可求出函数解析式，然后判断函数奇偶性和单调性，从而可判断选项AB，对于CD，作差比较即可.
【详解】因为为幂函数，
所以，解得或，
因为对任意且，都满足，
所以函数在上递增，
所以
当时，，不合题意，
当时，，
所以
因为，
所以为奇函数，
所以由，得，
因为在上为增函数，
所以，所以，
所以A错误，B正确，
对于CD，因为，
所以
，
所以，所以C错误，D正确，
故选：BD
三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．函数的单调增区间为
【答案】
【分析】根据复合函数的单调性“同增异减”可得答案.
【详解】由得，
因为在上单调递增，在上单调递减，且在时单调递增，
所以函数的单调递增区间为.
故答案为：.
13．设函数若存在最小值，则a的一个取值为 ；a的最大值为 ．
【答案】 0（答案不唯一） 1
【分析】根据分段函数中的函数的单调性进行分类讨论，可知，符合条件，不符合条件，时函数没有最小值，故的最小值只能取的最小值，根据定义域讨论可知或， 解得 .
【详解】解：若时，，∴；
若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求；
若时，
当时，单调递减，，
当时，
∴或，
解得，
综上可得；
故答案为：0（答案不唯一），1
14．设是定义在上的单调增函数，且满足，若对于任意非零实数都有，则 .
【答案】2021
【分析】利用赋值法求解，令，则，再令，结合题意中条件求得，可求得，进而可得结果.
【详解】令，则，
令，则，解得或.
而，则，故，因此.
则，
即.
因此或，
当时，，在上单调递减，不满足题意，舍去；
当时，满足题意.
则.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知幂函数在上单调递减.
(1)求m的值；
(2)若，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由幂函数的定义以及单调性得出m的值；
（2）由解不等式得出a的取值范围.
【详解】（1）解：由幂函数的定义可得，即，解得或.
因为在上单调递减，所以，即，
则.
（2）设，是R上的增函数.
由（1）可知，即，
则，解得，
即a的取值范围为.
16．党的二十大大报告明确要求：我们要构建高水平社会主义市场经济体制，坚持和完善社会主义基本经济制度，毫不动摇巩固和发展公有制经济，毫不动摇鼓励、支持、引导非公有制经济发展，充分发挥市场在资源配置中的决定性作用，更好发挥政府作用.这为我们深入推进非公有制企业改革发展指明了方向，提供了根本遵循.某非公有制企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A、B两种产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图（1）；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图（2）（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）
(1)分别求出A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】(1)，
(2)当A产品投入6万元，B产品投入万元时，企业获得最大利润为7万元
【分析】（1）根据函数模型设出函数解析式，从两个图中分别找出特殊点坐标，代入函数解析式求出结果.
（2）建立获利和对A投资的函数，换元转化成二次函数，求出最大值.
【详解】（1）设投资为万元，A产品的利润为万元，B产品的利润为万元，
由题意知， 。
由图可知，
从 ，
（2）设A产品投入万元，则B产品投入万元，设企业利润为万元。
则 ，
令 则
当，
所以当A产品投入6万元，B产品投入万元时，企业获得最大利润为7万元.
17．已知函数.
(1)求函数的解析式；
(2)设，若存在使成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）由配凑法得，再结合，即可求出的解析式；
（2）先求出，将题设转化为在上有解，换元后利用二次函数的性质求出最小值即可求解.
【详解】（1），则，又，则；
（2），又存在使成立，即在上有解，
令，设，易得在单减，则，
即，故实数的取值范围为.
18．函数对任意实数恒有，且当时，.
(1)判断的奇偶性；
(2)求证：是上的减函数；
(3)若，解关于的不等式.
【答案】(1)奇函数
(2)证明见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）根据题设条件，利用特殊值法、奇偶性的定义分析运算即可得解.
（2）根据题设条件，利用单调性的定义分析运算即可得证；
（3）根据题设条件将不等式转化为一元二次不等式，利用一元二次不等式的解法、分类讨论法运算即可得解.
【详解】（1）解：由题意，函数对任意实数恒有，
令得，解得：.
取，则由得，
∴，即，
∴函数是奇函数.
（2）证明：任取，且，则，
∵当时，，∴，
由得，
∴，
∴，
∴是上的减函数.
（3）解：由得，
由得，
则，
∴不等式可化为，
∵是上的减函数，
∴，即………①.
（i）当时，不等式①式即为，解得：，即原不等式解集为；
（ii）当时，不等式①式化为，即，
若，上式不等式即为，解得：，即原不等式解集为；
若，则，原不等式解集为；
若，则，原不等式解集为；
（iii）当时，不等式①式化为，即，
∵此时，∴原不等式解集为；
综上，当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为.
【点睛】方法点睛：
1.解一元二次不等式的一般步骤：（1）化为标准形式；（2）确定判别式的符号，若，则求出该不等式对应的一元二次方程的根；若，则该不等式对应的一元二次方程无根；（3）结合二次函数的图象得出不等式的解集，特别地，若一元二次不等式左边的二次三项式能分解因式，则可直接写出不等式的解集.
2.含有参数的一元二次不等式的求解，首先需要对二次项系数讨论，再比较相应方程的根的大小，注意分类讨论思想的应用.
19．已知函数，（）．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；
(3)若对任意，存在，使得，求的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
(3)
【分析】（1）将代入不等式，解该一元二次不等式即可；
（2）转化为一元二次不等式恒成立问题，利用即可解得参数的范围；
（3）对任意，存在，使得，转化为的值域包含于的值域.同时对值域的求解，需要根据二次函数对称轴与闭区间的相对位置进行讨论，最终解不等式组求解.
【详解】（1）当时，由得，
即，解得或．
所以不等式的解集为或．
（2）由得，
即不等式的解集是．
所以，解得．
所以的取值范围是．
（3）当时，．
又．
①当，即时，
对任意，．
所以，此时不等式组无解，
②当，即时，
对任意，．
所以解得，
③当，即时，
对任意，．
所以此时不等式组无解，
④当，即时，
对任意，．
所以此时不等式组无解．
综上，实数的取值范围是．
【点睛】关键点点睛，本题中“对任意，存在，使得”这一条件转化为函数值域的包含关系是解决问题的关键，而其中二次函数在闭区间上的值域问题，又需要针对对称轴与区间的相对位置进行讨论.

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