资源简介

人教A版高中数学必修一第四章单元基础测试卷
一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．
1．的值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数的大致图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数在内有一个零点，要使零点的近似值的精确度为0.001，若只从二等分区间的角度来考虑，则对区间至少需要二等分（ ）
A．8次 B．9次 C．10次 D．11次
4．已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是
A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）
7．基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）
A．1.2天 B．1.8天
C．2.5天 D．3.5天
8．已知，是互不相同的正数，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．函数的图象过定点
D．若函数在内单调递增，则实数的取值范围是
10．已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数的定义域为，则实数的取值范围是
B．若函数的值域为，则实数
C．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是
D．若，则不等式的解集为
11．已知函数与相交于A，B两点，与相交于C，D两点，若A，B，C，D四点的横坐标分别为，，，，且，，则（ ）
A． B．
C． D．
三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．函数的定义域是 ．
13．函数的值域是 ．
14．已知函数，则函数零点的个数是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知函数f(x)＝为奇函数．
（1）求a的值；
（2）判断函数f(x)的单调性，并加以证明．
16．已知函数.
(1)求的定义域；
(2)判断的奇偶性并予以证明；
(3)求不等式的解集.
17．已知某产品关税与市场供应量的关系近似地满足（其中为关税的税率，且为市场价格，为正常数）且当时市场供应量曲线如图.
（1）根据图象，求的值；
（2）若市场需求量为，它近似满足，当时市场价格称为市场平衡价格，则为使市场平衡价格控制在不低于9元，求税率的最小值.
18．函数
(1)当时，求函数零点
(2)函数有两个零点，求m的取值范围；
(3)函数在上有两个零点，求m的取值范围；
19．已知函数，，．
(1)求函数在区间上的最小值；
(2)若对，，使得成立，求实数的取值范围．
答案解析
一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．
1．的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用指数幂的运算性质求解．
【详解】解：原式＝.
故选：D．
2．已知函数的大致图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】作直线，则由，可得，进而由不等式性质可以判断A正确，由不等式可加性可判断BCD错误.
【详解】
作直线，则由，
可得，
则由不等式性质可得，所以A正确.
由不等式可加性可得，故D错误，
不能推出B、C，故B、C错误.
故选：A.
3．已知函数在内有一个零点，要使零点的近似值的精确度为0.001，若只从二等分区间的角度来考虑，则对区间至少需要二等分（ ）
A．8次 B．9次 C．10次 D．11次
【答案】D
【分析】设对区间至少二等分n次，解不等式即得解.
【详解】设对区间至少二等分n次，此时区间长度为2，
则第n次二等分后区间长为，
依题意得，所以
，，
所以.
故选：D
4．已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先由题意有，若是上的减函数，故只需当时，单调递减，从而列出不等式组，解不等式组即可.
【详解】当时，单调递减，，且最小值为，
当时，当时，单调递增，不符题意，
又注意到是上的减函数，
故只能抛物线的开口向下即，其对称轴为，
则由题意有，解得．
故选：A.
5．设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，结合中间量法即可得解.
【详解】，
，
，
所以.
故选：A.
6．已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是
A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）
【答案】C
【详解】分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果.
详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，
再画出直线，之后上下移动，
可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，
并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，
即方程有两个解，
也就是函数有两个零点，
此时满足，即，故选C.
点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.
7．基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）
A．1.2天 B．1.8天
C．2.5天 D．3.5天
【答案】B
【分析】根据题意可得，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，根据，解得即可得结果.
【详解】因为，，，所以，所以，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，
则，所以，所以，
所以天.
故选：B.
【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.
8．已知，是互不相同的正数，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先将函数图象画出，得到如下图的图象，由图象交点特性，可知，，得，所以得到取值范围．
【详解】不妨设，做出函数的图象如下图象所示，当时，解得或，则由图示可得，
则 ，，所以所以即所以，
又，所以，，所以取值范围是，
的取值范围为：.
故选：B．
二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．函数的图象过定点
D．若函数在内单调递增，则实数的取值范围是
【答案】BCD
【分析】选项A根据所给条件化简根式即可，B选项利用完全平方公式计算即可，C选项利用指数型函数过定点判断即可，D选项根据指数（型）函数单调性求参数的取值范围.
【详解】选项A，因为，
所以，故A错误，
选项B，因为，所以，
由
，
所以，故B选项正确，
选项C，当时，，
所以函数恒过，故选项C正确，
选项D，由函数是由复合而成，
由在上单调递增，
故由函数在内单调递增，
则可知函数在内单调递增，
所以，即，故D正确，
故选：BCD.
10．已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数的定义域为，则实数的取值范围是
B．若函数的值域为，则实数
C．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是
D．若，则不等式的解集为
【答案】AC
【分析】函数的定义域为等价于恒成立，由此即可列出不等式组，即可求出实数的取值范围；
若函数的值域为等价于的最小值为，由此可列出方程，即可求出实数的值；
若函数在区间上为增函数等价于函数在区间上为增函数且恒成立，由此即可列出不等式组，即可求出实数的取值范围；
若，，即可解出不等式；即可选出答案.
【详解】对于A，因为的定义域为，所以恒成立，则，解得，故A正确；
对于B，因为的值域为，所以的最小值为，所以，解得，故B错误；
对于C，因为函数在区间上为增函数，
所以当m=0时，，符合题意；
当时，，解得；所以，故C正确；
对于D，当m=0时，，由，可得，解得，故D错误.
故选：AC.
11．已知函数与相交于A，B两点，与相交于C，D两点，若A，B，C，D四点的横坐标分别为，，，，且，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据，分别代入，即可判断A,B，根据， 关于直线的对称，因此可知对称，对称，即可根据对称性判断CD.
【详解】由题意可知是方程 的一个根，则，将 代入得，所以也是方程的一个根，所以，故，故A正确，
由题意可知是方程 的一个根，则，则，所以也是方程的一个根，所以，故，故B正确，
设点在函数上，则满足，即点关于直线的对称点为，将代入得，即可，因此可知在函数上， 即关于直线的对称，又 关于直线的对称，因此可知对称，对称，
故 和，
所以 ，，故D正确，
由于 ，故C错误，
故选：ABD
三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．函数的定义域是 ．
【答案】且
【分析】根据题意得到求解即可.
【详解】由题知：且.
故答案为：且.
13．函数的值域是 ．
【答案】
【分析】利用换元法，令，则，然后先求出内层函数的值域，再求外层函数的值域即可
【详解】令，则，
因为，
所以的值域为，
因为在是减函数，
所以，
所以的值域为，
故答案为：
14．已知函数，则函数零点的个数是 ．
【答案】
【分析】由题知或，进而作出函数的图象，数形结合求解即可.
【详解】解：令，即，解得或，
作出函数的图象如图，
由图可知，方程有个实数解，有个实数解，且均互不相同，
所以，的实数解有个，
所以，函数零点的个数是个.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知函数f(x)＝为奇函数．
（1）求a的值；
（2）判断函数f(x)的单调性，并加以证明．
【答案】（1）a＝－1；（2）函数f(x)在定义域R上单调递增，详见解析
【分析】（1）根据定义域为R的奇函数满足f(0)＝0即可求得结果；
（2）由定义法知，当x1【详解】（1）因为函数f(x)是奇函数，且f(x)的定义域为R，所以f(0)＝＝0，所以a＝－1，经检验满足题意.
（2）f(x)＝＝1－，函数f(x)在定义域R上单调递增．
理由：设任意的x1，x2，且x1则f(x1)－f(x2)＝.
因为x1所以f(x1)【点睛】本题考查指数型复合函数的基本性质，要求学生会根据函数的奇偶性求参数以及利用定义法证明函数的单调性，属基础题.
16．已知函数.
(1)求的定义域；
(2)判断的奇偶性并予以证明；
(3)求不等式的解集.
【答案】(1)
(2)奇函数，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据对数函数的性质进行求解即可；
（2）根据函数奇偶性的定义进行判断和证明；
（3）根据对数函数的单调性进行求解．
【详解】（1）要使函数有意义,则，
解得，故所求函数的定义域为；
（2）证明：由（1）知的定义域为，
设，则,
且，故为奇函数；
（3）因为，所以，即
可得，解得,又，
所以，
所以不等式的解集是．
17．已知某产品关税与市场供应量的关系近似地满足（其中为关税的税率，且为市场价格，为正常数）且当时市场供应量曲线如图.
（1）根据图象，求的值；
（2）若市场需求量为，它近似满足，当时市场价格称为市场平衡价格，则为使市场平衡价格控制在不低于9元，求税率的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由图象知，在图象上，由求解；
（2）根据得到，令，利用二次函数的性质求解.
【详解】（1）由图可知，当时，有，
解得.
（2）当时，得，
解得：，
令，
则，
对称轴，且开口向下；
时，取得最小值，此时，
所以税率的最小值为.
18．函数
(1)当时，求函数零点
(2)函数有两个零点，求m的取值范围；
(3)函数在上有两个零点，求m的取值范围；
【答案】(1)1；
(2)或；
(3).
【分析】（1）把代入，求出零点.
（2）利用判别式大于0，解不等式即得.
（3）利用一元二次方程实根分布规律，列出不等式组求解即得.
【详解】（1）当时，，由，解得，
所以函数零点为1.
（2）由函数有两个零点，得方程有两个不等实根，
因此，解得或，
所以m的取值范围是或.
（3）由函数在上有两个零点，得，解得，
所以m的取值范围是.
19．已知函数，，．
(1)求函数在区间上的最小值；
(2)若对，，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)6
(2)
【分析】（1）令，将函数化为，利用基本不等式求最值；
（2）独立m，将问题转化为，使得成立，求的最大值，得m的取值范围.
【详解】（1）令，因为，所以，
则可化为，，
因为，当且仅当，即，时，等号成立，
所以时，取最小值6.
（2）由（1），，
因为，，使得成立，
所以，使得成立，
即，使得成立，
令，因为，，
所以，使得成立，
因为当，，
当，即时，取最大值2，
所以.

展开更多......

收起↑