资源简介

人教A版高中数学必修一第四章单元培优测试卷
一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．
1．下列结论中，正确的是（ ）
A．设则 B．若，则
C．若，则 D．
2．已知，且，则（ ）.
A．3 B．6 C．12 D．18
3．已知函数，，若对任意，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数 在 上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．住房的许多建材都会释放甲醛.甲醛是一种无色、有着刺激性气味的气体，对人体健康有着极大的危害.新房入住时，空气中甲醛浓度不能超过0.08，否则，该新房达不到安全入住的标准.若某套住房自装修完成后，通风周与室内甲醛浓度y（单位：）之间近似满足函数关系式，其中，且，，则该住房装修完成后要达到安全入住的标准，至少需要通风（ ）
A．17周 B．24周 C．28周 D．26周
7．已知是定义在上的奇函数，当时，，若关于的方程恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为（ ）
A． B．4 C．8 D．或8
8．函数的定义域为，满足，且时，，若，恒有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数，则（ ）
A．的定义域为
B．的值域为
C．当时，为奇函数
D．当时，
10．关于函数，下列说法中正确的有（ ）
A．的定义域为
B．为奇函数
C．在定义域上是减函数
D．对任意，，都有
11．已知函数，下列关于函数的零点个数的说法中，正确的是（ ）
A．当，有1个零点 B．当时，有3个零点
C．当，有2个零点 D．当时，有7个零点
三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．函数在的值域为 ．
13．若函数的图象不过第四象限，则实数a的取值范围为 ．
14．已知是函数的零点，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知定义域为R的函数是奇函数.
(1)求a、b的值；
(2)用定义证明在上为减函数；
(3)若对于任意，不等式恒成立，求k的范围
16．已知函数为奇函数，
(1)求实数的值；
(2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；
17．某公司为了提升销售利润，准备制定一个激励销售人员的奖励方案．公司规定奖励方案中的总奖金额y（单位：万元）是销售利润x（单位：万元）的函数，并且满足如下条件：①图象接近图示；②销售利润x为0万元时，总奖金y为0万元；③销售利润x为30万元时，总奖金y为3万元．现有以下三个函数模型供公司选择：
A．；B．；C．．
(1)请你帮助该公司从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由；
(2)根据你在（1）中选择的函数模型，解决如下问题：
①如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？
②总奖金能否超过销售利润的五分之一？
18．对于函数，若，则称实数为函数的不动点．设函数，．
(1)若，求函数的不动点；
(2)若函数在区间上存在两个不动点，求实数a的取值范围；
(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
19．设函数是定义域为的奇函数.
(1)求实数值；
(2)若，试判断函数的单调性，并证明你的结论；
(3)在（2）的条件下，不等式对任意实数均成立，求实数的取值范围.
答案解析
一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．
1．下列结论中，正确的是（ ）
A．设则 B．若，则
C．若，则 D．
【答案】B
【分析】根据分式指数幂及根式的运算法则，正确运算，即可判断出正误．
【详解】对于A，根据分式指数幂的运算法则，可得，选项A错误；
对于B，，故，选项B正确；
对于 C，， ，因为，所以，选项C错误；
对于D，，选项D错误.
故选：B．
2．已知，且，则（ ）.
A．3 B．6 C．12 D．18
【答案】B
【分析】先由指数式化为对数式，利用换底公式得到，从而得到，计算出.
【详解】由得：，
由换底公式可得：，
则，所以，
因为，所以
故选：B
3．已知函数，，若对任意，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由解析式、奇偶性定义判断的单调性、奇偶性，再将条件化为在上恒成立，即可求范围.
【详解】由在上单调递增，且，即为奇函数，
所以，
则在上恒成立，
所以.
故选：C
4．已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由，结合已知，将问题转化为与有个不同交点，分三种情况，数形结合讨论即可得到答案.
【详解】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根
即可，
令，即与的图象有个不同交点.
因为，
当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；
当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；
当时，如图3，当与相切时，联立方程得，
令得，解得（负值舍去），所以.
综上，的取值范围为.
故选：D.
【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.
5．已知函数 在 上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据在上恒大于0，且单调递增，可求的取值范围.
【详解】因为函数 在 上单调递增，
所以在上单调递增，所以.
且在恒大于0，所以或.
综上可知：.
故选：B
6．住房的许多建材都会释放甲醛.甲醛是一种无色、有着刺激性气味的气体，对人体健康有着极大的危害.新房入住时，空气中甲醛浓度不能超过0.08，否则，该新房达不到安全入住的标准.若某套住房自装修完成后，通风周与室内甲醛浓度y（单位：）之间近似满足函数关系式，其中，且，，则该住房装修完成后要达到安全入住的标准，至少需要通风（ ）
A．17周 B．24周 C．28周 D．26周
【答案】D
【分析】由已知数据求得参数，然后解不等式即可得．
【详解】，由，，得，，
两式相减得，则，所以，.
该住房装修完成后要达到安全入住的标准，则，
则，即，解得，
故至少需要通风26周.
故选：D．
7．已知是定义在上的奇函数，当时，，若关于的方程恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为（ ）
A． B．4 C．8 D．或8
【答案】D
【分析】根据函数的解析式作出函数在时图象，换元解方程可得或，利用图象求出交点对应横坐标，注意利用函数为奇函数图象关于原点对称，分与两种情况讨论，数形结合即可求解.
【详解】作出函数在时的图象，如图所示，

设，
则关于的方程的方程等价于
解得：或，
如图，

当t=1时，即对应一个交点为，方程恰有4个不同的根，可分为两种情况:
（1），即对应3个交点，且 ，
此时4个实数根之和为8；
（2），即对应3个交点，且 ，
此时4个实数根之和为.
故选：D
【点睛】解决此类问题的关键有两点，第一换元后对方程等价转化求解或，
第二结合函数图象处理方程有四个根，即要转化为数形结合，看图象交点的个数及横坐标即可求解.
8．函数的定义域为，满足，且时，，若，恒有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件分段求出解析式及对应函数值集合，再利用数形结合，可求得结果
【详解】因为，且时，，
所以当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
所以当时，，解得或，
作出函数的大致图象，如图所示，

由图可知，，恒有，必有，
即的取值范围是，
故选：B
二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数，则（ ）
A．的定义域为
B．的值域为
C．当时，为奇函数
D．当时，
【答案】ACD
【分析】由分母不为零求出函数的定义域，即可判断A，再分、分别求出函数值的取值范围，即可得到函数的值域，从而判断B，根据奇偶性判断C，根据指数幂的运算判断D.
【详解】对于函数，令，解得，
所以的定义域为，故A正确；
因为，当时，所以，
当时，所以，
综上可得的值域为，故B错误；
当时，则，
所以为奇函数，故C正确；
当时，则，
故D正确.
故选：ACD
10．关于函数，下列说法中正确的有（ ）
A．的定义域为
B．为奇函数
C．在定义域上是减函数
D．对任意，，都有
【答案】BCD
【分析】由函数的奇偶性，单调性等性质对选项逐一判断
【详解】对于A，由得，故的定义域为，故A错误，
对于B，的定义域为，，则为奇函数，故B正确，
对于C，，由复合函数的单调性知在上是减函数，故C正确，
对于D，任意，，，
，，故D正确，
故选：BCD
11．已知函数，下列关于函数的零点个数的说法中，正确的是（ ）
A．当，有1个零点 B．当时，有3个零点
C．当，有2个零点 D．当时，有7个零点
【答案】ABD
【分析】将函数的零点个数问题转化为解的个数问题，设，即有，然后结合每个选项中t的范围作出函数图象，数形结合，即可求解相应方程的解，进而确定函数零点个数.
【详解】令，则，设，则等价于，
则函数的零点个数问题即为解的个数问题；
二次函数，其图象开口向上，过点，对称轴为，
对于A，当时，作出函数的图象如图：

由图象可知有一个根，
则由可知此时方程只有一个解，
此时函数的零点个数为1，A正确；
对于B，当时，，
作出函数的图象如图：

由图象可知有一个根，
令，令，
则有3个解，即和，
此时此时函数有3个零点，B正确；
对于C，当时，分析同A，函数有1个零点，C错误；
对于D，当时，，
作出函数的图象如图：

由图象可知有3个根，
当时，；
当时，，
则对于，
当时，，当时，，此时共有3个解；
对于，此时有1个解，
即有2个解，
对于，此时有1个解，
即无解，
故此时函数有7个零点，D正确；
故选：ABD
三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．函数在的值域为 ．
【答案】
【分析】令，结合二次函数的性质即可得出答案.
【详解】解：，
设，
当时，，所以，
所以在的值域为．
故答案为：．
13．若函数的图象不过第四象限，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】作出函数的大致图象，结合图象可得，即可得解.
【详解】函数的图象关于对称，其定义域为，
作出函数的大致图象如图所示，
由图可得，要使函数的图象不过第四象限，
则，即，解得，
所以实数a的取值范围为.
故答案为：.
14．已知是函数的零点，则 ．
【答案】2
【分析】根据零点定义可得，整理可得，根据此时可得成立，代入化简即可得解.
【详解】根据题意可得，
整理可得，
可得当，即成立，
又，
代入可得.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知定义域为R的函数是奇函数.
(1)求a、b的值；
(2)用定义证明在上为减函数；
(3)若对于任意，不等式恒成立，求k的范围
【答案】(1)，
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由可求得；根据奇函数定义知，由此构造方程求得a；
（2）将函数整理为，设，可证得，由此可得结论；
（3）根据单调性和奇偶性可将不等式化为恒成立，利用判别式求解即可.
【详解】（1）是定义在上的奇函数，且，
，解得：，
，
，
，解得：；
当，时，，
，满足为奇函数；
综上所述：，；
（2）由（1）得：；
设，则，
，，，
，
在上为减函数；
（3）由得：，
又为上的奇函数，，
，
由（2）知：是定义在上的减函数，
，即恒成立，
所以只需，
解得，即实数的取值范围为.
16．已知函数为奇函数，
(1)求实数的值；
(2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由函数奇偶性的定义可得，然后代入计算即可得到结果；
（2）根据题意，将原式变形可得，然后结合基本不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）因为为奇函数，所以，
所以在定义域内恒成立，
即在定义域内恒成立，
整理，得在定义域内恒成立，
所以，解得．
因为时，的定义域关于原点对称满足题意，
所以．
（2）因为的定义域，所以或，解得，
因为恒成立，所以，所以
．
因为，当时，，所以根据基本不等式的性质得
，当且仅当，即时等号成立，
所以，所以．
17．某公司为了提升销售利润，准备制定一个激励销售人员的奖励方案．公司规定奖励方案中的总奖金额y（单位：万元）是销售利润x（单位：万元）的函数，并且满足如下条件：①图象接近图示；②销售利润x为0万元时，总奖金y为0万元；③销售利润x为30万元时，总奖金y为3万元．现有以下三个函数模型供公司选择：
A．；B．；C．．
(1)请你帮助该公司从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由；
(2)根据你在（1）中选择的函数模型，解决如下问题：
①如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？
②总奖金能否超过销售利润的五分之一？
【答案】(1)模型C,理由见解析
(2)①210万元; ②不会.
【分析】（1）根据函数的图象性质即可选择模型；
（2）①令解对数不等式求解，②即，结合函数图象的增长速度解释.
【详解】（1）模型A．，因为，所以匀速增长，
模型B．，因为，先慢后快增长，
模型C．，因为，先快后慢增长，
所以模型C最符合题意.
（2）因为销售利润x为0万元时，总奖金y为0万元，
所以，即，
又因为销售利润x为30万元时，总奖金y为3万元，
所以，即，
由解得，所以，
①如果总奖金不少于9万元，即，
即，即，解得，
所以至少应完成销售利润210万元.
②设，即，
因为与有交点，
且增长速度比慢，
所以当时，恒在的下方，
所以无解，
所以总奖金不会超过销售利润的五分之一.
18．对于函数，若，则称实数为函数的不动点．设函数，．
(1)若，求函数的不动点；
(2)若函数在区间上存在两个不动点，求实数a的取值范围；
(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)0和1；
(2)；
(3).
【分析】（1）直接根据定义解方程即可；
（2）将方程分离参数化为，利用换元法结合对勾函数的单调性计算即可；
（3）不等式，利用指数函数的单调性得出，，再分离参数并换元结合函数的单调性计算即可.
【详解】（1）当时，方程可化为，解得或；
所以，函数的不动点为0和1．
（2）方程，即，可化为．
令，则当时，关于单调递增，且．
由题意，关于的方程在上有两个不等实根．
由于对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
且．
所以，．
综上，实数的取值范围为．
（3）不等式可化为．
易知，函数在上最大值为，最小值为；
由题意，，，即．
上述不等式可化为．
令，则当时，．
由题意，，不等式恒成立．
函数在上单调递增，最大值为；
函数在上单调递减，最小值为．
所以，，即．
综上，实数a的取值范围为．
【点睛】关键点点睛：第二问将对数方程化为指数方程，利用分离参数及换元法转化为对勾函数定区间内有零点，结合对勾函数的单调性计算即可；第三问含有双变量的恒成立问题，先将原不等式化为在定区间恒成立，利用的最值得出的范围，同第二问分离参数及换元，利用函数的单调性计算即可.
19．设函数是定义域为的奇函数.
(1)求实数值；
(2)若，试判断函数的单调性，并证明你的结论；
(3)在（2）的条件下，不等式对任意实数均成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)在上单调递减，证明见解析
(3)
【分析】（1）由求得的值.
（2）由求得的取值范围，利用函数单调性的定义证得在上单调递减.
（3）根据函数的单调性、奇偶性化简不等式，利用分离常数法，结合二次函数的性质求得的取值范围.
【详解】（1）由于是定义域为的奇函数，
所以，
此时，，满足是奇函数，
所以.
（2）由（1）得，
若，则，
所以是减函数，证明如下：
任取，则
，
由于，，所以，
所以，
所以在上单调递减.
（3）由（1）得，是定义在上的奇函数，
依题意，不等式恒成立，
即恒成立，
由（2）得在上单调递减，
所以，
恒成立，
令，则对于函数，
函数在上单调递增，最小值为，
所以的最大值为，
所以.
【点睛】根据奇函数的定义求参数，当奇函数在处有定义时，必有，由这个方程求得参数后，要注意验证函数是否满足奇偶性的定义.求解二次项的函数的最值问题，可以考虑利用换元法，结合二次函数的性质来进行求解.

展开更多......

收起↑