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专题：01 实数
1．（2025·浙江·中考真题）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查相反数，根据只有符号相反的两个数互为相反数，进行判断即可．
【详解】解：的相反数是
故选A．
2．（2025·浙江·中考真题）国家税务总局发布的数据显示，2024年，现行支持科技创新和制造业发展的主要政策减税降费及退税达26293亿元，助力我国新质生产力加速培育、制造业高质量发展．将数2629300000000用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查科学记数法，将大数用科学记数法表示时，需将其写成的形式，其中，为整数，据此进行作答即可．
【详解】解：，
故选 ：B．
3．（2025·浙江·中考真题） ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，掌握立方根的定义是解题的关键．
分别计算绝对值和立方根，再进行加法计算即可．
【详解】解：，
故答案为：2．
4．（2025·浙江·中考真题）【阅读理解】
同学们，我们来学习利用完全平方公式：
近似计算算术平方根的方法．
例如求的近似值．
因为，
所以，
则可以设成以下两种形式：
①，其中；
②，其中．
小明以①的形式求的近似值的过程如图．
因为， 所以， 即． 因为比较小， 将忽略不计， 所以， 即， 得， 故．
【尝试探究】
（1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）．
【比较分析】
（2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由．
【答案】（1）；（2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由见解析
【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，正确理解题意是解题的关键．
（1）设，其中，则仿照题意可得，比较小，将忽略不计，则，据此可得，则；
（2）可求出，据此可得结论．
【详解】解：（1）设，其中，
∴，
∴，
∵比较小，将忽略不计，
∴，
∴，
∴；
（2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由如下；
∵，，
∴，
∴用①的形式得出的的近似值的精确度更高．
题型一 相反数、绝对值、绝对值的简单应用
1．（2025·浙江杭州·模拟预测）一个数的绝对值等于3，则这个数是（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【分析】本题考查绝对值，根据绝对值的性质即可求得答案．
【详解】解：∵一个数的绝对值等于3，
∴这个数是，
故选：B．
2．（2025·浙江杭州·模拟预测）的相反数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，据此求解即可．
【详解】解：的相反数为，
故选：A．
3．（2025·浙江杭州·二模）下列各数中比小的数是（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了有理数比较大小，熟知有理数比较大小的方法是解题的关键．
根据有理数比较大小的方法进行求解即可．
【详解】解：，
故选：C．
4．（2025·浙江丽水·二模）（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查求一个数的绝对值，根据一个负数的绝对值等于它的相反数，进行求解即可．
【详解】解：；
故选A．
5．（2025·浙江嘉兴·二模）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ）
A．3 B． C．1 D．
【答案】C
【分析】本题考查在数轴上表示有理数，数形结合，直观得到选项中各数与原点距离，从而确定答案，掌握数轴上表示有理数的方法是解决问题的关键．
【详解】解：在数轴上表示选项中各数，如图所示：
表示1的点离原点距离最近，
故选：C．
6．（2025·浙江温州·二模）比较下列各数的大小：，0，，，其中最小的数是（ ）
A． 1.5 B． C．0 D．
【答案】B
【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握比较实数大小的方法是关键；
根据正数大于0，负数都小于0，两个负数、绝对值大的反而小即可解答.
【详解】解：因为，，
所以，
所以最小的数是；
故选：B.
7．（2025·浙江宁波·二模）以下四个数中最大的数是（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是有理数的大小比较，熟知正数大于零，零大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小是解答此题的关键．
【详解】解：∵，
∴最大的数为3，
故选：A．
8．（2025·浙江杭州·一模）下列各数中，比小的数是（ ）
A．3 B．0 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了有理数大小比较，①两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．根据负数都小于零，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小进行比较即可．
【详解】解：，
，
∴比小的数是．
故选：D．
题型二 正数、负数的实际应用
1．（2025·浙江丽水·二模）下表记录了我国四个直辖市某年一月份的平均气温，其中气温最低的是（ ）
北京 上海 天津 重庆
A．北京 B．上海 C．天津 D．重庆
【答案】A
【分析】本题主要考查了有理数比较大小的实际应用．根据正数大于，大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大，其值越小比较出四个城市气温的大小即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴四个城市中北京的气温最低，
故选：A．
2．（2025·浙江杭州·二模）世界上陆地海拔最低的四个地方主要分布在极端干旱或地质活动频繁的洼地、湖泊及盆地中，以下是具体信息：
地区 阿萨勒湖 艾丁湖 盖塔拉洼地 死海
最低海拔（m）
其中海拔最低的是（ ）
A．阿萨勒湖 B．艾丁湖 C．盖塔拉洼地 D．死海
【答案】D
【分析】本题考查了有理数的大小的比较．
直接比较各个数据大小即可．
【详解】解：∵，
∴
其中海拔最低的是死海，
故答案为∶D．
3．（2025·浙江舟山·一模）如图表示某天我国城市的最低气温，这些城市中气温最高是（ ）
A．武汉 B．广州 C．北京 D．哈尔滨
【答案】B
【分析】本题考查有理数比较大小的实际应用，比较4个数的大小关系，即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴气温最高是广州，
故选B．
4．（2025·浙江温州·二模）下表记录了某城市一天四个时刻的气温．
10时 12时 14时 16时
在这一天以上四个时刻中，该城市最低气温在（ ）
A．10时 B．12时 C．14时 D．16时
【答案】A
【分析】本题考查的是有理数的大小比较．根据正数大于一切负数即可求解．
【详解】解：∵，
∴最低气温中最低的是；
故选：A．
5．（2025·浙江温州·二模）排球的重量有严格标准，现有四个排球，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了绝对值以及正数和负数的应用，掌握正数和负数的概念和绝对值的性质是解题的关键．分别求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴最接近标准质量的是，
故选：C．
6．（2025·浙江台州·一模）某天，我国五个城市的气温如表，其中与北京气温最接近的城市是（ ）
城市 哈尔滨 北京 广州 武汉 上海
气温/ 10 5 0
A．哈尔滨 B．广州 C．武汉 D．上海
【答案】A
【分析】本题主要考查了有理数的减法运算及大小的比较，解题的关键是准确比较有理数的大小．
根据题意得出每个城市与北京气温差的绝对值，然后利用有理数大小比较的方法进行比较即可．
【详解】解：，
∴
∴与北京气温最接近的城市是哈尔滨．
故选：A．
7．（2024·浙江·中考真题）以下四个城市中某天中午12时气温最低的城市是（ ）
北京 济南 太原 郑州
A．北京 B．济南 C．太原 D．郑州
【答案】C
【分析】此题主要考查了有理数比较大小．有理数比较大小时，正数大于0，0大于负数；两个负数时，绝对值大的反而小，据此判断即可．
【详解】解：∵，
∴四个城市中某天中午12时气温最低的城市是太原．
故选：C．
8．（2025·浙江绍兴·二模）海拔是指地面某个地点与海平面之间的垂直距离，是某地与平均海平面为标准计算得到的高度差．下列各图标注的是该地的海拔高度，其中最低的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了有理数比较大小的实际应用，比较出四个地点的海拔高度大小即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴最低的是吐鲁番盆地，
故选：A．
9．（2025·浙江嘉兴·二模）下表记录了四个地点的海拔高度（单位：米）．
珠穆朗玛峰 马里亚纳海沟 吐鲁番艾丁湖 阿尔卑斯山勃朗峰
以上四个地点中海拔高度最低的是（ ）
A．珠穆朗玛峰 B．马里亚纳海沟
C．吐鲁番艾丁湖 D．阿尔卑斯山勃朗峰
【答案】B
【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，根据有理数大小比较的法则：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可，熟练掌握相关方法是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴以上四个地点中海拔高度最低的是马里亚纳海沟，
故选：．
题型三 科学记数法表示数
1．（2024·浙江·中考真题）2024年浙江经济一季度为201370000万元，其中201370000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
【详解】201370000用科学记数法表示为．
故选：D．
2．（2025·浙江衢州·二模）随着科技的不断进步，我国成功登月六次，取得了重大的成果．已知月球的重量大约是735000000000亿吨，科学家将数据735000000000用科学记数法表示，其结果为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值. 科学记数法的表示形式为”的形式，其中为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值时，n是正数;当原数的绝对值时，n是负数．
【详解】解：，
故选：A．
3．（2025·浙江宁波·二模）2025年1月，中国人工智能企业深度求索宣布，其研发的智能助手的用户数量突破120000000，成为全球用户量最大的智能助手之一、数120000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【详解】解：数120000000用科学记数法表示为．
故选：B．
4．（2025·浙江绍兴·二模）浙江交通物流发展良好，2024年全年完成综合客运量约570000000人次，其中数570000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了科学记数法表示较大的数，根据科学记数法的表示方法得到．用形式表示数的方法叫科学记数法．
【详解】解：．
故选：B．
5．（2025·浙江杭州·二模）据统计，发布几天后，用户数量在1月的最后一周迎来了爆发，在1月份累计获得1.25亿用户．数据1.25亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【详解】解：1.25亿．
故选：B．
6．（2025·浙江温州·二模）发布后，截至年月，其国内月度下载量约为次．其中数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值．
【详解】解：，
故选：．
7．（2025·浙江金华·三模）2024年浙江省GDP总产值为90100亿元，数90100用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了科学记数法．科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：数90100用科学记数法可表示为，
故选：B．
8．（2025·浙江绍兴·二模）经文化和旅游部数据中心测算，2025年“五一”假期全国国内出游3.14亿人次．其中数据“3.14亿”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了科学记数法的定义，直接根据科学记数法的定义作答即可.
【详解】3.14亿
故选：B.
9．（2025·浙江金华·二模）2024年，我市消费品以旧换新居家适老化改造申请693户，完成改造693户，完成系统审价补贴金额达元，数字用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是熟记科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．
【详解】解：数字用科学记数法表示为．
故选：D．
10．（2025·浙江绍兴·二模）据报道，2025年新一代量子计算机在极端环境下能够实现每秒140000000亿次运算．其中数140000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：，
故选∶C
11．（2025·浙江杭州·二模）2025年杭州市参加中考人数约为41000人，将41000用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：．
故答案为：．
题型四 实数与数轴综合运算
1．（2025·浙江金华·二模）四个数在数轴上的位置如图所示，为原点，其中是负数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了数轴上点的坐标特点，根据数轴上原点左边的点为负数进行解答即可，熟练掌握数轴上点的坐标特点是解题的关键．
【详解】解：由数轴可知：点d在原点的左侧，另外三个在原点的右侧，因此在这四个数中，负数的是d．
故选：D．
2．（2025·浙江杭州·一模）如图，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴，正确利用勾股定理求出是解题的关键．先利用勾股定理求出，再根据题意得到，则点所表示的数为．
【详解】解：由题意得，
∵以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，
∴，
∴点表示的数为，
故选：C．
3．（2025·浙江嘉兴·一模）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了实数与数轴，根据实数a，b在数轴上对应点的位置，判断出a，b的符号以及绝对值的大小即可对选项逐一判断．
【详解】解：由数轴知：，，
∴，，，，
故选：A．
4．（2025·浙江·二模）如图，若数轴上点A与点的距离约为（为正整数）个单位长度，则为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本题考查实数与数轴，数轴上两点的距离，熟练掌握用数轴上的点表示实数是解题的关键．
设点A表示的数为，点B表示的数为，由数轴得出，，则，再根据两数轴上两点的距离，且为正整数，即可求解．
【详解】解：设点A表示的数为，点B表示的数为，
由图可知：，，
∴，
∵，
∴，
∵为正整数，
∴．
故选：C．
题型五无理数的估算
1．（2025·浙江绍兴·一模）估计的值应在（ ）
A．3和4之间 B．2和3之间 C．1和2之间 D．0和1之间
【答案】B
【分析】本题主要考查二次根式的运算及无理数的估算，熟练掌握二次根式的加减运算及无理数的估算是解题的关键；由题意可得，然后问问题可求解．
【详解】解：，
∵，
∴的值应在2和3之间；
故选B．
2．（2025·浙江台州·二模）最接近的整数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题考查的是估算无理数的大小，熟练计算出的大致范围是解题的关键． 根据，可得，且更接近于，即可得出结果．
【详解】解∶ ，且更接近于，
与最接近的整数是，即3，
故选：B．
3．（2025·浙江嘉兴·一模）已知，则m的值所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题题考查了无理数的估算．找到与2最接近的两个完全平方数，即可判断在哪两个和它接近的整数之间，然后判断出所求的无理数的范围即可求解．
【详解】解：∵，
，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
4．（2025·浙江湖州·一模）与式子的值最接近的整数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题考查了估算无理数的大小，以及二次根式的混合运算．根据二次根式的混合计算法则化简后，估算即可得到结果．
【详解】解：，
∵，，
∴，即，
故最接近的整数是4．
故选：B．
5．（2025·浙江绍兴·二模）据研究，忽略空气阻力，物体从高空下落的时间与下落高度近似满足公式，一物体从高空自由落下，则关于物体下落的时间，说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查估算无理数的大小，二次根式的应用．掌握估算无理数大小的方法是解题的关键．
先把代入公式求出t值，再估算其大小即可求解．
【详解】解：把代入公式，得
，
∵，
∴，
即．
故选：B．
6．（2024·浙江丽水·二模）设实数的整数部分为，小数部分为．则的值为（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】D
【分析】本题考查无理数的估算，理解算术平方根的意义是解决问题的前提，求出、的值是正确解答的关键．
先估算的近似值，确定、的值，再代入计算即可．
【详解】解：，即，
，，
，
故选：D
7．（2024·浙江宁波·二模）下列无理数中，大小在4与5之间的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了无理数的估算、二次根式的性质，分别估算出每个选项无理数的范围，判断即可得出答案．
【详解】解：，
，即，故A不符合题意；
，
，即，故B不符合题意；
，
，
，即，故C符合题意；
，
，即，故D不符合题意；
故选：C．
8．（2024·浙江·一模）无理数（且为正整数）的整数部分是b，小数部分是c，则下列关系式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据已知条件，求出的取值范围，然后分两种情况讨论：①当，②时，分别判断各个选项中的式子的正负，然后再逐一进行判断即可．
【详解】解：，且为正整数，
且为整数，
当时，的整数部分，，
，，，，
当时，
，，，，
综上可知：，，选项不成立，选项一定成立，
故选：B．
9．（2025·浙江宁波·一模）的小数部分是 ．
【答案】
【分析】本题考查了无理数的整数部分和小数部分，解题的关键是确定的范围，进而得到的整数部分，再求出其小数部分．
先确定的取值范围，从而得到的取值范围，找出其整数部分，再用减去整数部分得到小数部分．
【详解】解：∵，
∴，
∴的整数部分为2，
∴小数部分为，
故答案为：．
题型六 实数的混合运算（计算题）
1．（2025·浙江衢州·一模）计算：．
【答案】7
【分析】本题主要考查实数的运算，先求出负整数指数幂、去掉括号和绝对值，再计算加减.
【详解】解：
．
2．（2025·浙江杭州·二模）计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，先计算算术平方根和零指数幂，再计算绝对值后计算加减法即可得到答案．
【详解】解：
．
3．（2025·浙江绍兴·二模）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了负整数指数幂，绝对值，零指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键.
先计算负整数指数幂，绝对值，零指数幂，再计算加减即可.
【详解】解：原式
4．（2025·浙江绍兴·二模）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，先根据零指数幂、特殊三角函数值、算术平方根和绝对值的性质化简，最后算加减法即可．
【详解】解：
．
5．（2025·浙江宁波·二模）计算：．
【答案】2
【分析】本题考查了算术平方根，绝对值，负整数指数幂，实数的混合运算．
先分别计算算术平方根，绝对值，负整数指数幂，再进行加减，即可解答．
【详解】解：原式
6．（2025·浙江台州·二模）计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
先化简二次根式、化简绝对值和负整数指数幂，再计算二次根式的加减法即可求解．
【详解】解：原式
；
7．（2025·浙江杭州·二模）计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查实数的混合运算，原式先化简各项后，再进行加减运算即可．
【详解】解：
．
8．（2025·浙江杭州·二模）计算：
【答案】0
【分析】本题考查了实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂、立方根，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据零指数幂、立方根、负整数指数幂、绝对值的性质化简，再利用实数的混合运算法则即可求解．
【详解】解：
．
9．（2025·浙江温州·二模）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，算术平方根，绝对值，实数的混合运算，熟练掌握公式和运算法则是解题的关键．
根据计算解答即可．
【详解】解：．
题型七 实数中定义新运算题型
1．（2025·浙江·模拟预测）对于实数，，定义一种新运算“出”为：☆．例如：1☆．则方程☆的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了新定义运算以及分式方程的求解，解题的关键是根据新定义将方程转化为分式方程，再按照分式方程的解法进行求解．
根据新定义运算将方程转化为分式方程，然后通过去分母、求解整式方程、检验等步骤得到方程的解．
【详解】根据定义，运算，代入，，方程可转化为：
，
化简分母为，方程变为：，
两边同乘（注意，即），得：
解得：，
验证分母，且代入原方程左边为，符合等式．因此解为，
故选：C．
2．（2024·浙江杭州·一模）在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为．根据这个规则，方程的解是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】根据新定义，列出常规式的方程，解答即可．
本题考查了新定义的应用、解一元二次方程，正确理解定义，建立方程是解题的关键．
【详解】∵ ，，
∴，
整理，得，
解得或，
故选C．
3．（2025·浙江嘉兴·二模）已知a，b均为实数，定义一种新运算：，若，，，，则的值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查有理数的运算，根据新定义求出各数的值，然后相加解题即可．
【详解】解：，，，，
∴，
故答案为：2．
4．（2024·浙江嘉兴·一模）定义一个运算：，如． 用表示大于最小整数，如． 按照上述规定，若整数满足，则的值是 ．
【答案】或/4或0
【分析】本题考查了新定义运算，涉及了二次函数的图象与性质，根据题意得，画出函数的图象即可求解
【详解】解：∵，
∴
∴
∵
如图所示，画出该函数的函数图象：
可知：当或时，，则；
∴的值是或
故答案为：或
5．（2024·浙江·模拟预测）定义新运算“”：当时，；当时，．
(1)当时，求的值．
(2)若，求x的值．
【答案】(1)6
(2)或
【分析】此题考查了解一元二次方程，实数的新定义运算、解一元一次不等式，解题的关键是正确分析新定义的运算法则．
（1）首先根据新定义进行化简，再代入数值计算即可；
（2）根据题意分和两种情况讨论，然后据新定义的运算规则列出一元二次方程求解并判断即可．
【详解】（1）解：当时，
；
（2）当时，即：时，，
解得：
；
当时，即：时，
即，
解得：，
∵，
∴．
所以x的值是或
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专题：01 实数
1．（2025·浙江·中考真题）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·浙江·中考真题）国家税务总局发布的数据显示，2024年，现行支持科技创新和制造业发展的主要政策减税降费及退税达26293亿元，助力我国新质生产力加速培育、制造业高质量发展．将数2629300000000用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·浙江·中考真题） ．
4．（2025·浙江·中考真题）【阅读理解】
同学们，我们来学习利用完全平方公式：
近似计算算术平方根的方法．
例如求的近似值．
因为，
所以，
则可以设成以下两种形式：
①，其中；
②，其中．
小明以①的形式求的近似值的过程如图．
因为， 所以， 即． 因为比较小， 将忽略不计， 所以， 即， 得， 故．
【尝试探究】
（1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）．
【比较分析】
（2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由．
题型一 相反数、绝对值、绝对值的简单应用
1．（2025·浙江杭州·模拟预测）一个数的绝对值等于3，则这个数是（ ）
A． B． C．3 D．
2．（2025·浙江杭州·模拟预测）的相反数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·浙江杭州·二模）下列各数中比小的数是（ ）
A．0 B．1 C． D．
4．（2025·浙江丽水·二模）（ ）
A．3 B． C． D．
5．（2025·浙江嘉兴·二模）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ）
A．3 B． C．1 D．
6．（2025·浙江温州·二模）比较下列各数的大小：，0，，，其中最小的数是（ ）
A． 1.5 B． C．0 D．
7．（2025·浙江宁波·二模）以下四个数中最大的数是（ ）
A．3 B．2 C． D．
8．（2025·浙江杭州·一模）下列各数中，比小的数是（ ）
A．3 B．0 C． D．
题型二 正数、负数的实际应用
1．（2025·浙江丽水·二模）下表记录了我国四个直辖市某年一月份的平均气温，其中气温最低的是（ ）
北京 上海 天津 重庆
A．北京 B．上海 C．天津 D．重庆
2．（2025·浙江杭州·二模）世界上陆地海拔最低的四个地方主要分布在极端干旱或地质活动频繁的洼地、湖泊及盆地中，以下是具体信息：
地区 阿萨勒湖 艾丁湖 盖塔拉洼地 死海
最低海拔（m）
其中海拔最低的是（ ）
A．阿萨勒湖 B．艾丁湖 C．盖塔拉洼地 D．死海
3．（2025·浙江舟山·一模）如图表示某天我国城市的最低气温，这些城市中气温最高是（ ）
A．武汉 B．广州 C．北京 D．哈尔滨
4．（2025·浙江温州·二模）下表记录了某城市一天四个时刻的气温．
10时 12时 14时 16时
在这一天以上四个时刻中，该城市最低气温在（ ）
A．10时 B．12时 C．14时 D．16时
5．（2025·浙江温州·二模）排球的重量有严格标准，现有四个排球，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·浙江台州·一模）某天，我国五个城市的气温如表，其中与北京气温最接近的城市是（ ）
城市 哈尔滨 北京 广州 武汉 上海
气温/ 10 5 0
A．哈尔滨 B．广州 C．武汉 D．上海
7．（2024·浙江·中考真题）以下四个城市中某天中午12时气温最低的城市是（ ）
北京 济南 太原 郑州
A．北京 B．济南 C．太原 D．郑州
8．（2025·浙江绍兴·二模）海拔是指地面某个地点与海平面之间的垂直距离，是某地与平均海平面为标准计算得到的高度差．下列各图标注的是该地的海拔高度，其中最低的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2025·浙江嘉兴·二模）下表记录了四个地点的海拔高度（单位：米）．
珠穆朗玛峰 马里亚纳海沟 吐鲁番艾丁湖 阿尔卑斯山勃朗峰
以上四个地点中海拔高度最低的是（ ）
A．珠穆朗玛峰 B．马里亚纳海沟
C．吐鲁番艾丁湖 D．阿尔卑斯山勃朗峰
题型三 科学记数法表示数
1．（2024·浙江·中考真题）2024年浙江经济一季度为201370000万元，其中201370000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·浙江衢州·二模）随着科技的不断进步，我国成功登月六次，取得了重大的成果．已知月球的重量大约是735000000000亿吨，科学家将数据735000000000用科学记数法表示，其结果为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·浙江宁波·二模）2025年1月，中国人工智能企业深度求索宣布，其研发的智能助手的用户数量突破120000000，成为全球用户量最大的智能助手之一、数120000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·浙江绍兴·二模）浙江交通物流发展良好，2024年全年完成综合客运量约570000000人次，其中数570000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·浙江杭州·二模）据统计，发布几天后，用户数量在1月的最后一周迎来了爆发，在1月份累计获得1.25亿用户．数据1.25亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·浙江温州·二模）发布后，截至年月，其国内月度下载量约为次．其中数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·浙江金华·三模）2024年浙江省GDP总产值为90100亿元，数90100用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·浙江绍兴·二模）经文化和旅游部数据中心测算，2025年“五一”假期全国国内出游3.14亿人次．其中数据“3.14亿”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·浙江金华·二模）2024年，我市消费品以旧换新居家适老化改造申请693户，完成改造693户，完成系统审价补贴金额达元，数字用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·浙江绍兴·二模）据报道，2025年新一代量子计算机在极端环境下能够实现每秒140000000亿次运算．其中数140000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
11．（2025·浙江杭州·二模）2025年杭州市参加中考人数约为41000人，将41000用科学记数法表示为 ．
题型四 实数与数轴综合运算
1．（2025·浙江金华·二模）四个数在数轴上的位置如图所示，为原点，其中是负数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·浙江杭州·一模）如图，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·浙江嘉兴·一模）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·浙江·二模）如图，若数轴上点A与点的距离约为（为正整数）个单位长度，则为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
题型五无理数的估算
1．（2025·浙江绍兴·一模）估计的值应在（ ）
A．3和4之间 B．2和3之间 C．1和2之间 D．0和1之间
2．（2025·浙江台州·二模）最接近的整数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2025·浙江嘉兴·一模）已知，则m的值所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·浙江湖州·一模）与式子的值最接近的整数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（2025·浙江绍兴·二模）据研究，忽略空气阻力，物体从高空下落的时间与下落高度近似满足公式，一物体从高空自由落下，则关于物体下落的时间，说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·浙江丽水·二模）设实数的整数部分为，小数部分为．则的值为（ ）
A． B．1 C． D．3
7．（2024·浙江宁波·二模）下列无理数中，大小在4与5之间的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·浙江·一模）无理数（且为正整数）的整数部分是b，小数部分是c，则下列关系式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2025·浙江宁波·一模）的小数部分是 ．
题型六 实数的混合运算（计算题）
1．（2025·浙江衢州·一模）计算：．
2．（2025·浙江杭州·二模）计算：．
3．（2025·浙江绍兴·二模）计算：．
4．（2025·浙江绍兴·二模）计算：．
5．（2025·浙江宁波·二模）计算：．
6．（2025·浙江台州·二模）计算：．
7．（2025·浙江杭州·二模）计算：．
8．（2025·浙江杭州·二模）计算：
9．（2025·浙江温州·二模）计算：．
题型七 实数中定义新运算题型
1．（2025·浙江·模拟预测）对于实数，，定义一种新运算“出”为：☆．例如：1☆．则方程☆的解是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江杭州·一模）在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为．根据这个规则，方程的解是（ ）
A． B． C．或 D．或
3．（2025·浙江嘉兴·二模）已知a，b均为实数，定义一种新运算：，若，，，，则的值为 ．
4．（2024·浙江嘉兴·一模）定义一个运算：，如． 用表示大于最小整数，如． 按照上述规定，若整数满足，则的值是 ．
5．（2024·浙江·模拟预测）定义新运算“”：当时，；当时，．
(1)当时，求的值．
(2)若，求x的值．
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