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湖南省郴州市2024-2025学年七年级下学期5月期中数学试题
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
1．（2025七下·郴州期中）下列实数为无理数的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025七下·郴州期中）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025七下·郴州期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025七下·郴州期中）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025七下·郴州期中）若面积为5的正方形的边长为x，那么x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025七下·郴州期中）已知，，则的值为（　　）
A．5 B．7 C．11 D．13
7．（2025七下·郴州期中）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025七下·郴州期中）如图，下列条件中：①；②；③；④．其中能判断的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
9．（2025七下·郴州期中）如果多项式是一个完全平方式，则m的值为（　　）
A．10 B．6 C．6或－2 D．10或－6
10．（2025七下·郴州期中）如图，，，，以下三角形和三角形面积相等的有（　　）
①三角形；②三角形；③三角形；④三角形；⑤三角形．
A．①②③ B．②③④ C．②④⑤ D．③④⑤
二、填空题（本题共24分，每小题3分
11．（2025七下·郴州期中）若，则　 　．（填，或）
12．（2025七下·郴州期中）若是关于的一元一次不等式，则　 　．
13．（2025七下·郴州期中）已知 ， （ 为正整数），则 　 　.
14．（2025七下·郴州期中）若 的整数部分为a，小数部分为b，则a=　 　，b=　 　．
15．（2025七下·郴州期中）已知，代数式的值为　 　．
16．（2025七下·郴州期中）如图是用三角尺和直尺画平行线的示意图，将三角尺的边沿着直尺平移到三角尺的位置，就可以画出的平行线．若，，则点A平移的距离为　 　．
17．（2025七下·郴州期中）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为　 　．
18．（2025七下·郴州期中）若不等式组的解集中任一个的值均不在的范围内，则的取值范围是　 　．
三、解答题：（本题共66分，19题6分．20题6分．21题8分．22题8分．23题9分．24题9分．25题10分．26题10分）
19．（2025七下·郴州期中）计算：
（1）
（2）
20．（2025七下·郴州期中）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
21．（2025七下·郴州期中）如图所示，有一块长宽为米和米的长方形土地，现准备在这块土地上修建一个长为米，宽为米的游泳池，剩余部分修建成休息区域．
（1）请用含a和b的代数式表示休息区域的面积；（结果要化简）
（2）若，求休息区域的面积.
22．（2025七下·郴州期中）已知 的算术平方根是3， 的立方根是2，求 的平方根．
23．（2025七下·郴州期中）如图所示，直线与，分别相交于点，，与，分别相交于点，，已知，．
求证：．
24．（2025七下·郴州期中）某汽车销售公司经销某品牌A，B两款汽车，今年一、二月份销售情况如下表所示：（A，B两款汽车的销售单价保持不变）
　 销售数量（辆） 销售额（万元）
　 A 款 B 款 　
一月份 3 1 35
二月份 1 3 33
（1）求A，B两款汽车每辆售价分别多少万元？
（2）若A款汽车每辆进价为8万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于 105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？
25．（2025七下·郴州期中）如图，，点E为两直线之间的一点．
（1）如图1，若，，则　 　；
如图1，若，，则　 　；
（2）如图2，试说明，；
（3）如图3，若的平分线与的平分线相交于点F，判断与的数量关系，并说明理由．
26．（2025七下·郴州期中）知识生成：在数学课上，老师准备了若干张如图1所示的三种纸片，A纸片是边长为a的正方形，B纸片是边长为b的正方形，C纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A纸片一张，B纸片一张，C纸片两张拼成如图2所示的大正方形．由图2所示我们可以得到一个熟悉的数学公式：，经过适当的变形，可以解决很多数学问题．
直接应用：（1）若，，直接写出的值为______．
类比应用：（2）①若，则______；
②若a满足，求的值．
知识迁移：（3）如图3，在长方形中，，E，F是边，上的点，，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为45，求图中阴影部分的面积．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、是无理数，故A符合题意；
B、是整数，是有理数，故B不符合题意；
C、是分数，是有理数，故C不符合题意；
D、是有限小数，是有理数，故D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】
根据无理数的定义逐项进行判断，即可得出答案。
2．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，故选项A错误；
B．，故选项B错误；
C．，故选项C正确；
D．，故选项D错误．
故选C．
【分析】根据合并同类项、积的乘方、同底数幂相乘逐项判断即可．
3．【答案】C
【知识点】实数的绝对值；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A中，由，则此项错误，所以A不符合题意；
B中，由，则此项错误，所以B不符合题意；
C中，由，则此项正确，所以C符合题意；
D中，由，则此项错误，所以D不符合题意；
故选：C．
【分析】本题考查了算术平方根与立方根、实数的性质，根据算术平方根与立方根、实数的性质，结合选项，逐项分析判断，即可得到答案．
4．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：，解得，
在数轴上表示不等式的解集为：
故选：D．
【分析】先求出不等式的解集，再把不等式的解集表示在数轴上即可．
5．【答案】A
【知识点】无理数的估值；多边形的面积
【解析】【解答】解：面积为5的正方形的边长为x，
，
，
，
，
故答案为：A
【分析】根据正方形的面积可得x值，判断无理数的取值范围即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，，
，
故答案为：D.
【分析】本题考查的是完全平方公式及应用，对公式进行变形再整体代入数值即可得出答案.
7．【答案】A
【知识点】单项式乘多项式；多项式乘多项式；平方差公式及应用；完全平方式
【解析】【解答】解：A、，故选项A正确；
B、，故选项B错误；
C、，故选项C错误；
D、，故选项D错误；
故选：A．
【分析】根据整式的运算性质，逐项计算并判断即可．
8．【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：①∵∠1=∠4，
∴；
②∵∠2=∠3，
∴；
③∵，
∴；
④∵，
∴；
∴能得到的条件是②④.
故答案为：D
【分析】根据平行线的判定定理解题即可．
9．【答案】D
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵，且多项式是一个完全平方式，
∴，
解得：或-6．
故选：D.
【分析】根据完全平方公式 即可求解．
10．【答案】C
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵，平行线之间距离相等，
∴与同底等高，∴与面积相等，
∵，平行线之间距离相等，
∴与同底等高，∴与面积相等，
∵，平行线之间距离相等，
∴与同底等高，∴与面积相等，
∴与面积相等，
∴与面积相等的三角形为：、、，
故选：C．
【分析】根据，，，由平行线之间距离相等，可得相应三角形之间同底等高．
11．【答案】<
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解： ，
＜
故答案为：＜.
【分析】利用不等式的性质求解即可。
12．【答案】
【知识点】一元一次不等式的概念
【解析】【解答】解：因为是关于的一元一次不等式，
所以2m=1，解得m=，
故答案为：.
【分析】根据一元一次不等式的定义列方程，解方程求得m的值即可.
13．【答案】72
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ .
故答案为：72.
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则结合幂的乘方运算法则求出即可.
14．【答案】3； ﹣3
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵3＜ ＜4，
∴a=3，
则b= ﹣3．
故答案是：3， ﹣3．
【分析】先估算出的大小，从而可得到它的整数部分，然后再依据小数部分=原数-整数部分可求得小数部分.
15．【答案】9
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，∴，
∴
故答案为：
【分析】根据可知，根据完全平方公式、多项式乘多项式可以化简可得，把代入计算即可求得代数式的值.
16．【答案】5.5
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移的性质可知，，
∵，，
∴，
∴三角尺平移的距离为，
故答案为：5.5．
【分析】根据线段间的关系求得AC，进而求得AA'，即可求得点A平移的距离 ．
17．【答案】8
【知识点】开平方（求平方根）；开立方（求立方根）；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由题意可知，，
所以，
所以，
故答案为：8．
【分析】由数轴可知，，从而可得，再计算算术平方根和立方根后进行加减运算化简即可求解．
18．【答案】或
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解： ，解得，
因为解集中任一个x的值均不在的范围内，如图，
所以或，即或；
a的取值范围是：或．
故答案为：或.
【分析】先解不等式组，求出x的范围，进而根据任何一个x的值均不在的范围内列出不等式，解不等式即可求得的取值范围．
19．【答案】（1）解：
.
（2）解：
．
【知识点】实数的绝对值；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）先求立方根、算术平方根和化简绝对值，再进行加减计算；
（2）先求立方根、算术平方根，乘方运算，再计算乘法，最后进行加减计算．
（1）解：
；
（2）解：
．
20．【答案】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
化系数为得：．
在数轴上表示为：
．
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】根据解一元一次不等式的步骤求得不等式的解集，进而在数轴上表示出不等式的解集即可．
21．【答案】（1）解：由题意可得：
休息区域的面积是：，
即休息区域的面积是：平方米；
（2）解：当，时，
（平方米），
即若，，则休息区域的面积是平方米。
【知识点】多项式乘多项式；用代数式表示几何图形的数量关系；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】
（1）结合图形，根据长方形的面积计算公式，可得出休息区域的面积=；
（2）根据（1）计算的结果，将，代入式子进行计算，即可得出答案。
（1）解：由题意可得，
休息区域的面积是：，
即休息区域的面积是：平方米；
（2）解：当，时，
（平方米），
即若，，则休息区域的面积是平方米；
22．【答案】解∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的平方根为：
【知识点】平方根
【解析】【分析】根据 的算术平方根是3 可列式 ，进而求得a的值；再根据 的立方根是2可列式 ，进而求得b的值，再进行 的平方根计算即可．
23．【答案】证明：∵对顶角相等，∴
又∵，∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】结合已知条件和对顶角相等可知，根据平行线的判定定理可得，再由平行线的性质可得，进而可得，证得，即可得到．
24．【答案】（1）解：设每辆款汽车的售价为万元，每辆款汽车的售价为万元，
依题意得：，
解得：．
答：每辆款汽车的售价为9万元，每辆款汽车的售价为8万元．
（2）解：设购进辆款汽车，则购进辆款汽车，
依题意得：，
解得：，
又为整数，
可以为5，6，7，
该公司共有3种进货方案，
方案1：购进5辆款汽车，10辆款汽车；
方案2：购进6辆款汽车，9辆款汽车；
方案3：购进7辆款汽车，8辆款汽车．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设每辆款汽车的售价为万元，每辆款汽车的售价为万元，根据表格提供的数据，即可得出关于x，y的方程组，解方程组求解，即可得出答案；
（2）设购进辆款汽车，则购进辆款汽车， 根据资金不多于 105万元且不少于99万元，可得出，解不等式组，并求出不等式组的整数解，即可得出进货方案。
（1）解：设每辆款汽车的售价为万元，每辆款汽车的售价为万元，
依题意得：，
解得：．
答：每辆款汽车的售价为9万元，每辆款汽车的售价为8万元．
（2）设购进辆款汽车，则购进辆款汽车，
依题意得：，
解得：，
又为整数，
可以为5，6，7，
该公司共有3种进货方案，
方案1：购进5辆款汽车，10辆款汽车；
方案2：购进6辆款汽车，9辆款汽车；
方案3：购进7辆款汽车，8辆款汽车．
25．【答案】（1）55°，α+β
（2）解：如图2，过点E作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
即
（3）解：，理由如下：
由（2）可知，
由（1）可得，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；猪蹄模型；铅笔头模型；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图1，过点E作，∵，
∴，
∴，，
∵，
当，时，
∴；
当，时，
∴．
故答案为：55°，α+β；
【分析】过点E作，根据两直线平行，内错角相等，可得出=30°，=20°，进而即可得出∠AEC=50°； ，若，， 同理可得∠AEC=α+β；
（2）过点E作，根据两直线平行，同旁内角互补，可得出，，两式相加，即可得出；
（3）首先由（2）知，只需再证即可，再由（1）可得，根据角平分线的定义可得出，，进一步可得出，等量代换即可得出．
（1）解：如图1，过点E作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
当，时，
∴；
当，时，
∴．
故答案为：55°，α+β；
（2）解：如图2，过点E作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
即；
（3）解：，
理由如下：
由（1）可得，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
由（2）可知，，
∴．
26．【答案】解：（1）15；
（2）①13；
②
（3）设正方形和的边长分别为、，则，，
∴，
∵长方形的面积为45，
∴，
∴阴影部分的面积为：
．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴
∴ab=15；
（2）①；
【分析】（1）利用即可求得的值 ；
（2）①，将 代入计算即可；
②，将 代入计算即可；
（3）设正方形和的边长分别为、，根据题意得出，，阴影部分的面积为：
，将a+b=16，ab=45代入计算即可．
1 / 1湖南省郴州市2024-2025学年七年级下学期5月期中数学试题
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
1．（2025七下·郴州期中）下列实数为无理数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、是无理数，故A符合题意；
B、是整数，是有理数，故B不符合题意；
C、是分数，是有理数，故C不符合题意；
D、是有限小数，是有理数，故D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】
根据无理数的定义逐项进行判断，即可得出答案。
2．（2025七下·郴州期中）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，故选项A错误；
B．，故选项B错误；
C．，故选项C正确；
D．，故选项D错误．
故选C．
【分析】根据合并同类项、积的乘方、同底数幂相乘逐项判断即可．
3．（2025七下·郴州期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】实数的绝对值；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A中，由，则此项错误，所以A不符合题意；
B中，由，则此项错误，所以B不符合题意；
C中，由，则此项正确，所以C符合题意；
D中，由，则此项错误，所以D不符合题意；
故选：C．
【分析】本题考查了算术平方根与立方根、实数的性质，根据算术平方根与立方根、实数的性质，结合选项，逐项分析判断，即可得到答案．
4．（2025七下·郴州期中）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：，解得，
在数轴上表示不等式的解集为：
故选：D．
【分析】先求出不等式的解集，再把不等式的解集表示在数轴上即可．
5．（2025七下·郴州期中）若面积为5的正方形的边长为x，那么x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】无理数的估值；多边形的面积
【解析】【解答】解：面积为5的正方形的边长为x，
，
，
，
，
故答案为：A
【分析】根据正方形的面积可得x值，判断无理数的取值范围即可求出答案.
6．（2025七下·郴州期中）已知，，则的值为（　　）
A．5 B．7 C．11 D．13
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，，
，
故答案为：D.
【分析】本题考查的是完全平方公式及应用，对公式进行变形再整体代入数值即可得出答案.
7．（2025七下·郴州期中）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】单项式乘多项式；多项式乘多项式；平方差公式及应用；完全平方式
【解析】【解答】解：A、，故选项A正确；
B、，故选项B错误；
C、，故选项C错误；
D、，故选项D错误；
故选：A．
【分析】根据整式的运算性质，逐项计算并判断即可．
8．（2025七下·郴州期中）如图，下列条件中：①；②；③；④．其中能判断的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：①∵∠1=∠4，
∴；
②∵∠2=∠3，
∴；
③∵，
∴；
④∵，
∴；
∴能得到的条件是②④.
故答案为：D
【分析】根据平行线的判定定理解题即可．
9．（2025七下·郴州期中）如果多项式是一个完全平方式，则m的值为（　　）
A．10 B．6 C．6或－2 D．10或－6
【答案】D
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵，且多项式是一个完全平方式，
∴，
解得：或-6．
故选：D.
【分析】根据完全平方公式 即可求解．
10．（2025七下·郴州期中）如图，，，，以下三角形和三角形面积相等的有（　　）
①三角形；②三角形；③三角形；④三角形；⑤三角形．
A．①②③ B．②③④ C．②④⑤ D．③④⑤
【答案】C
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵，平行线之间距离相等，
∴与同底等高，∴与面积相等，
∵，平行线之间距离相等，
∴与同底等高，∴与面积相等，
∵，平行线之间距离相等，
∴与同底等高，∴与面积相等，
∴与面积相等，
∴与面积相等的三角形为：、、，
故选：C．
【分析】根据，，，由平行线之间距离相等，可得相应三角形之间同底等高．
二、填空题（本题共24分，每小题3分
11．（2025七下·郴州期中）若，则　 　．（填，或）
【答案】<
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解： ，
＜
故答案为：＜.
【分析】利用不等式的性质求解即可。
12．（2025七下·郴州期中）若是关于的一元一次不等式，则　 　．
【答案】
【知识点】一元一次不等式的概念
【解析】【解答】解：因为是关于的一元一次不等式，
所以2m=1，解得m=，
故答案为：.
【分析】根据一元一次不等式的定义列方程，解方程求得m的值即可.
13．（2025七下·郴州期中）已知 ， （ 为正整数），则 　 　.
【答案】72
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ .
故答案为：72.
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则结合幂的乘方运算法则求出即可.
14．（2025七下·郴州期中）若 的整数部分为a，小数部分为b，则a=　 　，b=　 　．
【答案】3； ﹣3
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵3＜ ＜4，
∴a=3，
则b= ﹣3．
故答案是：3， ﹣3．
【分析】先估算出的大小，从而可得到它的整数部分，然后再依据小数部分=原数-整数部分可求得小数部分.
15．（2025七下·郴州期中）已知，代数式的值为　 　．
【答案】9
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，∴，
∴
故答案为：
【分析】根据可知，根据完全平方公式、多项式乘多项式可以化简可得，把代入计算即可求得代数式的值.
16．（2025七下·郴州期中）如图是用三角尺和直尺画平行线的示意图，将三角尺的边沿着直尺平移到三角尺的位置，就可以画出的平行线．若，，则点A平移的距离为　 　．
【答案】5.5
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移的性质可知，，
∵，，
∴，
∴三角尺平移的距离为，
故答案为：5.5．
【分析】根据线段间的关系求得AC，进而求得AA'，即可求得点A平移的距离 ．
17．（2025七下·郴州期中）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为　 　．
【答案】8
【知识点】开平方（求平方根）；开立方（求立方根）；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由题意可知，，
所以，
所以，
故答案为：8．
【分析】由数轴可知，，从而可得，再计算算术平方根和立方根后进行加减运算化简即可求解．
18．（2025七下·郴州期中）若不等式组的解集中任一个的值均不在的范围内，则的取值范围是　 　．
【答案】或
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解： ，解得，
因为解集中任一个x的值均不在的范围内，如图，
所以或，即或；
a的取值范围是：或．
故答案为：或.
【分析】先解不等式组，求出x的范围，进而根据任何一个x的值均不在的范围内列出不等式，解不等式即可求得的取值范围．
三、解答题：（本题共66分，19题6分．20题6分．21题8分．22题8分．23题9分．24题9分．25题10分．26题10分）
19．（2025七下·郴州期中）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
.
（2）解：
．
【知识点】实数的绝对值；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）先求立方根、算术平方根和化简绝对值，再进行加减计算；
（2）先求立方根、算术平方根，乘方运算，再计算乘法，最后进行加减计算．
（1）解：
；
（2）解：
．
20．（2025七下·郴州期中）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
化系数为得：．
在数轴上表示为：
．
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】根据解一元一次不等式的步骤求得不等式的解集，进而在数轴上表示出不等式的解集即可．
21．（2025七下·郴州期中）如图所示，有一块长宽为米和米的长方形土地，现准备在这块土地上修建一个长为米，宽为米的游泳池，剩余部分修建成休息区域．
（1）请用含a和b的代数式表示休息区域的面积；（结果要化简）
（2）若，求休息区域的面积.
【答案】（1）解：由题意可得：
休息区域的面积是：，
即休息区域的面积是：平方米；
（2）解：当，时，
（平方米），
即若，，则休息区域的面积是平方米。
【知识点】多项式乘多项式；用代数式表示几何图形的数量关系；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】
（1）结合图形，根据长方形的面积计算公式，可得出休息区域的面积=；
（2）根据（1）计算的结果，将，代入式子进行计算，即可得出答案。
（1）解：由题意可得，
休息区域的面积是：，
即休息区域的面积是：平方米；
（2）解：当，时，
（平方米），
即若，，则休息区域的面积是平方米；
22．（2025七下·郴州期中）已知 的算术平方根是3， 的立方根是2，求 的平方根．
【答案】解∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的平方根为：
【知识点】平方根
【解析】【分析】根据 的算术平方根是3 可列式 ，进而求得a的值；再根据 的立方根是2可列式 ，进而求得b的值，再进行 的平方根计算即可．
23．（2025七下·郴州期中）如图所示，直线与，分别相交于点，，与，分别相交于点，，已知，．
求证：．
【答案】证明：∵对顶角相等，∴
又∵，∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】结合已知条件和对顶角相等可知，根据平行线的判定定理可得，再由平行线的性质可得，进而可得，证得，即可得到．
24．（2025七下·郴州期中）某汽车销售公司经销某品牌A，B两款汽车，今年一、二月份销售情况如下表所示：（A，B两款汽车的销售单价保持不变）
　 销售数量（辆） 销售额（万元）
　 A 款 B 款 　
一月份 3 1 35
二月份 1 3 33
（1）求A，B两款汽车每辆售价分别多少万元？
（2）若A款汽车每辆进价为8万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于 105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？
【答案】（1）解：设每辆款汽车的售价为万元，每辆款汽车的售价为万元，
依题意得：，
解得：．
答：每辆款汽车的售价为9万元，每辆款汽车的售价为8万元．
（2）解：设购进辆款汽车，则购进辆款汽车，
依题意得：，
解得：，
又为整数，
可以为5，6，7，
该公司共有3种进货方案，
方案1：购进5辆款汽车，10辆款汽车；
方案2：购进6辆款汽车，9辆款汽车；
方案3：购进7辆款汽车，8辆款汽车．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设每辆款汽车的售价为万元，每辆款汽车的售价为万元，根据表格提供的数据，即可得出关于x，y的方程组，解方程组求解，即可得出答案；
（2）设购进辆款汽车，则购进辆款汽车， 根据资金不多于 105万元且不少于99万元，可得出，解不等式组，并求出不等式组的整数解，即可得出进货方案。
（1）解：设每辆款汽车的售价为万元，每辆款汽车的售价为万元，
依题意得：，
解得：．
答：每辆款汽车的售价为9万元，每辆款汽车的售价为8万元．
（2）设购进辆款汽车，则购进辆款汽车，
依题意得：，
解得：，
又为整数，
可以为5，6，7，
该公司共有3种进货方案，
方案1：购进5辆款汽车，10辆款汽车；
方案2：购进6辆款汽车，9辆款汽车；
方案3：购进7辆款汽车，8辆款汽车．
25．（2025七下·郴州期中）如图，，点E为两直线之间的一点．
（1）如图1，若，，则　 　；
如图1，若，，则　 　；
（2）如图2，试说明，；
（3）如图3，若的平分线与的平分线相交于点F，判断与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）55°，α+β
（2）解：如图2，过点E作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
即
（3）解：，理由如下：
由（2）可知，
由（1）可得，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；猪蹄模型；铅笔头模型；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图1，过点E作，∵，
∴，
∴，，
∵，
当，时，
∴；
当，时，
∴．
故答案为：55°，α+β；
【分析】过点E作，根据两直线平行，内错角相等，可得出=30°，=20°，进而即可得出∠AEC=50°； ，若，， 同理可得∠AEC=α+β；
（2）过点E作，根据两直线平行，同旁内角互补，可得出，，两式相加，即可得出；
（3）首先由（2）知，只需再证即可，再由（1）可得，根据角平分线的定义可得出，，进一步可得出，等量代换即可得出．
（1）解：如图1，过点E作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
当，时，
∴；
当，时，
∴．
故答案为：55°，α+β；
（2）解：如图2，过点E作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
即；
（3）解：，
理由如下：
由（1）可得，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
由（2）可知，，
∴．
26．（2025七下·郴州期中）知识生成：在数学课上，老师准备了若干张如图1所示的三种纸片，A纸片是边长为a的正方形，B纸片是边长为b的正方形，C纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A纸片一张，B纸片一张，C纸片两张拼成如图2所示的大正方形．由图2所示我们可以得到一个熟悉的数学公式：，经过适当的变形，可以解决很多数学问题．
直接应用：（1）若，，直接写出的值为______．
类比应用：（2）①若，则______；
②若a满足，求的值．
知识迁移：（3）如图3，在长方形中，，E，F是边，上的点，，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为45，求图中阴影部分的面积．
【答案】解：（1）15；
（2）①13；
②
（3）设正方形和的边长分别为、，则，，
∴，
∵长方形的面积为45，
∴，
∴阴影部分的面积为：
．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴
∴ab=15；
（2）①；
【分析】（1）利用即可求得的值 ；
（2）①，将 代入计算即可；
②，将 代入计算即可；
（3）设正方形和的边长分别为、，根据题意得出，，阴影部分的面积为：
，将a+b=16，ab=45代入计算即可．
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