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浙江省杭州市嘉绿苑中学2024-2025学年上学期九年级数学9月月考试卷
一、选择题 (每小题 3 分, 共 30 分
1．（2024九上·杭州月考）"从一个布袋中随机摸出一个球恰是黄球的概率为五分之一" 的意思是（ ）
A．摸球 5 次就一定有 1 次摸中黄球
B．摸球 5 次就一定有 4 次不能摸中黄球
C．如果摸球的次数很多， 那么平均每摸球 5 次大约就有一次摸中黄球
D．布袋中有 1 个黄球和 4 个别的颜色的球
2．（2024九上·杭州月考）从 这九个自然数中任意取一个， 是 2 的倍数或 3 的倍数的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·杭州月考）对于抛物线 的图象，下列叙述不正确的是（ ）
A．顶点坐标为
B．对称轴为直线
C．当 时， 随 的增大而减小
D．函数的最大值为 -2
4．（2024九上·杭州月考）已知抛物线的对称轴为直线，则关于的方程的根是（　　）
A．0，4 B．1，5 C． D．
5．（2024九上·杭州月考）如图，一次函数 与二次函数 的图像相交于 两点， 则函数 的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024九上·杭州月考）已知二次函数 ， 当 时， 随 的增大而减小，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024九上·杭州月考）关于二次函数 的图象有下列命题： (1)当 时， 函数的图象经过原点； (2)当 0 时， 函数的图象关于 轴对称；(3)函数图象最高点的纵坐标是 ；(4)函数图象的对称轴为直线 ；(5)当 ，且函数的图象开口向下时，方程 必有两个不相等的实根. 其中正确命题的个数是（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
8．（2024九上·杭州月考）小江玩投掷飞镖的游戏， 他设计了一个如图所示的靶子， 点 分别是矩形 的两边 上的点， ， 点 是 上任意两点. 则投掷一次， 飞镖落在阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024九上·杭州月考）已知三个方程 ， 其正根分别记为 ， 则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024九上·杭州月考）二次函数 的图象如图所示， 有下列 5 个代数式： ①； ② ；③ ；④ ；⑤ 。其中， 值大于 0 的是（ ）
A．①②③⑤ B．①③④ C．②③④ D．①②⑤
二、填空题 (本大题共 6 个小题, 每小题 3 分, 共 18 分
11．（2024九上·杭州月考） 三张完全相同的卡片上分别写有函数 ， 从中随机抽取一张， 则所得卡片上函数的图象在第一象限内随 的增大而增大的概率是　 　.
12．（2024九上·杭州月考） 一个喑箱里放有 个除颜色外完全相同的球， 这 个球中红球只有 3 个. 若每次将球搅匀后， 任意摸出 1 个球记下颜色再放回暗箱。通过大量重复摸球的实验后发现，摸到红球的频率稳定在 附近，那么可以推算出 的值大约是　 　.
13．（2024九上·杭州月考） 将二次函数 的图象向下平移 个单位长度后， 所得到的二次函数图缘经过点 ， 则 的值为　 　.
14．（2024九上·杭州月考） 已知二次函数 与一次函数 的图像相交于点 ， ， 如图所示， 则能使 成立的 的取值范围是　 　.
15．（2024九上·杭州月考）二次函数 的图象如图所示， 若一元二次方程 有实数根， 则 的最大值为　 　.
16．（2024九上·杭州月考）如图，学校要在校园内建一个矩形的开心农场，其中一边是围墙，且的长不能超过，其余三边，，用长的铁质栅栏．有下列结论：
①的长可以为；
②当农场面积为时，满足条件的的长只有一个值；
③农场面积的最大值为；
④若把农场的形状改成半圆形，且直径一侧利用已有围墙，则农场的面积可以超过．
其中，正确结论的是　 　．(只需填序号)
三、解答题(本大题共 8 个小题, 共 72 分
17．（2024九上·杭州月考）如图， 依据闯关的游戏规则， 请你探究"闯关游戏"的奥秘.
（1）用列表的方法表示所有可能的闯关情况.
（2）求出闯关成功的概率。
18．（2024九上·杭州月考）已知抛物线 .
（1）求证：抛物线与 轴总有两个交点.
（2）若抛物线与 轴交于 两点， 且 两点间的距离为 1 ， 求这个二次函数的表达式.
19．（2024九上·杭州月考）张强在一次投掷铅球时， 刚出手时铅球离地而 ， 铅球运行的水平距离为 4 m时， 达到最大高度， 高度为 3 m ， 如图所示.
（1） 这个抛物线的顶点坐标为　 　。
（2）求抛物线的函数关系式.
（3）张强这次的投掷成绩大约是多少
20．（2024九上·杭州月考）某小区为了促进生活垃圾的分类处理， 将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃圾和其他垃圾三类，分别记为 ，并且设置了相应的垃圾箱，"厨余垃圾"箱、"可回收垃圾"箱和 "其他垃圾"箱，分别记为 。
　
400 100 100
30 240 30
20 20 60
（1）若将三类垃圾随机投入三类垃圾箱，请用画树状图的方法求垃圾投放正确的概率.
（2）为了调查居民生活垃圾分类投入情况，现随机抽取了该小区三类垃圾箱中总共 1000 吨生活垃圾，数据统计如右表所示（单位：吨）。试估计"厨余垃圾"投放正确的概率.
21．（2024九上·杭州月考）如图， 抛物线 与 轴的正半轴交于点 ， 以 为边， 在 轴上方作正方形 ， 延长 交抛物线于点 ， 再以 为边向上作正方形 . 求：
（1） 求 的值.
（2）求点 的坐标.
22．（2024九上·杭州月考）如图， 已知点 在二次函数 的图象上， 且 .
（1） 若二次函数的图象经过点 .
①求这个二次函数的表达式. ②若 ， 求顶点到 的距离.
（2） 当 时，二次函数的最大值与最小值的差为 1 ，点 在对称轴的异侧，求 的取值范围。
23．（2024九上·杭州月考）在平面直角坐标系 中， 过点 且平行于 轴的直线， 与直线 交于点 ， 点 关于直线 的对称点为 ， 抛物线 经过点 .
（1）求点 的坐标.
（2）求抛物线 的表达式及顶点坐标.
（3）若抛物线 与线段 恰有一个公共点， 结合函数的图象， 求 的取值范围.
24．（2024九上·杭州月考）已知二次函数 .
（1） 若它的图象经过点 ， 求该函数的对称轴.
（2） 若 时， 的最小值为 1 ， 求出 的值.
（3） 如果 两点都在这个二次函数的图象上， 直线 与该二次函数交于 两点， 则 是否为定值 若是， 请求出该定值； 若不是，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】概率的意义
【解析】【解答】解：“从一布袋中随机摸出1个球，恰好是黄球的概率为”的意思是：黄球占布袋中总球的或如果摸球次数很多，那么平均每摸球5次就有1次摸中黄球，
故答案为：C.
【分析】根据概率的意义找到正确选项即可.
2．【答案】C
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：从1到9这9个自然数中任取一个有9种可能的结果，是2的倍数或是3的倍数的有6个结果，因而概率是，
故答案为：C.
【分析】先从1 ~ 9这九个自然数中找出是2的倍数或是3的倍数共6个，然后根据概率公式求解即可.
3．【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：A、已知函数的顶点坐标为(3，-2)，故A不符合题意：；
B、函数的对称轴是x=3，故B不符合题意；
C、当x≤3时，y随x的增大而增大，故C符合题意；
D、函数的最大值为-2，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的顶点式，可得顶点坐标和对称轴；根据二次函数的性质，可得函数的增减性和最大值.
4．【答案】D
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线y=x2+mx的对称轴为直线x=2，
∴，
∴m=-4，
∴方程化为x2-4x=5，
∴（x+1）（x-5）=0，
∴x1=-1，x2=5，
故答案为：D.
【分析】 本题考查二次函数的性质.已知抛物线y=x2+mx的对称轴为，又因为抛物线y=x2+mx的对称轴为直线x=2，可得：，进而出m的值：m=-4.m=-4代入可得：x2-4x=5，求出一元二次方程的解，可得出答案.
5．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：点P在抛物线上，设点P(x，ax2+bx+c)，又因点P在直线y=x上，
∴x=ax2+bx+c，
∴ax2+(b-1)x+c=0；
由图象可知一次函数y=x与二次函数y=ax2+bx+c 交于第一象限的 P、Q两点，
∴方程a2+(b-1)x+c=0有两个正实数根.
∴函数y=a2+(b-1)x+c与x轴有两个交点，
又∵，a>0，
∴
∴函数y=ax2+(b-1)x+c的对称轴，
∴A符合条件，
故答案为：A.
【分析】由一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P，Q两点，得到方程ax2+(b-1)x+c=0有两个不相等的根，进而得到函数y=ax2+(b-1)x+c与x轴有两个交点；根据二次函数y2对称轴的位置及开口方向得到，a>0，进而得到函数y=ax2+(b-1)x+c的对称轴位置与开口方向，据此即可解答.
6．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：二次函数y=x2-2mx+1+m2的对称轴是：，开口向上，
∵当x≤3时，函数值y随x的增大而减小，
而x≤3应在对称轴的左边，
∴m≥3.
故答案为：C.
【分析】抛物线开口向上，由x≤3时，y随x增大而减小，可知对称轴 x-m≥3，由此确定m的取值范围.
7．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：对二次函数y=ax2+bx+c，
①当c=0时，函数的图象经过原点，正确；
②当b=0时，函数的图象关于y轴对称，正确；
③由于a值不定，故无法判断最高点或最低点，错误；
④函数图象的对称轴为直线，正确；
⑤当c>0，且函数的图象开口向下时，说明函数与y轴的交点在y轴的正半轴上，此时方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根，正确；
故答案为：D.
【分析】由函数图象与系数的关系及二次函数的性质判断各命题.
8．【答案】C
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：∵四边形ABFE内阴影部分面积四边形ABFE面积，
四边形DCFE内阴影部分面积四边形DCFE面积，
∴阴影部分的面积矩形ABCD的面积，
∴飞镖落在阴影部分的概率是，
故答案为：C.
【分析】分析阴影部分与总面积的关系，利用概率公式计算飞镖落在阴影部分的概率.
9．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵-4<-3<-2<0，
∴二次函数y1=-2(x+1)(x-2)，y2=-3(x+1)(x-2)，y3=-4(x+1)(x-2)开口大小为：y1>y2>y3.
其函数图象大致为：
∴x3>x2>x1，
故答案为：A.
【分析】作出草图，根据函数图象与性质，确定结果即可.
10．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①∵抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，
∴a<0，c<0，
∴ac>0，
②由图象可知，当x=1时，函数值y=a+b+c>0，
③由图象可知，当x=-2时，函数值y=4a-2b+c<0
④由对称轴，a <0，得2a+b<0，
⑤由②可知a+b+c>0，且c<0，
∴a+b> 0，
∴①②⑤的式子的值大于0.
故答案为：D.
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.
11．【答案】
【知识点】概率公式；二次函数y=ax²的性质
【解析】【解答】解：函数y=2x、、y=x2的图象的草图如图所示，
由图可知，图象在第一象限内y随x的增大而增大的函数是=2x、y=x2，
故，
故答案为：.
【分析】先求出函数的图象在第一象限内y随x的增大而增大的函数的个数，再根据概率公式即可得出答案.
12．【答案】15
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由题意可得，，
解得，a=15
经检验，a=15是分式方程的解.
故答案为：15.
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，列出方程求解.
13．【答案】6
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线y=2x2向下平移b(b>0)个单位长度后，所得新抛物线为y=2x2-b，
∵新抛物线经过点(1，-4)，
∴-4=2-b，
∴b=6，
故答案为：6.
【分析】首先求得平移后的抛物线的解析式，然后把点(1，-4)代入即可求得.
14．【答案】-2【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：由图形可得，当-2∴使y1故答案为：-2【分析】根据图象，找出二次函数图象在一次函数图象下方的部分的x的取值范围即可.
15．【答案】7
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则二次函数y=ax2+bx的图象与直线y=-m有交点，
由图象得，-m≥-7，解得m≤7，
∴m的最大值为7，
故答案为：7.
【分析】先根据抛物线的开口向上可知a>0，由顶点纵坐标为-7得出b与a关系，再根据一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根可得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可.
16．【答案】②④
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设边长为则边长为长为，
当时，，
解得，
的长不能超过，
，
故①不正确．
菜园面积为，
．
解得：．
又，
．
满足条件的的长只有一个值，故②正确．
由题意，设矩形菜园的面积为，
根据题意得：
，，
当时，有最大值，最大值为不可能为．
故③不正确．
直径一侧是围墙，当直径取最大值时，半圆的弧长为，
设沿方向栅栏延伸米，则
．
农场的最大面积为．
农场的面积可以超过
故④正确．
故答案为：②④．
【分析】设边长为 当时，求出BC长判断①；根据菜园面积为，列方程计算判断②；设矩形菜园的面积为，列二次函数，结合的取值范围利用增减性判断③，设沿方向栅栏延伸米，则，解方程求出的值判断④解题．
17．【答案】（1）解：所有可能闯关的情况列表如下：
　 1 2
1 (1，1) (1，2)
2 (2，1) (2，2)
∴ 共有4种情况
（2）解：只有(1，2)组合才能闯关，
∴闯关成功的可能性为
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】(1)用列举法列举出可能闯关的所有情况，即可得出答案；
( 2)根据图表得出所有可能，进而得出闯关成功的概率.
18．【答案】（1）证明：Δ=(m-3)2-4m·(-1)=m2-2m+9=(m-1)2+8.
∵(m-1)≥0，(m-1)2+8≥8，
∴Δ>0，
∴抛物线与x轴总有两个交点
（2）解：设A(x1，0)，B(x2，0)，
∴，，
∴
解得
经检验，是方程的根，
∴二次函数的解析式为
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数与一元二次方程的综合应用；利用交点式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)利用根的判别式及平方的非负性，得到Δ>0，从而证明抛物线与x轴总有两个交点；
(2)利用根与系数的关系以及抛物线与x轴的两交点间的距离公式得到关于m的方程，即可求得m的值，从而求得这个二次函数的解析式.
19．【答案】（1）(4，3)
（2）解：设抛物线的函数关系式y=a(x-4)2+3，
当x=0时，，解得
∴
（3）解：令y=0，解得x1=10，x2=-2(舍去)，
∴张强这次投掷成绩大约是10m
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：(1)由题意知铅球运行的水平距离为4m时，达到最高，高度为3m，
∴顶点坐标为(4，3)，
故答案为：(4，3).
【分析】(1)由题意知铅球运行的水平距离为4m时，达到最高，高度为3m，即可求解；
(2)设抛物线的函数关系式y=a(x-b)2+c，代入题干数据解得a、b、c；
(3)令二次函数解析式y=0，求出x.
20．【答案】（1）解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果数，其中垃圾投放正确的结果数为3，
∴垃圾投放正确的概率为
（2）解：，
∴估计“厨房垃圾”投放正确的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】(1)根据题意画出树状图，由树状图可知总数为9，投放正确有3种，进而求出垃圾投放正确的概率；
(2)由题意和概率的定义易得所求概率.
21．【答案】（1）解：把(3，0)代入得
解得
（2）解：把y=З代入得，
解得或(舍)，
∴点D坐标为
∴，
∴点F坐标为
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】(1)把(3，0)代入求解；
(2)由点A坐标可得点D的纵坐标为3，将y=3代入可得点D横坐标，然后由CD=AF求解.
22．【答案】（1）解：①∵二次函数y=a(x-2)2-1(a >0)经过(3，1)，
∴1=a-1；
∴a=2，
∴二次函数的解析式为y=2(x-2)2-1；
②∵y1=y2，
∴M，N关于抛物线的对称轴对称，
∵对称轴是直线x=2，且x2-x1=3，
∴，
当时，
∴当y1=y2时，顶点到MN的距离
（2）解：若M，N在对称轴的异侧，y1≥y2，
∴x1+3>2，
∴x1>-1，
∵x2-x1=3，
∴
∴
∵函数的最大值为y=a(x1-2)2-1，最小值为-1，
∴y1-(-1)=1，
∴
∴，
∴
若M，N在对称轴的异侧，y1≤y2，x1≤2，
∵
∴
∵函数的最大值为y2=a(x2-2)2-1，最小值为-1，
∴y2-(-1)=1，
∴
∵，
∴，
∴，
∴
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)①把点(3，1)代入二次函数的解析式求出a即可；
(2)判断出M，N关于抛物线的对称轴对称，求出点M的纵坐标，可得结论；
(2)分两种情形：若M，N在对称轴的异侧，y1≥y2，若M，N在对称轴的异侧，y1≤y2，x1≤2，分别求解即可.
23．【答案】（1）解：∵过点(0，2)且平行于x轴的直线与直线y
∴点A的坐标为(3，2)，=x-1交于点A，
∴点A的纵坐标为2，把y=2代入y=x-1，解得x=3
∵点A关于直线x=1的对称点为B，
∴点B与点A的纵坐标相同，为2，纵坐标为1-(3-1)=-1，
∴点B的坐标为(-1，2).
（2）解：∵抛物线C1：y=x2+bx+c经过点A、B，
∴
解得：
∴抛物线C1的函数表达式为y=x2-2x-1，
∵y=x2-2x-1=(x-1)2-2，
∴抛物线C1的顶点坐标为(1，-2)
（3）解：若抛物线C2：y=ax2(a≠0)与线段AB恰有一个公共点，则a>0，不可能小于0，
若抛物线C2经过点A时，2=a·32，；
若抛物线C2经过点B时，2=a·(-1)2，a=2，
结合函数的图象可知：若抛物线C2：y=ax2(a≠0)与线段AB恰有一个公共点，
∴a的取值范围是
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²的图象
【解析】【分析】(1)由已知、根据“平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同”知：点A的纵坐标为2，从而求出点A的坐标，由已知“点A关于直线x=1的对称点为B”知：点B与点A的纵坐标相同且点B与点A到直线x=1的距离相等，从而可得点B的坐标；
(2)由已知、把点A、B的坐标代入y=x2+bx+c，求出b、c，即可得到抛物线C1的函数表达式，将抛物线解析式配方成顶点式，即可得出抛物线的顶点；
(3)由题意，求出若抛物线C2经过点A时，若抛物线C2经过点B时a=2，结合函数图象即可得出结论.
24．【答案】（1）解：将点(1，3)代入二次函数y=-x2+2tx+3，
得3=-1+2t+3，
解得：
∴对称轴直线为：
（2）解：当x=0时，y=3，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=t，
∴当x=t时，y有最大值，
0≤x≤4时，y的最小值为1，
∴当x=4时，y=-16+8t-3=1，
解得：
（3）解：x1+x2是定值，理由：
∵A(m -2，n)，C(m，n)两点部在这个二次函数的图象上，
∴，
令-x2+2x+3=2mx+a，整理得
x2+2(m-t)x+a-3=0，
∵直线y=2mx a与该二次函数交于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点，
∴x1x2是方程x2+2(m-t)x+a-3=0的两个根，
∴是定值
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】(1)把(1，3)代入解析式求出，再根据对称轴公式求出对称轴；
(2)假设抛物线开口向下，以及x=0时，y=3，由函数的性质可知，当x=4时，y的最小值为1，然后求即可；
(3)A(m-2，n)，C(m，n)两点部在这个二次函数的图象上，有对称轴公式得出m-t=1，再令-x2+2tx+3=2mx+a，并转化为一般式，然后由根与系数的关系求出x1+x2=-2.
1 / 1浙江省杭州市嘉绿苑中学2024-2025学年上学期九年级数学9月月考试卷
一、选择题 (每小题 3 分, 共 30 分
1．（2024九上·杭州月考）"从一个布袋中随机摸出一个球恰是黄球的概率为五分之一" 的意思是（ ）
A．摸球 5 次就一定有 1 次摸中黄球
B．摸球 5 次就一定有 4 次不能摸中黄球
C．如果摸球的次数很多， 那么平均每摸球 5 次大约就有一次摸中黄球
D．布袋中有 1 个黄球和 4 个别的颜色的球
【答案】C
【知识点】概率的意义
【解析】【解答】解：“从一布袋中随机摸出1个球，恰好是黄球的概率为”的意思是：黄球占布袋中总球的或如果摸球次数很多，那么平均每摸球5次就有1次摸中黄球，
故答案为：C.
【分析】根据概率的意义找到正确选项即可.
2．（2024九上·杭州月考）从 这九个自然数中任意取一个， 是 2 的倍数或 3 的倍数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：从1到9这9个自然数中任取一个有9种可能的结果，是2的倍数或是3的倍数的有6个结果，因而概率是，
故答案为：C.
【分析】先从1 ~ 9这九个自然数中找出是2的倍数或是3的倍数共6个，然后根据概率公式求解即可.
3．（2024九上·杭州月考）对于抛物线 的图象，下列叙述不正确的是（ ）
A．顶点坐标为
B．对称轴为直线
C．当 时， 随 的增大而减小
D．函数的最大值为 -2
【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：A、已知函数的顶点坐标为(3，-2)，故A不符合题意：；
B、函数的对称轴是x=3，故B不符合题意；
C、当x≤3时，y随x的增大而增大，故C符合题意；
D、函数的最大值为-2，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的顶点式，可得顶点坐标和对称轴；根据二次函数的性质，可得函数的增减性和最大值.
4．（2024九上·杭州月考）已知抛物线的对称轴为直线，则关于的方程的根是（　　）
A．0，4 B．1，5 C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线y=x2+mx的对称轴为直线x=2，
∴，
∴m=-4，
∴方程化为x2-4x=5，
∴（x+1）（x-5）=0，
∴x1=-1，x2=5，
故答案为：D.
【分析】 本题考查二次函数的性质.已知抛物线y=x2+mx的对称轴为，又因为抛物线y=x2+mx的对称轴为直线x=2，可得：，进而出m的值：m=-4.m=-4代入可得：x2-4x=5，求出一元二次方程的解，可得出答案.
5．（2024九上·杭州月考）如图，一次函数 与二次函数 的图像相交于 两点， 则函数 的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：点P在抛物线上，设点P(x，ax2+bx+c)，又因点P在直线y=x上，
∴x=ax2+bx+c，
∴ax2+(b-1)x+c=0；
由图象可知一次函数y=x与二次函数y=ax2+bx+c 交于第一象限的 P、Q两点，
∴方程a2+(b-1)x+c=0有两个正实数根.
∴函数y=a2+(b-1)x+c与x轴有两个交点，
又∵，a>0，
∴
∴函数y=ax2+(b-1)x+c的对称轴，
∴A符合条件，
故答案为：A.
【分析】由一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P，Q两点，得到方程ax2+(b-1)x+c=0有两个不相等的根，进而得到函数y=ax2+(b-1)x+c与x轴有两个交点；根据二次函数y2对称轴的位置及开口方向得到，a>0，进而得到函数y=ax2+(b-1)x+c的对称轴位置与开口方向，据此即可解答.
6．（2024九上·杭州月考）已知二次函数 ， 当 时， 随 的增大而减小，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：二次函数y=x2-2mx+1+m2的对称轴是：，开口向上，
∵当x≤3时，函数值y随x的增大而减小，
而x≤3应在对称轴的左边，
∴m≥3.
故答案为：C.
【分析】抛物线开口向上，由x≤3时，y随x增大而减小，可知对称轴 x-m≥3，由此确定m的取值范围.
7．（2024九上·杭州月考）关于二次函数 的图象有下列命题： (1)当 时， 函数的图象经过原点； (2)当 0 时， 函数的图象关于 轴对称；(3)函数图象最高点的纵坐标是 ；(4)函数图象的对称轴为直线 ；(5)当 ，且函数的图象开口向下时，方程 必有两个不相等的实根. 其中正确命题的个数是（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：对二次函数y=ax2+bx+c，
①当c=0时，函数的图象经过原点，正确；
②当b=0时，函数的图象关于y轴对称，正确；
③由于a值不定，故无法判断最高点或最低点，错误；
④函数图象的对称轴为直线，正确；
⑤当c>0，且函数的图象开口向下时，说明函数与y轴的交点在y轴的正半轴上，此时方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根，正确；
故答案为：D.
【分析】由函数图象与系数的关系及二次函数的性质判断各命题.
8．（2024九上·杭州月考）小江玩投掷飞镖的游戏， 他设计了一个如图所示的靶子， 点 分别是矩形 的两边 上的点， ， 点 是 上任意两点. 则投掷一次， 飞镖落在阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：∵四边形ABFE内阴影部分面积四边形ABFE面积，
四边形DCFE内阴影部分面积四边形DCFE面积，
∴阴影部分的面积矩形ABCD的面积，
∴飞镖落在阴影部分的概率是，
故答案为：C.
【分析】分析阴影部分与总面积的关系，利用概率公式计算飞镖落在阴影部分的概率.
9．（2024九上·杭州月考）已知三个方程 ， 其正根分别记为 ， 则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵-4<-3<-2<0，
∴二次函数y1=-2(x+1)(x-2)，y2=-3(x+1)(x-2)，y3=-4(x+1)(x-2)开口大小为：y1>y2>y3.
其函数图象大致为：
∴x3>x2>x1，
故答案为：A.
【分析】作出草图，根据函数图象与性质，确定结果即可.
10．（2024九上·杭州月考）二次函数 的图象如图所示， 有下列 5 个代数式： ①； ② ；③ ；④ ；⑤ 。其中， 值大于 0 的是（ ）
A．①②③⑤ B．①③④ C．②③④ D．①②⑤
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①∵抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，
∴a<0，c<0，
∴ac>0，
②由图象可知，当x=1时，函数值y=a+b+c>0，
③由图象可知，当x=-2时，函数值y=4a-2b+c<0
④由对称轴，a <0，得2a+b<0，
⑤由②可知a+b+c>0，且c<0，
∴a+b> 0，
∴①②⑤的式子的值大于0.
故答案为：D.
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.
二、填空题 (本大题共 6 个小题, 每小题 3 分, 共 18 分
11．（2024九上·杭州月考） 三张完全相同的卡片上分别写有函数 ， 从中随机抽取一张， 则所得卡片上函数的图象在第一象限内随 的增大而增大的概率是　 　.
【答案】
【知识点】概率公式；二次函数y=ax²的性质
【解析】【解答】解：函数y=2x、、y=x2的图象的草图如图所示，
由图可知，图象在第一象限内y随x的增大而增大的函数是=2x、y=x2，
故，
故答案为：.
【分析】先求出函数的图象在第一象限内y随x的增大而增大的函数的个数，再根据概率公式即可得出答案.
12．（2024九上·杭州月考） 一个喑箱里放有 个除颜色外完全相同的球， 这 个球中红球只有 3 个. 若每次将球搅匀后， 任意摸出 1 个球记下颜色再放回暗箱。通过大量重复摸球的实验后发现，摸到红球的频率稳定在 附近，那么可以推算出 的值大约是　 　.
【答案】15
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由题意可得，，
解得，a=15
经检验，a=15是分式方程的解.
故答案为：15.
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，列出方程求解.
13．（2024九上·杭州月考） 将二次函数 的图象向下平移 个单位长度后， 所得到的二次函数图缘经过点 ， 则 的值为　 　.
【答案】6
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线y=2x2向下平移b(b>0)个单位长度后，所得新抛物线为y=2x2-b，
∵新抛物线经过点(1，-4)，
∴-4=2-b，
∴b=6，
故答案为：6.
【分析】首先求得平移后的抛物线的解析式，然后把点(1，-4)代入即可求得.
14．（2024九上·杭州月考） 已知二次函数 与一次函数 的图像相交于点 ， ， 如图所示， 则能使 成立的 的取值范围是　 　.
【答案】-2【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：由图形可得，当-2∴使y1故答案为：-2【分析】根据图象，找出二次函数图象在一次函数图象下方的部分的x的取值范围即可.
15．（2024九上·杭州月考）二次函数 的图象如图所示， 若一元二次方程 有实数根， 则 的最大值为　 　.
【答案】7
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则二次函数y=ax2+bx的图象与直线y=-m有交点，
由图象得，-m≥-7，解得m≤7，
∴m的最大值为7，
故答案为：7.
【分析】先根据抛物线的开口向上可知a>0，由顶点纵坐标为-7得出b与a关系，再根据一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根可得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可.
16．（2024九上·杭州月考）如图，学校要在校园内建一个矩形的开心农场，其中一边是围墙，且的长不能超过，其余三边，，用长的铁质栅栏．有下列结论：
①的长可以为；
②当农场面积为时，满足条件的的长只有一个值；
③农场面积的最大值为；
④若把农场的形状改成半圆形，且直径一侧利用已有围墙，则农场的面积可以超过．
其中，正确结论的是　 　．(只需填序号)
【答案】②④
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设边长为则边长为长为，
当时，，
解得，
的长不能超过，
，
故①不正确．
菜园面积为，
．
解得：．
又，
．
满足条件的的长只有一个值，故②正确．
由题意，设矩形菜园的面积为，
根据题意得：
，，
当时，有最大值，最大值为不可能为．
故③不正确．
直径一侧是围墙，当直径取最大值时，半圆的弧长为，
设沿方向栅栏延伸米，则
．
农场的最大面积为．
农场的面积可以超过
故④正确．
故答案为：②④．
【分析】设边长为 当时，求出BC长判断①；根据菜园面积为，列方程计算判断②；设矩形菜园的面积为，列二次函数，结合的取值范围利用增减性判断③，设沿方向栅栏延伸米，则，解方程求出的值判断④解题．
三、解答题(本大题共 8 个小题, 共 72 分
17．（2024九上·杭州月考）如图， 依据闯关的游戏规则， 请你探究"闯关游戏"的奥秘.
（1）用列表的方法表示所有可能的闯关情况.
（2）求出闯关成功的概率。
【答案】（1）解：所有可能闯关的情况列表如下：
　 1 2
1 (1，1) (1，2)
2 (2，1) (2，2)
∴ 共有4种情况
（2）解：只有(1，2)组合才能闯关，
∴闯关成功的可能性为
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】(1)用列举法列举出可能闯关的所有情况，即可得出答案；
( 2)根据图表得出所有可能，进而得出闯关成功的概率.
18．（2024九上·杭州月考）已知抛物线 .
（1）求证：抛物线与 轴总有两个交点.
（2）若抛物线与 轴交于 两点， 且 两点间的距离为 1 ， 求这个二次函数的表达式.
【答案】（1）证明：Δ=(m-3)2-4m·(-1)=m2-2m+9=(m-1)2+8.
∵(m-1)≥0，(m-1)2+8≥8，
∴Δ>0，
∴抛物线与x轴总有两个交点
（2）解：设A(x1，0)，B(x2，0)，
∴，，
∴
解得
经检验，是方程的根，
∴二次函数的解析式为
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数与一元二次方程的综合应用；利用交点式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)利用根的判别式及平方的非负性，得到Δ>0，从而证明抛物线与x轴总有两个交点；
(2)利用根与系数的关系以及抛物线与x轴的两交点间的距离公式得到关于m的方程，即可求得m的值，从而求得这个二次函数的解析式.
19．（2024九上·杭州月考）张强在一次投掷铅球时， 刚出手时铅球离地而 ， 铅球运行的水平距离为 4 m时， 达到最大高度， 高度为 3 m ， 如图所示.
（1） 这个抛物线的顶点坐标为　 　。
（2）求抛物线的函数关系式.
（3）张强这次的投掷成绩大约是多少
【答案】（1）(4，3)
（2）解：设抛物线的函数关系式y=a(x-4)2+3，
当x=0时，，解得
∴
（3）解：令y=0，解得x1=10，x2=-2(舍去)，
∴张强这次投掷成绩大约是10m
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：(1)由题意知铅球运行的水平距离为4m时，达到最高，高度为3m，
∴顶点坐标为(4，3)，
故答案为：(4，3).
【分析】(1)由题意知铅球运行的水平距离为4m时，达到最高，高度为3m，即可求解；
(2)设抛物线的函数关系式y=a(x-b)2+c，代入题干数据解得a、b、c；
(3)令二次函数解析式y=0，求出x.
20．（2024九上·杭州月考）某小区为了促进生活垃圾的分类处理， 将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃圾和其他垃圾三类，分别记为 ，并且设置了相应的垃圾箱，"厨余垃圾"箱、"可回收垃圾"箱和 "其他垃圾"箱，分别记为 。
　
400 100 100
30 240 30
20 20 60
（1）若将三类垃圾随机投入三类垃圾箱，请用画树状图的方法求垃圾投放正确的概率.
（2）为了调查居民生活垃圾分类投入情况，现随机抽取了该小区三类垃圾箱中总共 1000 吨生活垃圾，数据统计如右表所示（单位：吨）。试估计"厨余垃圾"投放正确的概率.
【答案】（1）解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果数，其中垃圾投放正确的结果数为3，
∴垃圾投放正确的概率为
（2）解：，
∴估计“厨房垃圾”投放正确的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】(1)根据题意画出树状图，由树状图可知总数为9，投放正确有3种，进而求出垃圾投放正确的概率；
(2)由题意和概率的定义易得所求概率.
21．（2024九上·杭州月考）如图， 抛物线 与 轴的正半轴交于点 ， 以 为边， 在 轴上方作正方形 ， 延长 交抛物线于点 ， 再以 为边向上作正方形 . 求：
（1） 求 的值.
（2）求点 的坐标.
【答案】（1）解：把(3，0)代入得
解得
（2）解：把y=З代入得，
解得或(舍)，
∴点D坐标为
∴，
∴点F坐标为
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】(1)把(3，0)代入求解；
(2)由点A坐标可得点D的纵坐标为3，将y=3代入可得点D横坐标，然后由CD=AF求解.
22．（2024九上·杭州月考）如图， 已知点 在二次函数 的图象上， 且 .
（1） 若二次函数的图象经过点 .
①求这个二次函数的表达式. ②若 ， 求顶点到 的距离.
（2） 当 时，二次函数的最大值与最小值的差为 1 ，点 在对称轴的异侧，求 的取值范围。
【答案】（1）解：①∵二次函数y=a(x-2)2-1(a >0)经过(3，1)，
∴1=a-1；
∴a=2，
∴二次函数的解析式为y=2(x-2)2-1；
②∵y1=y2，
∴M，N关于抛物线的对称轴对称，
∵对称轴是直线x=2，且x2-x1=3，
∴，
当时，
∴当y1=y2时，顶点到MN的距离
（2）解：若M，N在对称轴的异侧，y1≥y2，
∴x1+3>2，
∴x1>-1，
∵x2-x1=3，
∴
∴
∵函数的最大值为y=a(x1-2)2-1，最小值为-1，
∴y1-(-1)=1，
∴
∴，
∴
若M，N在对称轴的异侧，y1≤y2，x1≤2，
∵
∴
∵函数的最大值为y2=a(x2-2)2-1，最小值为-1，
∴y2-(-1)=1，
∴
∵，
∴，
∴，
∴
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)①把点(3，1)代入二次函数的解析式求出a即可；
(2)判断出M，N关于抛物线的对称轴对称，求出点M的纵坐标，可得结论；
(2)分两种情形：若M，N在对称轴的异侧，y1≥y2，若M，N在对称轴的异侧，y1≤y2，x1≤2，分别求解即可.
23．（2024九上·杭州月考）在平面直角坐标系 中， 过点 且平行于 轴的直线， 与直线 交于点 ， 点 关于直线 的对称点为 ， 抛物线 经过点 .
（1）求点 的坐标.
（2）求抛物线 的表达式及顶点坐标.
（3）若抛物线 与线段 恰有一个公共点， 结合函数的图象， 求 的取值范围.
【答案】（1）解：∵过点(0，2)且平行于x轴的直线与直线y
∴点A的坐标为(3，2)，=x-1交于点A，
∴点A的纵坐标为2，把y=2代入y=x-1，解得x=3
∵点A关于直线x=1的对称点为B，
∴点B与点A的纵坐标相同，为2，纵坐标为1-(3-1)=-1，
∴点B的坐标为(-1，2).
（2）解：∵抛物线C1：y=x2+bx+c经过点A、B，
∴
解得：
∴抛物线C1的函数表达式为y=x2-2x-1，
∵y=x2-2x-1=(x-1)2-2，
∴抛物线C1的顶点坐标为(1，-2)
（3）解：若抛物线C2：y=ax2(a≠0)与线段AB恰有一个公共点，则a>0，不可能小于0，
若抛物线C2经过点A时，2=a·32，；
若抛物线C2经过点B时，2=a·(-1)2，a=2，
结合函数的图象可知：若抛物线C2：y=ax2(a≠0)与线段AB恰有一个公共点，
∴a的取值范围是
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²的图象
【解析】【分析】(1)由已知、根据“平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同”知：点A的纵坐标为2，从而求出点A的坐标，由已知“点A关于直线x=1的对称点为B”知：点B与点A的纵坐标相同且点B与点A到直线x=1的距离相等，从而可得点B的坐标；
(2)由已知、把点A、B的坐标代入y=x2+bx+c，求出b、c，即可得到抛物线C1的函数表达式，将抛物线解析式配方成顶点式，即可得出抛物线的顶点；
(3)由题意，求出若抛物线C2经过点A时，若抛物线C2经过点B时a=2，结合函数图象即可得出结论.
24．（2024九上·杭州月考）已知二次函数 .
（1） 若它的图象经过点 ， 求该函数的对称轴.
（2） 若 时， 的最小值为 1 ， 求出 的值.
（3） 如果 两点都在这个二次函数的图象上， 直线 与该二次函数交于 两点， 则 是否为定值 若是， 请求出该定值； 若不是，请说明理由.
【答案】（1）解：将点(1，3)代入二次函数y=-x2+2tx+3，
得3=-1+2t+3，
解得：
∴对称轴直线为：
（2）解：当x=0时，y=3，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=t，
∴当x=t时，y有最大值，
0≤x≤4时，y的最小值为1，
∴当x=4时，y=-16+8t-3=1，
解得：
（3）解：x1+x2是定值，理由：
∵A(m -2，n)，C(m，n)两点部在这个二次函数的图象上，
∴，
令-x2+2x+3=2mx+a，整理得
x2+2(m-t)x+a-3=0，
∵直线y=2mx a与该二次函数交于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点，
∴x1x2是方程x2+2(m-t)x+a-3=0的两个根，
∴是定值
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】(1)把(1，3)代入解析式求出，再根据对称轴公式求出对称轴；
(2)假设抛物线开口向下，以及x=0时，y=3，由函数的性质可知，当x=4时，y的最小值为1，然后求即可；
(3)A(m-2，n)，C(m，n)两点部在这个二次函数的图象上，有对称轴公式得出m-t=1，再令-x2+2tx+3=2mx+a，并转化为一般式，然后由根与系数的关系求出x1+x2=-2.
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