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2025年新九年级数学人教版暑假大讲堂
第十五讲 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
知识点梳理
知识点1 二次函数y＝ax2＋bx＋c与y＝a(x－h)2＋k的关系
1.利用配方法可以将y=ax2+bx+c转化为顶点式,即
y =ax2+bx+c
=a
=a
顶点是
对称轴是直线
要点诠释：
两种形式本质相同，只是表达方式不同。通过配方实现互化，可灵活运用顶点式分析图象特征，或通过一般式处理实际问题。
知识点2 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质
a的符号 a>0 a<0
图象
开口方向 向上 向下
对称轴
顶点坐标
增减性 当x<- 时,y随x的增大而减小;当x>- 时,y随x的增大而增大 当x<- 时,y随x的增大而增大;当x>- 时,y随x的增大而减小
最值 当时y最小值= 当时y最大值=
2.要点诠释:
a决定抛物线的开口方向，简记为“上正下负”
C决定抛物线与y轴交点位置，简记为“上正下负原点0”
a、b符号共同决定对称轴的位置，简记为“左同右异，y轴b的值为0”
题型1把一般形式化为顶点式
【例1】．已知二次函数（k为常数）．
(1)用含k的代数式表示该二次函数的顶点坐标；
(2)当时，y随x的增大而减小，求k的取值范围；
(3)当时，该函数有最小值，求k的值．
针对训练1
1．下列对二次函数的图像的描述，正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．经过原点 D．顶点在x轴的上方
2．将抛物线向右平移1个单位长度得到的新抛物线的顶点坐标为 ．
3．二次函数的顶点坐标是 ．
4．已知抛物线（为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1．
(1)求的值；
(2)点在抛物线上，点在抛物线上，若，且，，求的值．
5．在平面直角坐标系中，函数（为常数）图象的顶点坐标是．
(1)判断点是否在该函数的图象上，并说明理由．
(2)求证：．
题型2 二次函数的平移
【例2】．已知二次函数的图象经过点，．
(1)求，的值．
(2)求当时，二次函数的最大值．
(3)现将该二次函数的图象沿着轴的正方向平移个单位长度得到新的二次函数图象，当时，新的二次函数有最小值，最小值为7，求平移后新的二次函数的表达式．
针对训练2
1．已知二次函数，将该二次函数图象向上平移，若平移后的图象与x轴交于两点（），下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知抛物线和线段，点和点的坐标分别为，，将线段向下平移个单位长度后与抛物线有两个交点，则的取值范围是 ．
3．如图，抛物线经过点，，点P是抛物线的顶点．
(1)求a，m的值及点P的坐标；
(2)将抛物线平移，使其顶点落在x轴上，得到抛物线．
①直接写出抛物线平移的最短路程及此时抛物线的顶点坐标；
②在①的条件下，抛物线上有一个动点Q，其横坐标为，当时，点Q路径的最高点和最低点的纵坐标之差为2，求n的取值范围．
4．在平面直角坐标系中，设二次函数，
(1)若函数图象的顶点为且过点，求该函数表达式．
(2)在（1）的条件下，将函数图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，点是否在新的函数图象上？若在，请求出t的值；若不在，请说明理由．
(3)设函数的对称轴为直线，点在函数图象上，将函数向右平移两个单位后得到一个新的函数，点在新的函数图象上． 当时，若对于，都有，直接写出m的取值范围： ．
5．如图，二次函数的图象与轴交于点，两点，与轴交于点，其对称轴是直线，点的坐标为．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点向上平移个单位长度，向左平移个单位长度，恰好落在的图象上，求的值；
(3)当时，若二次函数的最大值和最小值的差为，求的值．
题型3 待定系数法求二次函数解析式
【例3】．已知二次函数（a为常数，且）经过点．
(1)求该二次函数图象的表达式；
(2)当时，x的取值范围是______；
(3)当时，求y的最大值与最小值的差．
针对训练3
1．关于的二次函数（是常数）的图象经过点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若二次函数的图象经过，
①当时，，求的值；
②若，，恒有，求的取值范围．
2．已知二次函数经过点与．
(1)求b，c的值．
(2)若该抛物线经过点，求m的值．
3．已知抛物线经过点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点，在该抛物线上．
①若，时，求的值；
②若，求的最大值．
4．已知二次函数的图象经过点．
(1)求该二次函数的表达式．
(2)将点向左平移多少个单位长度后，恰好落在该二次函数的图象上？
(3)当时，该函数的最大值与最小值之差为，当时，该函数的最大值与最小值之差为．若，请直接写出的取值范围．
5．如图，抛物线经过点、，与轴交于点，点是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)求四边形的面积；
(3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求的取值范围．
题型4 根据二次函数性质判断系数符号
【例4】．如图是二次函数，，是常数，图象的一部分， 经过点，且与y轴的交点在点与之间，函数图象的对称轴为直线．下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
针对训练4
1．如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，对称轴为直线．则下列结论中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知二次函数与正比例函数的图象如图所示，则函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
3．如图是抛物线的一部分，抛物线的对称轴为直线，有以下5个结论：
①； ②； ③；
④ ⑤，
其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．如图，已知抛物线的对称轴是直线，与轴的一个交点位于和之间，则以下结论错误的是（ ）
A．
B．
C．若点和在该抛物线上，则
D．若，则关于的一元二次方程有两个不相等实数根
5．如图，抛物线（a，b，c是常数，）与x轴交于A、B两点，顶点．给出下列结论，正确的有（ ）
①；②；③若点，，在抛物线上，则；④关于x的方程有实数解，则；⑤当时则．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
题型5 二次函数与一次函数综合
【例5】．如图1，已知直线与x轴、y轴分别交于B，C两点，抛物线经过点B，C交x轴于另一点A，点P为x轴上方抛物线上一动点（不与点C重合），设点P横坐标为m．
(1)填空：B（___，___），C（___，___），抛物线的解析式为______；
(2)过点P作轴，交直线于点M，当时，求点P的横坐标；
(3)过点P作x轴的平行线交直线于点Q，线段的长记为d，求d关于m的函数．
针对训练5
1．已知二次函数与一次函数的图象相交于A、B两点，如图所示，其中．
(1)请求出以上两个函数的解析式；
(2)求点B的坐标；
2．二次函数的图象经过点．
(1)求二次函数的对称轴；
(2)当点坐标为时，
①求出此时二次函数的表达式；
②求出此时函数图像与直线的交点坐标．
3．已知一次函数和二次函数图象交于两点A，B两点，且它们的横坐标分别是3，．
(1)求一次函数的解析式．
(2)设二次函图象的顶点为C，求得面积．
4．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于和B两点，与y轴交于点C．
(1)求C点的坐标；
(2)连接，D为抛物线上一点，当时，求点D的坐标．
5．已知抛物线与直线有且只有一个交点，求的值以及交点的坐标．
能力提升 创新拓展
1．在平面直角坐标系中，点，点在抛物线上．设抛物线的对称轴为直线．
(1)当时，
①直接写出与满足的等量关系；
②比较，的大小，并说明理由；
(2)已知点在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围．
2．已知二次函数（a是常数）．
(1)当时．
①求二次函数图象的顶点坐标；
②在的范围内，求y的取值范围．
(2)当a取值为时，二次函数的最大值相等，此时是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
3．已知二次函数．
(1)若函数经过，求二次函数的解析式；
(2)若点，点均在函数图象上，求t的值；
(3)当时，函数最大值为7，求m的值．
2025年新九年级数学人教版暑假大讲堂
第十五讲 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质（解析版）
知识点梳理
知识点1 二次函数y＝ax2＋bx＋c与y＝a(x－h)2＋k的关系
1.利用配方法可以将y=ax2+bx+c转化为顶点式,即
y =ax2+bx+c
=a
=a
顶点是
对称轴是直线
要点诠释：
两种形式本质相同，只是表达方式不同。通过配方实现互化，可灵活运用顶点式分析图象特征，或通过一般式处理实际问题。
知识点2 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质
a的符号 a>0 a<0
图象
开口方向 向上 向下
对称轴
顶点坐标
增减性 当x<- 时,y随x的增大而减小;当x>- 时,y随x的增大而增大 当x<- 时,y随x的增大而增大;当x>- 时,y随x的增大而减小
最值 当时y最小值= 当时y最大值=
2.要点诠释:
a决定抛物线的开口方向，简记为“上正下负”
C决定抛物线与y轴交点位置，简记为“上正下负原点0”
a、b符号共同决定对称轴的位置，简记为“左同右异，y轴b的值为0”
题型1把一般形式化为顶点式
【例1】．已知二次函数（k为常数）．
(1)用含k的代数式表示该二次函数的顶点坐标；
(2)当时，y随x的增大而减小，求k的取值范围；
(3)当时，该函数有最小值，求k的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或．
【分析】本题看出来二次函数图象与系数的关系，二次函数的最值，二次函数的性质，分类讨论是解题的关键．
（1）配方得到顶点式，可确定顶点坐标；
（2）根据二次函数的性质即可得到的取值；
（3）分三种情况讨论，关键题意得到关于的方程，解方程即可求得．
【详解】（1）解：，
该二次函数的顶点坐标是．
（2）该二次函数图象的对称轴是直线，开口向上，
∴当时，随的增大而减小，
当时，y随x的增大而减小，
．
（3）①若，当时，．
②若，当时，，
解得（舍去）．
③若，当时，，
解得（舍去）．
综合以上得：当时，该函数有最小值，此时的值是或．
针对训练1
1．下列对二次函数的图像的描述，正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．经过原点 D．顶点在x轴的上方
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，将二次函数的解析式化为顶点式得出二次函数图象的开口向上，对称轴为直线，函数的最小值为，顶点坐标为，当时，，由此即可得解．
【详解】解：∵，
∴二次函数图象的开口向上，对称轴为直线， 顶点坐标为，在x轴的下方，故错误，
当时，，因此图象经过原点，故C正确；
故选：C．
2．将抛物线向右平移1个单位长度得到的新抛物线的顶点坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，将二次函数解析式化为顶点式，先将原抛物线解析式化为顶点式，再根据二次函数的平移法则求出平移后的解析式，由此即可得解．
【详解】解：∵，
∴抛物线向右平移1个单位长度得到的新抛物线的解析式为，
∴将抛物线向右平移1个单位长度得到的新抛物线的顶点坐标为，
故答案为：．
3．二次函数的顶点坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的性质，先将函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的顶点坐标．
【详解】解：∵，
∴该函数图象的顶点坐标为，
故答案为：．
4．已知抛物线（为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1．
(1)求的值；
(2)点在抛物线上，点在抛物线上，若，且，，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】题目主要考查二次函数的性质及化为顶点式，解一元二次方程，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
（1）根据题意求出抛物线的顶点坐标为，确定抛物线的顶点横坐标为，计算即可求解；
（2）根据题意得出， ，得到，求出，继而得到．
【详解】（1）解：，
抛物线的顶点坐标为
抛物线的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1
（2）解：由（1）知，
，
点在抛物线上，
，
点在抛物线上，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
．
5．在平面直角坐标系中，函数（为常数）图象的顶点坐标是．
(1)判断点是否在该函数的图象上，并说明理由．
(2)求证：．
【答案】(1)在，理由见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查二次函数图象的图象与性质，配方法的应用，熟练掌握二次函数顶点坐标的公式和配方法的应用是解题的关键．
（1）求当时，的值，即可判断；
（2）利用二次函数顶点坐标的公式求出，关于的式子，再得出关于的式子，再利用配方法求最值即可．
【详解】（1）解：点在该函数的图象上，理由如下：
当时，，
则点在该函数的图象上；
（2）解：∵函数（为常数）图象的顶点坐标是，
∴，，
∴，
∵为常数，
∴，
∴．
题型2 二次函数的平移
【例2】．已知二次函数的图象经过点，．
(1)求，的值．
(2)求当时，二次函数的最大值．
(3)现将该二次函数的图象沿着轴的正方向平移个单位长度得到新的二次函数图象，当时，新的二次函数有最小值，最小值为7，求平移后新的二次函数的表达式．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值，二次函数图象与几何变换，正确的理解题意是解题的关键．
（1）把点，代入，即可求得b、c的值；
（2）根据二次函数的性质即可求得；
（3）平移后新的二次函数的表达式为，分三种情况讨论：①当，即时，在对称轴的右侧，②当，即时， ③当，即时，在对称轴的左侧，然后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：将点，代入，
得解得
，的值分别是，．
（2）解：二次函数的表达式为，
二次函数图象的对称轴为直线．
，
二次函数图象的开口向上，当时，随的增大而减小．
，
当时，二次函数有最大值，最大值为．
（3）解：平移后新的二次函数的表达式为，该二次函数图象的对称轴为直线．
分三种情况讨论：
①当，即时，在对称轴的右侧，
二次函数在取得最小值，
，解得或，不符合题意．
②当，即时，二次函数在取得最小值，此时最小值为，不符合题意．
③当，即时，在对称轴的左侧，
二次函数在时取得最小值，
，解得或（舍去），
此时二次函数的表达式为，即．
综上所述，平移后新的二次函数的表达式为．
针对训练2
1．已知二次函数，将该二次函数图象向上平移，若平移后的图象与x轴交于两点（），下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线的平移，根据抛物线平移的方向与抛物线的性质，利用数形结合的思想找到抛物线与轴的交点的变化规律求解即可．
【详解】解：当时，可得：，
解得：，
∴抛物线与轴的交点坐标分别为，
如下图所示，当抛物线向上平移时，根据抛物线的对称性可知：，整理可得：，
故选：B．
2．如图，已知抛物线和线段，点和点的坐标分别为，，将线段向下平移个单位长度后与抛物线有两个交点，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数，一元二次方程根的判别式的运用个，理解函数的平移，二次函数交点的含义是关键．
根据题意可得直线的解析式为，联立方程得，，整理得，，根据根的判别式得到，由二次函数与轴的交点可得当线段平移到二次函数与轴交点处仍有两个交点，即，由此即可求解．
【详解】解：线段，点和点的坐标分别为，，
∴直线的解析式为，
将线段向下平移个单位长度后得到的解析式为，
∵平移后与抛物线有两个交点，
∴联立方程得，，整理得，，
∴，
解得，，
在二次函数中，令，则，
∴当线段平移到二次函数与轴交点处仍有两个交点，即，
∴，
故答案为： ．
3．如图，抛物线经过点，，点P是抛物线的顶点．
(1)求a，m的值及点P的坐标；
(2)将抛物线平移，使其顶点落在x轴上，得到抛物线．
①直接写出抛物线平移的最短路程及此时抛物线的顶点坐标；
②在①的条件下，抛物线上有一个动点Q，其横坐标为，当时，点Q路径的最高点和最低点的纵坐标之差为2，求n的取值范围．
【答案】(1)，，顶点坐标
(2)①抛物线平移的最短路程为，此时抛物线的顶点坐标 ② n的取值范围
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的平移，掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）先根据二次函数的对称求出的值，然后配方得到顶点坐标，再把代入解析式求出m值即可；
（2）①根据抛物线上线平移距离最小解答即可；
②分为，，三种情况，利用函数的增减性得到最大值与最小值的差列方程解答即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，
∴对称轴为直线，
解得，
∴，
把代入得，
当时，，
∴顶点坐标为；
（2）解：①当抛物线向上平移时，平移距离最小，设平移个单位，
设平移后的抛物线解析式为，
则，解得，
这是函数解析式为，
∴抛物线平移的最短路程为，此时抛物线的顶点坐标；
②解：根据对称轴，可知的函数值与的函数值相等，且函数值为；
当时，时取得最大值为，时取得最小值为，
∴，解得（舍去）或（舍去）；
当时，的函数值最大为；时取得最小值为，
这时点Q路径的最高点和最低点的纵坐标之差为2；
当时，时取得最小值为，的函数值最大为；
∴，解得：（舍去），
综上所述，n的取值范围．
4．在平面直角坐标系中，设二次函数，
(1)若函数图象的顶点为且过点，求该函数表达式．
(2)在（1）的条件下，将函数图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，点是否在新的函数图象上？若在，请求出t的值；若不在，请说明理由．
(3)设函数的对称轴为直线，点在函数图象上，将函数向右平移两个单位后得到一个新的函数，点在新的函数图象上． 当时，若对于，都有，直接写出m的取值范围： ．
【答案】(1)
(2)不在；理由见解析
(3)或
【分析】（1）由题意得，把点代入可求得，即可求得答案；
（2）由平移得，把点代入，整理得，利用根的判别式可得，即可得出答案；
（3）运用函数图象平移及二次函数的性质列不等式组求解即可．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，抛物线的平移变换，一元二次方程根的判别式，不等式组等，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
【详解】（1）解：∵函数图象的顶点为，
∴设，
把点代入，得，
解得：，
∴，
即．
（2）解：将函数的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新函数的表达式为：，
把点代入，得：，
整理得：，
∵，
∴原方程没有实数解，
∴点不在新的函数图象上．
（3）解：∵原函数的对称轴为直线，
∴将函数向右平移两个单位后，新函数的对称轴变为，
又∵点在原函数的图象上，点在新的函数图象上，且当时，对于，都有，
∴，
即，
解得：，
或，
即，
解得，
故答案为：或．
5．如图，二次函数的图象与轴交于点，两点，与轴交于点，其对称轴是直线，点的坐标为．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点向上平移个单位长度，向左平移个单位长度，恰好落在的图象上，求的值；
(3)当时，若二次函数的最大值和最小值的差为，求的值．
【答案】(1)二次函数的表达式为；
(2)的值为；
(3)的值为或．
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，点的平移，二次函数图象的性质，掌握知识点的应用及分情况讨论思想是解题的关键．
（）利用待定系数法得出，求出即可；
（）先求出点，由题意得平移后的坐标恰好落在的图象上，然后代入求值即可；
（）分当时，当时，当时，当时四种情况分析即可．
【详解】（1）解：∵对称轴是直线，点在抛物线上，
∴，解得：，
∴二次函数的表达式为；
（2）解：由（）得二次函数的表达式为，
∴当时，，
解得：，，
∴点，
∴点向上平移个单位长度，向左平移个单位长度后点的坐标为，
∵平移后的坐标恰好落在的图象上，
∴，
整理得：，
解得：，（舍去），
∴的值为；
（3）解：由（）得二次函数的表达式为，
当时，
当时，有最大值，当时，有最小值，
∴，
解得：；
当时，
当时，有最大值，当时，有最小值，
∴，
解得：（舍去），（舍去）；
当时，
当时，有最大值，当时，有最小值，
∴，
解得：（舍去），（舍去）；
当时，
当时，有最大值，当时，有最小值，
∴，
解得：；
综上可知：的值为或．
题型3 待定系数法求二次函数解析式
【例3】．已知二次函数（a为常数，且）经过点．
(1)求该二次函数图象的表达式；
(2)当时，x的取值范围是______；
(3)当时，求y的最大值与最小值的差．
【答案】(1)
(2)或
(3)9
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、求二次函数的最值是关键．
（1）利用待定系数法解答即可；
（2）根据抛物线与x轴的交点及其开口方向即可得到答案；
（3）分别求出最大值和最小值即可得到答案．
【详解】（1）解：二次函数经过点，
∴将点代入函数表达式中，可得：
解得．
将代入原二次函数表达式中，
可得．
（2）当，
所以时，或
（3）
由此可知该二次函数的对称轴为直线，且二次项系数，所以函数图象开口向上．因为函数图象开口向上，对称轴为直线，且，所以当时，y取得最小值，
．
求y的最大值：分别计算和时y的值：当时，；当时，．比较和5的大小，可得，
当时，y取得最大值，．
y的最大值与最小值的差为：．
针对训练3
1．关于的二次函数（是常数）的图象经过点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若二次函数的图象经过，
①当时，，求的值；
②若，，恒有，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；
（1）将代入，待定系数法求解析式，即可求解；
（2）①根据抛物线的对称轴为直线，，可得，代入解析式，即可求解；
②分和两种情况，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解．
【详解】（1）解：将代入得，
解得：
∴二次函数的表达式为：；
（2）解：①的对称轴为直线
∵当时，，
∴
当时，；
②解：抛物线的对称轴为直线，
当时，此时恒成立；
当时，，
解得;，
综上所述，时，恒有，
2．已知二次函数经过点与．
(1)求b，c的值．
(2)若该抛物线经过点，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特点，正确求出二次函数解析式是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所求可得函数解析式，再把点P坐标代入函数解析式中计算求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数经过点与
∴，
∴；
（2）解：由（1）得抛物线解析式为，
∵该抛物线经过点，
∴，
解得．
3．已知抛物线经过点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点，在该抛物线上．
①若，时，求的值；
②若，求的最大值．
【答案】(1)
(2)①或②3
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）①根据，，得到，，代入解析式进行求解即可；
②根据，得到，，代入解析式后，得到关于的函数解析式，利用二次函数的性质，求最值即可．
【详解】（1）解：把代入，得：，
∴，
∴；
（2）①当，时，则：，，代入，得：
，整理，得：，
解得：或；
②时，则：，，
∴，
整理，得：，
∴当时，有最大值为3．
4．已知二次函数的图象经过点．
(1)求该二次函数的表达式．
(2)将点向左平移多少个单位长度后，恰好落在该二次函数的图象上？
(3)当时，该函数的最大值与最小值之差为，当时，该函数的最大值与最小值之差为．若，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)左平移1个或9个单位长度
(3)或
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、坐标的平移、二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设点向左平移个单位长度后，得到的点恰好落在该二次函数的图象上，再代入二次函数计算即可得解；
（3）画出该二次函数的图象，结合函数即可得解．
【详解】（1）解：将点代入，得，
解得．
该二次函数的表达式为．
（2）解：设点向左平移个单位长度后，得到的点恰好落在该二次函数的图象上，
，
解得或．
点向左平移1个或9个单位长度后，恰好落在该二次函数的图象上．
（3）解：画出该二次函数的图象如解图所示，
由图象可知，当或时，有，
或．
．
5．如图，抛物线经过点、，与轴交于点，点是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)求四边形的面积；
(3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出，，连接，再根据计算即可得解；
（3）当时，记函数的函数值为，由题意可得抛物线开口向上，且对称轴，再分三种情况，分别利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：把、代入解析式，得，
解得，
函数的表达式为：．
（2）解：函数表达式配方得，
顶点
当时，，
连接，
；
（3）解：当时，记函数的函数值为，
，抛物线开口向上，且对称轴，
①当时，，，
，即，解得，
；
②当时，，，
，符合题意；
③当时，，，
，
解得，，（舍）．
综上所述，n的取值范围为．
【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数综合—面积问题、二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键．
题型4 根据二次函数性质判断系数符号
【例4】．如图是二次函数，，是常数，图象的一部分， 经过点，且与y轴的交点在点与之间，函数图象的对称轴为直线．下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的知识点是二次函数图像与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是熟练的掌握二次函数图像与系数的关系．
根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y轴交点位置求得a、b、c的符号；根据对称轴求出；把代入函数关系式，结合图象判断函数值与0的大小关，根据二次函数与y的交点得到，进而求解即可．
【详解】对称轴为直线，经过点，
抛物线与轴的另一个交点为，
，
，故A选项错误；
，
，
，故B选项错误；
抛物线的开口向上，
，
当时，，
，
，
，故C选项错误；
抛物线与轴的交点在点与之间，
，
当时，，
，
，
，
，
，故D选项正确，
故选：D．
针对训练4
1．如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，对称轴为直线．则下列结论中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
由函数图象可得，，得出，即可判断A；根据对称轴得出，再结合当时，，即可判断B、C；当时，，即可判断D．
【详解】解：由图象可知，，，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，故选项A不符合题意；
当时，，
∵，
∴，
∴，即，故选项B不符合题意；
∵，
∴，故选项C不符合题意；
当时，，故选项D符合题意；
故选：D．
2．已知二次函数与正比例函数的图象如图所示，则函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了反比例函数与二次函数综合，正确读懂的函数图象是解题的关键．
由已知函数图象，判断出，，，即可得函数的图象方向和对称轴，再求出与函数图象与轴的交点的横坐标，即可解得．
【详解】解：由已知函数图象得，，，，
∴函数的图象开口向上，，
即其图象的对称轴直线在轴的左侧．
∵二次函数与正比例函数的图象交点的横坐标为，，
∴二次函数与正比例函数的图象交点的横坐标为，，
∴方程的两根为，，
∴函数的图象与轴的交点的横坐标为，．
故选B．
3．如图是抛物线的一部分，抛物线的对称轴为直线，有以下5个结论：
①； ②； ③；
④ ⑤，
其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【分析】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系， 根据函数图像可知：，，由对称轴直线可知，可得出，进而可判断①②，由二次函数的对称性可判断③，当时，，结合可判断④，由二次函数的最大值可判断⑤．
【详解】解：根据函数图像可知：，，
∵，
∴，
∴，故①正确，
，故②正确，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴当和时，y值相等，且当时，，
即，故③正确，
当时，，
∵
∴，
∴
即
∴，故④正确，
∵抛物线开口向下，对称轴为，
∴当时，y有最大值，
当时，，
∴
∴，故⑤正确，
综上：①②③④⑤正确，
故选∶D
4．如图，已知抛物线的对称轴是直线，与轴的一个交点位于和之间，则以下结论错误的是（ ）
A．
B．
C．若点和在该抛物线上，则
D．若，则关于的一元二次方程有两个不相等实数根
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解决本题的关键是熟知抛物线的开口方向、对称轴判断的方法，正确判断、、的取值范围；根据二次函数各项系数的取值范围逐项判断正误即可．
【详解】解：抛物线开口向下，
，
抛物线的对称轴是直线，
，
，
抛物线与轴的交点在轴的正半轴，
，
，
故A选项正确；
抛物线的对称轴是直线，
，
，
，
故B选项正确；
点和在该抛物线上，
，，
又，
，
故C选项错误；
把一元二次方程整理，
可得：，
，
，
，
，
，
又，
，
若，则关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
故D选项正确．
故选：C ．
5．如图，抛物线（a，b，c是常数，）与x轴交于A、B两点，顶点．给出下列结论，正确的有（ ）
①；②；③若点，，在抛物线上，则；④关于x的方程有实数解，则；⑤当时则．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程等知识，由抛物线开口向上，与轴的负半轴相交，得到，由图象可知，抛物线的对称轴在轴的右侧，可得，可判断①，由图象可知，当时，，可判断②，根据抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小可判断③，由抛物线与直线有交点，方程有解，，则有实数解，要使有实数解，则，可判断④，过点作轴于点，可得是等腰直角三角形，则，设，，由根与系数的关系得到，则，得到，再得到，所以，即，设，则，解得，则可判断⑤，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线开口向上，与轴的负半轴相交，
∴，
由图象可知，抛物线的对称轴在轴的右侧，
∴，
∴，
∴，故①符合题意；
由图象可知，当时，，
∴，故②不符合题意；
若点，，在抛物线上，根据抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小和图象可知，，故③不符合题意；
∵抛物线与直线有交点，方程有解，，
∴有实数解，
要使有实数解，
∴，故④不符合题意；
过点作轴于点，如图：
由抛物线的对称性可知，，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点是抛物线的顶点，
∴，，
∵抛物线开口向上，
∴，
∴，
又∵，
∴，即，
设，
∴，
解得：，
∴，故⑤符合题意，
综上，符合题意的有，共个，
故选：C．
题型5 二次函数与一次函数综合
【例5】．如图1，已知直线与x轴、y轴分别交于B，C两点，抛物线经过点B，C交x轴于另一点A，点P为x轴上方抛物线上一动点（不与点C重合），设点P横坐标为m．
(1)填空：B（___，___），C（___，___），抛物线的解析式为______；
(2)过点P作轴，交直线于点M，当时，求点P的横坐标；
(3)过点P作x轴的平行线交直线于点Q，线段的长记为d，求d关于m的函数．
【答案】(1)3，0，0，3，
(2)点P的横坐标为：1或2或
(3)
【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数的综合，涉及求点的坐标与函数解析式等知识点，综合运用“数形结合”的思想是解题的关键．
（1）分别令横纵坐标为0，并结合一次函数的解析式即可求得点B与点C的坐标；利用待定系数法即可求得二次函数的解析式．
（2）先表示出点P与点M的纵坐标，然后用点P与点M的纵坐标之差的绝对值等于2建立二次方程并求解，最后再结合m的取值范围即可确定点P的横坐标．
（3）先根据平行于x轴的纵坐标相等建立方程，然后求得点Q的横坐标，然后用点P与点Q横坐标之差的绝对值表示出线段PQ，再结合m的取值范围分段写出d关于m的函数．
【详解】（1）解：在直线中，令，得；令，得,即，
故，将两点的坐标代入中得：
解得：
∴抛物线的解析式为
故答案为：3，0，0，3，．
（2）设点P的横坐标为m，则，即：，
∴或
解方程得，或；
解方程得，
因点P位于x轴的上方，故，解得：，
因，故不合题意舍去．
故点P的横坐标为：1或2或．
（3）解：如图，
∵点P的横坐标为m，且点P在抛物线上，
∴点P的纵坐标为，
∵直线轴，
∴点Q的纵坐标也为，
设点Q的横坐标为a，因点Q在直线上，
∴，解得：，
即点Q的横坐标为，
∴，
∵点P与点C不重合，则，又，
∴当时，，
当时，，
故d关于m的函数为：．
针对训练5
1．已知二次函数与一次函数的图象相交于A、B两点，如图所示，其中．
(1)请求出以上两个函数的解析式；
(2)求点B的坐标；
【答案】(1)一次函数表达式为，二次函数的解析式为
(2)
【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，解题的关键是正确的求出点B的坐标．
（1）代入点A的坐标可求出直线与抛物线的解析式；
（2）两个函数解析式联立即可求解B点坐标．
【详解】（1）解：∵一次函数的图像相过点，
∴，解得，
∴一次函数表达式为，
∵过点，
∴，解得，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：由一次函数与二次函数联立可得，
解得，，
．
2．二次函数的图象经过点．
(1)求二次函数的对称轴；
(2)当点坐标为时，
①求出此时二次函数的表达式；
②求出此时函数图像与直线的交点坐标．
【答案】(1)直线
(2)①②和
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的性质，一次函数与二次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
（1）根据二次函数的性质进行解答即可；
（2）①用待定系数法求出二次函数解析式，然后求出二次函数的顶点坐标即可．
②联立一次函数与二次函数解析式求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：二次函数的对称轴为：
直线．
（2）解：将点代入二次函数得：，
解得：，
二次函数的表达式为：．
②联立方程组，
解得：或，
则二次函数图像与直线的交点坐标为和，
3．已知一次函数和二次函数图象交于两点A，B两点，且它们的横坐标分别是3，．
(1)求一次函数的解析式．
(2)设二次函图象的顶点为C，求得面积．
【答案】(1)
(2)2
【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数交点问题，求一次函数解析式，三角形的面积，解题的关键是求出点、的坐标．
（1）根据A、B两点的横坐标求出A、B的坐标，然后将A、B两点的坐标代入一次函数关系式，求出一次函数的关系式即可；
（2）画出图象，然后求出，然后利用代数求解即可．
【详解】（1）解：∵A、B两点在上，横坐标分别是3、，
∴把，分别代入得：，，
∴A、B两点的坐标分别为：，，
把，代入得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：如图所示，
二次函数的顶点坐标为
当时，
∴
∴
∴
．
4．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于和B两点，与y轴交于点C．
(1)求C点的坐标；
(2)连接，D为抛物线上一点，当时，求点D的坐标．
【答案】(1)C点的坐标为
(2)D点的坐标为
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式、二次函数和一次函数的交点问题等知识．
（1）把代入抛物线解析可得．即可求出点C的坐标；
（2）设与轴的交点为，由得到，则，求出，则，在中，，求出，得到，求出直线的解析式为，联立一次函数和二次函数解析式求出，即可得到答案．
【详解】（1）解：将代入抛物线解析可得：
解得：．
∴，
当时，，
∴C点的坐标为；
（2）设与轴的交点为，
∵，
∴，
∵，
∴，
由（1）可得：，令，则，
解得：，，
∴，
∴，
在中，，解得：，
∴，
设直线的解析式为，
将代入可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，
解得：（不合题意，舍去）或，
当时，，
∴D点的坐标为：
5．已知抛物线与直线有且只有一个交点，求的值以及交点的坐标．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，根据抛物线与直线有且只有一个交点A，得方程有两个相等的实数根，求出m的值，进而求出交点A的坐标．
【详解】解：由题意得，
整理得：，
∵抛物线与直线有且只有一个交点，
，
解得：，
∴，
解得：，
把代入得，
∴交点A的坐标为．
能力提升 创新拓展
1．在平面直角坐标系中，点，点在抛物线上．设抛物线的对称轴为直线．
(1)当时，
①直接写出与满足的等量关系；
②比较，的大小，并说明理由；
(2)已知点在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围．
【答案】(1)①；②，理由见解析
(2)
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质．
（1）①利用对称轴公式求得即可；②利用二次函数的性质判断即可；
（2）由题意可知点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，据此即可得到 ，解不等式组即可得到答案．
【详解】（1）解：①∵抛物线的对称轴为直线，，
∴，
∴；
②，理由如下：
∵抛物线中， ，
∴抛物线开口向上，
∴离对称轴越远函数值越大，
∵点，点在抛物线上，且，
∴；
（2）∵抛物线中， ，
∴函数开口向上，在对称轴右侧，y随x增大而增大，在对称轴左侧，y随x增大而减小，
∵时，都有，
由题意可知，点在对称轴的左侧, 点在对称轴的右侧，
，解得 ，
∴的取值范围是 ．
2．已知二次函数（a是常数）．
(1)当时．
①求二次函数图象的顶点坐标；
②在的范围内，求y的取值范围．
(2)当a取值为时，二次函数的最大值相等，此时是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)①；②
(2)是，
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；
（1）①把代入二次函数解析式，然后配成顶点式，进而问题可求解；②根据二次函数的性质可进行求解；
（2）根据二次函数的最值问题可得，然后进行化简即可求解．
【详解】（1）解：①把代入得：，
∴，
∴该二次函数的顶点坐标为；
②由①可知：，开口向下，
∴当时，有最大值，最大值为3，
当时，则，当时，则，
∴当时，y的取值范围为；
（2）解：是定值，理由如下：
由可知：开口向下，最大值为，
∴当时，最大值为，当时，最大值为，
∴
∴．
3．已知二次函数．
(1)若函数经过，求二次函数的解析式；
(2)若点，点均在函数图象上，求t的值；
(3)当时，函数最大值为7，求m的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性，最值问题，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）将代入，解方程即可；
（2）可知，关于对称轴对称，然后根据对称性求解即可；
（3）分两种情况讨论，根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：将代入得，
解得：，
；
（2）解：∵点，点均在函数图象上，
∴，关于对称轴对称，
∵，
∴，
解得：．
（3）解：①时，，且，
∴时，，
解得：．
②时，，
∴时，，
解得：．
综上所述，或．
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典例精讲2
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典例精讲4
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