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浙江省杭州市临安区2025年4月中考一模数学试卷
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025·临安模拟）2025的相反数是（　　）
A．-2025 B． C． D．2025
2．（2025·临安模拟）据统计中国2024年常住人口出生人数约为9540000人，将数据9540000用科学记数法表示（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·临安模拟）如图为食堂“光盘行动”宣传标语展板，则下列选项中属于左视图的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·临安模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025·临安模拟）某学生的数学总评成绩由作业（10%），期中考试（30%）和期末考试（60%）组成.该生作业得90分，期中考试得80分，期末考试得80分，则他的总评成绩是（　　）
A．80分 B．81分 C．82分 D．83分
6．（2025·临安模拟）如图，在平面直角坐标系中，正与正是以原点O为位似中心的位似图形，且面积比为1：9，点A，B，D均在x轴上，若点C的坐标为，则点E的坐标为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·临安模拟）《算法统宗》是我国明朝数学家程大位的数学著作，书中有一道“僧分馒头”的问题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”译文为：100个和尚分100个馒头，大和尚每人吃3个馒头，3个小和尚吃1个馒头，问大和尚与小和尚分别有多少人.设大和尚x人，小和尚y人，下列方程组列式正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025·临安模拟）如图，菱形ABCD和菱形CEFG中，，AB=2，CE=4，点P在边GF上，点Q在边CE上，PF=CQ，连结AC和PQ，M，N分别是AC，PQ的中点，则MN的长为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·临安模拟）已知一次函数与反比例函数的图像交于A，B两点，与y轴交于点（0，），当时，总有，则的值可以为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·临安模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，，点E是边AD的中点，点N在边BC上，且，连结EN交AC于点H，连结DH，若，则DH=（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分
11．（2025·临安模拟）因式分解： 　 　．
12．（2025·临安模拟）若，则　 　.
13．（2025·临安模拟）为弘扬科学精神，提高学生的科学文化素养，某校开展黑板报评比活动，确定“机器人”，“DeepSeek”和“豆包”三个主题，若七年级1班和七年级2班两个班随机选择其中一个主题出黑板报，则这两个班选择同一主题的概率是　 　.
14．（2025·临安模拟）如图，在中，点D为弧AB的中点，CD为的直径，交于点E，连结CE.若，则　 　.
15．（2025·临安模拟）已知二次函数的图象与x轴有两个不同交点，，且，则n的取值范围是　 　.
16．（2025·临安模拟）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D为AB延长线上一点，AB：AD=3：5，过D作CB所在直线的垂线，垂足为E，连结CD，F为DC中点，则线段EF的长是　 　.
三、解答题：本大题有8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（2025·临安模拟）
（1）化简：
（2）解不等式组：
18．（2025·临安模拟）
（1）如图1，长为3米的单梯倚靠墙角，测得地面与单梯的夹角为60°，则此时单梯的顶端距离地面的高度为多少米？（结果保留根号）
图1
（2）现有家用可折叠双梯（如图2），已知该双梯撑开使用时，张开角度为40°，两底端距离为1米，则此时双梯顶端距离地面的高度为多少米？（结果精确到0.1米，可参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
图2
19．（2025·临安模拟）为了解学生科学实验操作情况，随机抽取甲、乙两名同学的10次实验得分，并对他们的得分情况从以下两方面整理描述如下：
操作规范性和书写准确性的得分统计表
操作规范性 书写准确性
平均数 方差 平均数 中位数
甲 4 1.8 a
乙 4 b 2
②书写准确性：
书写准确性的得分统计表
实验次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲 1 1 2 2 2 3 1 3 2 1
乙 1 2 2 3 3 3 2 1 2 1
根据以上信息，回答下列问题：
（1）比较甲乙两人“操作规范性”的方差大小。
（2）综合上表的统计量，请从“操作规范性”和“书写准确性”两方面对两名同学的得分进行评价并说明理由，
20．（2025·临安模拟）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E，F分别为边BC，DC上的点，且BE=DF，过F点作AE的垂线交AB于H.
（1）求证：AE=HF.
（2）请写出AH与BE之间的数量关系并证明.
21．（2025·临安模拟）如图，反比例函数图象过点A（-2，a），直线x=4与该反比例函数图象和x轴分别交于点B和点D，连结AD.
（1）求的面积.
（2）若点P（m，n）（m>0）在反比例函数图象上，当PD⊥AD，求点P的坐标.
22．（2025·临安模拟）我们常常把一张A4纸通过折叠的方式得到它的对角线，如图1.折纸活动中，通过点与点重合或边与边重合，才能得到精准的折叠，现有一张A4纸张（矩形ABCD），如图2，设折叠后B'C边与AD边重叠的点为E.
（1）请用尺规作图的方式在图2中画出点E.
（2）根据以上折纸活动的提示，描述折出A4纸（矩形ABCD）对角线的两个步骤.
23．（2025·临安模拟）药碾子是传统的碾药工具，从东汉时期沿用至今.如图1，碾槽外轮廓的上沿和下沿可近似看作两条抛物线的部分.如图2，上沿和下沿的两个交点分别为点O和点A，点O与点A到地面的距离相等，OA=8dm，以OA所在直线为x轴，过点O且垂直于OA的直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，上沿抛物线的顶点为H（4，），下沿抛物线的顶点为P，上沿抛物线的顶点H比P点高.
（1）求出上沿抛物线的函数表达式.
（2）点B是支撑架与下沿抛物线的交点，过点B作于点D，交上沿抛物线于点E，，求点B的坐标.
24．（2025·临安模拟）如图1，AE是的直径，，，.
图1
（1）求证：.
（2）连结AD交于K，连结BK，求证：BK平分.
（3）如图2，M为ED上一点，连结AM交于F，过F作交ED于G，，若，，，求FG的长.
图2
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解： 2025的相反数是-2025.
故答案为：A.
【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数，互为相反数，即可作答.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 9540000= 9.54×106
故答案为：C.
【分析】 根据科学记数法的基本形式，a×10n，其中a必须满足1≤a<10，指数n等于原数的整数位数减1，即可解答.
3．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：该宣传标语展板的左视图是一个等腰三角形
故答案为：B.
【分析】根据三视图的定义， 左视图是从物体左侧正投影得到的视图 ，即可解答.
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，故原式计算不正确；
B．，故原式计算不正确；
C．，原式计算正确；
D．，故原式计算不正确；
故答案为：C.
【分析】根据同底数幂的除法，幂的乘方，乘法公式逐项分析即可．
5．【答案】B
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：总评成绩为（分）
故答案为：B.
【分析】利用加权平均数的公式进行求解即可．
6．【答案】C
【知识点】图形位似变换的点的坐标特征；相似三角形的性质-对应面积；位似图形的性质
【解析】【解答】解：正与正是以原点为位似中心的位似图形，且面积比为，
∴，
∴相似比为，
∵点的坐标为，
∴点的坐标为，即，
故答案为：C.
【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，即可求得答案．
7．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵100个和尚分100个馒头，大和尚每人吃3个馒头，3个小和尚吃1个馒头，且结合大和尚人，小和尚人，
∴，
故答案为：D.
【分析】根据100个和尚分100个馒头，大和尚每人吃3个馒头，3个小和尚吃1个馒头，且结合大和尚人，小和尚人，进行列出方程组，即可作答．
8．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接交于，连接，
∵四边形和四边形都是菱形，
∴，，
∴是等边三角形，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴；
∵为的中点，
∴，
∴，
∴；
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴点R为的中点，即点R与点N重合，
∴，
故答案为：D.
【分析】连接交于，连接，证明是等边三角形，得到；再证明，由菱形的性质易证明，得出点R为的中点，即点R与点N重合，再由 AB=2，求出CM后， 利用勾股定理求解即可．
9．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：一次函数与轴交于点，
，
时，，
，即，
，
当时，，
，
，
，
四个选项，只有选项B符合条件．
故答案为：B.
【分析】将代入一次函数解析式得，再由反比例函数图象及性质判断出的范围，从而求得的范围，即可解答.
10．【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，点E是边的中点，
∴，
∵，
设，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图，延长交于点G，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：A.
【分析】根据题意及矩形的性质，设，得，所以，根据勾股定理得，然后由，得出，根据相似三角形对应边成比例解出，得，延长交于点G，可得，对应边成比例，证出是等腰直角三角形，最后由勾股定理和相似三角形对应边成比例即可解答.
11．【答案】a(a-1)(a+1)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=a（a2-1）=a（a+1）（a-1）
故答案为：a（a+1）（a-1）
【分析】观察多项式的特点：含有公因式a，因此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式。
12．【答案】x=-2
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：，
两边都乘以，得，
解得，
检验：当时，，
∴是分式方程的解．
故答案为：．
【分析】将分式方程两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可．
13．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：把“机器人”，“”和“豆包”三个主题分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中七年级1班和七年级2班恰好选择同一个主题的结果有3种，
∴七年级1班和七年级2班恰好选择同一个主题的概率为．
故答案为：．
【分析】根据题意画出树状图，共有9种等可能的结果，其中七年级1班和七年级2班恰好选择同一个主题的结果有3种，再由概率公式求解即可．
14．【答案】50°
【知识点】圆周角定理；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接，
，
，
的度数为，
∵点为弧的中点，为的直径，
∴的度数为，
的度数为，
的度数为的度数减去的度数为，
的度数为的度数减去的度数为，
，
故答案为：．
【分析】接，利用平行线的性质和圆周角定理得出的度数，再利用垂径定理和圆周角定理求出，进而得出的度数，继而得出的度数，即可解答．
15．【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象与轴有两个不同交点，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据二次函数与x轴有两个不同的交点得，求出n的取值范围，再结合一元二次方程的根与系数，得，表示出，因为，解得，即可作答．
16．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：是边长为6的等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
作，则：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵为中点，
∴．
故答案为：．
【分析】作，有，根据等边三角形的性质三线合一，得到，求出的长，进而求出的长，由勾股定理求出的长，再利用斜边上的中线d等于斜边的一般，即可解答．
17．【答案】（1）解：
（2）解：
由①得：，
由②得：，
∴原不等式组的解为
【知识点】二次根式的加减法；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）先运用二次根式的性质化简，再运算减法，即可作答．
（2）分别算出每个不等式的解集，再取它们公共部分的解集，即可作答．
18．【答案】（1）解：由题可知墙角为90°，∴另一端距离地面的高度=3×sin60°=米
（2）解：由题可知双梯可抽象为腰三角形，
由等腰三角形三线合一可知，双梯顶端距离地面的高度=0.5÷tan20°≈1.4米
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】
（1）直接利用直角三角形中，正弦函数的定义求解即可；
（2）利用等腰三角形的三线合一构造出直角三角形，再根据直角三角形中角的正切值即可求出结果．
19．【答案】（1）解：由图①来看，很明显甲的波动幅度要大于乙的波动幅度，；
（2）解：由题干可知甲中位数：，
∴；
乙的平均数；
情况①从操作规范性来分析，甲和乙的平均得分相等，但是乙的方差小于甲的方差，
所以乙在物理实验操作中发挥较稳定；
或：情况②从书写准确性来分析，乙的平均得分比甲的平均得分高，
所以乙在物理实验中书写更准确；
或：情况③从两个方面综合分析，乙的操作更稳定，并且书写的准确性更高，
所以乙的综合成绩更好．（言之有理即可）
【知识点】折线统计图；常用统计量的选择；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【分析】
（1）根据图表及方差定义即可判断；
（2）根据中位数平均数的概念分别求出，j结合表中的统计量，对两名同学的得分进行评价，理由合理即可．
20．【答案】（1）证明：过H点作交CD于G.
∵正方形中，
，，.
，
.
又可易证四边形BCGH为矩形，
，，，
，，，
（2）解：，
证明过程如下：
∵正方形中，
∴，
又
∴
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴，
∴．

【知识点】三角形全等的判定；矩形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【分析】（1）过点作交于．先证明四边形为矩形，再根据证明即可；
（2）证明四边形为矩形得，证明得，，证明得，进而可得出结论．
21．【答案】（1）解：∵反比例函数图象过点，
∴，
∴，
∴，
把代入，
得，
∴，
∴，
连接，
∴；
（2）解：∵直线与该反比例函数图象和轴分别交于点和点，连结．
∴，
设直线的解析式为，
∵，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
故令时，则，
∴，
如图，，过点作的延长线，
设，
则：
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
解得，．
经检验：，都是原方程的解，
则
或．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；一元二次方程的求根公式及应用；反比例函数的两点一垂线型；等角代换法求锐角三角函数值
【解析】【分析】（1）由反比例函数图象上点的特征，代入解析式求出，，得出，连接，运用三角形面积公式计算即可．
（2）运用待定系数法求出直线的解析式为，求出与y轴交点W，得出，运用余角的性质得，，即，，整理得，解得，，经检验：，都是原方程的解，即可解答．
22．【答案】（1）解：连结AC，作AC的垂直平分线，与AD的交点即为点E
（2）解：①将该纸张进行第一次折叠，使对角的顶点A与C重叠，得到折痕，折痕与纸张两边的交点记为E和F：
②再将纸张进行第二次折叠，使E，F两点重合，得到折痕，则该折痕为矩形的对角线.
【知识点】线段垂直平分线的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】
（1）根据矩形的性质及折叠的性质，判断出E在AC的垂直平分线上，作的垂直平分线，与的交点即为点；
（2）根据矩形和折叠的性质，分两步操作，即可得到答案．
23．【答案】（1）解：∵上沿抛物线的顶点为
设上沿抛物线的顶点式为
∵上沿抛物线过点 ，代入顶点式得
解得
上沿抛物线的表达式为
（2）解：∵上沿抛物线的顶点H比P点高dm
∴P点纵坐标为，P点的坐标为(4，-4)
设下沿抛物线的顶点式为
∵下沿抛物线过点(0，0)，代入顶点式得
解得
下沿抛物线的表达式为
∵dm
∴
当时，
解得x=2，或x=6，代入下沿抛物线表达式得y=-3
故点的坐标为或．
【知识点】二次函数的其他应用；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】
（1）根据上沿抛物线的顶点为H（4，）及经过原点，利用二次函数顶点解析式即可求解；
（2）根据条件求出下沿抛物线解析式，利用，列出一元二次方程，即可解答．
24．【答案】（1）证明： 是 的直径
又 ，
（2）证明：
，
平分
（3）证明：连结 EF，
，
∴弧BE=弧EF
∵AE是的直径
∴弧AB=弧AF
∵AB=3
∴AF=AB=3
∵ME=ME
∴由△AEF∽△EMF，可得，则
【知识点】三角形全等的判定；圆周角定理；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据“边角边”证明，由全等三角形的性质得，据此即可证明；
（2）由得到，求得，利用圆周角定理求得，据此即可证明平分；
（3）连结，证明，得到，，再证明，求得，由，利用相似三角形的性质即可求解．
1 / 1浙江省杭州市临安区2025年4月中考一模数学试卷
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025·临安模拟）2025的相反数是（　　）
A．-2025 B． C． D．2025
【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解： 2025的相反数是-2025.
故答案为：A.
【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数，互为相反数，即可作答.
2．（2025·临安模拟）据统计中国2024年常住人口出生人数约为9540000人，将数据9540000用科学记数法表示（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 9540000= 9.54×106
故答案为：C.
【分析】 根据科学记数法的基本形式，a×10n，其中a必须满足1≤a<10，指数n等于原数的整数位数减1，即可解答.
3．（2025·临安模拟）如图为食堂“光盘行动”宣传标语展板，则下列选项中属于左视图的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：该宣传标语展板的左视图是一个等腰三角形
故答案为：B.
【分析】根据三视图的定义， 左视图是从物体左侧正投影得到的视图 ，即可解答.
4．（2025·临安模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，故原式计算不正确；
B．，故原式计算不正确；
C．，原式计算正确；
D．，故原式计算不正确；
故答案为：C.
【分析】根据同底数幂的除法，幂的乘方，乘法公式逐项分析即可．
5．（2025·临安模拟）某学生的数学总评成绩由作业（10%），期中考试（30%）和期末考试（60%）组成.该生作业得90分，期中考试得80分，期末考试得80分，则他的总评成绩是（　　）
A．80分 B．81分 C．82分 D．83分
【答案】B
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：总评成绩为（分）
故答案为：B.
【分析】利用加权平均数的公式进行求解即可．
6．（2025·临安模拟）如图，在平面直角坐标系中，正与正是以原点O为位似中心的位似图形，且面积比为1：9，点A，B，D均在x轴上，若点C的坐标为，则点E的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】图形位似变换的点的坐标特征；相似三角形的性质-对应面积；位似图形的性质
【解析】【解答】解：正与正是以原点为位似中心的位似图形，且面积比为，
∴，
∴相似比为，
∵点的坐标为，
∴点的坐标为，即，
故答案为：C.
【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，即可求得答案．
7．（2025·临安模拟）《算法统宗》是我国明朝数学家程大位的数学著作，书中有一道“僧分馒头”的问题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”译文为：100个和尚分100个馒头，大和尚每人吃3个馒头，3个小和尚吃1个馒头，问大和尚与小和尚分别有多少人.设大和尚x人，小和尚y人，下列方程组列式正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵100个和尚分100个馒头，大和尚每人吃3个馒头，3个小和尚吃1个馒头，且结合大和尚人，小和尚人，
∴，
故答案为：D.
【分析】根据100个和尚分100个馒头，大和尚每人吃3个馒头，3个小和尚吃1个馒头，且结合大和尚人，小和尚人，进行列出方程组，即可作答．
8．（2025·临安模拟）如图，菱形ABCD和菱形CEFG中，，AB=2，CE=4，点P在边GF上，点Q在边CE上，PF=CQ，连结AC和PQ，M，N分别是AC，PQ的中点，则MN的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接交于，连接，
∵四边形和四边形都是菱形，
∴，，
∴是等边三角形，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴；
∵为的中点，
∴，
∴，
∴；
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴点R为的中点，即点R与点N重合，
∴，
故答案为：D.
【分析】连接交于，连接，证明是等边三角形，得到；再证明，由菱形的性质易证明，得出点R为的中点，即点R与点N重合，再由 AB=2，求出CM后， 利用勾股定理求解即可．
9．（2025·临安模拟）已知一次函数与反比例函数的图像交于A，B两点，与y轴交于点（0，），当时，总有，则的值可以为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：一次函数与轴交于点，
，
时，，
，即，
，
当时，，
，
，
，
四个选项，只有选项B符合条件．
故答案为：B.
【分析】将代入一次函数解析式得，再由反比例函数图象及性质判断出的范围，从而求得的范围，即可解答.
10．（2025·临安模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，，点E是边AD的中点，点N在边BC上，且，连结EN交AC于点H，连结DH，若，则DH=（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，点E是边的中点，
∴，
∵，
设，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图，延长交于点G，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：A.
【分析】根据题意及矩形的性质，设，得，所以，根据勾股定理得，然后由，得出，根据相似三角形对应边成比例解出，得，延长交于点G，可得，对应边成比例，证出是等腰直角三角形，最后由勾股定理和相似三角形对应边成比例即可解答.
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分
11．（2025·临安模拟）因式分解： 　 　．
【答案】a(a-1)(a+1)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=a（a2-1）=a（a+1）（a-1）
故答案为：a（a+1）（a-1）
【分析】观察多项式的特点：含有公因式a，因此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式。
12．（2025·临安模拟）若，则　 　.
【答案】x=-2
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：，
两边都乘以，得，
解得，
检验：当时，，
∴是分式方程的解．
故答案为：．
【分析】将分式方程两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可．
13．（2025·临安模拟）为弘扬科学精神，提高学生的科学文化素养，某校开展黑板报评比活动，确定“机器人”，“DeepSeek”和“豆包”三个主题，若七年级1班和七年级2班两个班随机选择其中一个主题出黑板报，则这两个班选择同一主题的概率是　 　.
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：把“机器人”，“”和“豆包”三个主题分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中七年级1班和七年级2班恰好选择同一个主题的结果有3种，
∴七年级1班和七年级2班恰好选择同一个主题的概率为．
故答案为：．
【分析】根据题意画出树状图，共有9种等可能的结果，其中七年级1班和七年级2班恰好选择同一个主题的结果有3种，再由概率公式求解即可．
14．（2025·临安模拟）如图，在中，点D为弧AB的中点，CD为的直径，交于点E，连结CE.若，则　 　.
【答案】50°
【知识点】圆周角定理；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接，
，
，
的度数为，
∵点为弧的中点，为的直径，
∴的度数为，
的度数为，
的度数为的度数减去的度数为，
的度数为的度数减去的度数为，
，
故答案为：．
【分析】接，利用平行线的性质和圆周角定理得出的度数，再利用垂径定理和圆周角定理求出，进而得出的度数，继而得出的度数，即可解答．
15．（2025·临安模拟）已知二次函数的图象与x轴有两个不同交点，，且，则n的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象与轴有两个不同交点，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据二次函数与x轴有两个不同的交点得，求出n的取值范围，再结合一元二次方程的根与系数，得，表示出，因为，解得，即可作答．
16．（2025·临安模拟）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D为AB延长线上一点，AB：AD=3：5，过D作CB所在直线的垂线，垂足为E，连结CD，F为DC中点，则线段EF的长是　 　.
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：是边长为6的等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
作，则：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵为中点，
∴．
故答案为：．
【分析】作，有，根据等边三角形的性质三线合一，得到，求出的长，进而求出的长，由勾股定理求出的长，再利用斜边上的中线d等于斜边的一般，即可解答．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（2025·临安模拟）
（1）化简：
（2）解不等式组：
【答案】（1）解：
（2）解：
由①得：，
由②得：，
∴原不等式组的解为
【知识点】二次根式的加减法；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）先运用二次根式的性质化简，再运算减法，即可作答．
（2）分别算出每个不等式的解集，再取它们公共部分的解集，即可作答．
18．（2025·临安模拟）
（1）如图1，长为3米的单梯倚靠墙角，测得地面与单梯的夹角为60°，则此时单梯的顶端距离地面的高度为多少米？（结果保留根号）
图1
（2）现有家用可折叠双梯（如图2），已知该双梯撑开使用时，张开角度为40°，两底端距离为1米，则此时双梯顶端距离地面的高度为多少米？（结果精确到0.1米，可参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
图2
【答案】（1）解：由题可知墙角为90°，∴另一端距离地面的高度=3×sin60°=米
（2）解：由题可知双梯可抽象为腰三角形，
由等腰三角形三线合一可知，双梯顶端距离地面的高度=0.5÷tan20°≈1.4米
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】
（1）直接利用直角三角形中，正弦函数的定义求解即可；
（2）利用等腰三角形的三线合一构造出直角三角形，再根据直角三角形中角的正切值即可求出结果．
19．（2025·临安模拟）为了解学生科学实验操作情况，随机抽取甲、乙两名同学的10次实验得分，并对他们的得分情况从以下两方面整理描述如下：
操作规范性和书写准确性的得分统计表
操作规范性 书写准确性
平均数 方差 平均数 中位数
甲 4 1.8 a
乙 4 b 2
②书写准确性：
书写准确性的得分统计表
实验次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲 1 1 2 2 2 3 1 3 2 1
乙 1 2 2 3 3 3 2 1 2 1
根据以上信息，回答下列问题：
（1）比较甲乙两人“操作规范性”的方差大小。
（2）综合上表的统计量，请从“操作规范性”和“书写准确性”两方面对两名同学的得分进行评价并说明理由，
【答案】（1）解：由图①来看，很明显甲的波动幅度要大于乙的波动幅度，；
（2）解：由题干可知甲中位数：，
∴；
乙的平均数；
情况①从操作规范性来分析，甲和乙的平均得分相等，但是乙的方差小于甲的方差，
所以乙在物理实验操作中发挥较稳定；
或：情况②从书写准确性来分析，乙的平均得分比甲的平均得分高，
所以乙在物理实验中书写更准确；
或：情况③从两个方面综合分析，乙的操作更稳定，并且书写的准确性更高，
所以乙的综合成绩更好．（言之有理即可）
【知识点】折线统计图；常用统计量的选择；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【分析】
（1）根据图表及方差定义即可判断；
（2）根据中位数平均数的概念分别求出，j结合表中的统计量，对两名同学的得分进行评价，理由合理即可．
20．（2025·临安模拟）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E，F分别为边BC，DC上的点，且BE=DF，过F点作AE的垂线交AB于H.
（1）求证：AE=HF.
（2）请写出AH与BE之间的数量关系并证明.
【答案】（1）证明：过H点作交CD于G.
∵正方形中，
，，.
，
.
又可易证四边形BCGH为矩形，
，，，
，，，
（2）解：，
证明过程如下：
∵正方形中，
∴，
又
∴
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴，
∴．

【知识点】三角形全等的判定；矩形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【分析】（1）过点作交于．先证明四边形为矩形，再根据证明即可；
（2）证明四边形为矩形得，证明得，，证明得，进而可得出结论．
21．（2025·临安模拟）如图，反比例函数图象过点A（-2，a），直线x=4与该反比例函数图象和x轴分别交于点B和点D，连结AD.
（1）求的面积.
（2）若点P（m，n）（m>0）在反比例函数图象上，当PD⊥AD，求点P的坐标.
【答案】（1）解：∵反比例函数图象过点，
∴，
∴，
∴，
把代入，
得，
∴，
∴，
连接，
∴；
（2）解：∵直线与该反比例函数图象和轴分别交于点和点，连结．
∴，
设直线的解析式为，
∵，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
故令时，则，
∴，
如图，，过点作的延长线，
设，
则：
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
解得，．
经检验：，都是原方程的解，
则
或．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；一元二次方程的求根公式及应用；反比例函数的两点一垂线型；等角代换法求锐角三角函数值
【解析】【分析】（1）由反比例函数图象上点的特征，代入解析式求出，，得出，连接，运用三角形面积公式计算即可．
（2）运用待定系数法求出直线的解析式为，求出与y轴交点W，得出，运用余角的性质得，，即，，整理得，解得，，经检验：，都是原方程的解，即可解答．
22．（2025·临安模拟）我们常常把一张A4纸通过折叠的方式得到它的对角线，如图1.折纸活动中，通过点与点重合或边与边重合，才能得到精准的折叠，现有一张A4纸张（矩形ABCD），如图2，设折叠后B'C边与AD边重叠的点为E.
（1）请用尺规作图的方式在图2中画出点E.
（2）根据以上折纸活动的提示，描述折出A4纸（矩形ABCD）对角线的两个步骤.
【答案】（1）解：连结AC，作AC的垂直平分线，与AD的交点即为点E
（2）解：①将该纸张进行第一次折叠，使对角的顶点A与C重叠，得到折痕，折痕与纸张两边的交点记为E和F：
②再将纸张进行第二次折叠，使E，F两点重合，得到折痕，则该折痕为矩形的对角线.
【知识点】线段垂直平分线的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】
（1）根据矩形的性质及折叠的性质，判断出E在AC的垂直平分线上，作的垂直平分线，与的交点即为点；
（2）根据矩形和折叠的性质，分两步操作，即可得到答案．
23．（2025·临安模拟）药碾子是传统的碾药工具，从东汉时期沿用至今.如图1，碾槽外轮廓的上沿和下沿可近似看作两条抛物线的部分.如图2，上沿和下沿的两个交点分别为点O和点A，点O与点A到地面的距离相等，OA=8dm，以OA所在直线为x轴，过点O且垂直于OA的直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，上沿抛物线的顶点为H（4，），下沿抛物线的顶点为P，上沿抛物线的顶点H比P点高.
（1）求出上沿抛物线的函数表达式.
（2）点B是支撑架与下沿抛物线的交点，过点B作于点D，交上沿抛物线于点E，，求点B的坐标.
【答案】（1）解：∵上沿抛物线的顶点为
设上沿抛物线的顶点式为
∵上沿抛物线过点 ，代入顶点式得
解得
上沿抛物线的表达式为
（2）解：∵上沿抛物线的顶点H比P点高dm
∴P点纵坐标为，P点的坐标为(4，-4)
设下沿抛物线的顶点式为
∵下沿抛物线过点(0，0)，代入顶点式得
解得
下沿抛物线的表达式为
∵dm
∴
当时，
解得x=2，或x=6，代入下沿抛物线表达式得y=-3
故点的坐标为或．
【知识点】二次函数的其他应用；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】
（1）根据上沿抛物线的顶点为H（4，）及经过原点，利用二次函数顶点解析式即可求解；
（2）根据条件求出下沿抛物线解析式，利用，列出一元二次方程，即可解答．
24．（2025·临安模拟）如图1，AE是的直径，，，.
图1
（1）求证：.
（2）连结AD交于K，连结BK，求证：BK平分.
（3）如图2，M为ED上一点，连结AM交于F，过F作交ED于G，，若，，，求FG的长.
图2
【答案】（1）证明： 是 的直径
又 ，
（2）证明：
，
平分
（3）证明：连结 EF，
，
∴弧BE=弧EF
∵AE是的直径
∴弧AB=弧AF
∵AB=3
∴AF=AB=3
∵ME=ME
∴由△AEF∽△EMF，可得，则
【知识点】三角形全等的判定；圆周角定理；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据“边角边”证明，由全等三角形的性质得，据此即可证明；
（2）由得到，求得，利用圆周角定理求得，据此即可证明平分；
（3）连结，证明，得到，，再证明，求得，由，利用相似三角形的性质即可求解．
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