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浙江省金华市义乌市2025年中考二模考试数学试题
一、选择题（请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．（2025·义乌模拟）的相反数是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·义乌模拟）2025年碳中和目标加速推进，下列图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·义乌模拟）我国科学家采用嫦娥六号采回的月球背面样品做出的研究成果揭示了月球背面约28亿年前存在岩浆活动．将数据“28亿”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·义乌模拟）下列运算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·义乌模拟）已知点，在函数的图象上，则（　　）
A． B． C． D．无法确定
6．（2025·义乌模拟）若关于的不等式的解如图所示，则的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（2025·义乌模拟）下表是某小区志愿者们在一次捐款活动中对捐款金额进行的统计：根据表中提供的信息，捐款金额的众数和中位数分别为（　　）
金额（元） 50 80 100 200 500
人数（人） 5 12 10 6 1
A．12元，90元 B．12元，80元 C．80元，90元 D．80元，100元
8．（2025·义乌模拟）某新能源汽车制造厂采用高度自动化的机器人装配技术系统以提高生产效率，平均每小时比技术升级前多装配50辆汽车．现在装配1000辆汽车所需的时间与技术升级前装配800辆汽车所需的时间相同，设技术升级前每小时装配辆汽车，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025·义乌模拟）如图，在四边形中，已知，，，对角线平分，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·义乌模拟）如图，已知线段为半圆的直径，点为半圆上一点，连结，．在线段上取一点，使得，过点作交半圆于点，连结，．设，，若的大小保持不变，当直径的长度变化时，下列关系式中固定不变的是（　　）
A．与的和 B．与的差 C．与的积 D．与的比值
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（2025·义乌模拟）分解因式： =　 　．
12．（2025·义乌模拟）若分式的值为，则　 　．
13．（2025·义乌模拟）已知一个不透明的布袋里装有4个黑球和3个白球，它们除颜色外都相同.从中任意摸出一个球，恰好摸到黑球的概率是　 　．
14．（2025·义乌模拟）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴交轴于点，轴交轴于点，连结．若矩形的周长为8，对角线的长为，则的值为　 　．
15．（2025·义乌模拟）如图，已知点是正六边形内一点，连结，，，．若，，则的长为　 　．
16．（2025·义乌模拟）如图1，在平行四边形中，，．点、分别是线段、上的点，连结、、．将和分别沿、翻折，使点的对应点和点的对应点都落在对角线上，连结、．
（1）如图2，若，则的值为　 　．
（2）若为钝角，延长交射线于点且，则的值为　 　．
三、解答题（本题有8小题，共72分）
17．（2025·义乌模拟）计算：
18．（2025·义乌模拟）先化简，再求值：，其中
19．（2025·义乌模拟）尺规作图问题：如图1，已知点是的其中一边上一点，用尺规作图方法作，．
（1）连接，根据作图痕迹，请说明平分．
（2）如图2，以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接．求证：四边形是菱形．
20．（2025·义乌模拟）随着新能源汽车数量的不断增多，人们对公共充电桩的需求量也逐渐增大．为了解用户认可度较高的充电桩品牌，现随机抽取部分充电桩企业品牌进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
A：星星充电 B：特来电 C：云快充 D：小桔充电 E：国家电网
（1）此次调查中，各企业投放充电桩的总量为________万台，扇形的圆心角为________度．
（2）某小区将装50台公共充电桩，业主委员会挑选了男、女业主各两名，在这四名业主中随机抽取两名到各品牌旗下店作咨询，请用列树状图或列表的方法求出恰好抽到男、女业主各1名的概率．
21．（2025·义乌模拟）如图，在中，已知，，，点在上．连结，过点作交于点，交于点．
（1）求证：．
（2）过点作交于点，若，求的长．
22．（2025·义乌模拟）如图1，学校在元元家和书店之间，哥哥到学校接元元去参加书店的读书分享会．哥哥到学校时发现入场券落在家里了，于是哥哥从学校匀速骑车去家里拿入场券（同时元元从学校匀速步行前往书店），到家后停留了一段时间，之后再以原速前往书店．哥哥追上元元后载上他仍以原速一同前往书店（停车载人时间忽略不计）．如图2是哥哥和元元两人距学校的距离（米）与时间（分）之间的函数关系．
（1）请直接写出哥哥与元元两人的速度（米/分）．
（2）根据图象信息，请求出与的值．
（3）求出经过多少时间后，哥哥与元元恰好相距648米．
23．（2025·义乌模拟）已知抛物线．
（1）若点在抛物线上，
①求此抛物线的解析式及顶点坐标．
②已知点，的坐标分别为，，连结，若线段与抛物线只有一个公共点，求的取值范围．
（2）已知点，是抛物线上的两点，若对于，都有，求的取值范围．
24．（2025·义乌模拟）如图，在中，，点P为线段上的一个动点（不与A，C重合），作点关于的对称点，连结，．是的外接圆并分别交，于点，，连结，．
（1）判断是否为等腰三角形，并说明理由．
（2）证明：．
（3）连结，若点为线段的三等份点且，，求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：根据相反数的定义可得，的相反数是．
故答案为：．
【分析】
根据相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”，即可解答.
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】A． 既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
D．是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意.
故答案为：A.
【分析】轴对称图形是指一个图形可以沿着一条直线（ 对称轴） 折叠， 使得直线两侧的图形能够完全重合； 中心对称图形则是指一个图形可以绕着一个点（ 对称中心） 旋转， 使得旋转前后的图形互相重合，根据轴对称图形和中心对称的定义依次判断即可.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：28亿，
．
故答案为：B．
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，由此确定出a与n的值即可.
4．【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，原选项计算错误，不符合题意；
B.，计算正确，符合题意；
C.，原选项计算错误，不符合题意；
D.，原选项计算错误，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】
分别根据合并同类项，同底数幂除法，积的乘方和幂的乘方以及完全平方公式的相关计算，对四个选项逐一判断即可.
5．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵函数中系数，
∴反比例函数图象分布在第二象限和第四象限，
在第二象限内，y随x的增大而增大，
∵，
∴．
故答案为：A．
【分析】
根据反比例函数图象及性质，若k<0，在每一象限内，y随x的增大而增大，即可作答.
6．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：解不等式得，
由数轴可知，原不等式的解集为，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】
根据数轴表示的解集就是不等式的解集，对比后列出关于a的方程即可解答.
7．【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：∵捐款金额为80元的人数最多，
∴众数为80元，
∵，，
∴把所有人的捐款金额按照从低到高排列，处在第17名和第18名的捐款进而分别为80元，100元，
∴中位数为元，
故答案为：C．
【分析】在一组数据中出现次数最多的数叫这组数据的众数，处在最中间的数或最中间的两个数的平均数叫做这组数据的中位数，根据众数和中位数的定义，即可解答.
8．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设技术升级前每小时装配辆汽车，则升级后每小时装配辆汽车，
由题意可得，
故答案为：A．
【分析】根据工作时间=工作总量÷工作效率及题中数量关系“现在装配1000辆汽车所需的时间与技术升级前装配800辆汽车所需的时间相同”，即可列出分式方程，即可解答．
9．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∵，
∴；
过点作，则，
∴，
设，则，
∵，
∴
∴，即，
∵，
∴，
故答案为：D，
【分析】
根据角平分线的定义及等腰三角形判定得出是等腰直角三角形，由勾股定理得，再平行线的性质推导出，过点作，易得是等腰直角三角形，再由三角函数的定义解三角形即可解答.
10．【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，连接交于点
线段为半圆的直径，，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
是定值，
当的大小保持不变，当直径的长度变化时，与的差固定不变，
故答案为：B．
【分析】连接交于点，根据圆周角定理及正切函数的定义，得出，再表示出，得出，即可得到答案.
11．【答案】（m+2）（m﹣2）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： =(m+2)(m﹣2)．
故答案为：(m+2)(m﹣2)．
【分析】直接利用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)进行因式分解.
12．【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：由题意得，，
方程两边乘以，得，
解得，
检验：当时，，
∴是原方程的解，
故答案为：．
【分析】
根据题意，列出关于a的分式方程，即可解答，但需注意分式方程的求解步骤.
13．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵一个口袋里装有4个黑球，3个白球
∴从中任意摸出一个球，摸到黑球的概率为：
故答案为：.
【分析】用黑球的个数除以球的总个数即可求得摸到黑球的概率.
14．【答案】3
【知识点】完全平方公式及运用；反比例函数系数k的几何意义；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】设A点坐标为（，），
∵点A在反比例函数图象上，
∴．
∵矩形周长为，
即，，，
则，化简得．
将两边同时平方得
，
即．
∵对角线长为，
在中，
根据勾股定理，
即．
把代入中得
．
解得．
∵，
∴．
故答案为：3．
【分析】设，根据反比例函数图象上点的特征，得出，再根据矩形周长公式得出的值，再由完全平方公式和勾股定理即可计算出，从而解出k的值.
15．【答案】
【知识点】正多边形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点作，交分别为，连接，过点作于点，设正六边形的边长为
∵六边形是正六边形
∴，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵六边形是正六边形
∴
∵
∴，则，
∴
∵，
∴
即
解得：
即，
故答案为：．
【分析】过点作，交分别为，连接，过点作于点，设正六边形的边长为，根据正六边形的性质及含30°直角三角形的性质，利用勾股定理表示出EC长，再根据三角形面积公式即可列出关于a的方程，即可解答.
16．【答案】；
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：（1）在平行四边形中，，，
，
，
，
由折叠的性质可知，，，
，，
，
故答案为：；
（2）在平行四边形中，，，
，，，
由折叠的性质可知，，，，，
，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
如图，过点作延长线于点，则，
在中，，，
，，
，
，
，，
，
故答案为：；
【分析】
（1）若 ，先根据勾股定理求出AC，再根据折叠的性质即可求出CE、CF的长，最后再代入化简即可解答；
（2）根据题意，作出图形，若 ，由平行四边形的性质和折叠的性质判断出是等边三角形，根据等边三角形的性质及折叠的性质易得， 过点作延长线于点，则，再根据特殊角的三角函数值，求出，，进而由勾股定理求出，即可求解．
17．【答案】解：
．

【知识点】零指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先利用绝对值、零次幂、特殊角三角函数值的定义化简后计算即可.
18．【答案】解：
；
当时，原式．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】
根据整式的乘法运算法则，先化简再代入求值即可解答.
19．【答案】（1）解：，
，
，
，
，
平分；
（2）解：且，
，
四边形是平行四边形，
又
四边形是菱形．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；菱形的判定；角平分线的判定
【解析】【分析】
（1）根据等边对等角及平行线的性质即可证明；
（2）根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”即可证明.
（1）解：，
，
，
，
，
平分；
（2）解：且，
，
四边形是平行四边形，
又
四边形是菱形．
20．【答案】（1）120，54
（2）解：画出树状图如下：
总共的结果数是12种，且每种情况出现的可能性相同，其中一男一女的情况有8种，
所以概率 ．

【知识点】扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：由图可知品牌（特来电）的数量是36万台，且在扇形统计图中占比．
总量为（万台）．
品牌数量为（万台）．
品牌占比为，
扇形的圆心角为 ．
故答案为：120，54；
【分析】
（1）用品牌的数量除以对应占比，可得总数；用总数减去其它品牌数量充电桩的数量，可得品牌充电桩的数量，再除以总数可得对应占比，然后乘以即可；
（2）画出树状图可知，共有12种可能结果，一男一女的情况有8种，根据概率公式即可解答.
（1）解：由图可知品牌（特来电）的数量是36万台，且在扇形统计图中占比．
总量为（万台）．
品牌数量为（万台）．
品牌占比为，
扇形的圆心角为 ．
故答案为：120，54；
（2）解：画出树状图如下：
总共的结果数是12种，且每种情况出现的可能性相同，其中一男一女的情况有8种，
所以概率 ．
21．【答案】（1）证明：，
，
，
，
又，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
设，则，，
，
，
．
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）利用两角对应相等证明；
（2）先证，由相似三角形对应边成比例得，再证，推出，设，则，，根据，列出关于x的方程，解出x值，即可解答．
（1）证明：，
，
，
，
又，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
设，则，，
，
，
．
22．【答案】（1）360米/分，72米/分
（2）解：由题意知，，
，
解得；

（3）解：设经过x分钟后，哥哥与元元恰好相距648米，
分两种情况：
哥哥到家前：，
解得；
哥哥到家后：，
解得；
即经过分钟或分钟后，哥哥与元元恰好相距648米．
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】（1）解：由图可知，哥哥的速度为：（米/分），
弟弟的速度为：（米/分），
【分析】
（1）根据图中数据找出对应的路程与时间，即可求出速度；
（2）由哥哥速度不变可知哥哥从学校到家与从家再返回学校所用时间相等，由此可得m的值，n时哥哥追上弟弟，根据路程、时间、速度关系列出关于n的一元一次方程即可求解；
（3）根据题意， 哥哥与元元恰好相距648米，可分两种情况：①哥哥到家前、②哥哥到家后，再列方程解答即可．
（1）解：由图可知，哥哥的速度为：（米/分），
弟弟的速度为：（米/分），
（2）解：由题意知，，
，
解得；
（3）解：设经过x分钟后，哥哥与元元恰好相距648米，
分两种情况：
哥哥到家前：，
解得；
哥哥到家后：，
解得；
即经过分钟或分钟后，哥哥与元元恰好相距648米．
23．【答案】（1）解：①将已知点在抛物线上，将代入可得：
，
解得：，
所以抛物线解析式为，
将其化为顶点式：，
所以顶点坐标为；
②当时，代入得：，
当时，，
因为线段与抛物线只有一个公共点，
当时，线段过顶点，此时只有一个公共点；
当时，线段与抛物线也只有一个公共点，
所以或；
（2）解：抛物线，对称轴为直线．
当时，．
因为对于都有．
当时，抛物线开口向上，在对称轴右侧随的增大而增大．
要满足条件，则，
解得：
当时，抛物线开口向下，在对称轴右侧随的增大而减小．
此时需满足，且（等号不同时成立），由得，又即，综合可得．
综上，的取值范围是或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】
（1）①将点坐标代入抛物线解析式即可求出，从而得到抛物线解析式，再将解析式化为顶点式求出顶点坐标即可；
②根据题意，分两种情况：第一种MN经过抛物线顶点，第二种根据线段MN与抛物线的位置关系，即可解答
（2）用含a的式子表示出点坐标，再根据的正负性分情况，结合给定区间和抛物线对称轴分析函数的增减性即可确定出的取值范围．
（1）解：①将已知点在抛物线上，将代入可得：
，
解得：，
所以抛物线解析式为，
将其化为顶点式：，
所以顶点坐标为；
②当时，代入得：，
当时，，
因为线段与抛物线只有一个公共点，
当时，线段过顶点，此时只有一个公共点；
当时，线段与抛物线也只有一个公共点，
所以或；
（2）解：抛物线，对称轴为直线．
当时，．
因为对于都有．
当时，抛物线开口向上，在对称轴右侧随的增大而增大．
要满足条件，则，
解得：
当时，抛物线开口向下，在对称轴右侧随的增大而减小．
此时需满足，且（等号不同时成立），由得，又即，综合可得．
综上，的取值范围是或．
24．【答案】（1）解：为等腰三角形；
理由：由翻折得，
，
，
，
为等腰三角形；
（2）证明：，
，
，，
，，
，，
，
，，
又，
，
，
又，
，
；
（3）解：过点A作于点H，交于点M，连结，
，
，
经过圆心O，
，
，
，
，
当时，，
，
，
由（2）知，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，，，
，
，
，
，
设，
在和中，，，
，
，
解得，
，
；
当时，，
，
，
，
，
，
，
同理，
求得，
，
设，则，
，
解得，
，
；
【知识点】圆周角定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质及圆内接四边形的性质求解即可；
（2）根据等边对等角及圆内接四边形的性质，即可得出FP∥BC，从而得出，由相似三角形的性质得到，再对称的性质及圆周角定理证明出，，即可证明结论；
（3）过点A作于点H，交于点M，连结，证明经过圆心O，， 点为线段的三等份点，分和两种情况，设，由（2）结论分别求出，的长，根据勾股定理列方程求解，求出的长，最后利用三角函数求解即可．
（1）解：为等腰三角形；
理由：由翻折得，
，
，
，
为等腰三角形；
（2）证明：，
，
，，
，，
，，
，
，，
又，
，
，
又，
，
；
（3）解：过点A作于点H，交于点M，连结，
，
，
经过圆心O，
，
，
，
，
当时，，
，
，
由（2）知，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，，，
，
，
，
，
设，
在和中，，，
，
，
解得，
，
；
当时，，
，
，
，
，
，
，
同理，
求得，
，
设，则，
，
解得，
，
；
1 / 1浙江省金华市义乌市2025年中考二模考试数学试题
一、选择题（请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．（2025·义乌模拟）的相反数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：根据相反数的定义可得，的相反数是．
故答案为：．
【分析】
根据相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”，即可解答.
2．（2025·义乌模拟）2025年碳中和目标加速推进，下列图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】A． 既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
D．是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意.
故答案为：A.
【分析】轴对称图形是指一个图形可以沿着一条直线（ 对称轴） 折叠， 使得直线两侧的图形能够完全重合； 中心对称图形则是指一个图形可以绕着一个点（ 对称中心） 旋转， 使得旋转前后的图形互相重合，根据轴对称图形和中心对称的定义依次判断即可.
3．（2025·义乌模拟）我国科学家采用嫦娥六号采回的月球背面样品做出的研究成果揭示了月球背面约28亿年前存在岩浆活动．将数据“28亿”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：28亿，
．
故答案为：B．
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，由此确定出a与n的值即可.
4．（2025·义乌模拟）下列运算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，原选项计算错误，不符合题意；
B.，计算正确，符合题意；
C.，原选项计算错误，不符合题意；
D.，原选项计算错误，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】
分别根据合并同类项，同底数幂除法，积的乘方和幂的乘方以及完全平方公式的相关计算，对四个选项逐一判断即可.
5．（2025·义乌模拟）已知点，在函数的图象上，则（　　）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵函数中系数，
∴反比例函数图象分布在第二象限和第四象限，
在第二象限内，y随x的增大而增大，
∵，
∴．
故答案为：A．
【分析】
根据反比例函数图象及性质，若k<0，在每一象限内，y随x的增大而增大，即可作答.
6．（2025·义乌模拟）若关于的不等式的解如图所示，则的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：解不等式得，
由数轴可知，原不等式的解集为，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】
根据数轴表示的解集就是不等式的解集，对比后列出关于a的方程即可解答.
7．（2025·义乌模拟）下表是某小区志愿者们在一次捐款活动中对捐款金额进行的统计：根据表中提供的信息，捐款金额的众数和中位数分别为（　　）
金额（元） 50 80 100 200 500
人数（人） 5 12 10 6 1
A．12元，90元 B．12元，80元 C．80元，90元 D．80元，100元
【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：∵捐款金额为80元的人数最多，
∴众数为80元，
∵，，
∴把所有人的捐款金额按照从低到高排列，处在第17名和第18名的捐款进而分别为80元，100元，
∴中位数为元，
故答案为：C．
【分析】在一组数据中出现次数最多的数叫这组数据的众数，处在最中间的数或最中间的两个数的平均数叫做这组数据的中位数，根据众数和中位数的定义，即可解答.
8．（2025·义乌模拟）某新能源汽车制造厂采用高度自动化的机器人装配技术系统以提高生产效率，平均每小时比技术升级前多装配50辆汽车．现在装配1000辆汽车所需的时间与技术升级前装配800辆汽车所需的时间相同，设技术升级前每小时装配辆汽车，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设技术升级前每小时装配辆汽车，则升级后每小时装配辆汽车，
由题意可得，
故答案为：A．
【分析】根据工作时间=工作总量÷工作效率及题中数量关系“现在装配1000辆汽车所需的时间与技术升级前装配800辆汽车所需的时间相同”，即可列出分式方程，即可解答．
9．（2025·义乌模拟）如图，在四边形中，已知，，，对角线平分，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∵，
∴；
过点作，则，
∴，
设，则，
∵，
∴
∴，即，
∵，
∴，
故答案为：D，
【分析】
根据角平分线的定义及等腰三角形判定得出是等腰直角三角形，由勾股定理得，再平行线的性质推导出，过点作，易得是等腰直角三角形，再由三角函数的定义解三角形即可解答.
10．（2025·义乌模拟）如图，已知线段为半圆的直径，点为半圆上一点，连结，．在线段上取一点，使得，过点作交半圆于点，连结，．设，，若的大小保持不变，当直径的长度变化时，下列关系式中固定不变的是（　　）
A．与的和 B．与的差 C．与的积 D．与的比值
【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，连接交于点
线段为半圆的直径，，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
是定值，
当的大小保持不变，当直径的长度变化时，与的差固定不变，
故答案为：B．
【分析】连接交于点，根据圆周角定理及正切函数的定义，得出，再表示出，得出，即可得到答案.
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（2025·义乌模拟）分解因式： =　 　．
【答案】（m+2）（m﹣2）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： =(m+2)(m﹣2)．
故答案为：(m+2)(m﹣2)．
【分析】直接利用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)进行因式分解.
12．（2025·义乌模拟）若分式的值为，则　 　．
【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：由题意得，，
方程两边乘以，得，
解得，
检验：当时，，
∴是原方程的解，
故答案为：．
【分析】
根据题意，列出关于a的分式方程，即可解答，但需注意分式方程的求解步骤.
13．（2025·义乌模拟）已知一个不透明的布袋里装有4个黑球和3个白球，它们除颜色外都相同.从中任意摸出一个球，恰好摸到黑球的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵一个口袋里装有4个黑球，3个白球
∴从中任意摸出一个球，摸到黑球的概率为：
故答案为：.
【分析】用黑球的个数除以球的总个数即可求得摸到黑球的概率.
14．（2025·义乌模拟）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴交轴于点，轴交轴于点，连结．若矩形的周长为8，对角线的长为，则的值为　 　．
【答案】3
【知识点】完全平方公式及运用；反比例函数系数k的几何意义；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】设A点坐标为（，），
∵点A在反比例函数图象上，
∴．
∵矩形周长为，
即，，，
则，化简得．
将两边同时平方得
，
即．
∵对角线长为，
在中，
根据勾股定理，
即．
把代入中得
．
解得．
∵，
∴．
故答案为：3．
【分析】设，根据反比例函数图象上点的特征，得出，再根据矩形周长公式得出的值，再由完全平方公式和勾股定理即可计算出，从而解出k的值.
15．（2025·义乌模拟）如图，已知点是正六边形内一点，连结，，，．若，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】正多边形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点作，交分别为，连接，过点作于点，设正六边形的边长为
∵六边形是正六边形
∴，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵六边形是正六边形
∴
∵
∴，则，
∴
∵，
∴
即
解得：
即，
故答案为：．
【分析】过点作，交分别为，连接，过点作于点，设正六边形的边长为，根据正六边形的性质及含30°直角三角形的性质，利用勾股定理表示出EC长，再根据三角形面积公式即可列出关于a的方程，即可解答.
16．（2025·义乌模拟）如图1，在平行四边形中，，．点、分别是线段、上的点，连结、、．将和分别沿、翻折，使点的对应点和点的对应点都落在对角线上，连结、．
（1）如图2，若，则的值为　 　．
（2）若为钝角，延长交射线于点且，则的值为　 　．
【答案】；
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：（1）在平行四边形中，，，
，
，
，
由折叠的性质可知，，，
，，
，
故答案为：；
（2）在平行四边形中，，，
，，，
由折叠的性质可知，，，，，
，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
如图，过点作延长线于点，则，
在中，，，
，，
，
，
，，
，
故答案为：；
【分析】
（1）若 ，先根据勾股定理求出AC，再根据折叠的性质即可求出CE、CF的长，最后再代入化简即可解答；
（2）根据题意，作出图形，若 ，由平行四边形的性质和折叠的性质判断出是等边三角形，根据等边三角形的性质及折叠的性质易得， 过点作延长线于点，则，再根据特殊角的三角函数值，求出，，进而由勾股定理求出，即可求解．
三、解答题（本题有8小题，共72分）
17．（2025·义乌模拟）计算：
【答案】解：
．

【知识点】零指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先利用绝对值、零次幂、特殊角三角函数值的定义化简后计算即可.
18．（2025·义乌模拟）先化简，再求值：，其中
【答案】解：
；
当时，原式．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】
根据整式的乘法运算法则，先化简再代入求值即可解答.
19．（2025·义乌模拟）尺规作图问题：如图1，已知点是的其中一边上一点，用尺规作图方法作，．
（1）连接，根据作图痕迹，请说明平分．
（2）如图2，以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接．求证：四边形是菱形．
【答案】（1）解：，
，
，
，
，
平分；
（2）解：且，
，
四边形是平行四边形，
又
四边形是菱形．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；菱形的判定；角平分线的判定
【解析】【分析】
（1）根据等边对等角及平行线的性质即可证明；
（2）根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”即可证明.
（1）解：，
，
，
，
，
平分；
（2）解：且，
，
四边形是平行四边形，
又
四边形是菱形．
20．（2025·义乌模拟）随着新能源汽车数量的不断增多，人们对公共充电桩的需求量也逐渐增大．为了解用户认可度较高的充电桩品牌，现随机抽取部分充电桩企业品牌进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
A：星星充电 B：特来电 C：云快充 D：小桔充电 E：国家电网
（1）此次调查中，各企业投放充电桩的总量为________万台，扇形的圆心角为________度．
（2）某小区将装50台公共充电桩，业主委员会挑选了男、女业主各两名，在这四名业主中随机抽取两名到各品牌旗下店作咨询，请用列树状图或列表的方法求出恰好抽到男、女业主各1名的概率．
【答案】（1）120，54
（2）解：画出树状图如下：
总共的结果数是12种，且每种情况出现的可能性相同，其中一男一女的情况有8种，
所以概率 ．

【知识点】扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：由图可知品牌（特来电）的数量是36万台，且在扇形统计图中占比．
总量为（万台）．
品牌数量为（万台）．
品牌占比为，
扇形的圆心角为 ．
故答案为：120，54；
【分析】
（1）用品牌的数量除以对应占比，可得总数；用总数减去其它品牌数量充电桩的数量，可得品牌充电桩的数量，再除以总数可得对应占比，然后乘以即可；
（2）画出树状图可知，共有12种可能结果，一男一女的情况有8种，根据概率公式即可解答.
（1）解：由图可知品牌（特来电）的数量是36万台，且在扇形统计图中占比．
总量为（万台）．
品牌数量为（万台）．
品牌占比为，
扇形的圆心角为 ．
故答案为：120，54；
（2）解：画出树状图如下：
总共的结果数是12种，且每种情况出现的可能性相同，其中一男一女的情况有8种，
所以概率 ．
21．（2025·义乌模拟）如图，在中，已知，，，点在上．连结，过点作交于点，交于点．
（1）求证：．
（2）过点作交于点，若，求的长．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
又，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
设，则，，
，
，
．
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）利用两角对应相等证明；
（2）先证，由相似三角形对应边成比例得，再证，推出，设，则，，根据，列出关于x的方程，解出x值，即可解答．
（1）证明：，
，
，
，
又，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
设，则，，
，
，
．
22．（2025·义乌模拟）如图1，学校在元元家和书店之间，哥哥到学校接元元去参加书店的读书分享会．哥哥到学校时发现入场券落在家里了，于是哥哥从学校匀速骑车去家里拿入场券（同时元元从学校匀速步行前往书店），到家后停留了一段时间，之后再以原速前往书店．哥哥追上元元后载上他仍以原速一同前往书店（停车载人时间忽略不计）．如图2是哥哥和元元两人距学校的距离（米）与时间（分）之间的函数关系．
（1）请直接写出哥哥与元元两人的速度（米/分）．
（2）根据图象信息，请求出与的值．
（3）求出经过多少时间后，哥哥与元元恰好相距648米．
【答案】（1）360米/分，72米/分
（2）解：由题意知，，
，
解得；

（3）解：设经过x分钟后，哥哥与元元恰好相距648米，
分两种情况：
哥哥到家前：，
解得；
哥哥到家后：，
解得；
即经过分钟或分钟后，哥哥与元元恰好相距648米．
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】（1）解：由图可知，哥哥的速度为：（米/分），
弟弟的速度为：（米/分），
【分析】
（1）根据图中数据找出对应的路程与时间，即可求出速度；
（2）由哥哥速度不变可知哥哥从学校到家与从家再返回学校所用时间相等，由此可得m的值，n时哥哥追上弟弟，根据路程、时间、速度关系列出关于n的一元一次方程即可求解；
（3）根据题意， 哥哥与元元恰好相距648米，可分两种情况：①哥哥到家前、②哥哥到家后，再列方程解答即可．
（1）解：由图可知，哥哥的速度为：（米/分），
弟弟的速度为：（米/分），
（2）解：由题意知，，
，
解得；
（3）解：设经过x分钟后，哥哥与元元恰好相距648米，
分两种情况：
哥哥到家前：，
解得；
哥哥到家后：，
解得；
即经过分钟或分钟后，哥哥与元元恰好相距648米．
23．（2025·义乌模拟）已知抛物线．
（1）若点在抛物线上，
①求此抛物线的解析式及顶点坐标．
②已知点，的坐标分别为，，连结，若线段与抛物线只有一个公共点，求的取值范围．
（2）已知点，是抛物线上的两点，若对于，都有，求的取值范围．
【答案】（1）解：①将已知点在抛物线上，将代入可得：
，
解得：，
所以抛物线解析式为，
将其化为顶点式：，
所以顶点坐标为；
②当时，代入得：，
当时，，
因为线段与抛物线只有一个公共点，
当时，线段过顶点，此时只有一个公共点；
当时，线段与抛物线也只有一个公共点，
所以或；
（2）解：抛物线，对称轴为直线．
当时，．
因为对于都有．
当时，抛物线开口向上，在对称轴右侧随的增大而增大．
要满足条件，则，
解得：
当时，抛物线开口向下，在对称轴右侧随的增大而减小．
此时需满足，且（等号不同时成立），由得，又即，综合可得．
综上，的取值范围是或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】
（1）①将点坐标代入抛物线解析式即可求出，从而得到抛物线解析式，再将解析式化为顶点式求出顶点坐标即可；
②根据题意，分两种情况：第一种MN经过抛物线顶点，第二种根据线段MN与抛物线的位置关系，即可解答
（2）用含a的式子表示出点坐标，再根据的正负性分情况，结合给定区间和抛物线对称轴分析函数的增减性即可确定出的取值范围．
（1）解：①将已知点在抛物线上，将代入可得：
，
解得：，
所以抛物线解析式为，
将其化为顶点式：，
所以顶点坐标为；
②当时，代入得：，
当时，，
因为线段与抛物线只有一个公共点，
当时，线段过顶点，此时只有一个公共点；
当时，线段与抛物线也只有一个公共点，
所以或；
（2）解：抛物线，对称轴为直线．
当时，．
因为对于都有．
当时，抛物线开口向上，在对称轴右侧随的增大而增大．
要满足条件，则，
解得：
当时，抛物线开口向下，在对称轴右侧随的增大而减小．
此时需满足，且（等号不同时成立），由得，又即，综合可得．
综上，的取值范围是或．
24．（2025·义乌模拟）如图，在中，，点P为线段上的一个动点（不与A，C重合），作点关于的对称点，连结，．是的外接圆并分别交，于点，，连结，．
（1）判断是否为等腰三角形，并说明理由．
（2）证明：．
（3）连结，若点为线段的三等份点且，，求的值．
【答案】（1）解：为等腰三角形；
理由：由翻折得，
，
，
，
为等腰三角形；
（2）证明：，
，
，，
，，
，，
，
，，
又，
，
，
又，
，
；
（3）解：过点A作于点H，交于点M，连结，
，
，
经过圆心O，
，
，
，
，
当时，，
，
，
由（2）知，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，，，
，
，
，
，
设，
在和中，，，
，
，
解得，
，
；
当时，，
，
，
，
，
，
，
同理，
求得，
，
设，则，
，
解得，
，
；
【知识点】圆周角定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质及圆内接四边形的性质求解即可；
（2）根据等边对等角及圆内接四边形的性质，即可得出FP∥BC，从而得出，由相似三角形的性质得到，再对称的性质及圆周角定理证明出，，即可证明结论；
（3）过点A作于点H，交于点M，连结，证明经过圆心O，， 点为线段的三等份点，分和两种情况，设，由（2）结论分别求出，的长，根据勾股定理列方程求解，求出的长，最后利用三角函数求解即可．
（1）解：为等腰三角形；
理由：由翻折得，
，
，
，
为等腰三角形；
（2）证明：，
，
，，
，，
，，
，
，，
又，
，
，
又，
，
；
（3）解：过点A作于点H，交于点M，连结，
，
，
经过圆心O，
，
，
，
，
当时，，
，
，
由（2）知，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，，，
，
，
，
，
设，
在和中，，，
，
，
解得，
，
；
当时，，
，
，
，
，
，
，
同理，
求得，
，
设，则，
，
解得，
，
；
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