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高考数学一轮复习 概率
一．选择题（共3小题）
1．（2025 天津）下列说法中错误的是（　　）
A．若X N（μ，σ2），则P（X≤μ﹣σ）＝P（X≥μ+σ）
B．若X N（1，22），Y N（2，22），则P（X＜1）＜P（Y＜2）
C．|r|越接近1，相关性越强
D．|r|越接近0，相关性越弱
2．（2025 上海）已知事件A、B相互独立，事件A发生的概率为P（A），事件B发生的概率为P（B），则事件A∩B发生的概率P（A∩B）为（　　）
A． B． C． D．0
3．（2025 上海）有一四边形ABCD，对于其四边AB、BC、CD、DA，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币：如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去．最后，以A为起点沿着尚未擦去的边出发，可以到达C点的概率为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共3小题）
4．（2025 天津）小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈．第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0.4，6圈的概率为0.6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0.6，6圈的概率为0.4．小桐一周跑11圈的概率为 　 　 ；若一周至少跑11圈为运动达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望E（X）＝ 　 　 ．
5．（2025 上海）已知随机变量X的分布为，则期望E[X]＝　 　 ．
6．（2025 新高考Ⅰ）一个箱子里有5个相同的球，分别以1 5标号，若每次取一颗，有放回地取三次，记至少取出一次的球的个数X，则数学期望E（X）＝　 　 ．
三．解答题（共4小题）
7．（2025 北京）有一道选择题考查了一个知识点，甲、乙两校各随机抽取100人，甲校有80人答对，乙校有75人答对，用频率估计概率．
（1）从甲校随机抽取1人，求这个人做对该题目的概率．
（2）从甲、乙两校各随机抽取1人，设X为做对的人数，求恰有1人做对的概率以及X的数学期望．
（3）若甲校同学掌握这个知识点，则有100%的概率做对该题目，乙校同学掌握这个知识点，则有85%的概率做对该题目，未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个，设甲校学生掌握该知识点的概率为p1，乙校学生掌握该知识点的概率为p2，试比较p1与p2的大小（结论不要求证明）．
8．（2025 上海）2024年巴黎奥运会，中国获得了男子4×100米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子4×100米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列．
206.78 207.46 207.95 209.34 209.35
210.68 213.73 214.84 216.93 216.93
（1）求这组数据的极差与中位数；
（2）从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率；
（3）若比赛成绩y关于年份x的回归方程为y＝﹣0.311x，年份x的平均数为2006，预测2028年冠军队的成绩（精确到0.01秒）．
9．（2025 新高考Ⅱ）甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分．设每个球甲胜概率为p（p＜1），乙胜概率为q，p+q＝1，且各球胜负独立．对正整数k≥2，记pk为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率，qk为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率．
（1）求p3，p4（用p表示）；
（2）若4，求p；
（3）证明：对任意正整数m，p2m+1﹣q2m+1＜p2m﹣q2m＜p2m+2﹣q2m+2．
10．（2025 上海）甲、乙是两个体育社团的小组．如下是两组组员身高的茎叶图（单位：厘米），以身高的百位数和十位数作为“茎”排列在中间、个位数作为“叶”分列在两边．
甲、乙两小组组员身高分布茎叶图
甲队 乙队
15 9
7 7 5 5 4 16 0 3 5 5 6 7 8 8
8 5 4 3 2 2 17 2
3 18
（1）求甲、乙两组组员身高的第60百分位数；
（2）从甲、乙两组各选取一个组员，求两人身高均在170厘米以上的概率；
（3）为使两组人数相同，从甲组中调派一个队员到乙组．是否存在甲组的一个组员，将他调派至乙组后，甲、乙两组的平均身高都增大？
高考数学一轮复习 概率
参考答案与试题解析
一．选择题（共3小题）
1．（2025 天津）下列说法中错误的是（　　）
A．若X N（μ，σ2），则P（X≤μ﹣σ）＝P（X≥μ+σ）
B．若X N（1，22），Y N（2，22），则P（X＜1）＜P（Y＜2）
C．|r|越接近1，相关性越强
D．|r|越接近0，相关性越弱
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；样本相关系数．
【专题】对应思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】由正态分布的性质判断A，B；由相关系数的性质判断C，D．
【解答】解：对于A，由正态分布的性质可知，
当X N（μ，σ2）时，则P（X≤μ﹣σ）＝P（x≥μ+σ），故A正确；
对于B，由正态分布的性质可知，
当X N（1，22），Y N（2，22）时，P（X＜1）P（Y＜2），故B正确；
对于C，D，由相关系数的性质可知，
|r|越接近1，相关性越强，|r|越接近0，相关性越弱，故C，D正确．
故选：B．
【点评】本题考查了正态分布的性质、相关系数的性质，属于基础题．
2．（2025 上海）已知事件A、B相互独立，事件A发生的概率为P（A），事件B发生的概率为P（B），则事件A∩B发生的概率P（A∩B）为（　　）
A． B． C． D．0
【考点】相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】对应思想；综合法；概率与统计；逻辑思维；运算求解．
【答案】B
【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式计算即可．
【解答】解：因为事件A、B相互独立，P（A），P（B），
所以P（A∩B）＝P（A） P（B）．
故选：B．
【点评】本题考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
3．（2025 上海）有一四边形ABCD，对于其四边AB、BC、CD、DA，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币：如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去．最后，以A为起点沿着尚未擦去的边出发，可以到达C点的概率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】根据分步计数原理及古典概型的概率公式求解即可．
【解答】解：根据题意，对于其四边AB、BC、CD、DA，
按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币，
共有2×2×2×2＝16种情况，
要从A出发沿着尚未擦去的边能到达点C，
若保留AB，BC两条边，则CD，DA可保留也可擦去，
共有2×2＝4种情况；
若保留AD，DC两条边，则AB，BC可保留也可擦去，
共有2×2﹣1＝3种情况（其中有一种情况与上面重复），
则要从A出发沿着尚未擦去的边能到达点C，共有7种情况，
∴可以到达C点的概率为．
故选：B．
【点评】本题考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
二．填空题（共3小题）
4．（2025 天津）小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈．第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0.4，6圈的概率为0.6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0.6，6圈的概率为0.4．小桐一周跑11圈的概率为 　0.6　 ；若一周至少跑11圈为运动达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望E（X）＝ 　3.2　 ．
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；全概率公式．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】0.6；3.2．
【分析】由题意可知，小桐一周跑10圈或11圈或12圈，利用全概率公式可求解第一空，利用二项分布的期望公式可求解第二空．
【解答】解：由题意可知，小桐一周跑10圈或11圈或12圈，
小桐一周跑10圈的概率为0.5×0.4＝0.2，
小桐一周跑11圈的概率为0.5×0.6+0.5×0.6＝0.6，
小桐一周跑12圈的概率为0.5×0.4＝0.2，
一周至少跑11圈的概率为0.6+0.2＝0.8，
则X～B（4，0.8），
所以E（X）＝4×0.8＝3.2．
故答案为：0.6；3.2．
【点评】本题主要考查了全概率公式，考查了二项分布的期望公式，属于中档题．
5．（2025 上海）已知随机变量X的分布为，则期望E[X]＝　6.3　 ．
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．
【专题】对应思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】6.3．
【分析】根据数学期望的定义进行求解．
【解答】解：由已知，期望E[X]＝5×0.2+6×0.3+7×0.5＝6.3．
故答案为：6.3．
【点评】本题主要考查求离散型随机变量的期望，属于基础题．
6．（2025 新高考Ⅰ）一个箱子里有5个相同的球，分别以1 5标号，若每次取一颗，有放回地取三次，记至少取出一次的球的个数X，则数学期望E（X）＝　　 ．
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；逻辑思维；运算求解．
【答案】．
【分析】X的可能取值为1，2，3，分别求出对应的概率，由离散型随机变量的数学期望公式求解即可．
【解答】解：X的可能取值为1，2，3，
，
，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望，是中档题．
三．解答题（共4小题）
7．（2025 北京）有一道选择题考查了一个知识点，甲、乙两校各随机抽取100人，甲校有80人答对，乙校有75人答对，用频率估计概率．
（1）从甲校随机抽取1人，求这个人做对该题目的概率．
（2）从甲、乙两校各随机抽取1人，设X为做对的人数，求恰有1人做对的概率以及X的数学期望．
（3）若甲校同学掌握这个知识点，则有100%的概率做对该题目，乙校同学掌握这个知识点，则有85%的概率做对该题目，未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个，设甲校学生掌握该知识点的概率为p1，乙校学生掌握该知识点的概率为p2，试比较p1与p2的大小（结论不要求证明）．
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】应用题；分析法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）；
（2）0.35，E（X）＝1.55；
（3）p1＜p2．
【分析】（1）用频率估计概率后可得从甲校随机抽取1人做对该题目的概率；
（2）利用独立事件可求恰有1人做对的概率及X的分布列，从而可求其期望；
（3）根据题设可得关于p1，p2的方程，求出其解后可得它们的大小关系．
【解答】解：（1）用频率估计概率，从甲校随机抽取1人，做对题目的概率为．
（2）设A为“从甲校抽取1人做对”，则P（A）＝0.8，
则，设B为“从乙校抽取1人做对”，
则P（B）＝0.75，则，设C为“恰有1人做对”，
故，
而X可取0，1，2，，
P（X＝1）＝0.35，P（X＝2）＝0.8×0.75＝0.6，
故X的分布列如下表：
X 0 1 2
P 0.05 0.35 0.6
故E（X）＝1×0.35+2×0.6＝1.55；
（3）证明：设D为“甲校掌握该知识的学生”，
因为甲校掌握这个知识点则有100%的概率做对该题目，未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个，
故，
即，
故，
同理有，
故，
故p1＜p2．
【点评】本题考查离散型随机变量的均值（数学期望），属于中档题．
8．（2025 上海）2024年巴黎奥运会，中国获得了男子4×100米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子4×100米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列．
206.78 207.46 207.95 209.34 209.35
210.68 213.73 214.84 216.93 216.93
（1）求这组数据的极差与中位数；
（2）从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率；
（3）若比赛成绩y关于年份x的回归方程为y＝﹣0.311x，年份x的平均数为2006，预测2028年冠军队的成绩（精确到0.01秒）．
【考点】古典概型及其概率计算公式；平均数；中位数．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）极差为10.15，中位数为210.015；（2）；（3）204.56．
【分析】（1）根据极差和中位数的定义求解即可；
（2）由题意知，10个数据中在211以上有4个，再利用古典概型的概率公式求解即可；
（3）由题意知，211.399，利用线性回归直线方程经过样本中心点，可求得，进而可得线性回归直线方程，代入x＝2028可得结论．
【解答】解：（1）数据从小到大排列为：206.78，207.46，207.95，209.34，209.35，210.68，213.73，214.84，216.93，216.93，
所以这10个数据的极差为216.93﹣206.78＝10.15，中位数为210.015．
（2）由题意知，10个数据中在211以上有4个，
从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率P．
（3）由题意知，（206.78+207.46+207.95+209.34+209.35+210.68+213.73+214.84+216.93+216.93）＝211.399，
则0.311211.399+0.311×2006＝835.265，
所以y＝﹣0.311x+835.265，
令x＝2028，得y＝204.557≈204.56．
故预测2028年冠军队的成绩为204.56．
【点评】本题主要考查了极差和中位数的定义，考查了古典概型的概率公式，考查线性回归直线方程的运用，属于中档题．
9．（2025 新高考Ⅱ）甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分．设每个球甲胜概率为p（p＜1），乙胜概率为q，p+q＝1，且各球胜负独立．对正整数k≥2，记pk为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率，qk为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率．
（1）求p3，p4（用p表示）；
（2）若4，求p；
（3）证明：对任意正整数m，p2m+1﹣q2m+1＜p2m﹣q2m＜p2m+2﹣q2m+2．
【考点】相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】整体思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑思维．
【答案】（1）p3＝p3；p4＝4p3﹣3p4；
（2）；
（3）证明见解答．
【分析】（1）分析p3和p4可能存在的情况，根据相互独立事件概率乘法公式表示即可；
（2）分别求出q3和q4，代入化简即可；
（3）分别证明①p2m+1﹣p2m＜q2m+1﹣q2m，②p2m+2﹣p2m＞q2m+2﹣q2m，根据①分别求出p2m+1﹣p2m和q2m+1﹣q2m的值，再不等式比较大小即可，②同理，即可证明结论．
【解答】解：（1）p3为打完3个球后甲比乙至少多得2分的概率，所以只可能是甲得3分，乙得0分，
所以p3＝p3，
p4为打完4个球后甲比乙至少多得2分的概率，可能是甲得3分，乙得1分，或者甲得4分，乙得0分，
所以p4p4＝4p3q+p4＝4p3（1﹣p）+p4＝4p3﹣3p4；
（2）按（1）的方法同理，可得，，
而，
同理，
所以4，
可得，；
（3）设打完k个球，甲的得分为Xk，乙的得分为Yk，Xk+Yk＝k，
所以p2m＝P（X2m≥m+1），p2m+1＝P（X2m+1≥m+2），p2m+2＝P（X2m+2≥m+2），
q2m＝P（Y2m≥m+1），q2m+1＝P（Y2m+1≥m+2），q2m+2＝P（Y2m+2≥m+2），
要证明p2m+1﹣q2m+1＜p2m﹣q2m＜p2m+2﹣q2m+2，
即证明①p2m+1﹣p2m＜q2m+1﹣q2m，②p2m+2﹣p2m＞q2m+2﹣q2m，
先证明①p2m+1﹣p2m＜q2m+1﹣q2m，
p2m+1﹣p2m＝P（X2m+1≥m+2）﹣P（X2m≥m+1）
＝P（X2m≥m+2）+P（X2m＝m+1）p﹣P（X2m≥m+1）
＝P（X2m＝m+1）p﹣P（X2m＝m+1）
＝（p﹣1）pm+1qm﹣1，
同理可得q2m+1﹣q2m＝（q﹣1）qm+1pm﹣1，
所以① （p﹣1）pm+1qm﹣1＜（q﹣1）qm+1pm﹣1 p2（p﹣1）＜q2（q﹣1） p3﹣q3＞0 p＞q，故成立；
证明②p2m+2﹣p2m＞q2m+2﹣q2m：
p2m+2﹣p2m＝P（X2m+2≥m+2）﹣P（X2m≥m+1）
＝P（X2m＝m）p2+P（X2m＝m+1）[1﹣（1﹣p）2]+P（X2m≥m+2）﹣P（X2m≥m+1）
＝P（X2m＝m）p2+P（X2m＝m+1）[1﹣（1﹣p）2]+P（X2m≥m+1）﹣P（X2m＝m+1）﹣P（X2m≥m+1）
＝P（X2m＝m）p2+P（X2m＝m+1）（1﹣q2）﹣P（X2m＝m+1）
，
同理可得q2m+2﹣q2m，
所以② p2＞q2 p＞q，故成立；
综上，不等式p2m+1﹣q2m+1＜p2m﹣q2m＜p2m+2﹣q2m+2成立．
【点评】本题为不等式与概率相结合的试题，重点在读懂题意，属于难题．
10．（2025 上海）甲、乙是两个体育社团的小组．如下是两组组员身高的茎叶图（单位：厘米），以身高的百位数和十位数作为“茎”排列在中间、个位数作为“叶”分列在两边．
甲、乙两小组组员身高分布茎叶图
甲队 乙队
15 9
7 7 5 5 4 16 0 3 5 5 6 7 8 8
8 5 4 3 2 2 17 2
3 18
（1）求甲、乙两组组员身高的第60百分位数；
（2）从甲、乙两组各选取一个组员，求两人身高均在170厘米以上的概率；
（3）为使两组人数相同，从甲组中调派一个队员到乙组．是否存在甲组的一个组员，将他调派至乙组后，甲、乙两组的平均身高都增大？
【考点】古典概型及其概率计算公式；百分位数．
【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）甲组第60百分位数为173 厘米，乙组第60百分位数为166.5厘米；
（2）；
（3）把甲组的其中一个167厘米的组员调到乙组．
【分析】（1）直接利用百分位数计算公式即可；
（2）根据组合公式和古典概率公式计算即可；
（3）先求出两者平均数，再进行判断．
【解答】解：（1）由题意得：
甲队：i＝12×60%＝7.2，
∴甲组的第60百分位数为从小到大排列的第8位组员身高，为173厘米；
乙队：i＝10×60%＝6，
∴乙组的第60百分位数为从小到大排列第6位和第7位组员身高的平均数，
即为厘米．
（2）记甲乙两队各选取一名组员，两人身高均在170厘米以上为事件A，
，
∴从甲、乙两组各选取一个组员，两人身高均在170厘米以上的概率为．
（3），
要使两组平均身高都增大，
则从甲组调到乙组的组员身高应在两平均数之间（不包括端点平均数），
∴把甲组的其中一个167厘米的组员调到乙组即可．
【点评】本题考查百分位数、古典概型、排列组合、平均数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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