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高考数学一轮复面向量及其应用
一．选择题（共3小题）
1．（2025 新高考Ⅱ）在△ABC中，BC＝2，AC＝1，AB，则∠A＝（　　）
A．45° B．60° C．120° D．135°
2．（2025 北京）已知平面直角坐标系xOy中，||＝||，||＝2，设C（3，4），则|2|的取值范围是（　　）
A．[6，14] B．[6，12] C．[8，14] D．[8，12]
3．（2025 新高考Ⅰ）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反．如表给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系．已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图（风速的大小和向量的大小相同，单位m/s），则真风为（　　）
等级 风速大小m/s 名称
2 1.1～3.3 轻风
3 3.4～5.4 微风
4 5.5～7.9 和风
5 8.0～10.1 劲风
A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风
二．多选题（共1小题）
（多选）4．（2025 新高考Ⅰ）已知△ABC的面积为，若cos2A+cos2B+2sinC＝2，cosAcosBsinC，则（　　）
A．sinC＝sin2A+sin2B B．AB
C．sinA+sinB D．AC2+BC2＝3
三．填空题（共6小题）
5．（2025 天津）△ABC中，D为AB边中点，，，则　 　 （用，表示）；若||＝5，AE⊥CB，则　 　 ．
6．（2025 新高考Ⅱ）已知平面向量（x，1），（x﹣1，2x），若⊥（），则||＝　 　 ．
7．（2025 上海）已知函数f，、、是平面内三个不同的单位向量．若f（ ）+f（ ）+f（ ）＝0，则||的取值范围是　 　 ．
8．（2025 上海）小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有两根长为1米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为A、B，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光；其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为0.45米．则斜面的底角θ＝　 　 ．（结果用角度制表示，精确到0.01°）
9．（2025 上海）已知，，若∥，则x＝ 　 　 ．
10．（2025 上海）在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，则在方向上的数量投影的最大值 　 　 ．
四．解答题（共3小题）
11．（2025 北京）在△ABC中，cosA，asinC＝4．
（1）求c；
（2）在以下三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求BC的高．
①a＝6；②bsinC；③△ABC面积为10．
12．（2025 天津）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知asinBbcosA，c﹣2b＝1，a．
（I）求A的值；
（Ⅱ）求c；
（Ⅲ）求sin（A+2B）的值．
13．（2025 上海）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且c＝5．
（1）若，，求a；
（2）若ab＝20，求△ABC的面积的最大值．
高考数学一轮复面向量及其应用
参考答案与试题解析
一．选择题（共3小题）
1．（2025 新高考Ⅱ）在△ABC中，BC＝2，AC＝1，AB，则∠A＝（　　）
A．45° B．60° C．120° D．135°
【考点】余弦定理．
【专题】对应思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】A
【分析】由余弦定理求得cosA，再结合A的取值范围即可求得．
【解答】解：因为BC＝2，AC＝1，AB，
所以由余弦定理得：，
因为0°＜∠A＜180°，所以∠A＝45°．
故选：A．
【点评】本题考查余弦定理的应用，属于基础题．
2．（2025 北京）已知平面直角坐标系xOy中，||＝||，||＝2，设C（3，4），则|2|的取值范围是（　　）
A．[6，14] B．[6，12] C．[8，14] D．[8，12]
【考点】平面向量加减法的坐标运算．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】由，|，可得点A、B在以O为圆心，为半径的圆上，取AB的中点H，得|OH|＝1，则点H在以O为圆心，1为半径的圆上，根据向量的线性运算及数量积运算，可得，再根据点到圆的距离范围可求得结论．
【解答】解：由，|，可知，
故点A、B在以O为圆心，为半径的圆上，
取AB的中点H，可知|OH|＝1，
所以点H在以O为圆心，1为半径的圆上，
则
，
所以，
又，，
则，故，
即|的取值范围是[8，12]．
故选：D．
【点评】本题考查平面向量的线性运算及数量积运算，属中档题．
3．（2025 新高考Ⅰ）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反．如表给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系．已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图（风速的大小和向量的大小相同，单位m/s），则真风为（　　）
等级 风速大小m/s 名称
2 1.1～3.3 轻风
3 3.4～5.4 微风
4 5.5～7.9 和风
5 8.0～10.1 劲风
A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风
【考点】平面向量的概念与几何表示．
【专题】应用题；转化思想；分析法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】根据题意，求出对应速度对应的坐标，然后求出真风速的坐标，求出模长判断即可．
【解答】解：如图：视风风速对应向量的坐标为，
船速对应向量的坐标为（1，3），
所以船行风速对应的向量坐标为（﹣1，﹣3），
设真风风速对应向量为，则，
所以（﹣2，2），
所以22.828∈（1.1，3.3），
故真风为轻风．
故选：A．
【点评】本题考查平面向量的运算和应用，属于中档题．
二．多选题（共1小题）
（多选）4．（2025 新高考Ⅰ）已知△ABC的面积为，若cos2A+cos2B+2sinC＝2，cosAcosBsinC，则（　　）
A．sinC＝sin2A+sin2B B．AB
C．sinA+sinB D．AC2+BC2＝3
【考点】解三角形；利用正弦定理解三角形；余弦定理．
【专题】分类讨论；综合法；解三角形；逻辑思维；运算求解．
【答案】ABC
【分析】由cos2A+cos2B+2sinC＝2，利用二倍角公式，可判断A；由sin2A+sin2B＝sinAcosB+cosAsinB，得sinA（sinA﹣cosB）+sinB（sinB﹣cosA）＝0，对于，和进行分类讨论，可推出矛盾，可得，进而可判断BCD．
【解答】解：因为cos2A+cos2B+2sinC＝1﹣2sin2A+1﹣2sin2B+2sinC＝2，
∴sin2A+sin2B＝sinC，故A正确；
由sin2A+sin2B＝sinAcosB+cosAsinB，∴sinA（sinA﹣cosB）+sinB（sinB﹣cosA）＝0，
∵cosAcosBsinC0，∴A，B为锐角，
若，则，
∴sinA＞cosB，sinB＞cosA，sinA（sinA﹣cosB）+sinB（sinB﹣cosA）＞0，∴矛盾，舍去，
同理，也矛盾，
∴，∴，，
∴，，
S△ABCabsinCab，ab，
a＝csinA，b＝ccosA，
∴abcsinA ccosA＝c2sinAcosAc2，
∴c2＝2，即AB，故B正确；
∵，∴sinA+sinB＝sinA+cosA，（sinA+cosA）2＝1+2sinAcosA，
因为sinA+cosA＞0，所以sinA+cosA，故C正确；
AC2+BC2＝AB2＝2，故D错误．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查解三角形，属于中档题．
三．填空题（共6小题）
5．（2025 天津）△ABC中，D为AB边中点，，，则　　 （用，表示）；若||＝5，AE⊥CB，则　﹣15　 ．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】方程思想；综合法；平面向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】；﹣15．
【分析】由平面向量的线性运算计算可求得第一空；由||＝5，AE⊥CB结合平面向量的线性运算与数量积建立关于的方程组，求解可得，，再由向量的数量积运算计算即可．
【解答】解：因为D为AB边中点，，
所以
；
因为||＝5，所以，①
因为，且AE⊥CB，
所以，②
由①②可得：，，
因为，
所以
15．
故答案为：；﹣15．
【点评】本题考查平面向量的线性运算和数量积，属于中档题．
6．（2025 新高考Ⅱ）已知平面向量（x，1），（x﹣1，2x），若⊥（），则||＝　　 ．
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】求出的坐标，然后利用向量垂直的充要条件求出x，再利用求模公式求解．
【解答】解：因为（x，1），（x﹣1，2x），
所以（1，1﹣2x），又⊥（），
所以x+1﹣2x＝0，解得x＝1，
所以，
则||．
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量的坐标运算，垂直的充要条件以及求模公式等，属于基础题．
7．（2025 上海）已知函数f，、、是平面内三个不同的单位向量．若f（ ）+f（ ）+f（ ）＝0，则||的取值范围是　　 ．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；平面向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】．
【分析】由题可得必为一个为1，一个为﹣1，一个为0，不妨设，且，，，θ∈（﹣π，π），由分段函数可得，再由向量模的坐标运算化简后求三角函数的值域即可．
【解答】解：由题意可知，三者全为0或一个为1，一个为﹣1，一个为0，
当全为0时，可知两两垂直，不符合题意；
所以必为一个为1，一个为﹣1，一个为0，不妨设，，
由函数f，可知，
不妨设，，，θ∈（﹣π，π]，
所以，，所以，
所以，
因为，所以，所以，
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量的数量积与函数的综合，向量模的求解，属于中档题．
8．（2025 上海）小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有两根长为1米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为A、B，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光；其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为0.45米．则斜面的底角θ＝　12.58°　 ．（结果用角度制表示，精确到0.01°）
【考点】三角形中的几何计算．
【专题】数形结合；综合法；解三角形；逻辑思维；运算求解．
【答案】12.58°．
【分析】由题意作出示意图，从而得到△AMN∽△ECD，由相似三角形的性质可得方程0.45cosθ＝0.4+0.18sinθ，结合sin2θ+cos2θ＝1即可求得．
【解答】解：由题可得接触点为A的旗杆影子在水平面上，接触点为B的旗杆影子完全在斜面上，
不妨设影子完全在斜面上是旗杆为BC，影子为BD，过D作平行于水平面的直线交CB的延长线于E，
所以∠BDE＝θ，DE⊥BE，
所以BE＝0.45sinθ，DE＝0.45cosθ，
因为阳光可视为平行光，所以MN∥CD，所以△AMN∽△ECD，
所以，即，
所以0.45cosθ＝0.4+0.18sinθ，①
因为sin2θ+cos2θ＝1，②
联立①②解得θ＝12.58°．
故答案为：12.58°．
【点评】本题考查解三角形的应用，属于中档题．
9．（2025 上海）已知，，若∥，则x＝ 　　 ．
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解．
【解答】解：，，∥，
则2x＝1，解得x．
故答案为：．
【点评】本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
10．（2025 上海）在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，则在方向上的数量投影的最大值 　4　 ．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】4．
【分析】设，根据题意求得A、B所在圆的圆心和半径，然后根据数量投影的意义，结合图形求得在方向上的数量投影的最大值．
【解答】解：根据题意不妨设（1，0），（0，1），（x，y），（m，n），
则，
由可得（x﹣4）2+y2＝4，
由可得m2+（n﹣6）2＝1，
设，故A在以C1（4，0）为圆心，2为半径的圆上，
B在以C2（0，6）为圆心，1为半径的圆上，
过B作BD⊥OA于D，则OD即为在上的数量投影，如下所示：
因为A，B分别为两圆上任意动点，不妨固定B，则OB为定长，
设，即∠AOB＝θ，故|OD|＝|OB| cosθ，
因为此时|OB|为定长，且θ＝∠AOB＜180°，
故随着θ的减小，cosθ增大，直至OA恰好与圆C1相切时，|OD|取得最大值，如下所示：
在OA与圆C1相切的基础上，移动点B，过C2作C2E⊥OA于E，故|OD|＝|OE|+|ED|；
在△C1AO中，∠C1AO＝90°，C1A＝2，OC1＝4，
故∠AOC1＝30°，∠C2OE＝60°，因为|OC2|＝6，
故在直角三角形C2OE中，|OC2|＝2|OE|，则OE＝3，即|OD|＝|OE|+|ED|＝3+|ED|；
在四边形BDEC2中，因为∠DEC2＝∠C2ED＝90°，故|DE|≤|BC2|＝1，
当且仅当BC2∥DE时等号成立，从而|OD|＝3+|ED|≤3+1＝4，
综上所述：在方向上的数量投影的最大值为4．
故答案为：4．
【点评】本题考查平面向量与直线和圆的位置关系的综合应用，属难题．
四．解答题（共3小题）
11．（2025 北京）在△ABC中，cosA，asinC＝4．
（1）求c；
（2）在以下三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求BC的高．
①a＝6；②bsinC；③△ABC面积为10．
【考点】解三角形．
【专题】方程思想；综合法；解三角形；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）6；（2）不能选①；选②：；选③：．
【分析】（1）由同角三角函数的基本关系可得sinA的值，再由正弦定理可得csinA的值，从而求得c；
（2）选①：由等边对等角和三角形的内角和定理可得△ABC不存在；选②：由正弦定理和条件可得sinB，再解直角三角形即可求得；选③：由三角形的面积公式求b，由余弦定理求a，再由三角形的面积公式即可求得．
【解答】解：（1）因为cosA，且A∈（，π），
所以sinA，
由正弦定理，得csinA＝asinC，
所以；
（2）选①：因为a＝6，由（1）知，c＝6，
所以a＝c，则A＝C，
因为A为钝角，所以不符合三角形的内角和定理，
所以△ABC不存在；
选②：因为bsinC，则由正弦定理，得，
由（1）知，c＝6，所以，
所以BC边上的高h＝csinB＝6；
选③：因为△ABC面积为10，由（1）知，，
所以，即，解得b＝5，
由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bccosA81，即a＝9，
设BC边上的高为h，则，所以．
【点评】本题考查利用正、余弦定理和三角形的面积公式解三角形，属于中档题．
12．（2025 天津）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知asinBbcosA，c﹣2b＝1，a．
（I）求A的值；
（Ⅱ）求c；
（Ⅲ）求sin（A+2B）的值．
【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．
【专题】对应思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】（I）A；
（Ⅱ）c＝3；
（Ⅲ）．
【分析】（I）由正弦定理，边角互化求解即可；
（Ⅱ）由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccosA，代入已知数据及b，求解即可；
（Ⅲ）由余弦定理可得cosB，sinB，从而求出cos2B、sin2B的值，最后由两角和的正弦公式求解即可．
【解答】解：（I）因为asinBbcosA，
所以sinAsinBsinBcosA，
又因为sinB≠0，
所以sinAcosA，
即tanA，
因为A∈（0，π），
所以A；
（Ⅱ）因为A，c﹣2b＝1，a，
所以a2＝b2+c2﹣2bccosA，
即7c2﹣2，
整理得：3c2＝27，
解得c＝3；
（Ⅲ）因为A，c﹣2b＝1，c＝3，a，
所以b＝1，
cosB，
所以sinB，
所以sin2B＝2sinBcosB，cos2B＝cos2B﹣sin2B，
所以sin（A+2B）＝sinAcos2B+cosAsin2B．
【点评】本题考查了三角恒等变换、利用正弦定理及余弦定理解三角形，属于中档题．
13．（2025 上海）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且c＝5．
（1）若，，求a；
（2）若ab＝20，求△ABC的面积的最大值．
【考点】解三角形．
【专题】转化思想；综合法；解三角形；不等式；运算求解．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）由，结合正弦定理算出a＝2b，然后根据勾股定理求出边a的长；
（2）根据余弦定理与基本不等式，算出cosC的最小值，结合同角三角函数的关系求得sinC的最大值，进而可得△ABC的面积的最大值．
【解答】解：（1）由，根据正弦定理得，化简得a＝2b，
因为，c＝5，所以a2+b2＝c2＝25，即4b2+b2＝25，解得b，a＝2b；
（2）根据ab＝20，c＝5，由余弦定理得cosC（a2+b2﹣25）（2ab﹣25），
当且仅当a＝b时，等号成立．
所以cos2C，即1﹣sin2C，可得sin2C，结合sinC＞0，解得sinC．
因为△ABC的面积SabsinC＝10sinC≤10，
所以当a＝b时，△ABC的面积取得最大值．
【点评】本题主要考查正弦定理与余弦定理、三角形的面积公式、运用基本不等式求最值等知识，属于中档题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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