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高考数学一轮复习 三角函数
一．选择题（共6小题）
1．（2025 北京）设函数f（x）＝sin（ωx）+cos（ωx）（ω＞0），若f（x+π）＝f（x）恒成立，且f（x）在[0，]上存在零点，则ω的最小值为（　　）
A．8 B．6 C．4 D．3
2．（2025 天津）f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜π），在[，]上单调递增，且x为它的一条对称轴，（，0）是它的一个对称中心，当x∈[0，]时，f（x）的最小值为（　　）
A． B． C．1 D．0
3．（2025 天津）设x∈R，则“x＝0”是“sin2x＝0”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（2025 新高考Ⅰ）若点（a，0）（a＞0）是函数y＝2tan（x）的图象的一个对称中心，则a的最小值为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025 新高考Ⅱ）已知0＜α＜π，cos，则sin（α）＝（　　）
A． B． C． D．
6．（2025 上海）已知a∈R，不等式在（0，2025）中的整数解有m个．关于m的个数，以下不可能的是（　　）
A．0 B．338 C．674 D．1012
二．填空题（共3小题）
7．（2025 上海）函数y＝cosx在[，]上的值域为　 　 ．
8．（2025 上海）已知tanα＝1，则 　 　 ．
9．（2025 北京）已知α，β∈[0，2π]，且sin（α+β）＝sin（α﹣β），cos（α+β）≠cos（α﹣β），写出满足条件的一组α＝　 　 ，β＝　 　 ．
三．解答题（共1小题）
10．（2025 新高考Ⅱ）已知f（x）＝cos（2x+φ）（0≤φ＜π），且f（0）．
（1）求φ的值；
（2）设g（x）＝f（x）+f（x），求g（x）的值域和单调区间．
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．（2025 北京）设函数f（x）＝sin（ωx）+cos（ωx）（ω＞0），若f（x+π）＝f（x）恒成立，且f（x）在[0，]上存在零点，则ω的最小值为（　　）
A．8 B．6 C．4 D．3
【考点】求两角和与差的三角函数值．
【专题】综合题；转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；逻辑思维．
【答案】C
【分析】先利用辅助角公式化简f（x），根据π是f（x）的周期构造ω的等式，然后结合f（x）的零点情况确定ω的最小值．
【解答】解：由已知得f（x），
又f（x+π）＝f（x）恒成立，所以kT＝π，
所以π，即ω＝2k，k∈N*，
k＝1时，ω＝2，f（x）sin（2x），
因为[0，]，所以∈[，]，f（x）＞0，故k＝1不符题意；
k＝2时，ω＝4，f（x），
此时，f（）1＜0，
，即f（x）在[0，]上存在零点，
故ω＝4即为所求．
故选：C．
【点评】本题考查三角恒等变换以及三角函数的图象与性质，属于中档题．
2．（2025 天津）f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜π），在[，]上单调递增，且x为它的一条对称轴，（，0）是它的一个对称中心，当x∈[0，]时，f（x）的最小值为（　　）
A． B． C．1 D．0
【考点】正弦函数的图象；正弦函数的单调性．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】A
【分析】根据函数的单调性，确定出ω＝4n+2，再根据单调区间确定周期范围得出0＜ω≤2，从而可确定ω＝2，最后结合单调性与对称中心得出φ，可得出f（x）解析式，再根据正弦函数的图像得出最值即可．
【解答】解：因为f（x）在[，]上单调递增，且x为它的一条对称轴，
可得f（）＝1，即φ＝2kπ，k∈Z，①
因为f（x）的图象关于（，0）对称，
所以mπ，m∈Z，②
且T，n∈Z，
解得ω＝4n+2，n∈Z，
因为在[，]上单调递增，所以，
解得0＜ω≤2，所以ω＝2，
根据①②，可得，
因为﹣π＜φ＜π，所以φ，
故f（x）＝sin（2x），
当x∈[0，]时，2x∈[，]，可得f（x）的最小值为f（）＝sin．
故选：A．
【点评】本题主要考查三角函数的周期公式、正弦函数的图象与性质等知识，属于基础题．
3．（2025 天津）设x∈R，则“x＝0”是“sin2x＝0”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】任意角的三角函数的定义；充分条件必要条件的判断．
【专题】对应思想；定义法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】A
【分析】利用正弦函数的性质、充分条件、必要条件、充要条件的定义求解．
【解答】解：x∈R，则“x＝0” “sin2x＝0”，
“sin2x＝0” “2x＝kπ，k∈Z”，
∴“x＝0”是“sin2x＝0”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查正弦函数的性质、充分条件、必要条件、充要条件的定义等基础知识，是基础题．
4．（2025 新高考Ⅰ）若点（a，0）（a＞0）是函数y＝2tan（x）的图象的一个对称中心，则a的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】正切函数的图象．
【专题】对应思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】C
【分析】根据正切函数的对称中心可得a的表达式，再由a＞0可得a的最小值．
【解答】解：由已知，aπ，k∈Z，所以aπ，k∈Z，
因为a＞0，所以取k＝0时，得a的最小值为60°．
故选：C．
【点评】本题主要考查正切函数的图象与性质，属于中档题．
5．（2025 新高考Ⅱ）已知0＜α＜π，cos，则sin（α）＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】求两角和与差的三角函数值．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】D
【分析】由已知，利用平方关系求出sin，再求出sinα，cosα，然后将sin（）展开，将前面的值代入即可．
【解答】解：因为0＜α＜π，cos，
所以，所以sin，
所以，即，
所以sin，cosα，
则sin（α）cos．
故选：D．
【点评】本题考查平方关系，两角和与差的正弦公式等，属于中档题．
6．（2025 上海）已知a∈R，不等式在（0，2025）中的整数解有m个．关于m的个数，以下不可能的是（　　）
A．0 B．338 C．674 D．1012
【考点】三角函数的周期性．
【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】D
【分析】由题设可得，结合正切函数的周期，利用函数图象，数形结合分情况讨论求解即可．
【解答】解：因为，所以，
考虑函数在（0，2025）的图像，以6为周期，
先考虑一条直线y＝t（t∈R）与函数的整点交点，
注意到在一个周期（0，6]内，可能存在的整点有1，2，4，5，6，
可得，以下分情况讨论：
①当时，x＝2+6k，k＝0，1，2，…，337，有338个整点；
②当时，x＝1+6k，k＝0，1，2，…，337，有338个整点；
③当t＝0时，x＝6+6k，k＝0，1，2，…，336，有337个整点；
④当时，x＝5+6k，k＝0，1，2，…，336，有337个整点；
⑤当时，x＝4+6k，k＝0，1，2，…，336，有337个整点，
再考虑直线y＝a与y＝a+1所包围的区域（不含边界），
注意到区间（a，a+1）的长度为1，
所以可能，就有337+337＝674个整点，故C可能；
因为与的距离为，所以只可能是或中的一个∈（a，a+1），就有338个整点，故B可能；
而当时，中没有元素∈（a，a+1），就有0个整点，故A可能；
注意到1012＝338+337+337，但与的距离为，故D不可能．
故选：D．
【点评】本题考查正切函数的性质，考查数形结合思想方法的应用，属难题．
二．填空题（共3小题）
7．（2025 上海）函数y＝cosx在[，]上的值域为　[0，1]　 ．
【考点】余弦函数的图象．
【专题】对应思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】[0，1]．
【分析】由余弦函数的单调性即可求得．
【解答】解：因为函数y＝cosx在单调递增，在单调递减，
所以当x＝0时，cosx取得最大值1，
因为，cos，所以cosx的最小值为0，
所以函数y＝cosx在[，]上的值域为[0，1]．
故答案为：[0，1]．
【点评】本题考查余弦函数在给定区间上的值域，属于基础题．
8．（2025 上海）已知tanα＝1，则 　0　 ．
【考点】求两角和与差的三角函数值．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】0．
【分析】由同角三角函数的关系，结合两角和与差的三角函数求解．
【解答】解：已知tanα＝1，
即sinα＝cosα，
则0．
故答案为：0．
【点评】本题考查了同角三角函数的关系，重点考查了两角和与差的三角函数，属中档题．
9．（2025 北京）已知α，β∈[0，2π]，且sin（α+β）＝sin（α﹣β），cos（α+β）≠cos（α﹣β），写出满足条件的一组α＝　（答案不唯一）　 ，β＝　（答案不唯一）　 ．
【考点】求两角和与差的三角函数值．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】．（答案不唯一）
【分析】利用两角和与差的正余弦公式展开化简，再根据化简后的结果确定α，β的值．
【解答】解：因为sin（α+β）＝sin（α﹣β），
所以sinαcosβ+cosαsinβ＝sinαcosβ﹣cosαsinβ，
所以cosαsinβ＝0①，又cos（α+β）≠cos（α﹣β），
即cosαcosβ﹣sinαsinβ≠cosαcosβ+sinαsinβ，即sinαsinβ≠0②，
结合①②得：cosα＝0，且sinα≠0，sinβ≠0，
故可取：α．
故答案为：．（答案不唯一）
【点评】本题考查两角和与差的正余弦公式，属于中档题．
三．解答题（共1小题）
10．（2025 新高考Ⅱ）已知f（x）＝cos（2x+φ）（0≤φ＜π），且f（0）．
（1）求φ的值；
（2）设g（x）＝f（x）+f（x），求g（x）的值域和单调区间．
【考点】余弦函数的图象．
【专题】综合题；转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】（1）；
（2）值域：，递增区间[），递减区间[kπ），k∈Z．
【分析】（1）利用f（0），求出φ的值；
（2）先利用三角恒等变换的知识将g（x）化简为一次的形式，然后结合正弦函数的性质求解．
【解答】解：f（x）＝cos（2x+φ）（0≤φ＜π），且f（0），
（1）由已知得，结合0≤φ＜π，
所以φ；
（2）由（1）知：，所以f（x）＝cos2x，
所以g（x）＝ f（x）+f（x）＝cos2xcossin2xsincos2x
cos（2x），
显然g（x）的值域为[，]，因为y＝cosx在[﹣π+2kπ，2kπ]上递增，在[2kπ，2kπ+π]上递减，k∈Z，
所以令，解得g（x）的递增区间为[kπ，kπ），k∈Z，
再令2kπ≤2x2kπ+π，解得g（x）的递减区间为[kπ，kπ），k∈Z．
【点评】本题考查三角恒等变换以及三角方程的计算，三角函数单调区间的求法等，属于中档题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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